高一数学必修2经典习题与答案

（数学2必修）第一章 空间几何体

[基础训练A 组] 一、选择题

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不对

2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）

A. 3

B. 23

C. 33

D. 43

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）

A ．3:1

B ．3:2

C ．2:3

D ．3:3

5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ）

A. 92π

B. 72π

C. 52π

D. 32

π

6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题

1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，

则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题

1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），

已建的仓库的底面直径为

主视图 左视图 俯视图

A B D C

E F

12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。 （1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？

2．将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积

3. 一个球的外切正方体的全面积等于6 cm 2

，求该球的体积

（数学2必修）第一章 空间几何体 [综合训练B 组] 一、选择题

1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）

A ． 22+

B ． 2

2

1+

C ． 2

22+ D ． 21+

2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ．

3324R π B ．338R π C ．3524R π D ．358

R π 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ， 则球的表面积是（ ）

Ａ．28cm π Ｂ．212cm π Ｃ．216cm π Ｄ．220cm π

4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，

圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3

5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成

两部分的体积之比是( )

A ．1:7 Ｂ．2:7 Ｃ．7:19 Ｄ．5:16

6．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,3

2

EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A ．

9

2 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．15

2 二、填空题

1．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成060,

则圆台的侧面积为____________。

2．Rt ABC ?中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成

的几何体的体积为____________。

3．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体

4．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。

5．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;

图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

6．若圆锥的表面积为a平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________。

三、解答题

1.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？

2．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,

求该圆台的母线长.

（数学2必修）第一章空间几何体

[提高训练C组]

一、选择题

1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）

A B C D

2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）

A. 1:2:3

B. 1:3:5

C. 1:2:4

D. 1:3:9

3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）

A.

2

3

B.

7

6

图（1）

图（2）

C.

45 D. 56

4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）

A. 1:3

B. 1:1

C. 2:1

D. 3:1

5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:9

6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：

A. 224cm π，212cm π

B. 215cm π，212cm

π

C. 224cm π，236cm π

D. 以上都不正确

二、填空题

1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。

2.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 . 3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的

半径为_________厘米.

5．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。 三、解答题

1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱， 求圆柱的表面积

2．如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边

形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

6

5

P A

B

C

V

E

D

F

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组] 一、选择题

1．下列四个结论：

⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）

A ．有一个角是直角的四边形

B ．有两个角是直角的四边形

C ．有三个角是直角的四边形

D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．以上都有可能

4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ） A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化。

5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8

6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）

A ．90

B ．60

C ．45

D ．30

二、填空题

1．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________。

2．直线l 与平面α所成角为030，,,l A m A m αα=??，则m 与l 所成角的取值范围是 _________ 3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++的值为 。

4．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ，

AC 与l 成045，,AB AC αβ??，则BAC ∠= 。 5．下列命题中： （1）、平行于同一直线的两个平面平行； （2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行； （4）、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。 三、解答题

1．已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证： (1)E 、F 、G 、H 四点共面. （2）AC//平面EFGH.

2．自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组] 一、选择题 1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

Ａ．16π Ｂ．20π

Ｃ．24π Ｄ．32π

2．已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，

则EF 与CD 所成的角的度数为（ ） Ａ．90 Ｂ．45 Ｃ．60 Ｄ．30

3．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条

4．在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，

则点1A 到截面11AB D 的距离为( )

A ． 83

B ． 3

8

C ．43

D ． 34

5．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点， 连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（ ）

A ．36

1

a B ．3123a C ．363a D ．312

1a 6．下列说法不正确的．．．．

是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；

C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

H G F

E D B A

C

二、填空题

1．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。

2．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的

位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形 3．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V AB C --的平面角为_____________。

4．三棱锥,73,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角 P AC B --的大小为____

5．P 为边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA PB PC a ===，则P 到

AB 的距离为______。 三、解答题

1．已知直线//b c ，且直线a 与,b c 都相交，求证：直线,,a b c 共面。

2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；

3． 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD

上的点，且SM AM =ND

BN

， 求证：//MN 平面SBC

4.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，

（1）求证：平面A B 1D 1∥平面EFG;

（2）求证：EF ⊥平面AA 1C.

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系

F

G

E

C1D1

A1

B1

D

C

A

B

[提高训练C 组] 一、选择题

1．设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④

2．若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为（ ）

A ．222a b c ++

B ．2

2212

a b c ++

C ．22222a b c ++

D ．22232

a b c ++ 3．在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面0,,,,30BCD BD DC BD DC AC a ABC ⊥==∠=, 则点C 到平面ABD 的距离是( ) A ．55a B ． 155a C ．35a D ．153

a 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11A C 的中点，则直线CE 垂直于（ ） A ．AC B ． BD C ．1A D D ．11A D

5．三棱锥P ABC -的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心

6．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角 A CD B --的余弦值为（ ）

A ．12

B ．1

3

C ．33

D ．23

7．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）

A ．090

B ．060

C ．045

D ．030 二、填空题

1．点,A B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的 距离为_________________．

2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。 3．一条直线和一个平面所成的角为060，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．

4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_____。

5．在正三棱锥P ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8AB PA ==,过A 作与,PB PC 分别交于D 和E 的截面，则截面?ADE 的周长的最小值是________

三、解答题

1．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点．求证：平面MBD ⊥平面BDC ．

2．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

3.在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面

SAC ⊥平面,23ABC SA SC ==，M 、N 分别为,AB SB 的中点。

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；

（Ⅱ）求二面角N -CM -B 的大小；

（Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。