椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧
安徽省宿州市褚兰中学海平
一、椭圆的定义的应用
椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点
的坐标分别是、。求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，
∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判
断
的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条
件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴
为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
1P ,2P ,求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n ）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=
19, n= 1
3
. ∴所求椭圆方程为22
x y 193
+=
评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可.
三、 利用向量解决椭圆问题
几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．
()()()2
2
410,14
111
()()222
12||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+
例、最值问题
设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，
点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，
求：动点
的轨迹方程；的最大值与最小值．
()()11222222122
122121222
0,1 1.()()1(4)2301424.
8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k
=+=+??
++-=?+
=???
+=-??+??+=?+?++-=+==++ 直线过点，
当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，
由，得，
所以解，：，析则．
()(
)222222222()40.
0,0111.1644
1117||()()3(40.1||611
||.
4).
226124
2P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤
-≤≤=-+-=-+-=++=-= 点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为
评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题
()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ?-==∈=
已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；
若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值
(
)22
2()()33()(0)
31(0)3
13
1(0)
x y
C x y G ABC G GM AB R GM AB x
M x M y x x C y x λλ?=∈=+=≠+=≠
设，，为的重心，则，．
因为，所以，
而点在轴上，则，．整理得．
所点的轨迹方析：程为以解
()()
()2
22222222211220||.
013
(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=?=-+?->+->
①当时，与椭圆有两个不同的交点、，
由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，
，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，
11222121222
1200000222
2
()()63(1)
1313()2
31313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k k
x x
PQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ m
k k k k km k -+=-=+++==
-=+=++=⊥++?=?=-+ 设，，，，
则，，则中点，的坐标为，，又，所以，
所以，
()()()()2
213**12
1,00,1,11k m k k k -+=<∈- 得，代入得，
所以．的取值范围得，是综合①②．
． 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．
高考数学圆锥曲线及解题技巧
椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
圆锥曲线解题技巧和方法综合
（本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好） 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2 =2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。
圆锥曲线解题技巧和方法综合经典
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1、 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公 式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :2a = (3)、三种圆锥曲线的通径您记得不？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义您记清楚了不？ 如:已知21F F 、就是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点M 的轨迹就是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中2221212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?u u u r u u u u r u u u r u u u u r ) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为, 可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆与双曲线的基本量三角形您清楚不？ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
数学椭圆的解题技巧
数学椭圆的解题技巧 数学椭圆的解题技巧 数学的复习策略及其椭圆技巧对考生来说极其重要。下面要为大家分享的就是数学椭圆的解题技巧，希望你会喜欢！ 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式，如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。 有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。 三、代数运算 转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长
公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭 圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则 （d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用）。 解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题 目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简 单一些。 在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐 标与这两点连线的斜率的关系式。 四、能力要求 做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错， 坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很 重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须 要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。 五、理论拓展 1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程：。据此可以直 接写出过和两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与 y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这 个方程便捷的得到过两点的直线。 2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A，B）垂直;过定点的直线的一般式可以写为。根据这两条推论可以快速地写出 两点的垂直平分线的方程。 关于椭圆： 3、椭圆的焦点弦弦长为
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧 安徽省宿州市褚兰中学海平 一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。 解析：∵ 、、成等差数列，∴ ，即，又，∴ 。 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。 又∵ ，∴ ，即， ∴ ，∴ 。 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时， 点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ 。 ∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2 ，试判断的形状。 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。
又，故满足。 ∴为直角三角形。 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。 例3 、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（ 6,1）, P2 （ 3, 2）,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx 2ny21（m>0,n>0 且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴ P1，P2点坐标适合椭圆方程，则① 6m+n=1 ，② 3m+2n=1 ，①②两式联立，解 得m= 1, n= 1. 93 22 ∴所求椭圆方程为x y 1 93 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 （m >0,n>0,m≠n），由题目所给条件求出m，n 即可.
椭圆经典解题思路
椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 126 2 2 =+ m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012 22 2>>=+ b a b y a x ． 由椭圆过点()03，P ，知 1092 2 =+ b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为 19 2 2 =+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为 ()012 22 2>>=+ b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知 1092 2 =+ b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为 19 81 2 2 =+ x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ， 知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 100 2 2 ≠=+ y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 100 2 2 ≠'=' + ' y y x ． ① 由题意有??? ? ?? ? ='='3 3y y x x ， 代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 900 2 2 ≠=+ y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<
准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴ PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， O x y D P A B C Q
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- =或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程：2a =
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记 为“左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什
圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002 2 Ax By C d A B ++= + ③夹角公式：21 21 tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式 （3）弦长公式 直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或122 1 1AB y y k =+ - (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。) （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程：2 2 2 2 ()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 22 1(0)x y m n m n +=?< 参数方程： 距离式方程：2 2 2 2 |()()|2x c y x c y a ++--+=
(3)、三种圆锥曲线的通径 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义 (5)、焦点三角形面积公式：122 tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为， 可简记为“左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形 二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 ()11,y x A 、()22,y x B ， 的弦AB 中点则有 两式相减得 ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k = 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果 有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判 别式0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、
第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)
第一讲 椭圆中常用结论及解法技巧 【知识要点】 一．椭圆三大定义 定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值． 定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆 ． 几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b -． 二．椭圆经典结论汇总 1．AB 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则 22a b k k AB OM -=?，即 0 20 2y a x b k AB -=． 等价形式：21,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其 它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A -=?． 2．椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2 tan 22 1 θb S PF F =?． 3．过椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC = （常数）． 4．P 为椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 ||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立． 5．已知椭圆()0122 22>>=+b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥， （1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ?的 最小值是22 22 a b a b +．
好用的高中数学椭圆解题方法
一些好用的高中数学椭圆解题方法 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为 , 等，如果是在椭圆 上的点，还可以设为 。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为 。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点 并且不与y轴平行，可以设点斜式 ,如果不与x轴平行，可以设 ，如果只是过定点，可以设参数方程 ，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。 有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。 三、代数运算 转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式 ，设参数方程时，弦长公式可以简化为 解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为 和 ，AB与x轴交于D，则
(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。 解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。 在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。 四、能力要求 做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。 五、理论拓展 这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等容 关于直线： 1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程: 。据此可以直接写出过 和 两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。 2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A,B）垂直；过定点 的直线的一般式可以写为 。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。 关于椭圆： 3、椭圆 的焦点弦弦长为 （其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为 ，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。 4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆 的准线是
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线 圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆 椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题 一、椭圆的知识梳理 二、椭圆的标准方程和统一方程 三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0
高考圆锥曲线解题技巧总结
第五篇咼考解析几何万能解题套路 解析几何一一把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解 决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆 锥曲线有关的最值（极值）问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆 锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经 常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点 位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、 双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线 的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时， 首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最 大，。 2. 圆锥曲线的几何性质: （1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③ 对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），四个顶点，其中长轴 长为2,短轴长为2;④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越 小，椭圆XX ;越大，椭圆越扁。 双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点； 两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），两个顶点，其中实 虚轴长为2,特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等 其方程可设为；④准 线：两条准线； ⑤离心率：，双曲 线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近 线： （3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中 的几何（2） ③对称性： 轴长为2， 轴双曲线，
意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）:④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。 3.直线与圆锥曲线的位置关系: 判断的大小。 特别提醒：（1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近 线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧 省市褚兰中学海平 一、椭圆的定义的应用 椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。 解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。 又∵，∴，即， ∴，∴。 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当 时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。 ∴点的轨迹方程为。 评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，
因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔 除使 、 、 共线的点 。 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2， 试判断 的形状。 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设 条件，故可求出的两边。 解析：由，解得 。 又，故满足。 ∴ 为直角三角形。 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 1 9, n= 13 . ∴所求椭圆方程为22 x y 193 += 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了
圆锥曲线解题技巧
圆锥曲线应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ） ； （2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左 支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程， 其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭 圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 --- ）； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧
圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 21 21 y y k x x -= - ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 002 2 Ax By C d A B ++= + ③夹角公式：直线111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则21 21 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离 ①222121()()AB x x y y =-+-②2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- ③122 1 1AB y k =+ - （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） 111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 （Ⅱ） 11112222:0:0 l A x B y C l A x B y C ++=++= ①1212120l l A A B B ⊥?+= ② 1212211221//0l l A B A B AC A C ?≠-=0且-或 111 222 A B C A B C =≠者（2220A B C ≠）
两平行线距离公式 1122 ::l y kx b l y kx b =+??=+? 距离122 1d k =+ 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=??++=? 距离1222d A B =+2、圆锥曲线方程及性质 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程2222(6)(6)8x y x y -+++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 2222()()2x c y x c y a ++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答： 5,2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点
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