(完整)高斯扩散模型

大气污染扩散

第一节大气结构与气象

有效地防止大气污染的途径，除了采用除尘及废气净化装置等各种工程技术手段外，还需充分利用大气的湍流混合作用对污染物的扩散稀释能力，即大气的自净能力。污染物从污染源排放到大气中的扩散过程及其危害程度，主要决定于气象因素，此外还与污染物的特征和排放特性，以及排放区的地形地貌状况有关。下面简要介绍大气结构以及气象条件的一些基本概念。

一、大气的结构

气象学中的大气是指地球引力作用下包围地球的空气层，其最外层的界限难以确定。通常把自地面至1200 km左右范围内的空气层称做大气圈或大气层，而空气总质量的98．2％集中在距离地球表面30 km以下。超过1200 km的范围，由于空气极其稀薄，一般视为宇宙空间。

自然状态的大气由多种气体的混合物、水蒸气和悬浮微粒组成。其中，纯净干空气中的氧气、氮气和氩气三种主要成分的总和占空气体积的99.97％，它们之间的比例从地面直到90km高空基本不变，为大气的恒定的组分；二氧化碳由于燃料燃烧和动物的呼吸，陆地的含量比海上多，臭氧主要集中在55～60km高空，水蒸气含量在4％以下，在极地或沙漠区的体积分数接近于零，这些为大气的可变的组分；而来源于人类社会生产和火山爆发、森林火灾、海啸、地震等暂时性的灾害排放的煤烟、粉尘、氯化氢、硫化氢、硫氧化物、氮氧化物、碳氧化物为大气的不定的组分。

大气的结构是指垂直（即竖直）方向上大气的

密度、温度及其组成的分布状况。根据大气温度在

垂直方向上的分布规律，可将大气划分为四层：对

流层、平流层、中间层和暖层，如图5－1所示。

1. 对流层

对流层是大气圈最靠近地面的一层，集中了大

气质量的75％和几乎全部的水蒸气、微尘杂质。受

太阳辐射与大气环流的影响，对流层中空气的湍流

运动和垂直方向混合比较强烈，主要的天气现象云

雨风雪等都发生在这一层，有可能形成污染物易于

扩散的气象条件，也可能生成对环境产生有危害的

逆温气象条件。因此，该层对大气污染物的扩散、输送和转化影响最大。

大气对流层的厚度不恒定，随地球纬度增高而降低，且与季节的变化有关，赤道附近约

为15km,中纬度地区约为10～12 km，两极地区约为8km；同一地区，夏季比冬季厚。一般情况下，对流层中的气温沿垂直高度自下而上递减，约每升高100m平均降低0．65℃。

从地面向上至1～1.5 km高度范围内的对流层称为大气边界层，该层空气流动受地表影响最大。由于气流受地面阻滞和摩擦作用的的影响，风速随高度的增加而增大，因此又称为摩擦层。地表面冷热的变化使气温在昼夜之间有明显的差异，可相差十几乃至几十度。由于从地面到lOOm左右的近地层在垂直方向上热量和动量的交换甚微，所以上下气温之差可达1～2℃。大气边界层对人类生产和生活的影响最大，污染物的迁移扩散和稀释转化也主要在这一层进行。

边界层以上的气流受地面摩擦作用的影响越来越小，可以忽略不计，因此称为自由大气。

2. 平流层

平流层是指从对流层顶到离地高度约55 km范围的大气层，该层和对流层包含了大气质量的99.9 ％。平流层内空气稀薄，比较干燥，几乎没有水汽和尘埃。平流层的温度分布是：从对流层顶到离地约22km的高度范围为同温层，气温几乎不随高度变化，约为－55℃。从22km继续向上进入臭氧带，在这里太阳的紫外辐射被吸收，转化为热能，导致气温随高度增加而上升，到达层顶时气温升高到－3℃左右。平流层内气温下低上高的分布规律，使得该层空气的竖直对流混合微弱，大气基本处于平流运动。因此，该层大气的透明度较好，气流稳定，很少出现云雨及风暴等天气现象。

平流层中的臭氧层是80～100km处的氧分子在太阳紫外辐射作用下光解为氧原子，再与其它氧分子化合成臭氧而形成的，其化合作用主要在30～60km处。从对流层顶向上，臭氧浓度逐渐增大，在22～25km处达最大值，往后逐渐减小，到平流层顶臭氧含量极其微小。因为40km以上，在光化作用下，由氧化合为臭氧和由臭氧光解成氧的过程几乎保持平衡状态。在某种环流作用下，臭氧被送到很少光解的高度以下积聚，集中在15～35km高度之间。通常将22～25km处称为臭氧层。

3. 中间层

中间层是指从平流层顶到高度80km左右范围内的大气层，其空气质量仅占大气质量的10－3。该层内温度随高度的增加而下降，层顶的温度可降到－93℃左右。因此，空气的对流运动强烈，垂直方向混合明显。

4. 暖层

暖层为中层顶延伸到800km高空的大气层，该层的空气质量只有大气质量的10－5。暖层在强烈的太阳紫外线和宇宙射线作用下，其气温随高度上升而迅速增高，暖层顶部温度可高达500～2000K，且昼夜温度变化很大。暖层的空气处于高度电离状态，因此存在着大量的离子和电子，故又称为电离层。

二、气象要素

气象条件是影响大气中污染物扩散的主要因素。历史上发生过的重大空气污染危害事件，都是在不利于污染物扩散的气象条件下发生的。为了掌握污染物的扩散规律，以便采取有效

措施防治大气污染的形成，必须了解气象条件对大气扩散的影响，以及局部气象因素与地形地貌状况之间的关系。

在气象学中，气象要素是指用于描述的物理状态与现象的物理量，包括气压、气温、气湿、云、风、能见度以及太阳辐射等。这些要素都能从观测直接获得，并随着时间经常变化，彼此之间相互制约。不同的气象要素组合呈现不同的气象特征，因此对污染物在大气中的输送扩散产生不同的影响。其中风和大气不规则的湍流运动是直接影响大气污染物扩散的气象特征，而气温的垂直分布又制约着风场与湍流结构。下面介绍主要的气象要素：

1. 气压

气压是指大气的压强，即单位面积上所承受的大气柱的重力。气压的单位为Pa ，气象学中常用毫巴(mbar)或百帕（hPa ）表示。定义温度为273K 时，位于纬度45o

平均海平面上的气压值为1013.25hPa ，称为标准大气压。对于任一地区，气压的变化总是随着高度的增加而降低。空气在静止状态下，可以用下式表示: dp gdZ ρ=- (5－1)

式中 p —气压，Pa ；

Z —大气的竖直高度，m ；

ρ—大气密度，kg/m 3

。

2. 气温

气温是指离地面1.5 m 高处的百叶箱内测量到的大气温度。气温的单位一般为℃，理论计算中则用绝对温度K 表示。

3. 气湿

气湿即为大气的湿度，用以表示空气中的水蒸气含量，气象学中常用绝对湿度、水蒸气分压、露点、相对湿度和比湿等量来表示。

绝对湿度就是单位体积湿空气中所含水蒸气质量，单位为g/m 3，其数值为湿空气中水蒸气的密度，表明了湿空气中实际的水蒸气含量。水蒸气分压是指湿空气温度下水蒸气的压力，它随空气的湿度增加而增大。当空气温度不变时，空气中的水蒸气含量达到最大值时的分压力称为饱和水蒸气压，此时的空气称为饱和空气，温度即称为露点。饱和水蒸气压随温度降低而下降，若降低饱和空气的温度，则空气中的一部分水蒸气将凝结下来，即结露。相对湿度是湿空气中实际的水蒸气含量与同温下最大可能含有的水蒸气含量的比值，也即实际的水蒸气分压与饱和水蒸气压之比，表明了湿空气吸收水蒸气的能力及其潮湿程度。相对湿度愈小，空气愈干燥，反之则表示空气潮湿。比湿是指单位质量干空气含有的水蒸气质量，单位是g/kg 。

4. 云

云是指漂浮在大气中的微小水滴或冰晶构成的汇集物质。云吸收或反射太阳的辐射，反映了气象要素的变化和大气运动的状况，其形成、数量、分布及演变也预示着天气的变化趋势，可用云量和云高来描述。

云遮蔽天空的份额称为云量。我国规定将视野内的天空分为10等分，云遮蔽的成数即为云量。例如：云密布的阴天时的云量为10；云遮蔽天空3成时云量为3；当碧空无云的晴天时，云量则为0。而国外是把天空分为8等分来，仍按云遮蔽的成数来计算云量。

云底距地面的高度称为云高。按云高的不同范围分为：云底高度在2500m 以下称为低云；云底高度在2500～5000m 之间称为中云；而云底高度大于5000m 之上称为高云。

5. 能见度

能见度是指正常视力的人在当时的天气条件下，从水平方向中能够看到或辨认出目标物的最大距离，单位是m 或km 。能见度的大小反映了大气混浊或透明的程度，一般分为十个级别，0级的白日视程为最小，50m 以下，9级的白日视程为最大，大于50km 。

6. 风

风是指空气在水平方向的运动。风的运动规律可用风向和风速描述。风向是指风的来向，通常可用16个或8个方位表示，如西北风指风从西北方来。此外也可用角度表示，以北风为0o ，8个方位中相邻两方位的夹角为45o

，正北与风向的反方向的顺时针方向夹角称为风向角，如东南风的风向角为135o 。

风速是指空气在单位时间内水平运动的距离。气象预报的风向和风速指的是距地面10m 高处在一定时间内观测到的平均风速。

在自由大气中，风受地面摩擦力的影响很小，一般可以忽略不计，风的运动处于水平的匀速运动。但在大气边界层中，空气运动受到地面摩擦力的影响，使风速随高度升高而增大。在离地面几米以上的大气层中，平均风速与高度之间关系一般可以利用迪肯(Deacon)的幂定律描述： 11(/)n

u u z z （5－2）

式中 u 及u 1—在高度Z 及已知高度Z 1处的平均风速，m/s ；

n —与大气稳定度有关的指数。在中性层结条件下，且地形开阔平坦只有少量地表覆盖

物时，n ＝1/7。

空气的大规模运动形成风。地球两极和赤道之间大气的温差，陆地与海洋之间的温差以及陆地上局部地貌不同之间的温差，从而对空气产生的热力作用，形成各种类型风，如海陆风、季风、山谷风、峡谷风等。

当气压基本不变时，日出后由于地面吸收太阳的辐射，由底部气层开始的热涡流上升运动逐渐增强，使大气上下混合强度增大，因此下层风速渐大，一般在午后达到最大值；而夜间在地面的冷却作用下，湍流活动减弱直至停止，使下层风速减小，乃至静止。反之，高层大气的白天风速最小，夜间风速最大。

海陆风出现在沿海地区，是由于海陆接壤区域的地理差异产生的热力效应，形成以一天为周期而变化的大气局部环流。在吸收相同热量的条件下，由于陆地的热容量小于海水，因此地表温度的升降变化比海水快。白天，阳光照射下的陆地温升比海洋快，近地层陆地上空的气温高于海面上空，空气密度小而上升，因此产生水平气压梯度，低层气压低于海上，于

是下层空气从海面上流向陆地，称为海风；而陆地高层空间的气压高于海上，气流由陆地流向海洋，从而在这一区域形成空气的闭合环流。夜间，陆地温降又比海洋快，近地气层的气温低于海面上的气温，形成了高于海面上的气压，于

是下层空气从陆地流向海上，称为陆风，并与高空的

逆向气流形成闭合环流。海陆风的流动示意图如图

5-2所示。

海陆风的影响区域有限。海风高约1000m ，一般

深入到陆地20～40km 处，最大风力为5～6级；陆风

高约100～300m ，延伸到海上8～lOkm 处，风力不过3级。在内陆的江河湖泊岸边，也会出现类似的环流，但强度和活动范围均较小。

季风也是由于陆地和海洋的地理差异产生的热力效应，形成以一年四季为周期而变化的大气环流，但影响的范围比海陆风大得多。夏季，大陆上空的气温高于海洋上空，形成低层空气从海洋流向大陆，而高层大气相反流动，于是构成了夏季的季风环流，类似于白天海风环流的循环。冬季，大陆上空的气温低于海洋上空，形成低层空气从大陆流向海洋，高层大气由海洋流向大陆的冬季的季风环流，类似于夜间陆风环流的循环。我国处于太平洋西岸和印度洋西侧，夏季大陆盛行东南风，西南地区吹西南风；冬季大陆盛行西北风，西南地区吹东北风。

山谷风是山区地理差异产生的热力作用而引起的另

外一种局地风，也是以一天为周期循环变化。白天，山

坡吸受较强的太阳辐射，气温增高，因空气密度小而上

升，形成空气从谷底沿山坡向上流动，称为谷风；同时

在高空产生由山坡指向山谷的水平气压梯度，从而产生

谷底上空的下降气流，形成空气的热力循环。夜间，山坡的冷却速度快，气温比同高度的谷底上空低，空气密度大，使得空气沿山坡向谷底流动，形成山风，同时构成与白天反向的热力环流。山谷风的流动示意图如图5－3所示。

峡谷风是由于气流从开阔地区进入流动截面积缩小的狭窄峡谷口时，因气流加速而形成的顺峡谷流动的强风。

三、大气温度的垂直分布

1. 气温直减率

实际大气的气温沿垂直高度的变化率称为气温垂直递减率，简称气温直减率，可用参数γ表示： T Z γ???

=- ???? （5－3）

式中，负号表示气温随高度而降低。

2. 大气的温度层结

气温随垂直高度的分布规律称为温度层结，因此坐标图上气温变化曲线也称为温度层结曲线。温度层结反映了沿高度的大气状况是否稳定，其直接影响空气的运动，以及污染物质的扩散过程和浓度分布。

图5－4所示为温度层结曲线的三种基本类型：

（1）递减层结。气温沿高度增加而降低，即γ>O，如曲线1

所示。递减层结属于正常分布，一般出现在晴朗的白天，风力较小

的天气。地面由于吸收太阳辐射温度升高，使近地空气也得以加热，

形成气温沿高度逐渐递减。此时上升空气团的降温速度比周围气温

慢，空气团处于加速上升运动，大气为不稳定状态。

（2）等温层结。气温沿高度增加不变，即γ＝O，如曲线2所示。等温层结多出现于阴天、多云或大风时，由于太阳的辐射被云层吸收和反射，地面吸热减少，此外晚上云层又向地面辐射热量，大风使得空气上下混合强烈，这些因素导致气温在垂直方向上变化不明显。此时上升空气团的降温速度比周围气温快，上升运动将减速并转而返回，大气趋于稳定状态。

（3）逆温层结。气温沿高度增加而升高，即γ

辐射逆温为大陆上常年可见的逆温类型，是由于地面的快速冷却而形成，通常出现于晴朗无云或少云、风速不大的夜间。夜晚地面向大气辐射白天吸收的热量而逐渐冷却，近地面的气温随之降低。离地愈近，气温冷却愈快，离地愈远的空气受地面影响愈弱，降温愈慢，形成自地面开始的辐射逆温。辐射逆温随着地面的冷却逐渐向上扩展，到日出前逆温充分发展。日出后，地面吸收太阳的辐射逐渐升温，逆温层又逐渐自下而上消失。到上午九点钟左右，逆温全部消失。辐射逆温的生消过程如图5－5所示。辐射逆温层的厚度通常在几十米到几百米之间，高纬度地区甚至厚达2～3km。冬季夜

长，逆温层较厚且消失较慢。夏季夜短，则逆温层

较薄，消失也快。此外，地形、云层、风等因素也

会影响辐射逆温的形成及强度。

下沉逆温是因高压区内某一层空气发生下沉运

动时，导致下层空气被压缩升温而形成；湍流逆温发生在绝热状态下的大气湍流运动时；平流逆温是暖空气水平流至冷地表地区上空所形成；锋面逆温为对流层中冷暖空气相遇时，由于暖空气密度小，爬到冷空气上面所致。这些类型的逆温一般不从地面开始，出现在离地面数十米至数千米的高空，也称为上层逆温。实际上，大气中出现逆温可能是由几种原因共同作用形成的。

出现逆温时，好像一个盖子阻碍它下面的污染物质扩散，对大气污染扩散影响极大，因此许多大气污染事件都发生在具有逆温层与静风的气象条件下。

3. 干绝热直减率

考察一团在大气中做垂直运动的干空气，如果干空气在运动中与周围空气不发生热量交

换，则称为绝热过程。当干气团垂直运动在递减层结时，气团的温度变化与气压变化相反。若气团的压力沿高度发生显著变化，则气温变化引起的气团内能变化与气压变化导致的气团做功相当，此时可忽略气团与周围大气的热交换，视为绝热过程。干气团绝热上升时，因周围气压减小而膨胀，消耗大部分内能对周围大气做膨胀功，则气团温度显著降低。干气团绝热下降时，因周围气压增大被压缩，外界的压缩功大部分转化为气团的内能增量，气团温度明显上升。

干气团在绝热垂直运动过程中，升降单位距离(通常取l00m)的温度变化值称为干空气温度的绝热垂直递减率，简称干绝热直减率γd ，即：

d T Z γ???

=- ???? （5－4）

干气团在垂直升降过程中服从热力学第一定律，即：

q u w =?+ （5－5）

气团可视为理想气体，并设气团的压力与周围大气的气压随时保持平衡，在绝热过程中有dq= 0，则式（5－5）可改写为： 0v dq c dT vdp =+= （5－6）

气团的物理状态可用理想气体状态方程来描述，即：

pv RT = (5－7)

pdv vdp RdT += （5－8）

由式（4－6）、及式（4-8）可得：

p vdp c dT = （5－9）

式中 c p —干空气比定压热容，c p ＝c v ＋R ＝1004 J/(kg ·K)。

将式（5－1）带入式（5－9），并近似地视气团的密度ρ与比体积v 互为倒数，得： 1/100d p dT g K m dZ c γ=-

=≈ （5－10）

上式可见，在干绝热过程中，气团每上升或下降100 m ，温度约降低或升高1K ，即γd 为固定值，而气温直减率γ则随时间和空间变化，这是两个不同的概念。

四、大气的稳定度

1. 大气稳定度

大气稳定度是指大气中的某一气团在垂直方向上的稳定程度。一团空气受到某种外力作用而产生上升或者下降运动，当运动到某—位置时消除外力，此后气团的运动可能出现三种

情况：①气团仍然继续加速向前运动，这时的大气称为不稳定大气；②气团不加速也不减速而作匀速运动，或趋向停留在外力去除时所处的位置，这时的大气称为中性大气；③气团逐渐减速并有返回原先高度的趋势，这时的大气称为稳定大气。

设某一气团在外力作用下上升了一段距离dz ，在新位置的状态参数为p i 、ρi 及T i ，它周围大气的状态参数为p 、ρ及T 。消除外力后，单位体积气团受到重力ρi g 和浮升力ρg 的共同作用，产生垂直方向的升力（ρ－ρi ）g ，其加速度为： i i a g ρρρ-= （5－11）

假定移动过程中气团的压力与周围大气的气压随时保持平衡，即p i ＝p ，则由状态方程可得ρi T i ＝ρT ，代入上式则得

i T T a g T -= （5－12）

上式可见，在新位置上，T i ＞T ，则a ＞0，即气团的温度大于周围大气温度时，气团仍然加速，表明大气是不稳定的；若T i ＜T ，则a ＜0，气团减速，表明大气稳定。因为气团的温度难以确定，实际上很难用上式判别大气稳定度。

假定在初始位置时，气团与周围空气的温度相等，均为T 0，其绝热上升dz 距离后，气团温度为T i ＝T 0－γd dz ，周围气温为T ＝T 0－γdz ，式(5－12)则变为：

d

a g dz T γγ-= （5－13）

由式（5－13）可分析大气的稳定性，在γ＞0的区域，

当γ＞γd 时，a ＞0,气团加速，大气为不稳定；当γ＝γd 时，

a ＝0，大气为中性；当γ＜γd 时，a ＜0,气团减速，大气为

弱稳定，而出现等温层结与逆温层结时，即γ≤0，则大气

处于强稳定状态，图5－6为大气稳定度分析图。分析可见，

干绝热直减率γd ＝1K/lOOm 可作为大气稳定性的判据，可

用当地实际气层的γ与其比较，以此判断大气的稳定度。

大气稳定度对污染物在大气中的扩散有很大影响。大

气越不稳定，污染物的扩散速率就越快；反之，则越慢。

2. 大气稳定度的分类

大气稳定度与天气现象、时空尺度及地理条件密切相关，其级别的准确划分非常困难。目前国内外对大气稳定度的分类方法已多达10余种，应用较广泛的有帕斯奎尔（Pasquill ）法和特纳尔(Turner)法。帕斯奎尔法用地面风速(距离地面高度10m)、白天的太阳辐射状况（分为强、中、弱、阴天等）或夜间云量的大小将稳定度分为A ～F 六个级别，如表5－1所示。

表5－1 大气稳定度等级

帕斯奎尔法虽然可以利用常规气象资料确定大气稳定度等级，简单易行，应用方便，但这种方法没有确切地描述太阳的辐射强度，云量的确定也不准确，较为粗略，为此特纳尔作了改进与补充。

特纳尔方法首先根据某地、某时及太阳倾角的太阳高度θh 和云量(全天空为10分制)，确定太阳辐射等级，再由太阳的辐射等级和距地面高度10m 的平均风速确定大气稳定度的级别。我国采用特纳尔方法，太阳高度角θh 可按下式计算：

()arcsin sin sin cos cos cos 15300h t θ?δ?δλ=++-???? （5－14） 式中 ?、λ—分别为当地地理纬度、经度，（?）；

t —观测时的北京时间，h ；

δ—太阳倾角（赤纬），（?），其概略值查阅表5－2。

表5－2 太阳倾角（赤纬）概略值

δ/（?）

我国提出的太阳辐射等级见表5－3，表中总云量和低云量由地方气象观测资料确定。大气稳定度等级见表5－4，表中地面平均风速指离地面10m 高度处10min 的平均风速。

表5－3 太阳辐射等级（中国）

表5－4 大气稳定度等级

第二节大气污染物的扩散

一、湍流与湍流扩散理论

1. 湍流

低层大气中的风向是不断地变化，上下左右出现摆动；同时，风速也是时强时弱，形成迅速的阵风起伏。风的这种强度与方向随时间不规则的变化形成的空气运动称为大气湍流。湍流运动是由无数结构紧密的流体微团——湍涡组成，其特征量的时间与空间分布都具有随机性，但它们的统计平均值仍然遵循一定的规律。大气湍流的流动特征尺度一般取离地面的高度，比流体在管道内流动时要大得多，湍涡的大小及其发展基本不受空间的限制，因此在较小的平均风速下就能有很高的雷诺数，从而达到湍流状态。所以近地层的大气始终处于湍流状态，尤其在大气边界层内，气流受下垫面影响，湍流运动更为剧烈。大气湍流造成流场各部分强烈混合，能使局部的污染气体或微粒迅速扩散。烟团在大气的湍流混合作用下，由湍涡不断把烟气推向周围空气中，同时又将周围的空气卷入烟团，从而形成烟气的快速扩散稀释过程。

烟气在大气中的扩散特征取决于是否存在

湍流以及湍涡的尺度(直径)，如图5－7所示。

图5－7（a）为无湍流时，烟团仅仅依靠分子

扩散使烟团长大，烟团的扩散速率非常缓慢，

其扩散速率比湍流扩散小5～6个数量级；图5

－7（b）为烟团在远小于其尺度的湍涡中扩散，

由于烟团边缘受到小湍涡的扰动，逐渐与周边

空气混合而缓慢膨胀，浓度逐渐降低，烟流几乎呈直线向下风运动；图5－7（c）为烟团在与其尺度接近的湍涡中扩散，在湍涡的切入卷出作用下烟团被迅速撕裂，大幅度变形，横截面快速膨胀，因而扩散较快，烟流呈小摆幅曲线向下风运动；图5－7（d）为烟团在远大于其尺度的湍涡中扩散，烟团受大湍涡的卷吸扰动影响较弱，其本身膨胀有限，烟团在大湍涡的夹带下作较大摆幅的蛇形曲线运动。实际上烟云的扩散过程通常不是仅由上述单一情况所完成，因为大气中同时并存的湍涡具有各种不同的尺度。

根据湍流的形成与发展趋势，大气湍流可分为机械湍流和热力湍流两种形式。机械湍流是因地面的摩擦力使风在垂直方向产生速度梯度，或者由于地面障碍物(如山丘、树木与建筑物等)导致风向与风速的突然改变而造成的。热力湍流主要是由于地表受热不均匀，或因大气温度层结不稳定，在垂直方向产生温度梯度而造成的。一般近地面的大气湍流总是机械湍流和热力湍流的共同作用，其发展、结构特征及强弱决定于风速的大小、地面障碍物形成的粗糙度和低层大气的温度层结状况。

2. 湍流扩散与正态分布的基本理论

气体污染物进入大气后，一面随大气整体飘移，同时由于湍流混合，使污染物从高浓度区向低浓度区扩散稀释，其扩散程度取决于大气湍流的强度。大气污染的形成及其危害程度在于有害物质的浓度及其持续时间，大气扩散理论就是用数理方法来模拟各种大气污染源在

一定条件下的扩散稀释过程，用数学模型计算和预报大气污染物浓度的时空变化规律。

研究物质在大气湍流场中的扩散理论主要有三种：梯度输送理论、相似理论和统计理论。针对不同的原理和研究对象，形成了不同形式的大气扩散数学模型。由于数学模型建立时作了一些假设，以及考虑气象条件和地形地貌对污染物在大气中扩散的影响而引入的经验系数，目前的各种数学模式都有较大的局限性，应用较多的是采用湍流统计理论体系的高斯扩散模式。

图5-8所示为采用统计学方法研究污染物在湍流大气中的扩散模型。假定从原点释放出一个粒子在稳定均匀的湍流大气中飘移扩散，平均风向与x 轴同向。湍流统计理论认为，由于存在湍流脉动作用，粒子在各方向（如图中y 方向）的脉动速度随时间而变化，因而粒子的运动轨迹也随之变化。若平均时间间隔足够长，则速度脉动值的代数和为零。如果从原点释放出许多粒子，经过一段时间T 之后，这些粒子的浓度趋于一个稳定的统计分布。湍流扩散理论（K 理论）和统计理论的分析均表明，粒子浓度沿y 轴符合正态分布。正态分布的密度函数f(y)的一般形式为： ()22()exp 22y f y μσπσ??--=?????? (),0x σ-∞<<+∞> （5－15）

式中σ为标准偏差，是曲线任一侧拐点位置的尺度；μ为任何实数。

图5－8中的f(y)曲线即为μ＝0时的高斯分

布密度曲线。它有两个性质，一是曲线关于y ＝

μ的轴对称；二是当y ＝μ时，有最大值

()1/2f μπσ=，即：这些粒子在y ＝μ轴上

的浓度最高。如果μ值固定而改变σ值，曲线形

状将变尖或变得平缓；如果σ值固定而改变μ值，

f(y)的图形沿0y 轴平移。不论曲线形状如何变化，曲线下的面积恒等于1。分析可见，标准偏差σ的变化影响扩散过程中污染物浓度的分布，增加σ值将使浓度分布函数趋于平缓并伸展扩大，这意味提高了污染物在y 方向的扩散速度。

高斯在大量的实测资料基础上，应用湍流统计理论得出了污染物在大气中的高斯扩散模式。虽然污染物浓度在实际大气扩散中不能严格符合正态分布的前提条件，但大量小尺度扩散试验证明，正态分布是一种可以接受的近似。

二、高斯扩散模式

（一）连续点源的扩散

连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。排放口安置在地面的称为地面点源，处于高空位置的称为高架点源。

1. 大空间点源扩散

高斯扩散公式的建立有如下假设：①风的平均流场稳

定，风速均匀，风向平直；②污染物的浓度在y 、z 轴方向

符合正态分布；③污染物在输送扩散中质量守恒；④污染

源的源强均匀、连续。

图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。有效源位

于坐标原点o 处，平均风向与x 轴平行，并与x 轴正向同

向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。大气中的扩散是具有y 与z 两个坐标方向的二维正态分布，当两坐标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件②，参照正态分布函数的基本形式式（5－15），取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为：

()22221,,()exp 2y z y z C x y z A x σσ????=-+?? ? ??????

? （5－16） 式中 C —空间点（x ，y ，z ）的污染物的浓度，mg/m 3

；

A （x ）—待定函数；

σy 、σz —分别为水平、垂直方向的标准差，即y 、x 方向的扩散参数，m 。 由守恒和连续假设条件③和④，在任一垂直于x 轴的烟流截面上有： q uCdydz +∞

+∞-∞-∞=?? （5－17）

式中 q —源强，即单位时间内排放的污染物，μg/s ；

u —平均风速，m/s 。

将式（5－16）代入式（5－17）, 由风速稳定假设条件①，A 与y 、z 无关，考虑到2exp(/2)2t dt π+∞

-∞-=?③和④，积分可得待定函数A （x ）：

()2y z q A x u πσσ=

（5－18）

将式（5－18）代入式（5－16），得大空间连续点源的高斯扩散模式

()22221,,exp 22y z y z q y z C x y z u πσσσσ????=-+?? ? ??????? （5－19）

式中，扩散系数σy 、σz 与大气稳定度和水平距离x 有关，并随x 的增大而增加。当y ＝0，z ＝0时，A （x ）＝C （x ，0,0），即A （x ）为x 轴上的浓度，也是垂直于x 轴截面上污染物的最大浓度点C max 。当x →∞，σy 及σz →∞，则C →0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。

2．高架点源扩散

在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面障碍物的阻挡，因此应当考虑地面对扩散的影响。处理的方法是，或者假定污染物在扩散过程中的质量不变，到达地面时不发生沉降或化学反应而全部反射；或者污染物在没有反射而被全部吸收，实际情况应在这两者之间。

（1）高架点源扩散模式。点源在地面上的投影点o

作为坐标原点，有效源位于z 轴上某点， z ＝H 。高架有效

源的高度由两部分组成，即H ＝h ＋Δh ，其中h 为排放口

的有效高度，Δh 是热烟流的浮升力和烟气以一定速度竖

直离开排放口的冲力使烟流抬升的一个附加高度，如图5

－10所示。

当污染物到达地面后被全部反射时，可以按照全反射

原理，用“像源法”来求解空间某点k 的浓度。图5－10

中k 点的浓度显然比大空间点源扩散公式（5－19）计算值

大，它是位于(0，0，H)的实源在k 点扩散的浓度和反射回来的浓度的叠加。反射浓度可视为由一与实源对称的位于(0，0，－H)的像源（假想源）扩散到k 点的浓度。由图可见，k 点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z-H)，则实源在k 点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z 轴向下平移距离H ： ()22s 22z 1exp 22y z y z H q y C u πσσσσ????-??=-+???????????

? （5－20） k 点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z ＋H)，则像源在k 点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z 轴向上平移距离H ：

()22x 22z 1exp 22y z y z H q y C u πσσσσ????+??=-+???????????

? （5－21） 由此，实源C s 与像源C x 之和即为k 点的实际污染物浓度：

()()()222222,,,exp exp exp 2222y z y z z z H z H q y C x y z H u πσσσσσ????????---+-??=+???? ??? ???????????????（5－22）

若污染物到达地面后被完全吸收，则C x ＝0，污染物浓度C （x ，y ，z ，H ）＝C s ，即式（5－20）。

（2）地面全部反射时的地面浓度。实际中，高架点源扩散问题中最关心的是地面浓度的分布状况，尤其是地面最大浓度值和它离源头的距离。在式（5－22）中，令z ＝0，可得高架点源的地面浓度公式：

22221(,,0,)exp 2y z y z q

y H C x y H u πσσσσ??????=-+???????????? （5－23） 上式中进一步令y ＝0则可得到沿x 轴线上的浓度分布：

22(,0,0,)exp 2y z z q

H C x H u πσσσ??=- ??? （5－24） 地面浓度分布如图图5－11所示。y 方向的浓度以x 轴为对

称轴按正态分布；沿x 轴线上，在污染物排放源附近地面浓度接

近于零，然后顺风向不断增大，在离源一定距离时的某处，地面

轴线上的浓度达到最大值，以后又逐渐减小。

地面最大浓度值C max 及其离源的距离x max 可以由式（5－24）

求导并取极值得到。令/0C x ??=，由于σy 、σz 均为x 的未知函数，最简单的情况可假定σy /σz ＝常数，则当

max |/2z x x H σ== （5－25）

时，得地面浓度最大值 max 22z y q C euH σπσ== （5－26）

由式（5－25）可以看出，有效源H 越高， x max 处的σz 值越大，而σz ∝x max ，则C max 出现的位置离污染源的距离越远。式（5－26）表明，地面上最大浓度C max 与有效源高度的平方及平均风速成反比，增加H 可以有效地防止污染物在地面某一局部区域的聚积。

式（5－25）和式（5－26）是在估算大气污染时经常选用的计算公式。由于它们是在 σy /σz ＝常数的假定下得到的，应用于小尺度湍流扩散更合适。除了极稳定或极不稳定的大气条件，通常可设σy /σz ＝2估算最大地面浓度，其估算值与孤立高架点源(如电厂烟囱)附近的环境监测数据比较一致。通过理论或经验的方法可得σz ＝f （x ）的具体表达式，代入（5－25）可求出最大浓度点离源的距离x max ，具体可查阅我国GB3840—91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》。

3. 地面点源扩散

对于地面点源，则有效源高度H ＝0。当污染物到达地面后被全部反射时，可令式（5－

22）中H ＝0，即得出地面连续点源的高斯扩散公式:

()22221,,,0exp 2y z y z q

y z C x y z u πσσσσ????=-+?? ? ??????? （5－27） 其浓度是大空间连续点源扩散式（5－19）或地面无反射高架点源扩散式（5－20）在H ＝0时的两倍，说明烟流的下半部分完全对称反射到上部分，使得浓度加倍。若取y 与z 等于零，

则可得到沿x 轴线上的浓度分布：

(),0,0,0y z q

C x u πσσ= （5－28）

如果污染物到达地面后被完全吸收，其浓度即为地面无反射高架点源扩散式（5－20）在H ＝0时的浓度，也即大空间连续点源扩散式（5－19）。

高斯扩散模式的一般适用条件是：①地面开阔平坦，性质均匀，下垫面以上大气湍流稳定；②扩散处于同一大气温度层结中，扩散范围小于10km ；③扩散物质随空气一起运动，在扩散输送过程中不产生化学反应，地面也不吸收污染物而全反射；④平均风向和风速平直稳定，且u ＞1～2m/s 。

高斯扩散模式适应大气湍流的性质，物理概念明确，估算污染浓度的结果基本上能与实验资料相吻合，且只需利用常规气象资料即可进行简单的数学运算，因此使用最为普遍。

（二）连续线源的扩散

当污染物沿一水平方向连续排放时，可将其视为一线源，如汽车行驶在平坦开阔的公路上。线源在横风向排放的污染物浓度相等，这样，可将点源扩散的高斯模式对变量y 积分，即可获得线源的高斯扩散模式。但由于线源排放路径相对固定，具有方向性，若取平均风向为x 轴，则线源与平均风向未必同向。所以线源的情况较复杂，应当考虑线源与风向夹角以及线源的长度等问题。

如果风向和线源的夹角β＞45?，无限长连续线源下风向地面浓度分布为：

22(,0,)2z H C x H σ??=- ??? （5－29）

当β＜45?时，以上模式不能应用。如果风向和线源的夹角垂直，即β＝90?，可得：

22(,0,)2z H C x H σ??=- ??? （5－30） 对于有限长的线源，线源末端引起的“边缘效应”将对污染物的浓度分布有很大影响。随着污染物接受点距线源的距离增加，“边源效应”将在横风向距离的更远处起作用。因此在估算有限长污染源形成的浓度分布时，“边源效应”不能忽视。对于横风向的有限长线源，应以污染物接受点的平均风向为x 轴。若线源的范围是从y 1到y 2，且y 1＜y 2，则有限长线源地面浓度分布为：

21222(,0,)22s s z H s C x H ds σ????=-- ? ?????? （5－31） 式中，s 1＝y 1/σy ，s 2＝y 2/σy ，积分值可从正态概率表中查出。

（三）连续面源的扩散

当众多的污染源在一地区内排放时，如城市中家庭炉灶的排放，可将它们作为面源来处

理。因为这些污染源排放量很小但数量很大，若依点源

来处理，将是非常繁杂的计算工作。

常用的面源扩散模式为虚拟点源法，即将城市按污

染源的分布和高低不同划分为若干个正方形，每一正方

形视为一个面源单元，边长一般在0.5～10km 之间选取。

这种方法假设：①有一距离为x 0的虚拟点源位于面源单

元形心的上风处，如图5-12所示，它在面源单元中心线处产生的烟流宽度为2y 0＝4.3σy0，等于面源单元宽度B ；②面源单元向下风向扩散的浓度可用虚拟点源在下风向造成的同样的浓度所代替。根据污染物在面源范围内的分布状况，可分为以下两种虚拟点源扩散模式： 第一种扩散模式假定污染物排放量集中在各面源单元的形心上。由假设①可得： 0/4.3y B σ= （5－32）

由确定的大气稳定度级别和上式求出的0y σ，应用P －G 曲线图（见下节）可查取x o 。再由(x 0＋x)分布查出σy 和σz ，则面源下风向任一处的地面浓度由下式确定：

22exp 2y z z q

H C u πσσσ??=- ??? （5－33） 上式即为点源扩散的高斯模式（5－24），式中H 取面源的平均高度，m 。

如果排放源相对较高，而且高度相差较大，也可假定z 方向上有一虚拟点源，由源的最初垂直分布的标准差确定0z σ，再由0z σ求出0z x ，由0z x x +求出σz ，由(x 0＋x) 求出σy ，最后代入式（5－33）求出地面浓度。

第二种扩散模式假定污染物浓度均匀分布在面源的y 方向，且扩散后的污染物全都均匀分布在长为π(x 0＋x)／8的弧上，如图5-12所示。因此，利用式（5－32）求σy 后，由稳定度级别应用P －G 曲线图查出x 0，再由(x 0＋x) 查出σz ，则面源下风向任一点的地面浓度由下式确定：

()222

exp /82z o z q H C u x x πσπσ??=- ?+?? （5－34）

三、扩散参数及烟流抬升高度的确定 高斯扩散公式的应用效果依赖于公式中的各个参数的准确程度，尤其是扩散参数σy 、σz 及烟流抬升高度Δh 的估算。其中，平均风速u 取多年观测的常规气象数据；源强q 可以计算或测定，而σy 、σz 及Δh 与气象条件和地面状况密切相关。

1. 扩散参数σy 、σz 的估算

扩散参数σy 、σz 是表示扩散范围及速率大小的特征量，也即正态分布函数的标准差。

为了能较符合实际地确定这些扩散参数，许多研究工作致力于把浓度场和气象条件结合起来，提出了各种符合实验条件的扩散参数估计方法。其中应用较多的由是帕斯奎尔(Pasquill) 和吉福特(Gifford)提出的扩散参数估算方法，也称为P －G 扩散曲线，如图5－13和图5－14所示。由图可见，只要利用当地常规气象观测资料，由表5－1查取帕斯奎尔大气稳定度等级，即可确定扩散参数。扩散参数σ具有如下规律：①σ随着离源距离增加而增大；②不稳定大气状态时的σ值大于稳定大气状态，因此大气湍流运动愈强，σ值愈大；③以上两种条件相同时，粗糙地面上的σ值大于平坦地面。

由于利用常规气象资料便能确定帕斯奎尔大气稳定度，因此P －G 扩散曲线简便实用。但是，P －G 扩散曲线是利用观测资料统计结合理论分析得到的，其应用具有一定的经验性和局限性。σy 是利用风向脉动资料和有限的扩散观测资料作出的推测估计，σz 是在近距离应用了地面源在中性层结时的竖直扩散理论结果，也参照一些扩散试验资料后的推算，而稳定和强不稳定两种情况的数据纯系推测结果。一般，P －G 扩散曲线较适用于近地源的小尺度扩散和开阔平坦的地形。实践表明，σy 的近似估计与实际状况比较符合，但要对地面粗糙度和取样时间进行修正；σz 的估计值与温度层结的关系很大，适用于近地源的lkm 以内的扩散。因此，大气扩散参数的准确定量描述仍是深入研究的课题。

估算地面最大浓度值C max 及其离源的距离x max 时，可先按式（5－25）计算出σz ，并图5-14查取对应的x 值，此值即为当时大气稳定度下的x max 。然后从图5-13查取与x max 对应的σy 值，代如式（5－26）即可求出C max 值。用该方法计算，在E 、F 级稳定度下误差较大，在D 、C 级

时误差较小。H 越高，误差越小。

我国GB3840－91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》采用如下经验公式确定扩散参数σy 、σz ：

1212y z x x αα

σγσγ==及 （5－35）

式中，γ1、α1、γ2及α2称为扩散系数。这些系数由实验确定，在一个相当长的x 距离内为常数，可从GB3840－91的表中查取。

2. 烟流抬升高度Δh 的计算

烟流抬升高度是确定高架源的位置，准确判断大气污染扩散及估计地面污染浓度的重要参数之一。从烟囱里排出的烟气，通常会继续上升。上升的原因一是热力抬升，即当烟气温度高于周围空气温度时，密度比较小，浮升力的作用而使其上升；二是动力抬升，即离开烟囱的烟气本身具有的动量，促使烟气继续向上运动。在大气湍流和风的作用下，漂移一段距离后逐渐变为水平运动，因此有效源的高度高于烟囱实际高度。

热烟流从烟囱中喷出直至变平是一个连续的逐

渐缓变过程一般可分为四个阶段，如图5-15所示。首

先是烟气依靠本身的初始动量垂直向上喷射的喷出阶

段，该阶段的距离约为几至十几倍烟囱的直径；其次

是由于烟气和周围空气之间温差而产生的密度差所形

成的浮力而使烟流上升的浮升阶段，上升烟流与水平

气流之间的速度差异而产生的小尺度湍涡使得两者混

合后的温差不断减小，烟流上升趋势不断减缓，逐渐趋于水平方向；然后是在烟体不断膨胀过程中使得大气湍流作用明显加强，烟体结构瓦解，逐渐失去抬升作用的瓦解阶段；最后是在环境湍流作用下，烟流继续扩散膨胀并随风飘移的变平阶段。

从烟流抬升及扩散发展的过程可以看出，显然，浮升力和初始动量是影响烟流抬升的主要因素，但使烟流抬升的发展又受到气象条件和地形状况的制约。主要表现为：①浮升力取决于烟流与环境空气的密度差，即与两者的温差有关；而烟流初始动量取决于烟囱出口的烟流速度，即与烟囱出口的内径有关。一般来讲，增大烟流与周围空气的温差以及提高烟流速度，抬升高度增加。但如果烟流的初始速度过大，促进烟流与空气的混合，反而会减少浮力抬升高度，一般该速度大于出口处附近风速的两倍为宜。②大气的湍流强度愈大，烟与周围空气混合就愈快，烟流的温度和初始动量降低得也愈快，则烟流抬升高度愈低。大气的湍流强度取决于温度层结，而温度层结的影响不是单一的，如不稳定温度层结由于湍流交换活跃能抑制烟流的抬升，但也能促进热力抬升，这取决于大气不稳定程度；③平均风速越大，湍流越强，抬升高度越低；④地面粗糙度大，使近地层大气湍流增强，不利于烟流抬升。 由于烟流抬升受诸多因素的相互影响，因此烟流抬升高度Δh 的计算尚无统一的理想的结果。在30多种计算公式中，应用较广适用于中性大气状况的霍兰德(Holland)公式如下： 1.50.011.5 2.7s s a s h s v D T T v D Q h D u T u ??-+?=

+= ??? m （5－36） 式中 v S —烟流出口速度，m/s ；

D —烟囱出口内径，m ；

u —烟囱出口的环境平均风速，m/s ；

T s —烟气出口温度，K ；

T a —环境平均气温度，K ；

Q h —烟囱的热排放率，kW 。

上式计算结果对很强的热源(如大型火电站)比较适中甚至偏高，而对中小型热源(Q h ＜60～80 MW)的估计偏低。当大气处于不稳定或稳定状态时，可在上式计算的基础上分别增加或减少10％～20％。

根据GB ／T3840—91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》和GBl3223—96《火电厂大气污染物排放标准》，按照烟气的热释放率Q h 、烟囱出口烟气温度与环境温度的温差（T s －T a ）及地面状况，我国分别采用下列抬升计算式。

（1）当Q h ≥2100kW 并且（T s －T a ）≥35 K 时：

120n n h n Q h h u ?= m （5－37）

0()h p s a Q c V T T =- kW （5－38）

式中 n 0、n 1、n 2—地表状况系数，可从GB ／T3840—91查取；

V 0—标准状态下的烟气排放量，m 3

/s ；

C p —标准状态下的烟气平均定压比热，C p ＝1.38kJ/(m 3·K)；

T a —取当地最近5年平均气温值，K ；

烟囱出口的环境平均风速u 按下式计算：

00(/)n u u z z = m/s （5－39） u 0—烟囱所在地近5年平均风速，m/s ，测量值；

z 0，z —分别为相同基准高度时气象台(站)测风仪位置及烟囱出口高度，m ；

m —风廓线幂指数，在中性层结条件下，且地形开阔平坦只有少量地表覆盖物时，n ＝

1/7，其他条件时可从GB ／T3840—91查取。

（2）当Q H ＜2100kW 或（T s －T a ）＜35 K 时：

1.50.012s h v D Q h u +???= ??? m （5－40） 上式为霍兰德公式（5－36）的两倍。

2011数学建模A题优秀论文

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。 针对问题一，我们首先利用EXCEL 和 SPSS 统计软件对各金属元素的数据进行处理，再利用Matlab 软件绘制出该城区内8种重金属元素的空间分布图最后通过内梅罗污染 模型：2 /12 max 22?? ? ? ??+=P P P 平均综，其中平均P 为所有单项污染指数的平均值，max P 为土壤环境中 针对问题二,我们首先利用EXCELL 软件画出8种元素在各个区内相对含量的柱状图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据重金属元素污染来源及传播特征进行分析，可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的主要原因，Cu 、Hg 、Zn 主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性，受人类活动的影响较大。同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成重金属污染的原因。 针对问题三，我们从两个方面考虑建模即以点为传染源和以线为传染源。针对以点为传染源我们建立了两个模型：无约束优化模型()[]()[]() 22y i y x i x m D -+-=，得到污染源的位置坐标()6782,5567；有衰减的扩散过程模型得位置坐标（8500,5500），模型为： u k z u c y u b x u a h u 222 2222222-??+??+??=??， 针对以线为传染源我们建立了l c be u Y ?-+=0模型，并通过线性拟合分析线性污染源的位置。 针对问题四，我们在已有信息的基础上，还应收集不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率。根据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式ut e C C -?=0。 在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和推广性。但在求点污染源时，我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，从而使得误差增大，或者使污染源的位置够不准确。 关键词 内梅罗污染模型 无量纲化 相关性 回归模型 高斯浓度模型

高斯扩散模型.

大气污染扩散 第一节大气结构与气象 有效地防止大气污染的途径，除了采用除尘及废气净化装置等各种工程技术手段外，还需充分利用大气的湍流混合作用对污染物的扩散稀释能力，即大气的自净能力。污染物从污染源排放到大气中的扩散过程及其危害程度，主要决定于气象因素，此外还与污染物的特征和排放特性，以及排放区的地形地貌状况有关。下面简要介绍大气结构以及气象条件的一些基本概念。 一、大气的结构 气象学中的大气是指地球引力作用下包围地球的空气层，其最外层的界限难以确定。通常把自地面至1200 km左右范围内的空气层称做大气圈或大气层，而空气总质量的98．2％集中在距离地球表面30 km以下。超过1200 km的范围，由于空气极其稀薄，一般视为宇宙空间。 自然状态的大气由多种气体的混合物、水蒸气和悬浮微粒组成。其中，纯净干空气中的氧气、氮气和氩气三种主要成分的总和占空气体积的99.97％，它们之间的比例从地面直到90km高空基本不变，为大气的恒定的组分；二氧化碳由于燃料燃烧和动物的呼吸，陆地的含量比海上多，臭氧主要集中在55～60km高空，水蒸气含量在4％以下，在极地或沙漠区的体积分数接近于零，这些为大气的可变的组分；而来源于人类社会生产和火山爆发、森林火灾、海啸、地震等暂时性的灾害排放的煤烟、粉尘、氯化氢、硫化氢、硫氧化物、氮氧化物、碳氧化物为大气的不定的组分。 大气的结构是指垂直（即竖直）方向上大气的 密度、温度及其组成的分布状况。根据大气温度在 垂直方向上的分布规律，可将大气划分为四层：对 流层、平流层、中间层和暖层，如图5－1所示。 1. 对流层 对流层是大气圈最靠近地面的一层，集中了大 气质量的75％和几乎全部的水蒸气、微尘杂质。受 太阳辐射与大气环流的影响，对流层中空气的湍流 运动和垂直方向混合比较强烈，主要的天气现象云 雨风雪等都发生在这一层，有可能形成污染物易于 扩散的气象条件，也可能生成对环境产生有危害的 逆温气象条件。因此，该层对大气污染物的扩散、输送和转化影响最大。 大气对流层的厚度不恒定，随地球纬度增高而降低，且与季节的变化有关，赤道附近约

数学建模(关于扩散问题的建模)

关于金属汞扩散的问题 引言： 我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人体健康造成危害。著名的秦始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测，周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大，汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的浓度呢？ 模型的提出： 由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由于在土堆里头，在各个方向上受到的力不相同和各种因素的影响，因此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。 为此我们引入一个函数u(x, y, z, t)，它表示t时刻在（x,y,z）处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断出这个函数的表达式。 模型符号的引入： 为了表示汞在想x,y,z 方向上的扩散速度，我们在此引

入扩散系数： 2 a ：x 方向上的扩散系数 2 b ：y 方向上的扩散系数 2 c ：z 方向上的扩散系数 2 k ：由于泥土吸收，化学反应而引起的衰减系数 M ：扩散源汞的质量 模型假设： 1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿 x ，y ，z 三个方向向四周扩散。 2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。 3。扩散过程中没有人为因素的影响。 模型建立： u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y , z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲面 S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从 t 到 t t +? 时刻这段时间内，通过 S 流入Ω的质量为 1 M 2 2 2 1(cos cos cos )d d t t t S u u u M a b c S t x y z αβγ+????= ++???? ?? 其中 2 a ,2 b ,2 c 分别是沿 x ，y ，z 方向的扩散系数。 由高斯公式 ： ? ??? ?+Ω ??+??+??= t t t t z y x z u c y u b x u a M d d d d )(2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

基于高斯烟羽模型的放射性气体的扩散

关于核电站泄漏放射性气体扩散的预估模型 摘要 由于核泄漏导致放射性气体扩散对经济和人身造成巨大损失的报道在国内外屡见不鲜，本文中日本福岛核泄漏事件更加使我们认识到对放射性气体扩散进行合理性的预估从而为以后类似于此的突发性事件作积极有效的补救措施的重要性。 对于问题一我们运用了点源烟羽扩散模型，用抛物型二阶偏微分方程解出理 想状态下的不同时刻、不同地点的浓度表达式： 222 4 32 (,,,) (4) x y z kt Q C x y z t e kt π ++ - =。 此模型是建立在以泄漏点为圆心的一个无界球形区域内的。为了使模型更符合实际情况，能够被应用于现实生活中，我们在泄漏源有效高度的确定和考虑地面反射与吸收作用下对此模型进行了修正，最终得到问题一浓度的确定公式 (14)(,,,) C x y z t的表达式。 对于问题二，我们采用高位连续点源烟羽扩散模式，其扩散服从正态分布，并根据概率论的相关知识通过数学公式推导，得到理想状态下的高斯模型，由泄漏源有效高度，地面反射等因素的影响对其进行修正，又由于重力干沉积，雨洗湿沉积以及核衰变等因素对源强的影响，对高斯烟羽模型再次进行修正，最终得到泄漏源周边浓度变化情况即公式(32)，在风速为k m/s的条件下浓度为(,,,) C x y z H。 对于问题三，我们在第二问建立的模型的基础上，引入时间变量 r t和t，和 扩散速度变量s，在风速和扩散速度的共同影响下，可分别求出上风向和下风向浓度预估模型即公式(40)和(41)。 对于问题四，本文参阅整理大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域---山东半岛和美国西海岸典型地域---加利福尼亚州作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算机模拟，预测出放射性核物质将经过6天到达我国东海岸，且131I浓度预测值为：0.1053 mBq m- ?,，经过6.8天到达美国西海岸，且氙-133浓度的预测值几乎为零，与实际情况比较吻合。 关键词点源烟羽扩散模式偏微分方程 P-G曲线高斯修正模型仿真

基于高斯模型的放射性物质扩散模型

放射性气体扩散浓度预估模型 【摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核泄漏为背景，并以给出的数据为基础，研究某一假设核电站的核泄漏问题。我们通过收集相关的资料，并结合题目给出的数据，建立了高斯模型、连续点源高斯扩散模型解决了题目提出的四个问题。 针对问题一：考虑到泄漏源是连续、均匀和稳定的，我们运用散度、梯度、流量等数学概念，通过“泄漏放射性物质质量守恒”、“气体泄漏连续性定理”、 Guass 公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再通过电源函数解出空间任意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模型一的前身。鉴于放射性物质的扩散受到诸多因素的影响，如：泄漏源的实际高度、地面反射等。我们以泄漏口为坐标原点建立三维坐标系，通过“像源法”处理地面反射对放射性物质浓度的影响，并由此对模型一的前身进行修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物质浓度的预测模型。最后我们模拟了放射性物质无风扩散仿真图。 针对问题二：当风速为k m/s 时，我们根据放射性核素云团在大气中迁移和扩散的数值计算的基本方法和步骤，并以泄漏点源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为x 轴，铅直方向为z 轴，与x 轴水平面垂直方向为y 轴建立三维坐标系，地面的反射作用同样利用“像源法”进行处理，得到连续点源高斯扩散模型。考虑到地面反射、烟云抬升、放射性物质自身的沉降及雨水的吸附等对浓度的影响，我们对连续点源高斯扩散模型进行了修正，建立了修正的连续点源高斯扩散模型。最后利用大气稳定度确定了扩散参数，进而求解了模型。 针对问题三：经分析，问题三的提出是以问题二为基础的，模型三的建立只需要将模型二加以调整即可。我们以风速方向为x 轴正方向，将风速与放射性物质的扩散速度进行矢量运算，此问题则转化为求(,0,)L z 和(,0,)L z -两点处的放射性物质浓度，由此建立模型三，即上风和下风L 公里处放射性物质浓度浓度的预测模型。 针对问题四：首先，我们通过网络收集了相关数据，然后，我们结合模型二、模型三对数据进行整理代入，算出了日本福岛核电站泄漏的放射性物质扩散到中国东海岸和美国西海岸的浓度分别为334.242910/g m -?、432.385410/g m -?。 关键词：高斯模型 连续点源高斯扩散模型 核泄漏

云团扩散模型

1 云团扩散模型 根据物质泄漏后所形成的气云的物理性质的不同，可以将描述气云扩散的模型分为非重气云模型和重气云模型两种[5-13]。 1.1 非重气云模型 高斯模型是一种常用的非重气扩散模型，高斯烟羽(Plume model)模型又称高架点连续点源扩散模型，适用于连续源的扩散，即连续源或泄放时间大于或等于扩散时间的扩散。 高斯烟团(Puff model)模型适用于短时间泄漏的扩散，即泄放时间相对于扩散时间比较短的情形，如突发性泄放等。若假设气体云内空间上的分布为高斯分布，则地面地处风向的烟团浓度分布算式为 式中， c(x，y，H)——点(x，y，H)处浓度值，mg/m3； Q——源强，即单位时问的排放量，mg/s； u——环境平均风速，m/s； σx，σy，σz——扩散参数； H——源高(烟团高度)，m； x——下方向到泄漏原点的距离，m； y，z——侧风方向、垂直向上方向离泄漏原点的距离，m。 高斯模式的实际应用效果很大程度上依赖于如何给定模式中的一些参数，尤其要注意源强、扩散参数等的确定。 源强与污染物的物理化学属性、扩散方式、释放点的地理环境等有关。扩散参数表征大气边界层内

湍流扩散的强弱，是高斯模式的一项重要数据。高斯扩散模式所描述的扩散过程(实质上也包含了在实际应用中对高斯模式的一些限制)主要有： 1)下垫面平坦、开阔、性质均匀，平均流场稳定，不考虑风场的切变。 2)扩散过程中，污染物本身是被动、保守的，即污染物和空气无相对运动，且扩散过程中污染物无损失、无转化，污染物在地面被反射。 3)扩散在同一温度层结中发生，平均风速大于1.0 m/s。 4)适用范围一般小于10～20 km。 1.2 重气云模型 由于重气本身的特殊性，在重气扩散领域也有大量基于不同理论的模型。鉴于重气扩散与中性或浮性气体扩散有着明显的区别，目前国内外已开发大量的不同复杂程度的重气扩散模型，如箱模型、相似模型、LTA－HGDM模型、CFD模型等。 1.2.1 箱(BOX)模型 箱模型是指假定浓度、温度和其他场，在任何下风横截面处为矩形分布等简单形状，这里的矩形分布是指在某些空间范围内场是均匀的，而在其他地方为零。该类模型预报气云的总体特征，如平均半径、平均高度和平均气云温度，而不考虑其在空间上的细节特征。重气效应消失后其行为表现为被动气体扩散，所以该类模型还包括被动扩散的高斯模型及对它的修正。 1.2.2 层流及湍流大气环境中的重气扩散(LTA－HGDM)模型 LTA－HGDM模型(Heavy Gas Dispersion Model in Lsaminar and Turbulent Atmosphere层流及湍流大气环境中的重气扩散模型)以箱模型为基础，结合虚点源模型，能描述重气泄漏扩散整个过程。模型同三维有限元模型相比，具有形式简单、原始输入数据运算速度快等优点。 LTA－HGDM模型的建立基于以下几点假设： 1)危险性气体初时泄漏时，其外形呈正圆柱形(H=2R)。 2)初始时刻泄漏源即此核电站内部的浓度、温度呈均匀分布。 3)扩散过程不考虑泄漏源即此核电站内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射。

大气污染物扩散高斯模型模拟

大气污染物扩散的高斯模型模拟：可视化模拟点源大气污染的扩散Gaussian Atmospheric Dispersion Model 突发性大气污染事故时有发生，对大气污染扩散进行模拟和分析，有利于减小事故的危害，减轻人员伤亡和财产损失。高斯扩散模型是国际原子能机构(IAEA)推荐使用于重气云扩散模拟的数学模型,该模型在非重气云扩散的应用日益广泛。高斯扩散模型是描述大气对有害气体的输移、扩散和稀释作用的物理或数学模型,是进行灾害预测和救援指挥的有力手段之一。 高斯扩散模型 高斯模型又分为高斯烟团模型和高斯烟羽模型。大气污染物泄漏分为瞬时泄漏和连续泄漏，瞬时泄漏是指污染物泄放的时间相对于污染物扩散的时间较短如突发泄漏等的情形，连续泄漏则是指污染物泄放的时间较长的情形。瞬时泄漏采用高斯烟团模型模拟，而连续泄漏采用高斯模型烟羽模型模拟。高斯模型适用于非重气云气体，包括轻气云和中性气云气体。要求气体在扩散过程中，风速均匀稳定。 在高斯烟团模型中，选择风向建立坐标系统，即取泄漏源为坐标原点，x轴指向风向，y轴表示在水平面内与风向垂直的方向，z轴则指向与水平面垂直的方向，具体公式见式: (mg/s); x、y、z轴上的扩散系数，需根据大气稳定度选择参数计算得到(m)；x、y、z表示x、y、z上的坐标值(m)；u 表示平均风速(m/s)；t表示扩散时间(s)；H 表示泄漏源的高度(m)。 同理，高斯烟羽模型的表达式如： 技术方法 若用高斯模型算出空间每一个点在一个时刻的污染浓度，这个计算量是很大的。因此所设计的系统一般都是采用先进行图层网格化，由高斯模型计算出有限个网格点的上的污染物浓度，在进行空间内插得到面上每一个点的污染物浓度，并由此得到污染物浓度的等值线。整个过程的示意图如图所示

污染物扩散模型-深圳数学建模

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）： 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：温州医科大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 章成俊 2. 杨超 3. 谢锦 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）： 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）： 全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：

对垃圾处理厂污染的动态监控及居民补偿 摘要 城市垃圾处理问题是一个世界性难题。目前垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。本论文构根据题目设置的垃圾处理厂规模，建立了环境动态监控体系，并根据潜在污染风险对周围居民进行了合理经济补偿的设计。 对于问题（1），为了实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控，本论文在高斯烟羽模型的基础上进行改进，引入温度、降雨对污染物扩散的影响，建立了新的污染物扩散模型。本论文创新性的提出了风雨影响指数M,用来衡量风向、降雨对颗粒物扩散的影响。本论文将抽象的污染物含量形象化，利用空气污染指数API描述具体的污染程度及其给周围居民带来的影响。并且从不同角度给出了模型检验，验证了所建模型的准确性。 对于问题（1）具体赔偿方案的制定，在综合考虑了不同方位风向频率、受污染时间、受污染程度的基础上，本论文使用了层次分析法，并且进行了一致性检验，使得赔偿方案具有说服力。通过MATLAB编程，计算出当政府和垃圾处理厂共支付风险赔偿金为N时，得出居住地的每位居民应得的赔偿金额计算公式。对于监测点的设置，经计算共需21个，具体布置情况见后文。 对于问题（2），在题目所述的发生事故的情况下，对污染物的具体含量进行了合理的预测与假设。模拟出酸性物质与颗粒物的影响范围，并根据具体的污染程度设置不同的污染区。对每个污染区的不同情况设置更改监测点的设置，并且在问题（1）的基础上对居民的经济补偿进行合理修改。 关键词：高斯烟羽模型，层次分析法，空气污染指数，烟气抬升公式 一、问题重述 “垃圾围城”是世界性难题，在今天的中国显得尤为突出。数据显示，目前全国三分之二以上的城市面临“垃圾围城”问题，垃圾堆放累计侵占土地75万亩。因此，垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。然而，由于政府监管不力、投资者目光短浅等多方面的原因，致使前些年各地建设的垃圾焚烧电厂在运营中出现了环境污染问题，给垃圾焚烧技术在我国的推广造成了很大阻力，许多城市的新建垃圾焚烧厂选址都出现因居民反对而难以落地的局面。在垃圾焚烧厂运行监管方面，目前主要是在垃圾焚烧厂内进行测量监控，缺少从周边环境视角出发的外围动态监控，因而难以形成为民众所信服的全方位垃圾焚烧厂环境监控体系。 深圳市某地点计划建立一个中型的垃圾焚烧厂，计划处理垃圾量1950吨/天（设置三台可处理垃圾650吨/天的焚烧炉，排烟口高度80米，每天24小时运转）。从构建环境动态监控体系、并根据潜在污染风险对周围居民进行合理经济补偿的需求出发，有关部门希望能综合考虑垃圾焚烧厂对周围带来环境污染以及其他危害的多种因素（例如，焚烧炉的污染物排放量、居住点离开垃圾焚烧厂的距离、风力和风向及降雨等气象条件、地形地貌以及建筑物的遮挡程度等等），在进行科学定量分析的基础

大气污染源扩散模拟的实现及应用-v

污染源扩散模拟的实现及应用 突发性环境污染事故是一种威胁人类安全和健康、破坏生态环境、危害性大的污染事故。近年来，随着经济的发展，越来越多的突发环境事故爆发，造成严重的环境污染，不仅给国家人民财产造成了损失，同时还严重的危害了周边人民的健康。因此，加强突发性环境污染事故应急监测，研究其处理技术，对污染物的扩散进行预报是环境监测和环境保护领域中一项非常重要的工作。 1 大气扩散模型研究的意义 突发性环境污染事故主要是由于高压容器、储罐、输送管道节门的破裂等诸多原因引起的，它可导致有毒有害气体外泄。其特点是没有固定的排放方式和排放途径，突然发生、来势凶猛，在短时间内排放大量有毒有害的污染物，有毒气体外泄后，随大气弥散，中心位置浓度最高，向外逐步扩散稀释，下风向形成相应的时空浓度分布。 对于重大突发事故分析，目前国内外普遍采用仿真技术，通过建立数学模型进行分析，而且已建立了很多适用于不同条件的数学模型。当前应用较为广泛的应急大气扩散模型有：SLAB，DEGADIS，ALOHA，ARCHIE，DEMRA和LPDM,其中比较著名的有RADM、ADOM、STEMD等模型、美国Sigma公司于八十年代中期建立的HPDM模型以及英国剑桥研究院开发的ADMS模型。这些模型通过对早期的CRSTER的法规式模式做了一些改进和发展，从而产生新一代扩散模型。 这些算法以扩散统计理论为出发点，假设污染物的浓度分布在一定程度上服从高斯分布。模式系统可用于多种排放源（包括点源、面源和体源）的排放，也适用于乡村环境和城市环境、平坦地形和复杂地形、地面污染物排放模拟、区域环境容量计算与总量控制等多种功能。 这些扩散模型的特点是基于专有平台实现，自成系统。并且在这些系统中大多考虑了扩散模型源排放、平流输送、湍流扩散、干沉积、湿沉积、气象化学等众多因素，系统功能庞大。但同时它们基于专有平台，自成系统，所以很难同环保局具体的业务系统进行整合。考虑到天津某区环保监控与应急指挥系统的实际情况和具体需求，我们基于高斯扩散模型，并根据实际情况加以改造，最终在GIS系统中进行了展现。 2基于高斯的实用性大气扩散模型的算法实现 高斯扩散模型是高斯应用湍流统计理论，在大量实验数据资料分析以及正态分布假设的基础上，得到的污染物在大气中扩散的数学模型。经过多年的研究试验，国内外建立了多种高斯扩散模型，包括高斯点源扩散模式、点源封闭式扩散模型、高斯面源(虚拟点源)扩散模式以及多种特殊气象条件和复杂地形条件下的高斯扩散模式。高斯扩散模型是目前运用得最普遍的大气扩散的数学模型。例如UK一ADMS模型的Urban部分中就直接采用的模型是一个三维高斯模型，以高斯分布公式为主计算污染物浓度，在非稳定条件下的垂直扩散使用了倾斜式的高斯模型烟羽扩散。 3、基于Supermap的扩散模型图形化显示 SuperMap GIS是国内具有完全自主知识产权的大型地理信息系统软件平台。包括组件式GIS开发平台、服务式GIS开发平台等应用开发平台，同时具备相关的空间数据生产、加工和管理工具。其中B/S开发的组件SuperMap IS .NET采用面向Internet的分布式计算技术，支持跨区域、跨网络的复杂大型网络应用系统集成，提供可伸缩、多种层次的WebGIS 解决方案，全面满足网络GIS应用系统建设的需要。

高斯扩散模式在瞬间排放空气污染物模拟中的应用

高斯扩散模式在瞬间排放空气污染物模拟中的应用 摘要：在文章中提出应用高斯模式模拟和预测在瞬间排放状况下空气污染等级，用FORTRAN 语言编写的高斯模式程序还可应用于区域污染影响评价中，模式不仅可以从GIS 中输入数据而且还可以应用GIS 格式输出结果。 关键词：高斯模式 空气污染 地理信息系统 瞬时污染源 浓度场 瞬间排放是指工业企业或电厂的事故性污染物排放，如贮油罐或输油管道发生事故等。排放的污染物污染了空气、土壤、地面及地下水，影响植被和影响环境。 模拟瞬间空气污染要求得到污染区域面积、污染浓度和等级、污染预测等。 本文提出用高斯模式的解析解来模拟和预测瞬间排放空气污染状况。基于烟羽扩散上的解析公式求解的高斯模式非常广泛的应用于评价区域污染状况。高斯数学模式作为一个污染物扩散的基础模式被国际原子能机构广泛推广。 从瞬间点源污染源排放的污染物，其转换和扩散可以用以下的扩散方程来表示： t C ??+div(CV )=?(K ?C )+Ri +Q δ(t ?t 0)δ(x ?x 0)δ(y ?y 0)δ(z ?z 0) (1) 式中：C(x, y, z, t)为污染物浓度 V 为风速 K 为扩散系数 R 为污染物光化学转化率 Q 为污染物排放量

x 0, y 0, z 0为污染源相对坐标 在一定的风速和扩散系数条件下，公式（1）有其高斯扩散模式的解析解。 因此，污染物浓度值C 由点源污染源的高度H 决定。H 在高斯扩散模式中由下述公式计算： C （x,y,z,t ）= )() 2(22 22 2 22 2 2/) 2(2/) (2/)(2/) (2 /3z z y x wt h H z wt h z vt y ut x z y x e e e e Q σσσσσσσπ-++--------+ (2) 式中：t 为时间 Q 为排放量 u ，v ，w 为风速分别在x ，y ，z 方向的分量 σx , σy , σz 分别在x ，y ，z 方向的扩散系数 h 为点源高度 H 为混合层高度 高斯模式中，假设X 轴与风向方向一致，Z 轴铅直向上，V=W=0。公式（2）可以转化为以下形式。 C （x,y,z,t ）= )() 2(22 22 2 22 2 2/) (2/) (2/2/) (2 /3z z y x H z H z y ut x z y x e e e e Q σσσσσσσπ+------+ (3) 从公式(3)我们可以看出，每一个烟团需要用不同的坐标系进行计算，当我们计算多源的污染浓度时，我们需要用到几个坐标系，这样计算起来很复杂。因此，公式（3）必须做相应的转化到同一个坐标系中。 我们建立一个相对的坐标系，I 表示原点，坐标轴为ξ和η（见1）。并以I 为原点建立第二个坐标系，LX 表示X 轴，其方向与风向

(完整)高斯扩散模型及其适用条件

高斯扩散模型及其适用条件 （1）一般表达式 根据质量守恒原理和梯度输送理论，污染物在大气中一般运动规律为：（3分） 1N x y z p p c c c c c c c u v w k k k S t x y z x x y y z z =????????????????+++=+++ ? ? ?????????????????∑ C ：污染物质平均浓度； X ，y ，z ：三个方向坐标； u ，v ，w ：三个方向速度分量； k x ，k y ，k z ：三个方向扩散系数； t ：为污染物扩散时间； S P ：污染物源、汇强度。 （2）高斯模型的适用条件：①大气流动稳定，表明污染物浓度不随时间改变，即0t ?=?； ②有主导风向，表明u=常数，且v=w=0； ③污染物在大气中只有物理运动，物化学 和生物变化，且预测范围内无其他同类 污染的源和汇。表明S P =0（p=1,2,….n ） 此时三维的动态模型就可简化为三维的稳态模型，得： x y z c c c c u k k k x x x y y z z ?????????????=++ ? ? ???????????? ?? （3分） ④有主导风情况下，主导风对污染物输送 应远远大于湍流运动引起污染物在主导风方

向上扩散。即c u x ??（平流输送作用）远远大于x c k x x ???? ????? （湍流弥散作用）。 此时方程又可以简化为： y z c c c u k k x y y z z ?????????=+ ? ???????? ?? （2分） （3）由于y 和z 方向上污染物浓度不发生变化，故规定y k 与y 无关，z k 与z 无关，即： 22z 22z y c c c u k k x y ???=+??? （1分） （4）由质量守恒原，理运用连续点源源强计算方式，按照单元体积(3)简化得到的方程进行积分ucdydz=Q ∞∞ -∞-∞??，结合边界条件 {0c=x y z c=0x y z ===∞ →∞时，，，时，对方程进行求解。（2分） （5）设x=ut ，令22y y z z =2k t =2k t σσ；。化简求解得到高斯扩散模型的标准 形式： ()2222y z 1c ,,exp 22y z Q y z x y z u πσσσσ????=-+?? ? ??????? （1分）

数学建模高斯扩散模型培训资料

数学建模高斯扩散模 型

§4-2高斯扩散模式 ū —平均风速； Q—源强是指污染物排放速率。与空气中污染物质的浓度成正比，它是研究空气污染问题的基础数据。通常： （ⅰ）瞬时点源的源强以一次释放的总量表示； （ⅱ）连续点源以单位时间的释放量表示； （ⅲ）连续线源以单位时间单位长度的排放量表示； （ⅳ）连续面源以单位时间单位面积的排放量表示。 δy—侧向扩散参数，污染物在y方向分布的标准偏差，是距离y的函数，m； δz—竖向扩散参数，污染物在z方向分布的标准偏差，是距离z的函数，m； 未知量—浓度c、待定函数A(x)、待定系数a、b； 式①、②、③、④组成一方程组，四个方程式有四个未知数，故方程式可解。 二、高斯扩散模式 （一）连续点源的扩散 连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。排放口安置在地面的称为地面点源，处于高空位置的称为高架点源。 1. 大空间点源扩散 高斯扩散公式的建立有如下假设：①风的平均流场稳定，风速均匀，风向平直；②污染物的浓度在y、z轴方向符合正态分布；③污染物在输送扩散中质量守恒； ④污染源的源强均匀、连续。 图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。有效源位于坐标原点o处，平均风向与x轴平行，并与x轴正向同向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。大气中的扩散是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布，当两坐

标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件②，参照正态分布函数的基本形式式（5－15），取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为： （5－16）式中 C—空间点（x，y，z）的污染物的浓度，mg/m3； A（x）—待定函数； σy、σz—分别为水平、垂直方向的标准差，即y、x方向的扩散参数，m。 由守恒和连续假设条件③和④，在任一垂直于x轴的烟流截面上有： （5－17） 式中 q—源强，即单位时间内排放的污染物，μg/s； u—平均风速，m/s。 将式（5－16）代入式（5－17）, 由风速稳定假设条件①，A与y、z无关，考虑到③和④，积分可得待定函数A（x）： （5－18） 将式（5－18）代入式（5－16），得大空间连续点源的高斯扩散模式 （5－19） 式中，扩散系数σy、σz与大气稳定度和水平距离x有关，并随x的增大而增加。当y＝0，z＝0时，A（x）＝C（x，0,0），即A（x）为x轴上的浓度，也是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点C max。当x→∞，σy及σz→∞，则C→0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。 2．高架点源扩散

扩散问题的偏微分方程模型,数学建模

第七节 扩散问题的偏微分方程模型 物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决. ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程. 本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程. §1 抛物型方程的导出 设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +?时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为 2 221(cos cos cos )dSd t t t S u u u M a b c t x y z αβγ+????=++???? ??. 由高斯公式得 2222 221222()d d d d t t t u u u M a b c x y z t x y z +?Ω ???=++???? ???. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为 2 2d d d d t t t M k u x y z t +?Ω =? ???， （2） 其中2 k 是衰减系数. 由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -. 换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为 3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t t t M u x y z t t u x y z t x y z u x y z t t Ω +?Ω =+?-?=????? ??? 显然312M M M =-，即

气体扩散模型

气体扩散模型 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

放射气体模型的预估模型 摘要 本文是以日本福岛核电站遭遇自然灾害发生核泄漏的背景而提出的。且结合了高斯烟羽模型、线性拟合，以及微分方程模型，运用MATLAB软件，分析泄漏源强度、风速、大气稳定度参数等因素对放射性气体扩散的影响，预测了放射性气体浓度在不同时间，不同地区的浓度变化，并且本文模型中数据可以根据不同的实际情况而加以改变，因而是本文的应用范围大大增加，可以适用于具有较强的应用型。 对于问题一，讨论在无风的情况下，放射性气体以s m/s的匀速在大气中向四周扩散。本问中由于不考虑风力的影响，且扩散出来的气体匀速向四周散开，这样经过任意时刻t，扩散的气体围成一个半径为st的球，且距球心位置不同的地方浓度值不同。采用列数列的表现方法，设定相同时间段t，把条件进行整理，并经过简单计算得出每段时间所预测得到的扩散距离r和浓度C。利用MATLAB软件对数据进行线性拟合，采用微分方程模型得到核电站周边放射性气体在不同地区，不同时间段的浓度变化，得出随着离泄漏源距离的延伸，最后放射性物质的浓度越来越小，趋近于零，即当x趋向无穷时，C(x,y,z,t)趋向于零；当时间趋向于无穷时，C(x,y,z,t)也趋于无穷。对于问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。风速的处理是问题的中心，采用大气污染的经典高斯扩散模型,实现了高斯烟团气体扩散模型的动态预测,分析计算了气体扩散过程中的各关键参数。 对于问题三，本文在问题二的基础上，结合考虑风速和放射性物质扩散速度在空间中的矢量运算，将在上风和在下风不同情况下与传播速度s之间的比较的分析，利用高斯烟羽模型对核电站周边地区的浓度进行预测，然后，利用MATLAB软件，将相关数据代入程序，我们得到核电站周边地区的浓度分布的等高曲线。

数学建模word版素材

1建模中几种基本预测方法（数模大全-数学建模的几种基本预测算法的探讨）1.1微分方程 适用范围： 传染病的预测模型、经济增长预测模型、正规战与游击战的预测模型、药物在体内的分布与排除预测模型、人口的预测模型、烟雾的扩散与消失预测模型以及相应的同类型的预测模型 改进方法： 常系数改进，增加控制系数，综合二者。 优点： 短、中、长期的预测都适合，既能反映内部规律，反映事物的内在关系，也能分析两个因素的相关关系，精度相应的比较高，另外对初等模型的改进也比较容易理解和实现。 缺点：虽然反映的是内部规律，但是由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，故做中长期预测时，偏差有点大，而且微分方程的解比较难以得到。1.2时间序列（数模大全-时间序列模型） 使用范围：数据具有以下特点时： （1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在 某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。 （2）季节变动。 （3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相 似的波动。 （4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。 建立方法有以下几种 1）移动平均法： 简单移动平均：近期预测，趋势变化不大 加权移动平均：不同时期数据影响力不同时，近期预测，趋势变化不大 趋势移动平均：存在直线上升下降时，做二次平均进行调整。使用于直线与周期趋势并存的2）指数平滑法 一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以，更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。前者无法满足，指数可以。 主意：加权系数选择，根据数据变化特性选择。 1）.一次指数平滑 2）.二次指数平滑（为了解决一次指数平滑中滞后问题） 数据 3).三次指数平滑：当数据量呈现曲线变动时 3）差分指数平滑法 克服了指数平滑法的数据滞后性 4）自适应滤波法 利用部分已知数据先分权后进行预测另外已知数据，然后对权系数进行修正，重复，最终得出较为合理的权系数对未知数进行预测。 5）趋势外推预测方法

气体高斯扩散模型模拟

%气体高斯扩散模型模拟 Q=input('请输入泄漏源强(mg/s):Q='); u=input('请输入计算风速(m/s):u='); d=input('请输入计算精度(m):d='); Zo=input('请输入地面粗糙长度(m):Zo='); [x,y]=meshgrid(50:d:1000,-100:d:100); by0=0.08*x.*(1+0.0001*x).^(-1/2); bz0=0.06 *x.*(1+0.0015*x).^(-1/2); by=by0.*(1+0.38*Zo); fz=(2.53-0.13*log(x)).*(0.55+0.042*log(x)).^(-1).*Zo.^(0.35-0.03*log(x)); bz=bz0.*fz; tempy1=-y.*y./by./by./2; tempy2=2.718282.^(tempy1); c=Q/pi/u*((by.*bz).^(-1)).*tempy2; figure(1); Cs=input('请输入所有求解浓度(mg/m^3):'); contour(x,y,c,Cs); shading interp; colorbar; grid; xlabel('X轴向距离(m)'); ylabel('Y轴向距离(m)'); title('气体扩散下风向浓度分布图'); set(gcf,'color','white'); figure(2); Cs=input('请输入所有求解浓度(mg/m^3):'); contour(x,y,c,Cs); shading interp; colorbar; grid; xlabel('X轴向距离(m)'); ylabel('Y轴向距离(m)'); title('气体扩散下风向浓度分布图'); set(gcf,'color','white'); figure(3); Cs=input('请输入所有求解浓度(mg/m^3):'); contour(x,y,c,Cs); shading interp; colorbar; grid; xlabel('X轴向距离(m)'); ylabel('Y轴向距离(m)');

数学建模高斯扩散模型

§4-2高斯扩散模式 ū —平均风速; Q—源强就是指污染物排放速率。与空气中污染物质的浓度成正比,它就是研究空气污染问题的基础数据。通常: (ⅰ)瞬时点源的源强以一次释放的总量表示; (ⅱ)连续点源以单位时间的释放量表示; (ⅲ)连续线源以单位时间单位长度的排放量表示; (ⅳ)连续面源以单位时间单位面积的排放量表示。 δy—侧向扩散参数,污染物在y方向分布的标准偏差,就是距离y的函数,m; δz—竖向扩散参数,污染物在z方向分布的标准偏差,就是距离z的函数,m; 未知量—浓度c、待定函数A(x)、待定系数a、b; 式①、②、③、④组成一方程组,四个方程式有四个未知数,故方程式可解。 二、高斯扩散模式 (一)连续点源的扩散 连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。排放口安置在地面的称为地面点源,处于高空位置的称为高架点源。 1、大空间点源扩散 高斯扩散公式的建立有如下假设:①风的平均流场稳定,风速均匀,风向平直;②污染物的浓度在y、z轴方向符合正态分布;③污染物在输送扩散中质量守恒;④污染源的源强均匀、连续。 图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。有效源位于坐标原点o处,平均风向与x轴平行,并与x轴正向同向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散,不考虑下垫面的存在。大气中的扩散就是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布,当两坐标方向的随机变量独立时,分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件②,参照正态分布函数的基本形式式(5－15),取μ＝0,则在点源下风向任一点的浓度分布函数为: (5－16) 式中 C—空间点(x,y,z)的污染物的浓度,mg/m3; A(x)—待定函数;