微积分 第一章习题解答(下)

习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +

=),(，求)

,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y

x

xy y x f +

=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(

2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=

)

,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?=

3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f

（2）;)

1ln(4),(222y x y x y x f ---=

（3）;1),(22

2222c

z b y a x y x f ---=

（4）.1),,(2

2

2

z

y x z y x z y x f ---++=

解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D

（2）

{

y y x y x D ,10),(22<+<=

（3）

????++=),(2

2222b y a x y

x D

（4）{}

1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D

4．求下列各极限： （1）2

21

01lim

y x xy y x +-→→=11

00

1=+- （2）2ln 0

1)1ln(ln(lim

02

2

)0

1=++=

++→→e y

x e x y y x

（3）41

)42()42)(42(lim 42lim

000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x

（4）2)

sin(lim )sin(lim

202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x

5．证明下列极限不存在：

（1）;lim 0

0y

x y x y x -+→→ （2）22

22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向 则322lim lim

00

20-=-+=-+→→=→x x x

x y x y x x x y x ；

如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向，则33lim lim

00

20==-+→→=→y y

y x y x y y x y

x

所以极限不存在。

（2）证明： 如果动点),(y x P 沿x y =趋向

则1lim )(lim 44

0222220

0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向，则044lim )(lim 2440222220

20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。

6．指出下列函数的间断点：

（1）x

y x

y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。

解 （1）为使函数表达式有意义，需02≠-x y ，所以在02=-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x

y

y x z +=

21x y y x z -=??；21y

x x y z -=??. (2)

)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x

z

-=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y

z

-=-=?? (3)

121)1()1(--+=+=??y y xy y y xy y x

z

, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得

,1)1ln(1xy

x

y xy y z z +++=?? ]1)1[ln()1(]1)1[ln(xy

xy xy xy xy xy xy z y z

y ++++=+++=??; (4))(221332

3y x x y x x

y x x y

x z +-=+-

=??,

;1

13

2

2y x x y x x y

z +=

+=??

(5)x x z

y z u

x x z y u x z y x u z y

z y z y ln ,ln 1,21-=??=??=??-; (6)z

z y x y x z x u 21)(1)(-+-=??-, z z y x y x z y u

21)(1)(-+--=??-, z

z y x y x y x z u 2)

(1)

ln()(-+--=??; 2.(1)

0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ;

(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=

)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.

3 2

222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===

0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .

4

)2

(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2t

x z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=

0)2

(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+t

x t x z z xt tt .

5.(1) x y

x e x y z 2-=, x y y e x z 1=,=dz +-dx e x

y x y 2 dy e x x y

1

;

(2) )ln(21

22y x z +=

,2

2y x x z x +=,22y x y z y

+=,dy y x y dx y dz 2222x x +++=; (3)2

222)(1y x y x y x y z x +-=+-

= , 222)

(11

y x x x

y x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=;

(4) ,1

-=yz x yzx

u x zx u yz y ln =,x yx u yz z ln =, =du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.

6. 设对角线为z,则,22y x z +=

2

2

y

x x z x +=

,2

2

y

x y z y +=

, =

dz 2

2

y

x ydy xdx ++

当1.0,05.0,8,6-=?=?==y x y x 时,2

2

8

6)

1.0(805.06+-?+?=

≈?dz z =-0.05(m).

7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=

2

2

y

x x z x +=

，2

2

y

x y z y +=

, =

dz 2

2

y

x ydy xdx ++,

设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,

当1.0,1.0,24,7=≤?=≤?==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z

2

2

24

71

.0241.07+?+?≤

≤?dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δ

z 的相对误差

≈?z z %496.025

124.0=. 8. 设半径为r ，高为h ，容积为V ，则

h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,

当1.0,1.0,20,4=?=?==h r h r 时,

)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =??+????=≈?.

习题1—3

1.

=??+??+??=dx

dz z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2)(1z xy z y +?+ax ae z xy z x

2)

(122

)(1z xy z xy +-)1(2+?ax a =222)]1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=ax

ax e

x ax x a e ax 22422)1()

1()1(++++. 2.x f x f x z ????+????=??ηηξξ=443

2224arcsin 11y x x y x x

+?+----ξξη=

)

)(1()ln(1arcsin 42

2

2

2

444

4

2

23y x y x y x x y

x y x x +--+-

+--

y f y f y z ????+????=??η

ηξξ=443

2224arcsin 11y x y y x y

+?+----ξξη=)

)(1()ln(1arcsin 42

2

2

2

444

42

23y x y x y x y y x y x y +--+-

+--.

3. (1)

x

u ??=212f ye xf xy +, y u ??=212f xe yf xy

+-.

(2)

x u ??=11f y ?, y u ??=2121f z f y x +?-,z u

??=22f z

y ?-.

(3)

x

u

??=321yzf yf f ++,y u ??=32xzf xf +,z u ??=3xyf .

(4)

x u ??=3212f yf xf ++y u ??=3212f xf yf ++,z u

??=3f .

4 .(1)

1yf x

z

=??,21f xf y z +=??, ()112

1112

2f y y f y x f y x

z =?=??=??, ()12111121111112)(yf xyf f f x f y f y

f y f yf y y x z ++=+?+=??+=??

=

???, ()2212112

2221121121212

22)(f xf f x f x f f x f x y f y f x f xf y y

z ++=+?++?=??+??=+??=??(2)

2122xyf f y x

z

+=??,2212f x xyf y z +=??, ()

x f xy yf x f y xyf f y x

x z ??++??=+??=??22

1

221222222 22

2

2

123

114

2222212122112442)2(22)2(f y x f xy f y yf xy f y f xy yf xy f y f y +++=?+?++?+?=.

()

y

f xy xf y f y yf xyf f y y y x z ??++??+=+??=???22121212

22222

12

2

2

223

113

21222212212112152222)2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf x f xy f xy xf x f xy f y yf ++++=?+?++?+?+=

()

y f x y f xy xf f x xyf y y

z ??+??+=+??=??2

2112212

2222 22

4

123

112

2

1222212212111442)2()2(22f x yf x f y x xf x f xy f x x f xy f xy xf +++=?+?+?+?+=

5 y

u

x u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u ??+

??-=????+????=????+??=????+????=??2123,2321Θ

, 222)(4323)(41)(

y u y u x u x u s u ??+????+??=??,222)(4123)(43)(y

u y u x u x u t u ??+????-??=??, 2222)()()()(

y

u x u t u s u ??+??=??+??∴. 6 (1) 设)

(),,(z y x e

z y x z y x F ++--++=, )(1z y x x e F ++-+=,)

(1z y x y e F ++-+=,

)(1z y x z e F ++-+=,

1-=-=??z x F F x z ,1-=-=??z

y F F y z

xz

y x y x z

y x y

x z y

x x F y

x z y x z z y x F x 2))(21

(sec tan

,

tan ),,()2(2

3

222

22

222

2

2

2

2

2

22---------

=---=设

=222

2

2

2

tan

y

x xz

y

x z y

x x -+

---

2

2

2

sec y

x z -,

)2())(21(sec tan

23

2

22

22

222

22

2yz y x y x z

y x y x z y x y F y --------=

- =

222

2

2

2

tan

y x yz y

x z y

x y --

--2

2

2

sec

y

x z -,

-

=1z F 2

2

2

22sec y

x z

y x --2

21

y

x -=2

2

2

tan

y

x z --,

=??x z 2

22

2

22222csc cot y

x z y

x xz y x z y x x F F z x --+---=-,

=??y z .csc

cot

2

2

2

2

22

2

2

2

y

x z y x yz y

x z y

x y F F z

y ---

--=-

(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x

yz F x -

=1 y

xz

F y -

=2z xy F x -=1,

=??x

z

z x F F -=

xy xyz xyz

yz --,=??y z

z

y F F -=xy

xyz xyz xz --2.

(4) 设y z z x y z z x z y x F ln ln ln ),,(+-=-=

,y F z F y x 1,1==z z

x F z 12--=, =??x z z x z F F z x +=-,=??y z )

(2

z x y z F F z y +=-, 7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=

Θ)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,

∴ =??x z

31=-z x F F ,=??y z 3

2=-z y F F , ∴

+

??x z =??y

z

1. 8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,

=??x z

211φφφb a c F F z x +=-,=??y z ,2

12φφφb a c F F z y +=-

∴ +??x

z

a

c y z b =??. 9. (1)方程两边同时对x 求导得

?????=+++=,

0642,22dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz 解之得???????+=++-=1

3,)13(2)16(z x dx dy z y z x dx dy

(2) 方程两边同时对z 求导得

?????=++=++0

222,01z dz dy y dz

dx

x dz dy

dz dx 解之得

???????--=--=.,y

x x

z dz

dy y

x z

y dz dx

(3) 方程两边同时对x 求偏导得

??

??

???+??-??=??+??+??=,sin cos 0,cos sin 1x v v u v x u x u e x v v u v x u x u e u u 解之得???????+--=??+-=??.]

1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e v x v v v e v x u u u

u 同理方程两边同时对y 求偏导得

?????????+??-??=??+??+??=,sin cos 1,cos sin 0y v v u v y u y u e y

v v u v y u y u e u u 解之得???????+-+=??+--=??.]

1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e v x v v v e v x u u u

u

习题1－4

1． 求下列函数的方向导数

o

P l

u ??

（1）()()2,1,1,0,1,1,3202

2-=++=l P z y x u

解：

220

==??P P x

x

u

440

0==??P P y

y

u

060

==??P P z

z

u

)62,61,6

1(0-

=l

.6

2)6

1(*46

1*

20

-=-+=??∴

P l

u

（2）);1,1,2(),1,1,1(,)(0-==l P x

y u z

解：

,1)()(0

21-=-=??-P z P x y x y z x u

,1)1()(0

1==??-P z P x

x y z y

u

,0)ln()(0

==??P z P x

y x y z

u

)61,6

1,

6

2(

-

=l

.6

16

1*16

2*)1(0

-=+-=??∴

P l

u

（3）l P y x u ),1,1(),ln(02

2+=与ox 轴夹角为

;3

π

解：

,120

22=+=

??P P y x x x u

,120

02

2=+=

??P P y x y y

u

由题意知,3

πα=

则,6

πβ=

)2

3,21()6cos ,3(cos

==ππ

l .2

3

123*121*

10

+=+=??∴

P l

u

（4）.),14,4,9(),2,1,5(,1010P P l P P xyz u ==

,20

==??P P yz

x

u

,100

0==??P P xz

y

u

,50

==??P P xy

z

u

),12,3,4(=l ),13

12

,133,134(0=∴l

.13

981312*5133*10134*20

=++=??∴P l u

2． 求下列函数的梯度gradf

（1）);(cos()sin(),(2

2

xy y x y x f +=

解：

,*)sin()2(*)cos(222y xy xy y x x

f

-=??

),2(*)sin(*)cos(222xy xy x y x y

f

-=?? (=∴gradf )sin()cos(22

2

2

xy y y x xy -,)sin(2)cos(2

2

2

xy xy y x x -)

(2).),(y

x

e x

y y x f =

解：),1(11)(2x y e x y e x y e x

y x f y x

y x y x -=+-=??

),11()(12y x e y

x e x y e x y f y x

y x y x -=-+=?? (=∴gradf )1(1x y e x y x

-，)1

1(y

x e y x

-）

。 3． 一个登山者在山坡上点)4

3

,1,23(--

处，山坡的高度z 由公式2225y x z --=近似，其中x 和y 是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。 解：

,32)4

3

,1,23()4

3,1,23(=-=??-=-=x

x z

,44)4

3

,1,23()4

3

,1,23(=-=??-=-=y

y

z

∴按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。

4． 解：

)21)(1(),21)(1(y x x y

T

x y y x T --=??--=?? 沿方向)16

1,91()3

1

,41(--=-gradT

5． 解：设路径为)(x f y =，在点),(y x 处)8,2(y x gradT --=

)(x f y =在),(y x 点的切向量为),

1(dx

dy =τ gradT Θ平行于切向量τy

dy

x dx 82,-=

-∴

4cx y =? 因为过4

2),2,1(x y -=∴

习题1-5

1、求曲线2,1,1t z t

t y t t x =+=+=

在对应于1=t 点处的切线及法平面方程。 解：当1=t 时，1)1(,2)1(,21

)1(===z y x ，

}2,1,41

{}2,)1(,)1(1)1(1{)}1(),1(),1({1

2

2''')1,2,2

1

(-=+-+?-+?===t t t t t t t t z y x T

故所求切线方程为：

21124121-=--=-z y x ，即: 8

142121-=--=-z y x 法平面方程为：0)1(2)2()2

1

(41=-+---z y x 即: 11682=+-z y x

2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程

（1）?????=+=+2

22

222z y y x 在点)1,1,1( 解 ：将方程两端对x 求导，得

???????=-=?z x dx dz y x dx

dy 在)1,1,1(M 处)1,1,1(-=T

故所求的切线方程为：11

1

1-=--=-z y x 法平面方程：1=+-z y x

（2）???=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-

解法1：将方程两端对x 求导，得

??????

?

=++=?+?+010222dx

dz dx dy dx dz z dx dy y x ??????

?-=+-=?+?1dx

dz dx dy x dx

dz z dx dy

y 当01

1≠-==

x y z y J 时，有

z y x z z x J dx dy --=--?=111，z

y y x x y J dx dz --=

--?=111

}1,0,1{,,1,,1)

1,2,1()1,2,1()

1,2,1-=??

????----=???

???=---z y y x z y x z dx dz dx dy 故所求的切线方程为：???

??=+-=--0

211

11y z x

法平面方程：0)1()2(0)1(=-++?+--z y x 即：0=-z x

解法2：将方程组两端求微分：得???=++=++00

222dz dy dx zdz ydy xdx

∴曲线在点)1,2,1(-处的切向量为

3. （题略）

解：（1）令 F （x ，y ，z ）=arctg

x y -z, )(,2

1)(,21)(0'0'0'

P F P F P F z y x =-== -1，曲面在点P 0的切平面方程为：-0)4)(1()1(21)1(21=--+-+-πz y x ，即： x - y - 2z -2

π

=0；

法线方程为：

142

11211--

=-=--π

z y x ，即：2

41111π

-=--=-z y x ；

（2）令z

x

y z z y x F ln ),,(--=

则x F x 1-=，1-=y F ，z

F z 1

1+=

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：}2,1,1{+--=n

故所求的切平面方程为：0)1(2)1()1()1()1(=-+-?-+-?-z y x 即： 02=-+z y x 法线方程为：

2

1

1111-=

--=--z y x

（3）令F （x ，y ，z ）=2z

x +2z

y -8，)(,2ln 4)(,2ln 4)(0'

0'

0'

P F P F P F z y x -===-

16ln2，曲面在点P 0的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0，

即：x-y-4z=0，法线方程为：

2ln 1612ln 422ln 42--=-=-z y x ，即：4

1

1212--=-=-z y x

4、解：y x x z +=??1Θ

，y x y z +=??1 }3

1,31{}1,1{)2,1()2,1(=++=?∴y x y x z 又∵抛物线x y 42=在(1,2)点处的切线斜率为：

1)

2,1(=dx dy

∴抛物线x y 42

=在(1,2)点处偏向x 轴正向的切线方向为}1,1{,1)2,1(=??

????????=dx dy T

∴???

???=21,210T

???

??????????=21,2131,31)2,132626

2=+=

习题1-6

1（题略）. 解：由 ,024=-=??x x

f

024=--=??y y f ,有 x=2, y=-2, 即P 0(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,

又,2,0,22222

2-=??=???-=??y

f

y x f x f D （P 0）=4>0,)(022P x f ??=-2 故P 0 (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8.

2（题略）.

解：由 ????

???+-=??--=??01862039632

令令x y y

f y x x f 有???=+-=--09301322x y y x 驻点：(5,6)和)6,1(-

x x f 622=??Θ 222=??y

f

62-=???y x f ()0243612)

6(26)

6,5()

6,5(2)6,5(>=-=--?=?x x ，而306)6,5()

6,5(2

2==??x x

f

∴),(y x f 在点(5,6)取得极小值88)6,5(-=f 又∵()0243612)6(26)6,1()

6,1(2

)6,1(<-=-=--?=?---x x

∴),(y x f 在点)6,1(-不取得极值

3、求22y x z -=在闭区域4422≤+y x 上的最大值和最小值

解：由???????=-=??==??0202y y

z x x

z

，得唯一驻点(0,0)

又∵在边界442

2

=+y x 即椭圆14

22

=+y x 上,22254y y x z -=-= 1),1(-∈y

由

0)

54(=-dy

y d ，得驻点：)1,1(0-∈=y ∴所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1) 相应的函数值为： 0 4 4 -1 -1 4、求抛物线2x y =和直线02=--y x 之间的最短距离。

解：设P(x ,y )为抛物线2x y =上任意一点，它到直线02=--y x 的距离为

2

2

--=

y x d ，d 最小当且仅当2d 最小

此问题即是求22)2(2

1

--=y x d 在条件x y =2下的最小值。 解法1（用拉格朗日乘数法） 设)()2(2

1

22x y y x L -+--=

λ 由???

??

?

???-=+-?--?=-?--?=0

0)1()2(2210

21)2(2212令令令x y L y x L x y x L y x λλλ，即?????=-=++-=---00202)21(2x y y x y x λλ得唯一驻点)41,21(

故由实际问题知抛物线2x y =和直线02=--y x 之间的最短距离在在，为：

8

2

7)4

1,21(min =

=d d 解法2（转化为无条件极值）

设抛物线2x y =上点),(2x x P ，它到直线02=--y x 的距离为

2

2

2

2

2--=

--=

x x y x d

∵d 最小当且仅当222)2(2

1

--=x x d 最小

设22)2(21

)(--=x x x f

∴0)21()2()(2令x x x x f -?--='

唯一驻点2

1=

x )2(2)21()2()2()21()21()(222+-+-=-?--+-?-=''x x x x x x x x f

[]

02

7

)

2(2)21()2

1

(2

122>=

+-+-=''x x x f Θ ∴当2

1

=

x 时，)(x f 有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点） ∵2

122

12

2

--=

x x d =

8

2

7 故抛物线2x y =和直线02=--y x 之间的最短距离为

8

2

7 5、求抛物线22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任意一点为(x ,y ,z )，它到原点的距离为222z y x d ++=

此问题即是求2

2

2

z y x d ++=在条件???=+++=1

22z y x y x z 下的最大值和最小值。

令)1()(2

2222-+++-++++=z y x z y x z y x L μλ

由??

????

?????-++=-+=+-=++=++=⑤

令④令③令②令①令010*********

2z y x L z y x L z L y y L x x L z y x

μ

λμλμλμλ 由①-②得0))(2(1=-+y x λ 若1-=λ代入①，得0=μ，

再代入④，2

1

-=∴z <0, 不合题意

1-≠∴λ，有y x =

代入④，⑤由???=+=1222z x z x ，解得23

1±-==x y ， 32±=z

∴驻点为：)31,231,231(

1+-+-+-P 和)31,2

3

1,231(2------P ∴3591

1

2

22+=++=P P z y x d ，3592

2

2

22-=++=P P z y x d

由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为

359+和359-

6（题略）.

解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=h r H r 22

3

2

π

π+,

故:3V-)23(2

h H r +π=0 (1) 浮标表面积S(r,h,H)=)(2222222h r H r h r r rH ++=++πππ

令L(r,h,H)=)(222h r H r ++π+)23(3[2

h H r V +-πλ]

由)23(22)(22

2

222h H r h

r r h r H r

L

+-++++=??πλππ=0 （2）

22

222r h r rh h

L

πλπ-+=??=0 (3)

0322=-=??r r H

L

πλπ (4) 有32

=

r λ, 代入（3）有03222=-+h

r h , 故25=h r , r=

h,再由（2），有H=h,

h=

r

5

2, ( r,

r

5

2,

r

5

2)为S(r,h,H)

唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,

2

5

=h r 时,材料最省。

7（题略） 解设BC=a, 则横截面积

S=

21(BC+AD)h=

2

1θθθctg h h

S

?-+ =a )h, ctg h +(a =)h 2hctg (2a ,湿周

θ

θθθsin 2

sin 2a 2CD a =) F(h,h

ctg h h S h +?-=+=+= 由0sin 22=+--=??θθctg h

S h f (1)

0sin cos 212=-=??θ

θθf (2)

由(2)有1-2cos 0=θ,3

π

θ=

, 由(1), h=

4

3

S

, 即(

4

3

,3

S π

)为唯一驻点，故当3

π

θ=

,

h=4

3

S

时，湿周最小.

北京交通大学信号与系统第四章典型例题

第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。 t 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[-T 0/2，T 0/2]内的定义为 ???>≤=2/ 02/ )(~ττt t A t x 满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。 解： 根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有 t t x T C t n T T n d e )(~ 1000j 2/2/0ω--?=== --? t A T t n d e 10j 2/2 /0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2 (Sa 00τωτn T A = 故周期矩形信号)(~ t x 的指数形式Fourier 级数表示式为 t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞ -∞ =∞-∞=== 利用欧拉公式 2 e e )cos(00j j 0t n t n t n ωωω-+= 可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为 ()t n n T A T A t x n 0001 0cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑ ∞ =+= 结论： 实偶对称的周期矩形信号)(~ t x 中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。 t 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号)(~ t x 是实信号，其在一个周期 [-1/2，3/2]的表达式为

微积分第一章

高等数学教案 、

第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

初中化学第四章化学方程式(中)典型例题

第四章 化学方程式?中? ?根据化学方程式的计算? 唐荣德 典型例题 1．实验室用 g 锌跟足量的盐酸反应，可制氢气和氯化锌各多少克? 分析：在化学反应中，反应物与生成物之间的质量比是成正比关系，因此，利用正比例关系，根据化学方程式和已知的一种反应物(或生成物)的质量，可求生成物(或反应物)的质量。 解：设制得氢气的质量为x ，制得氯化锌的质量为y ………设未知量， Zn ＋2HCl ＝ ZnCl 2＋H 2? …………写出正确的化学方程式 65 136 2 …………写出有关物质的质量比， g y x …………写出已知量和未知数 g 7.365＝y 136，y ＝65 g 7.3136?＝7?7g …………列比例式，求解 g 7.365＝x 2， x ＝65 g 7.32?＝0?1 g 答：制得氢气 g ，氯化锌 g ，………写出简要答案。 2．对于反应：X 2＋3Y 2＝2Z ，可根据质量守恒定律推知下列说法一定错误的是? AD ? A ? 若X 2的式量为m ，Y 2相对分子质量为n ，则Z 的相对分子质量为?m ＋3n ? B ? 若m g X 2和n g Y 2恰好完全反应，则生成?m ＋n ? g Z C ? 若m g X 2完全反应生成n g Z ，则同时消耗?m －n ? g Y 2 D ? Z 的化学式为XY 2 解析：根据质量守恒定律，B 、C 正确。由原子守恒，可得出Z 的化学式为XY 3，故D 错。由题意知，反应物的总质量为m ＋3n ，而生成物的总质量为2?m ＋3n ?，显然违背了质量守恒定律，故A 是错的。 答案：AD 。 3．反应：A ＋3B ＝2C ，若7 g A 和一定量B 完全反应生成 g C ，则A 、B 、C 的相对分子质量之比为 ( B ) A. 14∶3∶7 B. 28∶2∶17 C. 1∶3∶2 D. 无法确定 解析：由质量守恒定律可知：B 为 g －7 g ＝ g 。再根据化学方程式中各物质的化学计量数之比为粒子数之比，可得出它们的相对分子质量之比为：M A ∶M B ∶M C ＝715852 13∶∶..＝7∶∶＝28∶2∶17。 答案：B 。 4．将金属镁和氢氧化镁的混合物在空气中灼烧，混合物的质量在冷却后没有变化，求原混合物中镁元素的质量分数。[已知：Mg(OH)2MgO ＋H 2O] 解析：根据质量守恒定律，反应前后镁元素的质量不变，混合物总质量不变。剩余物为MgO ，故MgO 中Mg 元素的质量分数即为原混合物中镁元素的质量分数。

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

第四章：基本平面图形知识点及经典例题

第四章：基本平面图形知识点 一、寻找规律： (1) 2 n n - ◆ 数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有(1) 2 n n -条线段 ◆ 数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时， 则（如图）?小于平角的角个数为(1) 2 n n -． ◆ 数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1) 2 n n -条直线． ◆ 数交点个数：n 条直线最多有(1) 2 n n -个交点． ◆ 握手问题：数n 个人两两握手能握(1) 2 n n -次． 二、基本概念 1．线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段． 线段的特点：是直的，它有两个端点． （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线． 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸． （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=12 AB ，所以M 是线段AB 的中点． （2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM=BM=12 AB 或AB=2AM=2BM ． 3．角 由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边． 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 6．直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 7．线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短． 三、线段、角的表示方法 线段的记法： ①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 射线的记法： 用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 直线的记法： ①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 角的表示：①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB ； ②用一个大写字母表示：∠O ； ③用一个希腊字母表示：∠ａ； ④用一个阿拉伯数学表示：∠1。 四、线段、角的比较 度量法 叠合法 1.作一条线段等于已知线段 作法： O A 顶点 边 边 B ａ 1 O A 射线OA A B a 直线AB 直线a

高中数学之定积分与微积分基本定理含答案

专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A.

3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝

∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解：

． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.

微积分第五章第六章习题答案

习题5.1 1.（1） sin x x ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行 2. 23x ；6x 3.（1）3223 x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4 2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3 23 x x ex C +-+ （7） sin 22 x x C -+（8 ）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12 - 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2 x C --+ （5 ）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212 x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10 ）ln C -+（11）3sec sec 3 x x C -++ （12 ）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2 x C + （15 12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22 x x C -++ （17 C （18）ln 2ln 133 x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ （20）3cos ()3t C ?ωω +-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===-

微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章

第五章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0

最新新浙教版七年级上册数学第四章《代数式》知识点及典型例题.docx

新浙教版七年级上册数学第四章《代数式》知识点及典型例题 意义：能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来 用字母表示数 举例如用“ a+b=b+a”表示加法的交换律就非常地简洁明了 代数式概念：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式，这里的运算是指 加、减、乘、除、乘方和开方。特别规定：单独一个数或者一个字母也称为代数式 意义：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量 列代数式：特别注意找规律这种类型的题目 直接代入法 代数式的值 整体代入法 定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。特别规定：单 独一个数或一个字母也叫单项式 代数式 单项式系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的的次数 整式多项式定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 多项式多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数 常数项：不含字母的项叫做常数项 多项式的命名：几次几项式 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 合并同类项：把多项式中的同类项合并为一项的过程叫做合并同类项 合并同类项 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指 数不变 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变； 括号前是“—” ，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号 整式的加减 整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项 关于整式加减的简单应用：如求图形的面积等 单项式 整式 关于代数式分类的拓展代数式 有理式 多项式 分式 无理式 (被开方数含有字母 )

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

微积分总复习题与答案

第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???

第四章基本平面图形典型例题

第四章基本平面图形练习题 典型考题一: 线段的中点问题 1.已知线段AB=10cm,在AB的延长线上取一点C，使AC=16cm,则线段AB的中点与AC的中点的距离为 2.如果A,B,C三点在同一条直线上，且线段AB=4cm, BC=2cm,则那么A，C两点之间的距离为 3.已知线段AB=20cm,在直线AB上有一点C，且BC=10cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长. 4.如图，点C在线段AB上，AC=8cm,CB=6cm,点M,N分别是AC,BC的中点. （1）求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC 的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？ 典型考题二: 角的平分线问题 1.已知：OC是∠AOB的平分线，若∠AOB=58°，则∠AOC= 2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠COD=25°，则∠AOB的度数为 3.如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， （1）求∠MON的度数。 （2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数。 （3）如果（1）中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数。 （4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？ 4.已知∠AOB=120°，∠AOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， （1）求∠MON的度数； （2）通过（1）题的解法，你可得出什么规律？ 5.已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC =70°时，求∠DOE的度数；

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a

A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (00)，

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+1 31 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+1 1 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2 ） (1n S n =++ ++ 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4） 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而1112 n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5） ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6） 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7） 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8） (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：（1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且 其和为1+ 12=3 2 . （2） 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

微积分定积分练习题(有答案)

1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间［a, b］有关，与E的取法无关 B.与f(x)有关，与区间［a，b］以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关，与区间［a, b］无关 D .与f(x)、区间［a，b］和8的取法都有关 4. 在求由x= a，x= b(a

8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ； (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3，贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2，x =2，曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数， 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx

高三数学典型例题解析：第四章 数列

第四章 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝ 2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??