算法设计与分析实验报告—背包问题
算法设计与分析
实验报告
—0/1背包问题
-
【问题描述】
给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是
i
w ，其价值为i v
，背包容量为C 。
问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
【问题分析】
0/1背包问题的可形式化描述为：给定C>0, i w >0, i v >0,1i n ≤≤，要求找出n 元0/1向量{}12(,,...,),0,1,1n i x x x x i n ∈≤≤，使得n
1i i i w x c =≤∑，而且
n
1
i i
i v x
=∑达到最大。因此0/1背包问题是一个特殊的整数规划问题。
0n k w ≤≤1
max n
i i i v x =∑
n
1
i i
i w x
c =≤∑
{}0,1,1i x i n ∈≤≤
【算法设计】
设0/1背包问题的最优值为m( i, j )，即背包容量是j ，可选择物品为i,i+1,…,n 时0/1背包问题的最优值。由0/1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m( i, j )的递归式如下：
max{m( i+1, j ), m( i+1, j-i w )+i v } i j w ≥
m( i, j )= m(i+1,j)
n v n j w >
m(n,j)=
0 0n k w ≤≤
【算法实现】
#include
#include
#include
int min(int w, int c)
{
int temp;
if (w < c) temp = w;
else
temp = c;
return temp;
}
Int max(int w, int c)
{
int temp;
if (w > c) temp = w;
else
temp = c;
return temp;
}
void knapsack(int v[], int w[], int** m, int c, int n) //求最优值
{
int jmax = min(w[n]-1, c);
for (int j = 0; j <= jmax; j++)
m[n][j] = 0;
for (int jj = w[n]; jj <= c; jj++)
m[n][jj] = v[n];
for(int i = n-1; i > 1; i--) //递归部分
{
jmax = min(w[i]-1, c);
for(int j = 0; j <= jmax; j++)
m[i][j] = m[i+1][j];
for(int jj = w[i]; jj <= c; jj++)
m[i][jj] = max(m[i+1][jj], m[i+1][jj-w[i]]+v[i]);
}
m[1][c] = m[2][c];
if(c >= w[1])
m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]);
cout << endl << "最优值：" << m[1][c] << endl;
cout< cout<< "&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&" << endl; } int traceback(int x[], int w[], int** m, int c, int n) //回代，求最优解 { out << endl << "得到的一组最优解如下: " << endl; for(int i = 1; i < n; i++) { if(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0; else { x[i] = 1; c -= w[i]; } } x[n] = (m[n][c]) ? 1:0; for(int y = 1; y <= n; y++) cout << x[y] << "\t"; cout << endl; return x[n]; } void main() { int n, c; int **m; cout << "&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&欢迎使用0-1背包问题程序&&&&&&&&&&&&&&&&&&&" << endl; cout << "请输入物品个数: "; cin >> n ; cout << endl << "请输入背包的承重："; cin >> c; int *v = new int[n+1]; cout << endl << "请输入每个物品的价值 (v[i]): " << endl; for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i]; int *w = new int[n+1]; cout << endl << "请输入每个物品的重量 (w[i]): " << endl; for(int j = 1; j <= n; j++) cin >> w[j]; int *x = new int[n+1]; m = new int* [n+1]; //动态的分配二维数组 for(int p = 0; p < n+1; p++) m[p] = new int[c+1]; knapsack (v, w, m, c, n); traceback(x, w, m, c, n); } 【运行结果】 算法实验报告 ---背包问题 实验目的 1．掌握动态规划算法的基本思想，包括最优子结构性质和基于表格的最优 值计算方法。 2．熟练掌握分阶段的和递推的最优子结构分析方法。 3．学会利用动态规划算法解决实际问题。 问题描述： 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，体积是bi，其价值为vi， 背包的容量为c，容积为d。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中 物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品只有两个选择：装入 或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量c，背包的 容积d，物品的个数n。接下来的n行表示n个物品的重量、体积和价值。输出 为最大的总价值。 问题分析: 标准0-1背包问题，MaxV表示前i个物品装入容量为j的背包中时所能产生的最大价值，结构体objec表示每一个可装入物品，其中w表示物品的重量，v表示物品的价值。如果某物品超过了背包的容量，则该物品一定不能放入背包，问题就变成了剩余i-1个物品装入容量为j的背包中所能产生的最大价值；如果该物品能装入背包，问题就变成i-1个物品装入容量为j-objec[i].w的背包所能产生的最大价值加上物品i的价值objec[i].v. 复杂性分析 时间复杂度，最好情况下为0，最坏情况下为：（abc） 源程序 #include 实验三分治算法（2） 一、实验目的与要求 1、熟悉合并排序算法（掌握分治算法） 二、实验题 1、问题陈述: 对所给元素存储于数组中和存储于链表中两中情况，写出自然合并排序算法. 2、解题思路: 将待排序元素分成大小大相同的两个集合,分别对两个集合进行排序,最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合.自然排序是通过一次扫描待排元素中自然排好序的子数组,再进行子数组的合并排序. 三、实验步骤 程序代码: #include int target[N],head[N],tail[N]; int i=0,n,m; for(; i 本科实验报告 课程名称：算法设计与分析 实验项目：递归与分治算法 实验地点：计算机系实验楼110 专业班级：物联网1601 学号： 05 学生姓名：俞梦真 指导教师：郝晓丽 2018年 05月 04 日 实验一递归与分治算法 实验目的与要求 1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境； 2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。 实验课时 2学时 实验原理 分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。 需要注意的是，分治法使用递归的思想。划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。 实验题目 1．上机题目：格雷码构造问题 Gray码是一个长度为2n的序列。序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。 对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。 （1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。 （2）序列中无相同的编码。 （3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。 2．设计思想： 根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。两位是00 01 11 10。三位是000 001 011 010 110 111 101 100。n位是前n-1位的2倍个。N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。 3．代码设计： 归式，就是如何将原问题划分成子问题。 2.递归出口，递归终止的条件，即最小子问题的求解，可以允许多个出口。 3.界函数，问题规模变化的函数，它保证递归的规模向出口条件靠拢（2）递归与非递归之间如何实现程序的转换？ （3）分析二分查找和快速排序中使用的分治思想。 答： 1．一般根据是否需要回朔可以把递归分成简单递归和复杂递归，简单递归一般就是根据递归式来找出递推公式（这也就引申出分治思想和动态规划）。 2．复杂递归一般就是模拟系统处理递归的机制，使用栈或队列等数据结构保存回朔点来求解。 （4）分析二次取中法和锦标赛算法中的分治思想。 二次取中法：使用快速排序法中所采用的分划方法，以主元为基准，将一个表划分为左右两个子表，左子表中的元素均小于主元，右子表中的元素均大于主元。主元的选择是将表划分为r 深圳大学实验报告课程名称：算法分析与复杂性理论 实验名称：实验四动态规划 学院：计算机与软件学院专业：软件工程 报告人：文成学号：2150230509班级：学术型 同组人：无 指导教师：杨烜 实验时间：2015/11/5——2015/11/18 实验报告提交时间：2015/11/18 教务处制 一． 实验目的与实验内容 实验目的： （1） 掌握动态规划算法设计思想。 （2） 掌握背包问题的动态规划解法。 实验内容： 1.编写背包问题的动态规划求解代码。 2．背包容量为W ，物品个数为n ，随机产生n 个物品的体积（物品的体积不可大于W ）与价值，求解该实例的最优解。 3. 分别针对以下情况求解 第一组：（n=10,W=10），（n=10,W=20），（n=10,W=30） 第二组：（n=20,W=10），（n=20,W=20），（n=20,W=30） 第三组：（n=30,W=10），（n=30,W=20），（n=30,W=30） 4. 画出三组实验的时间效率的折线图，其中x 轴是W 的值，y 轴是所花费的时间，用不同的颜色表示不同n 所花费的时间。 二．实验步骤与结果 背包问题的问题描述： 给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是 i w ， 其价值为i v ， 背包容量为C 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 背包问题的算法思想： 考虑一个由前i 个物品（1<=i<=n ）定义的实例，物品的重量分别为w1，…，w2、价值分别为v1，…，vi ，背包的承重量为j （1<=j<=w ）。设v[i,j]为该实例的最优解的物品总价值，也就是说，是能够放进承重量为j 的背包中的前i 个物品中最有价值子集的总价值。可以把前i 个物品中能够放进承重量为j 的背包中的子集分成两个类别：包括第i 个物品的子集和不包括第i 个物品的子集。 1. 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V[i-1,j]。 2. 在包括第i 个物品的子集中（因此，j-wi>=0），最优子集是由该物品和前i-1个物品中能够放进承重量为j-wi 的背包的最优子集组成。这种最优子集的总价值等于vi+V[i-1,j-wi]。 因此，在前i 个物品中最优解得总价值等于这两个价值中的最大值。当然，如果第i 个物品不能放进背包，从前i 个物品中选出的最优子集的总价值等于从前i-1个物品中选出的最优子集的总价值。这个结果导致了下面的这个递推关系式： 初始条件： 学号1607070212 《算法设计与分析》 实验报告一 学生姓名张曾然 专业、班级16软件二班 指导教师唐国峰 成绩 计算机与信息工程学院软件工程系 2018 年9 月19 日 实验一：递归策略运用练习 一、实验目的 本次实验是针对递归算法的算法设计及应用练习，旨在加深学生对该算法原理的理解，提高学生运用该算法解决问题的能力。 二、实验步骤与要求 1．实验前复习课程所学知识以及阅读和理解指定的课外阅读材料； 2．学生独自完成实验指定内容； 3．实验结束后，用统一的实验报告模板编写实验报告。 4．提交说明： （1）电子版提交说明： a 需要提交Winrar压缩包，文件名为“《算法设计与分析》实验一_学号_姓名”， 如“《算法设计与分析》实验一_09290101_张三”。 b 压缩包内为一个“《算法设计与分析》实验一_学号_姓名”命名的顶层文件夹， 其下为两个文件夹，一个文件夹命名为“源程序”，另一个文件夹命名为“实验 报告电子版”。其下分别放置对应实验成果物。 （2）打印版提交说明： a 不可随意更改模板样式。 b 字体：中文为宋体，大小为10号字，英文为Time New Roman，大小为10号 字。 c 行间距：单倍行距。 （3）提交截止时间：2018年10月10日16:00。 三、实验项目 1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。 题目列表如下： 【必做题】 （1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。编程求N和M。 （2）国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？ 课程设计报告 课程名称数据结构课程设计 课题名称背包问题 专业信息与计算科学 班级1001班 学号22 姓名王锐 指导教师刘洞波张晓清郭芳 2012年6月9日 课程设计任务书 课程名称数据结构课程设计课题背包问题 专业班级信科1001班 学生姓名王锐 学号22 指导老师刘洞波张晓清郭芳 审批刘洞波张晓清郭芳 任务书下达日期：2012年6月9日 任务完成日期：2012年6月16日 一、设计内容与设计要求 1．设计内容： 1）问题描述 假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为W1，W2，···，Wn的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使W1+W2+···+Wn=T，要求找出所有满足 上述条件的解。例如：当T=10，共6件物品，物品的体积为{1，2，3，4，5，8}，那么 可找到下列4组解：（1，2，3，4）、（1，4，5）、（2，3，5）、（2、8）。 2）实现提示 可利用回溯法的设计思想来解决背包问题。首先，将物品排成一列，然后顺序选取物品装入背包，假设已选取了前i件物品之后背包还没有装满，则继续选取第i+1件物品， 若该件物品“太大”不能装入，则丢弃而继续选取下一件，直至背包装满为止。但如果在 剩余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明“刚刚”装入背包的那件物品“不合 适”，应将它取出“丢弃一边”，继续再从“它之后”的物品中选取，如此重复，直至求得 满足条件的解，或者无解。 由于回溯求解的规则是“后进先出”，因此要用到栈。 2．设计要求： 课程设计报告规范 1)需求分析 a.程序的功能。 b.输入输出的要求。 2)概要设计 a.程序由哪些模块组成以及模块之间的层次结构、各模块的调用关系；每个模块的功能。 b.课题涉及的数据结构和数据库结构；即要存储什么数据，这些数据是什么样的结构， 它们之间有什么关系等。 3)详细设计 a.采用C语言定义相关的数据类型。 b.写出各模块的类C码算法。 c.画出各函数的调用关系图、主要函数的流程图。 实验5 分支界限法解0-1背包问题 一、实验要求 1．要求用分支界限法求解0-1背包问题； 2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组； 3．要求显示结果。 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++6.0 三、源程序 #include "stdafx.h" #include ~Knap(); float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限 node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点ba=1生成左节点ba=0生成右节点 void addnode(node *nod);//向队列中添加活结点 void deletenode(node *nod);//将结点从队列中删除 struct node *nextnode(); //取下一个节点 void display(); //输出结果 void solvebag(); //背包问题求解 }; //按物品单位重量的价值排序 void Knap::Sort() { int i,j,k,kkl; float minl; for(i=1;i 算法递归典型例题 实验一：递归策略运用练习 三、实验项目 1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。 题目列表如下： （1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。编程求N和M。 （2）国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？ 源程序： （3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼？ （4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？ （5）猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？ （6）小华读书。第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？ （7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。结果大家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？ 四、实验过程 （一）题目一：…… 1.题目分析 由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数gold等于运动会举行的天数由此可倒推每一 天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为6的倍数。 2.算法构造 设运动会举行了N天， If(i==N)Gold[i]=N; Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i; 《算法设计与分析》上机实验报告 一、分治与递归 1、问题描述 编写程序，实现线性时间内选择n个元素的中位数的算法。并对于不同的n，测试平均时间效率。 2、问题分析 本问题属于线性选择问题的一个特例，可以使用分治法进行求解。其基本思想是模仿快速排序方法，对输入的数组进行划分，求出中位数所在的子数组，然后用递归的方法进行求解，最终可以求得问题的解。 3、算法设计 将n个输入元素根据随机选择的基准划分成2个子数组，a[p:r]被划分成a[p:i]和a[i+1:r]两组，使得a[p:i]中每个元素都不大于a[i+1:r]中元素。接着算法计算子数组a[p:i]中元素个数j，如果k<=j，则a[p:r]中第k个小元素落在子数组a[p:i]中元素均小于要找的第k小元素，因此要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中的第k-j小元素。 按照上述的方法递归的执行，直到当前数组中只剩下一个元素，就可以得到问题的解。 4、算法实现 #include"iostream.h" #include"stdlib.h" #include"time.h" #include void main() { srand((unsigned int)time(NULL)); _timeb time0,time1; int n; cout << "请输入数组的长度："; cin >> n; cout << "请输入数组的每一个数：" << endl; int *a=new int[n]; for(int i=0;i 人工智能之遗传算法求解0/1背包问题实验报告 Pb03000982 王皓棉 一、问题描述： 背包问题是著名的ＮＰ完备类困难问题, 在网络资源分配中有着广泛的应用，已经有很多人运用了各种不同的传统优化算法来解决这一问题，这些方法在求解较大规模的背包问题时,都存在着计算量大,迭代时间长的弱点。而将遗传算法应用到背包问题的求解，则克服了传统优化方法的缺点,遗传算法是借助了大自然的演化过程,是多线索而非单线索的全局优化方法,采用的是种群和随机搜索机制。 遗传算法（GA）是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化的搜索算法，由美国J.Holland教授提出，其主要特点是群体搜索策略、群体中个体之间的信息交换和搜索不依赖于梯度信息。因此它尤其适用于处理传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，可广泛应用于组合优化，机器学习，自适应控制，规划设计和人工生命领域。 GA是一种群体型操作，该操作以群体中的所有个体为对象。选择，交叉和变异是遗传算法的三个主要算子，他们构成了遗传算法的主要操作，使遗传算法具有了其它传统方法所没有的特性。遗传算法中包含了如下五个基本要素：1 .参数编码,2.初始群体的设置,3.适应度函数的设计, 4.遗传操作设计,5.控制参数设定,这个五个要素构成可遗传算法的核心内容。 遗传算法的搜索能力是由选择算子和交叉算子决定,变异算子则保证了算法能够搜索到问题空间的每一个点,从而使其具有搜索全局最优的能力.而遗传算法的高效性和强壮性可由Holland提出的模式定理和隐式并行性得以解释。 二、实验目的： 通过本实验，可以深入理解遗传算法，以及遗传算法对解决NP问题的作用。 三、算法设计： 1、确定种群规模M、惩罚系数 、杂交概率c p、变异概率m P、染色体长度n及最大 max. 进化代数gen x=1表 2、采用二进制n维解矢量X作为解空间参数的遗传编码，串T的长度等于n， i x=0表示不装入背包。例如X={0，1，0，1，0，0，1}表示第2，4，7示该物件装入背包， i 这三个物件被选入包中。 算法设计与分析课程实验项目目录 学生：学号： *实验项目类型：演示性、验证性、综合性、设计性实验。 *此表由学生按顺序填写。 本科实验报告专用纸 课程名称算法设计与分析成绩评定 实验项目名称蛮力法指导教师 实验项目编号实验项目类型设计实验地点机房 学生学号 学院信息科学技术学院数学系信息与计算科学专业级 实验时间2012年3月1 日～6月30日温度24℃ 1.实验目的和要求： 熟悉蛮力法的设计思想。 2.实验原理和主要容： 实验原理：蛮力法常直接基于问题的描述和所涉及的概念解决问题。 实验容：以下题目任选其一 1).为蛮力字符串匹配写一段可视化程序。 2).写一个程序，实现凸包问题的蛮力算法。 3).最著名的算式谜题是由大名鼎鼎的英国谜人 H.E.Dudeney(1857-1930)给出的： S END +MORE MONEY . 这里有两个前提假设： 第一，字母和十进制数字之间一一对应，也就是每个字母只代表一个数字，而且不同的字母代表不同的数字；第二，数字0不出现在任何数的最左边。求解一个字母算术意味着找到每个字母代表的是哪个数字。请注意，解可能并不是唯一的，不同人的解可能并不相同。3.实验结果及分析： （将程序和实验结果粘贴，程序能够注释清楚更好。） 该算法程序代码如下： #include "stdafx.h" #include "time.h" int main(int argc, char* argv[]) { int x[100],y[100]; int a,b,c,i,j,k,l,m,n=0,p,t1[100],num; int xsat[100],ysat[100]; printf("请输入点的个数：\n"); scanf("%d",&num); getchar(); clock_t start,end; start=clock(); printf("请输入各点坐标:\n"); for(l=0;l 课程设计说明书 设计题目： 0-1背包问题的动态规划算法设计 专业：班级： 设计人： 山东科技大学 2013年12月5日 课程设计任务书 学院：专业：班级：姓名： 一、课程设计题目： 二、课程设计主要参考资料 （1）计算机算法设计与分析（第3版）王晓东著 （2） 三、课程设计应解决的主要问题 （1） 0-1背包问题的动态规划算法设计 （2） （3） 四、课程设计相关附件（如：图纸、软件等）： （1） （2） 五、任务发出日期： 2013-11-21 课程设计完成日期： 2013-12-5 指导教师签字：系主任签字： 指导教师对课程设计的评语 成绩： 指导教师签字： 年月日 0-1背包问题的实现 一、设计目的 1.运用动态规划思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。 2.掌握动态规划的应用。 二、设计要求 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。 三、设计说明 （一）、需求分析 1、问题描述： 形式化描述：给定c >0, w i>0, v i>0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ?∑w i x i≤c,且∑v i x i达最大.即一个特殊的整数规划问题。 2、最优子结构性质： 设(y1,y2,…,y n)是(3.4.1)的一个最优解.则(y2,y3,…,y n)是下面相应子问题的一个最优解: 证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,z n)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,y n)不是它的最优解。显然有 ∑v i z i> ∑v i y i(i=2,…,n) 且w1y1+ ∑w i z i<= c 实验5 分支界限法解0-1背包问题一、实验要求 1．要求用分支界限法求解0-1背包问题； 2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组； 3．要求显示结果。 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++ 三、源程序 #include "" #include float ub; //结点的上界值 }; //类Knap中的数据记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间class Knap { private: struct node *front, //队列队首 *bestp,*first; //解结点、根结点 int *p,*w,n,c,*M;//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系 long lbestp;//背包容量最优解 public: void Sort(); Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn); ~Knap(); float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限 node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点 ba=1生成左节点 ba=0生成右节点 void addnode(node *nod);//向队列中添加活结点 void deletenode(node *nod);//将结点从队列中删除 struct node *nextnode(); //取下一个节点 void display(); //输出结果 void solvebag(); //背包问题求解 }; //按物品单位重量的价值排序 void Knap::Sort() { 算法设计与分析实验报告 实验名称统计数字问题评分 实验日期年月日指导教师 姓名专业班级学号 一.实验要求 1、掌握算法的计算复杂性概念。 2、掌握算法渐近复杂性的数学表述。 3、掌握用C++语言描述算法的方法。 4．实现具体的编程与上机实验，验证算法的时间复杂性函数。 二.实验内容 统计数字问题 1、问题描述 一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2， (9) 2、编程任务 给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n≤109) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2， (9) 三.程序算法 将页码数除以10，得到一个整数商和余数，商就代表页码数减余数外有多少个1—9作为个位数，余数代表有1—余数本身这么多个数作为剩余的个位数，此外，商还代表1—商本身这些数出现了10次，余数还代表剩余的没有计算的商的大小的数的个数。把这些结果统计起来即可。 四.程序代码 #include int zero=1; for(int i=0;i<=l;i++) //去除前缀0 { s[0]-=zero; zero*=10; } } if(n<10) { for(int i=0;i<=n;i++) { s[i]+=1; } return; }//位数为1位时,出现次数加1 //位数大于1时的出现次数 for(int t=1;t<=l;t++)//计算规律f(n)=n*10^(n-1) { m=1;int i; for(i=1;i 实验报告 （2009/2010学年第一学期） 课程名称算法分析与设计A 实验名称动态规划法 实验时间2009 年11 月20 日指导单位计算机学院软件工程系 指导教师张怡婷 学生姓名丁力琪班级学号B07030907 学院(系) 计算机学院专业软件工程 实验报告 实验名称动态规划法指导教师张怡婷实验类型验证实验学时2×2实验时间2009-11-20一、实验目的和任务 目的：加深对动态规划法的算法原理及实现过程的理解，学习用动态规划法解决实际应用中的最长公共子序列问题。 任务：用动态规划法实现求两序列的最长公共子序列，其比较结果可用于基因比较、文章比较等多个领域。 要求：掌握动态规划法的思想，及动态规划法在实际中的应用；分析最长公共子序列的问题特征，选择算法策略并设计具体算法，编程实现两输入序列的比较，并输出它们的最长公共子序列。 二、实验环境(实验设备) 硬件：计算机 软件：Visual C++ 三、实验原理及内容（包括操作过程、结果分析等） 1、最长公共子序列（LCS）问题是：给定两个字符序列X={x1,x2,……,x m}和Y={y1,y2,……,y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。 例如：X={a,b,c,b,d,a,b},Y={b,d,c,a,b,a}。它们的最长公共子序列LSC={b,c,d,a}。 通过“穷举法”列出所有X的所有子序列，检查其是否为Y的子序列并记录最长公共子序列并记录最长公共子序列的长度这种方法，求解时间为指数级别的，因此不可取。 2、分析LCS问题特征可知，如果Z={z1,z2,……，z k}为它们的最长公共子序列，则它们一定具有以下性质： （1）若x m=y n，则z k=x m=y n，且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列； （2）若x m≠y n且x m≠z k，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列； （3）若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y的最长公共子序列。 这样就将求X和Y的最长公共子序列问题，分解为求解较小规模的问题： 若x m=y m，则进一步分解为求解两个（前缀）子字符序列X m-1和Y n-1的最长公共子序列问题； 如果x m≠y n，则原问题转化为求解两个子问题，即找出X m-1和Y的最长公共子序列与找出X 和Y n-1的最长公共子序列，取两者中较长者作为X和Y的最长公共子序列。 由此可见，两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀的最长公共子序列，具有最优子结构性质。 3、令c[i][j]保存字符序列X i={x1,x2,……,x i}和Y j={y1,y2,……,y j}的最长公共子序列的长度，由上述分析可得如下递推式： 0 i=0或j=0 c[i][j]= c[i-1][j-1]+1 i,j>0且x i=y j max{c[i][j-1],c[i-1][j]} i,j>0且x i≠y j 由此可见，最长公共子序列的求解具有重叠子问题性质，如果采用递归算法实现，会得到一个指数时间算法，因此需要采用动态规划法自底向上求解，并保存子问题的解，这样可以避免重复计算子问题，在多项式时间内完成计算。 4、为了能由最优解值进一步得到最优解（即最长公共子序列），还需要一个二维数组s[][]，数组中的元素s[i][j]记录c[i][j]的值是由三个子问题c[i-1][j-1]+1,c[i][j-1]和c[i-1][j]中的哪一个计算得到，从而可以得到最优解的当前解分量（即最长公共子序列中的当前字符），最终构造出最长公共子序列自身。 算法设计与分析实验报告实验二 0-1背包 院系： 班级： 学号： 姓名： 任课教师： 成绩： 年月 实验二 0-1背包 一. 实验内容 分别用编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果 二．实验目的 1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题； 2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。 三. 算法描述 1、动态规划法 01背包问题的状态转换公式为： （1） V(i, 0)= V(0, j)=0 （2） 公式表明：把前面i 个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j 的背包，得到的价值均为0。如果第i 个物品的重量大于背包的容量，则装入前i 个物品得到的最大价值和装入前i -1个物品得到的最大价值是相同的，即物品i 不能装入背包；如果第i 个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况： （1）如果把第i 个物品装入背包，则背包中物品的价值等于把前i -1个物品装入容量为j -wi 的背包中的价值加上第i 个物品的价值vi ； （2）如果第i 个物品没有装入背包，则背包中物品的价值就等于把前i -1个物品装入容量为j 的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值较大者作为把前i 个物品装入容量为j 的背包中的最优解。 2、贪心法 背包问题至少有三种看似合理的贪心策略： （1）选择重量最轻的物品，因为这可以装入尽可能多的物品，从而增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择使背包的容量消耗得慢了，但背包的价值却没能保证迅速增长，从而不能保证目标函数达到最大。 （2）选择价值最大的物品，因为这可以尽可能快地增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择获得了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保证目标函数达到最大。 （3）选择单位重量价值最大的物品，在背包价值增长和背包容量消耗两者 ?? ?>+---<-=i i i i w j v w j i V j i V w j j i V j i V }),1(),,1(max{) ,1(),( 算法设计与分析实验报告 教师： 学号： 姓名： 实验一：串匹配问题 实验目的：(1) 深刻理解并掌握蛮力法的设计思想; (2) 提高应用蛮力法设计算法的技能; (3) 理解这样一个观点: 用蛮力法设计的算法, 一般来说, 经过适度的努力后, 都可以对算法的第一个版本进行一定程度的改良, 改进其时间性能。 三、实验要求：( 1) 实现BF 算法; (2 ) 实现BF 算法的改进算法: KMP 算法和BM 算法; (3 ) 对上述 3 个算法进行时间复杂性分析, 并设计实验程序验证 分析结果。 #include "stdio.h" #include "conio.h" #include 东莞理工学院C语言课程设计 课程程序设计基础 题目 院系名称计算机学院 班级 学生姓名学号 组员 指导教师 时间 1 问题要求及任务描述 1.1 题目要求 假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为w1 , w2 , … , wn 的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使w1 +w2 + … + wn=T，要求 找出所有满足上述条件的解。例如：当T=10，各件物品的体积{1，8，4，3，5， 2}时，可找到下列4组解： （1，4，3，2） （1，4，5） （8，2） （3，5，2）。 1.2 主要任务 在给定物品数量，物品各自体积和背包体积的前提下，找出物体组合后的总体积与背包体积相等的物体组合 2 解决问题的主要思路和方法 2.1 关键问题 如何选择第i件物品： （1）考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续去考虑其余物品的选择。 （2）考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 2.2 拟采用解决问题的方法 可利用回溯法的设计思想来解决背包问题。首先将物品排成一列，然后顺序选取物品装入背包，假设已选取了前i 件物品之后背包还没有装满，则继续选取第i+1件物品，若该件物品"太大"不能装入，则弃之而继续选取下一件，直至背包装满为止。但如果在剩余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明"刚刚"装入背包的那件物品"不合适"，应将它取出"弃之一边"，继续再从"它之后"的物品中选取，如此重复，直至求得满足条件的解，或者无解。 2.3 主要算法和处理流程图 1．输入物品总个数 2．依次输入各物品的体积 3．输入背包总体积 4．将物品排成一列，按顺序选取物品装入背包中，当物品太大不能装入时则弃之继续选取下一件，直到背包装满为止， 5．出现在剩余的物品中找不到合适的物品填满背包的情况是说明刚刚装入背包的那件物品不适合，将它取出后继续选取后面的物品。6．重复步骤4和5直至求出满足条件的解或者无解。算法设计背包问题
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