第十八讲 解析几何II自主招生

第十八讲 解析几何II

【考点说明】

解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板

块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

【知识引入】

一．椭圆中的经典结论：

1.点000()P x y ，在椭圆上22

221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002

21x x y y a b

+=． 2.点000()P x y ，在椭圆上22

221x y a b

+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点

弦12PP 的直线方程是

00221x x y y

a b

+=． 3.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，12F PF α∠=，

则椭圆的焦点三角形的面积为122

tan 2

F PF S b α

?=．

二．双曲线中的经典结论：

1.点000()P x y ，在双曲线上22

221x y a b

-=（0a b

＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切线方程是

00221x x y y

a b

-=． 2点000()P x y ，在双曲线上22

221x y a b

-=（0a b

＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP

的直线方程是00221x x y y

a b

-=． 3.双曲线22

221x y a b

-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上一点，

12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan

2

F PF S b α

?=．

三．抛物线：

1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E ，AE BE

、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠?+=线段平分角

2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于

1122(,)(,)A x y B x y 、 ，则：(1)2

124

p x x =

，212y y P =- ； (2) p FB FA 211=+ 。 3.共线： 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于A B 、两点，如图示，有下列三个结论：

（1）1A O B 、、三点共线 ． （2）1B O A 、、三点共线．

（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为1B ，则1BB 平行于x 轴．

（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为1A ，则1AA 平行于x 轴．

【知识拓展】

一．圆锥曲线和直线的参数方程

1.圆2

2

2

x y r +=的参数方程是cos ,

sin ,x r y r θθ=??

=?

其中θ是参数。

2.椭圆22

221x y a b +=的参数方程是cos ,sin x a y b θθ=??=?其中θ是参数，称为离心角。 3.双曲线22

221x y a b -=的参数方程是sec ,tan x a y b θθ

=??=?其中θ是参数。

4.抛物线2

2y px =的参数方程是22,

2x pt y pt ?=?=?

其中t 是参数。

5.过定点00(,)x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos ,

sin x x t y y t αα

=+??

=+?t 为参数。

这里参数t 的几何意义是：①||t 表示直线上的点(,)x y 和定点00(,)x y 的距离；

②当点(,)x y

在点00(,)x y 的上方时，0t >，当点(,)x y 在点00(,)x y 的下方时，0t <；当

点(,)x y 与点

00(,)x y 重合时，0t =，反之亦然。

二．圆锥曲线的统一极坐标方程

以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为1cos ep

e ρθ

=-，

其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。

三．焦半径公式

设P 为圆锥曲线上任一点，r d 、分别为点P 到焦点及相应准线的距离，则r ed =．

1.对于椭圆22

221(0)x y a b a b

+=＞＞，1(,0)F c -、2(,0)F c 是它的两个焦点．设(,)P x y 是

椭圆上的任一点，则有11r PF a ex ==+，22r PF a ex ==-．

?解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标（对

22

221y x a b

+=是纵坐标）的一次函数． ?（扩充）：焦半径公式的另一种形式(22221(0)x y a b a b +=＞＞)为211cos b r PF a c θ

==-(θ

是以1F x 为始边，1F P 为终边的角，不是1F P 的倾斜角)．

2.对于双曲线22

221x y a b

-=（0a b ＞0，＞），1(,

0)F c -、2(,0)F c 是它的两个焦点．设

(,)P x y 是双曲线上的任一点，若点P 在双曲线的右支上，则有11r PF ex a ==+，

22r PF ex a ==-；若点P 在双曲线的左支上，则有11r PF ex a ==--，22r PF ex a ==-+．

?（扩充）：焦半径公式的另一种形式(22

221x y a b

-=（0a b ＞0，＞）)为

2

22cos b r PF a c θ

==-(θ是以2F x 为始边，2F P 为终边的角，不是2F P 的倾斜角)．

?注意：当

20cos b a c θ-＞时，点P 在右支上，当2

0cos b a c θ

-＜时，点P 在左支上． 3.对于抛物线2

2y px =（p ＞0），(,0

)2

p F 是它的焦点，设(,)P x y 是抛物线上的任

一点，则2p r PF x ==+．设xFP θ∠=，则1cos p r θ

=-． 四．共轭直径

二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另一直径平行

的弦，则称此两直径为共轭直径．2

'

2b kk a

=-

1.设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=＞＞，互为共轭直径的斜率关系为2'

2b kk a =-；

2.设双曲线的方程为22

221x y a b -=（0a b ＞0，＞），互为共轭直径的斜率关系为

2

'

2b kk a

=；

3.设抛物线的方程为2

2y px =（p ＞0），一组斜率为k 的平行弦的中点轨迹为射线

(0)p

y x k

=

＞． 五．过焦点的弦

1.设椭圆的方程为22

221(0)x y a b a b

+=＞＞，过1(,0)F c -的弦长为122()a e x x ++，过

2(,0)F c 的弦长为122()a e x x -+．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数．

?（扩充）：焦点弦长的另一种形式为2

222

2cos ab I a c θ

=-．(θ是以1F x 为始边，1F P 为终边的角，不是1F P 的倾斜角)．

2.设双曲线的方程为22

221x y a b

-=（0a b ＞0，＞），过1(,0)F c -的弦长为

122()a e x x ++，过2(,0)F c 的弦长为122()a e x x -+．

?（扩充）：焦点弦长的另一种形式为2

222

2cos ab I a c θ

=-(θ是以2F x 为始边，2F P 为终边的角，不是2F P 的倾斜角)．

3.设抛物线的方程为2

2y px =（p ＞0），(,0

)2

p F ，设xFP

θ∠，则焦点弦长为2

2sin p

I θ

=

．

六．双曲线的渐近线

1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线l ，使得P 与此直线的距离无限趋向

于零，则这条直线称为曲线C 的一条渐近线．双曲线22

221x y a b -=的渐近线方程为

22

22

0x y a b -=，即

b y x a =±． 2.共轭双曲线的方程为22221x y a b -=±，共渐近线的双曲线系方程：22

22x y a b

λ-=．

互为共轭的两条双曲线有以下性质：

①0λ＞时得焦点在x 轴上的双曲线；0λ＜时得焦点在y 轴上的双曲线；=0λ时即是双曲线的渐近线；

②两共轭的双曲线的离心率12e e 、满足2

212

11

1e e =+； ③它们的四个焦点在同一个圆上．

【典例精讲】

例1．（2011“卓越联盟”）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 上，ABC ?三个顶点都在抛物线上，且ABC ?的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ）

（A ）2

16y x = （B ）2

8y x = （C ）216y x =- （D ）2

8y x =- ?分析与解答：如图，可令方程为2

2(0)y px p =>。

设222312123,,,,,222y y y A y B y C y p p p ?????? ? ? ???????。

222,20244200y px y y p x y ?=-?

?=??

?+-=?

?。

所以224402,2200y p py y py p =-+-=，

2323,102

p

y y y y p +=-

=-，依题意， 2223121233

,22220

y y y p p p p y y y ?+

+=???++=?

所以 2

3231232

222

123,2

10,0,3p y y y y p y y y y y y p ?

+=-???

=-??++=?++=??

由①、③12p y ?=

，代入④中，22

223114

y y p +=

。 另一方面，由①、②2

2

2

23204

p y y p ?+=+。 所以

22

11120,844

p p p p =+=（0p =舍去）。 所以抛物线方程为2

16y x =。

例2．（2003同济）已知抛物线2

2y px =。

（1）过焦点的直线斜率为k ，交抛物线于A B 、，求||AB ；

（2）是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内？若存在，求这样的k 满足的方程。

?分析与解答：

（1）

AB 直线方程是2p y k x ?

?

=- ???

，设1122

(,),(,)Ax y Bx y 。依抛物线定义知1||2

p

AB x =+

2122

p

x x x p ++

=++。 又2222

222,

1(2)04()

2

y px k x p k p x k p p y k x ?=??-++=?=-??，

①

② ③ ④

由韦达定理知， 2122

2p k p

x x k ++=，

故 2221||22(1)p AB p p k k

=

+=+。 （2）先设0k >，如图13-11，令33(,)C x y ，则23231

()y y x x k

-=-

-。又22

3223,22y y x x p p

==

，故 223223231222y y y y y y pk k p p ??-=--?+=- ???

，即322y pk y =--。

又||||AB BC =，且

23|||BC y y ===-。

所

以

2

2121p k

k ?

?+=-=---=+ ???

，

即222221|k p y pk y pk y pk k +?=+?+==-± 另

一

方

面

，

将

2

y p

x k =

+代入

22

y p x

=中，有

222210p y y p y p k k

?-

-=?=- ?（这里利用求根公式取“-”号根）。②

由①②知1pk p k ?-=- ?，化简得4

210k k ±-=。 同理，0k <时，求得方程为4

210k k ±-=。

综上，这样的k 满足方程4

210k k ±-=。

注：①笔者对原题作了简单改动，原问题所问的是“正方形ABCD 有什么特点。”

②此问题有相当难度，尤其是对代数功夫要求较高。

图13-11

例3．（2011“华约”）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，12,F F 是左、右焦点，P 是右支上

的任一点，且123

F PF π

∠=，12

2F PF S ?=。

（1）求离心率e ；

（2）若A 为双曲线左顶点，Q 为右支上任一点，且22QAF QF A λ∠=∠恒成立？ ?分析与解答：

（1）在12PF F ?中，由余弦定理，2

2

121212||||||2||||cos

3

F F PF PF PF PF π

=+-??，

22222

121212(2)(||||)2||||1cos ||||4443c PF PF PF PF PF PF c a b π?

?=-+??-??=-= ??

?。12PF F S ?=

221211||||sin 4232PF PF b π??=?=。所以223,2b a c a

==。所以2c e a ==，双曲线方程：22

2213x y a a

-=。

（2）先设2QF x ⊥轴。此时(2,3)Q a a ，2QAF ?为等腰Rt ?，221

2

QAF QF A ∠=

∠。

下证1

2

λ=

。令(sec tan )Q a ??。2tan QF A ∠==

，2tan QAF ∠=

tan sec sec 1

a ??

?α?=

++

，22

tan 21QAF ∠==

=-??

2tan QF A ===∠。所以存在常数1

2λ=

，使 221

2

QAF QF A ∠=∠恒成立。

?注：设P 是双曲线22221x y a b -=（或椭圆22

221x y a b

+=）上一点，12F PF θ∠=（12,F

F 分别是左、右焦点），则122

2cot

(tan )22

PF F S b b θ

θ

?=。

例4．（2007武大）如图，过抛物线2

:8C y x = 上一点(2,4)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物 线交于A B 、两点。

（1）求直线AB 的斜率；

（2）如果A B 、两点均在2

8y x =(0)y ≤上，求PAB ? 面积的最大值。

?分析与解答：（1）不妨设221212,,,88y y A y B y ????

? ?????

，则

1122

11148(4)816428

PA y y k y y y --=

==-+-。同理，28

4PB k y =+。 依

题

意

，

121288

844

PA PB k k y y y y =-?

=-?+=-++。于是

2122

212188

1888

AB y y k y y y y -=

===-+-- （2）AB 的直线方程为：2118y y y x ??

-=-- ???

，即21108y x y y +--=。P 到AB

的距离

d =

212121|||()()|8y AB y y y y =-=+-。由（1）知218y y +=-，

故

21|||AB y y =-

1118|4|y y y =---=+。

所以

11

4|2PAB

S y ?=+ 21111

|848||4|8y y y =

?+-?+ 2

111|(4)[(4)64]|8

y y =?++-。

又由128y y +=-，且12,0y y ≤，知1[8,0]y ∈-。令14y t +=，则[4,4]t ∈-，所以

PAB S ?=

2311

(64)|64|88

t t t t -=-。 注意到3

()|64|f t t t =-是一个偶函数，故只考虑[0,4]t ∈的情况。此时记

33()|64|64g t t t t t =-=-，对()g t 求导，2'()6430g t t =->，[0,4]t ∈，故()g t 在[0,4]

上是严格单调递增的函数，从而3max ()6444192g t =?-=，即m a x 1()192248

PAB S ?=?=。

例5．（2011“北约”）已知12,C C 是平面上两定圆，另有一动圆C 与12,C C 均相切，问圆心C 的轨迹是何种曲线？说明理由。

?分析与解答：设12,C C 半径分别为12,r r ，由圆锥曲线定义，可得下列结论：

12r r =时，

①1C 与2C 相离：圆心C 的轨迹是直线（12C C 的中垂线）及双曲线（与12,C C 一个内切，另一个外切）；

②1C 与2C 相交：圆心C 的轨迹是直线（去掉12,C C 两个点）（与12,C C 都外切或都内切）及椭圆（与12,C C 一个内切一个外切）；

③1C 与2C 相外切：圆心C 的轨迹是直线去掉切点（包括C 与1C ，2C 都外切或都内切或一个外切，另一个内切）

12r r ≠时，

①1C 与2C 外离：圆心C 的轨迹是双曲线（C 与12,C C 都外切或与12,C C 中一个内切一个外切）；

②1C 与2C 相交：圆心C 的轨迹是双曲线（C 与12,C C 都内切或都外切）及椭圆去掉12,C C 两个点（C 与12,C C 一个内切，一个外切）；

③1C 与2C 外切：圆心C 的轨迹是双曲线（C 与12,C C 都外切）及直线去掉切点（C 与12,C C 一个内切，一个外切）；

④1C 与2C 内切：圆心C 的轨迹是直线去掉切点及1C 与2C （C 与12,C C 都外切或都内切）及椭圆去掉切点（C 与12,C C 一个内切一个外切）；

⑤1C 与2C 内含：圆心C 的轨迹是椭圆（12,C C 不是同心圆，C 与12,C C 一个内切，一个外切）及圆（12,C C 是同心圆，C 与12,C C 一个内切一个外切）。

例6.（2011年上海理）已知道平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 的最小

值成为点P 到线段l 的距离，记作d P l （，）。

（1）、求点1,1P （）到线段l ：30(35)x y x --=≤≤的距离d P l （，）；

（2）、设l 是长为2的线段，求点的集合{}

D P d P l =≤（，）1所表示的图形面积；

（3）、写出到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合{}

12=P d

P l d P l Ω=（，）（，），其中12l AB l CD ==，；A ，B ，C ，D 是下列三组中的一组。

对于下列三中情形，只需选做一种，满分分别为①2分，②6分，③8分；若选择了多

于一种情形，则按照序号较小的解答记分。 ①(1,3)(1,0)(-1,3)(-1,0)A B C D ，，， ②(1,3)(1,0)(-1,3)(-1,-2)A B C D ，，， ③(0,1)(0,0)(0,0)(2,0)A B C D ，，， ?分析与解答：

（1）、如图1所示，由图可知，显然在线段的端点3,0（）处取得最小值，故最小距离为：

(,)d p l =

=（2）、如图2所示，D 是边长为2的正方形和半径为1的两个半圆构成的区域，故面积为：

=22+=4+S ππ?

（图1） （图2） （3）、①如图3所示，由图可知，该集合就是整个y 轴，即：(){},0x y x =；

②如图4所示，由分类讨论得出，由三段组成： 第一段是y 轴上，所有满足0y ≥的点，即：

(){},0,0x y x y =≥；

第二段是抛物线，原因是到顶点的距离等于到定直线的距离，该抛物线为：

2

1(0,01)4

x y y x =

≤≤≤ 第三段是直线，该直线为：1(1)y x x =--≥

（图3） （图4）

③如图5所示，由四部分组成。由四条直线0,2,0,1x x y y ====将坐标平面分成9个区域，对这9个区域依次讨论满足条件的点集：

第Ⅰ区：到两直线距离相等的点是角平分线，即：

(){},(01)x y y x x =≤≤；

第Ⅱ区：到定点D 的距离等于到定直线y 轴的距离，是抛物线，但该抛物线不在第 Ⅱ区，故第Ⅱ区域没有满足条件的点；

第Ⅲ区：到两个定点的距离相等，是AD 中垂线，即：()3

,2-(2)2

x y y x x ??=≥???

?

；

第Ⅳ区：到定点A 与到定直线x 轴的距离相等，是抛物线，即：

()211,(12)22x y y x x ??=+≤≤????

；

第Ⅴ区：、到两个定点A 、D 的距离相等，应该是线段AD 的中垂线，但该线不经过

第Ⅴ区，故在第Ⅴ区没有满足条件的点；

第Ⅵ区：到定直线y 轴的距离等于到定点O 的距离，y 轴经过点O ，故满足条件的

点只有x 轴的非正半轴，即：

(){},0,0x y x y ≤=；

第Ⅶ区：到同一个点O 的距离相等，是整个第三象限的点，即：(){

}

,x y x ＜0,y ＜0； 第Ⅷ区：到定直线x 轴，与到定点O 的距离相等，x 轴经过O 点，故满足条件的点为y 轴的非正半轴，即：

(){},0,0x y y x ≤=；

第Ⅸ区：到定点O 、D 的距离相等的点，为线段OD 的中垂线，但该线不经过 第Ⅸ区，故在第Ⅸ区没有满足条件的点。

(图5）

?点评：此题是典型的探究性问题，对学生的综合能力要求很高。题目中自定义了到线段的距离。第一问典型的最值问题，画出图像即可解决；第二问、第三问主要考察轨迹问题，解决这两问的关键在于充分理解圆锥曲线的定义。在能力方面要求考生具有较高的数形结合和分类讨论等相关能力，综合性很强。其他题目赏析：

【方法总结】

【真题训练】

1.（2011复旦）极坐标表示的下列曲线中不是圆的是（ ）

（A ）22(cos )5ρρθθ+= （B ）2

6cos 4sin 0ρρθρθ--= （C ）2

cos 1ρρθ-=

（D ）2cos22(cos sin )1ρθρθθ++=

2.（2009华南理工）已知圆O ：222x y r +=，点(,)(0)P a b ab ≠是圆O 内一点。过点P 的圆O 的最短的弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2bx ay r -=，那么（ ）。

（A ）12//l l ，且2l 与圆O 相交 （B ）12l l ⊥，且2l 与圆O 相切 （C ）12//l l ，且2l 与圆O 相离 （D ）12l l ⊥，且2l 与圆O 相离

3.（2010复旦）已知常数12,k k 满足12120,1k k k k <<=。设1C 和2C 分别是以

1(1)1y k x =±-+和2(1)1y k x =±-+为渐近线且通过原点的双曲线，则1C 和2C 的离心率

之比

1

2

e e 等于（ ）。 （A

）（B

（C ）1 （D ）1

2

k k

4.（2011复旦）设有直线族和椭圆族分别为,(,x t y mt b m b ==+为实数，t 为参数）和

2

22

(1)1x y a

-+=（a 是非零实数），若对于所有的m ，直线都与椭圆相交，则,a b 应满足（ ）。

（A ）2

2

(1)1a b -≥ （B ）2

2

(1)1a b -> （C ）2

2

(1)1a b -< （D ）2

2

(1)1a b -≤

5.（2010同济）若圆22

44100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线l ：

0ax by +=

的距离为l 的斜率的取值范围是 。

6.（2006武大）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的半焦距为c ，直线2y x =与椭圆的一个交点

的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率是 。

7.（2011中南财大）如图，已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点到长轴的两个

端点距离分别为2+2，直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于

E F 、两点。

（1）求此椭圆的方程。

（2）若6ED DF =，求k 的值。 （3）求四边形AEBF 面积的最大值。

8.（2011“卓越联盟”）已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =相切。

（1）求椭圆的方程

（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。

9.（2001复旦）已知椭圆

2

2()12x a y -+=与抛物线212y x =在第一象限内有两个公共点A B 、，线段AB 的中点M 在抛物线21

(1)4

y x =

+上，求a 。

10.（2004同济）设有抛物线2

2(0)y px p =>，点B 是抛物线的焦点，点C 在正x 轴上，动点A 在抛物线上，试问：点C 在什么范围内时，BAC ∠恒是锐角？

【参考答案】1.【答案】D

【分析与解答】：利用极坐标与平面直角坐标转换公式

cos,

sin

x

y

ρθ

ρθ

=

?

?

=

?

选项A、B、C

分别为：222222

25,640,1

x y x x y x y x y x

+++=+--=+-=，它们都表示圆；选项D，2cos22(cos sin)1

ρθρθθ

++=，22221

x y x y

-++=，表示双曲线。

2.【答案】：D

【分析与解答】：由于最短的弦

1

l与OP垂直，所以

1

l的直线方程为：220

ax by a b

+--=。

故

1

l与

2

l互相垂直。因为圆心O到

2

l

22

=。因为222

a b r

+<，

r

<，所以

2

d r

=>。所以

2

l与圆相离。

3.【答案】C

【分析与解答】：由条件可设

1

C的方程是

22

222

1

(1)(1)

1

x y

a k a

??

--

±-=

?

??

，

2

C的方程是

22

222

2

(1)(1)

1

x y

b k b

??

--

±-=

?

??

。又

12

,

C C过原点，故

222

1

222

2

11

1

11

1

a k a

b k b

???

±-=

? ?

???

?

??

?±-=

?

?

??

?

由1212

0,1

k k k k

<<=，知

12

01

k k

<<<，故

222222

12

1111

,

a k a

b k b

<>，从而

1

C前应带负号，2

C带正号，且

22

22

12

22

12

11

,

k k

a b

k k

--

==，

所

以1211

11

1e e k

+=

，得1

2

1e e =。

4.【答案】B

【分析与解答】：注意到直线y mx b =+横过定点(0,)b ，对所有m R ∈，直线与椭圆相交，

则当且仅当(0,)b 在椭圆内部。所以222

(01)1b a

-+<，即22

(1)1a b ->，故选B 。 5.

【答案】[2

【分析与解答】：圆：22(2)(2)18x y -+-=

，半径为l 平行的平行线，这两条平行线与直线l

的距离都是，欲使圆上至少有三个不同点到直线l

的距离都是，则这两条平行线与圆都有交点。设直线l 的斜率为k ，直线l:y kx =，则问题等价于圆心(2,到直线

l

的距

离≤

。所

以

[23]

k

≤?∈-+。

6.

1

【分析与解答】：由2222222222,

(4)1

y x a b x a b x y a

b =???+=?+=??。

依题意，22222

(4)a b c a b +=? 222222

(4)()a b a b a b +-=

，

422

440,2b b b a a a ??????

+-==-+ ? ? ???????

，

微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)

微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________．

1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围．

高考中解析几何的常考题型分析总结

高考中解析几何的常考题型分析 一、高考定位 回顾2008,2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25 分左右，在高考中一般有2,3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题. 二、应对策略 复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力. 三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识. 预测在2013年的高考题中: 1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及. 2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还 有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题. 三、常见题型

1.直线与圆的位置关系问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力. 求解策略:首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位. 点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理. (2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨. 2.圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的一些证明方法: 点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲

高校自主招生考试数学真题分类解析之7解析几何

专题之7、解析几何 一、选择题。 1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是 2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x?2y+2=0,x?2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是 A.只有唯一值 B.可取二个不同 值 C.可取三个不同 值 D.可取无穷多个 值 3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足 0

7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足**(1?b2)≥1 **(1?b2)>1 **(1?b2)<1**(1?b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5 B.ρ2?6ρcos θ?4ρsin θ=0 C.ρ2?ρcos θ=1 D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=1 9. 10.(2012年复旦大学) B.抛物线或双曲 C.双曲线或椭圆 D.抛物线或椭圆 A.圆或直线 线 11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y?20=0,则抛物线方程为 **=16x **=8x **=?16x**=?8x ** ** ** ** 13．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为 14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x?4)2+(y?1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章(同名3095)

第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?

高考中解析几何命题特点分析

2019年高考中解析几何命题特点分析 （1）题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。 （2）整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ①求曲线方程（类型确定、类型未定）； ②直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）； ③与曲线有关的最（极）值问题； ④与曲线有关的几何证明（对称性或求对称曲线、平行、垂直）； ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，

教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。（3）能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 （4）题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系（如向量、函数、方程、不等式等），凸现教材中研

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-

解析几何最值问题

解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X

问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以

2013年名牌高校自主招生及高中数学联赛辅导专题讲座

巧解平面解析几何题 一、代点法 代点法的三大优点：1.应用广泛；2.计算量小；3.易于掌握。 凡是涉及圆锥曲线（包括退化圆锥曲线）的弦的中点的题，都可用代点法解，其他某些题也可用代点法解。 1.什么是代点法 通过下例说明代点法是一种什么样的解题方法。 例1-1求椭圆222222b a y a x b =+中斜率是m 的平行弦的中点的轨迹。 2.圆锥曲线的弦的斜率为定值求这弦的中点轨迹 例1-2求曲线021*********=+?+?y x y xy x 的斜率为2的平行弦的中点轨迹。 例1-3已知两条直线012:1=+?y x l 与012:2=++y x l ，斜率为2的 直线l 与1l 交于点A ，又与2l 交于点B ，求线段AB 的中点,(y x P 的轨 迹。 3.圆锥曲线的弦所在直线经过一个定点求这弦的中点轨迹 例1-4试证明经过椭圆的一个焦点的动弦的中点的轨迹还是椭圆。 例1-5给定双曲线,122 2 =?y x 过点)1,2(A 的直线l 与双曲线交于两点C B 、,求线段BC 的中点P 的轨迹方程。 练习题一 用代点法解下列题目： 1-1经过点)0,5(M 的动直线与椭圆369422=+y x 交于B A 、两点，求

线段AB 的中点轨迹。 1-2求抛物线x y 42=中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程。1-3由圆222R y x =+外一点),(b a Q 作圆的割线交圆于B A 与两点，求线段AB 的中点的轨迹。 1-4斜率为2的直线与双曲线1=xy 相交于B A 与两点，求线段AB 的中点的轨迹方程。 1-5求与两平行的直线0346:,0623:21=?+=?+y x l y x l 距离相等的 点的轨迹。 4.圆锥曲线的弦为定长求这弦的中点轨迹 例1-6长度为定值l 的线段AB 的两个端点B A 、在抛物线2x y =上移动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程。 例1-7射线OA 的方程是x y 3=，射线OB 的方程是x y 3?=。长为34的动线段MN 的端点M 在OA 上移动，端点N 在OB 上移动。求证线段MN 的中点),(y x P 在一椭圆的一段弧上。 5.已知圆锥曲线的弦的中点求这弦所在直线的方程 例1-8点)2,2(P 是椭圆06122422=+??+y x y x 的弦AB 的中点，求此弦所在的直线方程。 例1-9已知双曲线22a xy =的弦AB 的中点是)3,2(a a P ，求弦AB 所在的直线方程。 练习题二 2-1过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 的弦AB 被这点平分，求过这弦

《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A

解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分）

4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x

2015-2017年武汉大学自主招生真题简介

武汉大学2017年自主招生 武汉大学进行了2017年自主招生以面试为主，部分专业有笔试。主要是考核学生在报考专业领域展现出的学科能力和创新思维潜质。文学院面试不设考题，3位考官向学生随机发问。考生拿到题后有几分钟思考时间，然后面对3位考官进行陈述。考官可能对考生的某个观点提出疑问。 部分笔试真题 武大历史专业笔试题目选材于历史理论著作《文史通义》。考生需根据文字进行断句，并作出解析，写明自己的观点。 考生表示理科笔试题难于高考题，但易于奥赛题，生物部分专业知识多为大学内容。 生物：涉及植物生活史、超级细菌、植物传粉等 物理：光、声、磁场等知识 数学：5道简答题，分别考察概率、向量及三角函数、解析几何、数列求和、多项式系数等知识点。 历史：选材于历史理论著作《文史通义》。根据文字进行断句，并作出解析，写明自己的观点。考题以繁体字形式呈现。 数学与统计学院笔试共有5道简答题，分别考察概率、向量及三角函数、解析几何、求和、多项式系数等方面的知识点。 部分面试真题

1、“怼”这个字近来在网络上流行，你是如何看待这个生僻字在网上流行的？（马克思学院） 2、文化遗民是入乡随俗还是文化独立（哲学院） 3、人工智能对社会发展的影响（马克思主义哲学） 4、西江月、永遇乐、卜算子等几个词牌名中，哪一个对应的字数最多？（国学院） 5、古代平民为什么没有姓和氏？ 6、成吉思汗为什么要西征？（文学院） 7、令你印象最深刻的一节语文课是什么？（文学院） 8、解释"喜大普奔" 9、何为"电脑寡妇" 10、解释"人艰不拆"等网络热词 11、对人工智能创作文学作品的看法 12、你看过《欢乐颂》吗？谈谈你对曲筱绡和关雎尔的看法（马克思主义学院） 13、你当班长多年，能分别谈一谈如何解决男男同学之间的矛盾、男女同学之间的矛盾以及女女同学之间的矛盾吗？（马克思主义学院） 14、有人说没有真实的历史，历史都是杜撰出来的，你怎么看？（历史与文化学院） 15、你喜欢生活在哪个朝代，为什么？（历史与文化学院）

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角， 且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，???==???==0 001221B A B A 或，

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

解析几何中的最值问题.

解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?=

可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义：解析几何(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-