2019届江苏省南京市高三数学(理)模拟试题

江苏省南京市、盐城市2019届高三第三次调研考试

数学（理科）

(满分160分，考试时间120分钟)2019．5

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合U ＝{x|1

2.若复数z 满足z(1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第________象限．

3.已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S 的值为________．

5.若实数x ，y －y ＋1≥0，

＋y ≥0，≤1，则x ＋3y 的最小值为________．

6.从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组

成等差数列的概率为________．

7.若函数f(x)x ，x ≤0，（x －2），x>0，则f(log 23)＝________．8.已知数列{a n n 项和为S n ，且2S n ＝3n －1，n ∈N *.若b n ＝log 3a n ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值

为________．

9.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π6

)，其中ω>0.若x 1，x 2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π，则当x ∈[0，π2]时，f(x)的最小值为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．

11.有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．

12.已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c·(a ＋2b )＝－5，则|c|的最小值为________．

13.在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，

P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2

恒成立，则线段AB 长度的最小值是________．

14.已知函数f(x)＝1

2x2－aln x＋x－1

2，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最

大值为1，则实数a的取值范围是________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分)

已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝ccos A cos C

.

(1)求证：A＝C；

(2)若b＝2，且BA→·BC→＝1，求sin B的值．

16.(本小题满分14分)

在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°.

(1)求证：平面PAC⊥平面PAB；

(2)设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l.

17.(本小题满分14分)

如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)

18.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(1，22)，离心率为22

.A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；

(3)过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且点D 在线段OA 上(不

包括端点O ，A)，直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．

19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R .(1)若函数f(x)在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2)记g(x)＝f(x)＋ax ，若函数g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝0时，关于x 的方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．

20.(本小题满分16分)

已知数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数r ，t ，且r

①若数列{a n }为“M(r ，2r)数列”，r ≤4，求q 的值；

②若数列{a n }为“M(r ，t)数列”，q ∈(－1，0)，求证：r 为奇数，t 为偶数.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作

答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.(选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝21

12.(1)求M 2；

(2)求矩阵M 的特征值和特征向量．

B.(选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋

π3)＝1，以极点O 为坐标原点，极轴Ox 所在的

直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线C ＝rcos α＋2，＝rsin α－1

(其中α为参数，r>0)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝3，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)

若x ，y ，z 为实数，且x 2＋4y 2＋9z 2＝6，求x ＋2y ＋6z 的最大值．

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.在平面直线坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)及点M(2，0)，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.

(1)求p 的值；(2)若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上．

23.对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”

的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3，且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串110101 01010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1

组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．

(1)求f(3)，f(4)的值；

(2)求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．