极坐标、参数方程题型总结

极坐标、参数方程题型总结

一、大纲要求：1. 了解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3．能在极坐标系中给出简单图形的方程。

4.了解参数方程，了解参数的意义。

5.能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。

二基础知识：

1. 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，

则 或 。

2. 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；

(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝ ；

(3)当圆心位于M (,)2a π

，半径为a ：ρ＝ .

3. 直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；

(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；

(3)直线过M (b ，π2

)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4. 常见曲线的参数方程的一般形式

（1）圆心在坐标原点，半径为r 圆的参数方程为

圆心在(,)a b ，半径为r 圆的参数方程为：

(2)椭圆的参数方程为：

（3）抛物线y 2＝2px 的参数方程为?????

x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． （4）在直线的参数方程????? x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，

(1)t 的几何意义是什么？

(2)如何利用t 的几何意义求直线上任两点P 1、P 2的距离？

t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量．

|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.

5.两个结论：已知点1122(,),(,)A B ρθρθ

（1）ABO S ?=

（2）||AB =

三、题型归纳

题型一：参数方程化普通方程

例1. 已知直线: t t y t x (.23,211???

????=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=??=? （θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；

（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的2

3倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

解.（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x 联立方程组?????=+-=,

1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB .----------5分

（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21???

????==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是

]2)4

s i n (2[432|3s i n 23c o s 23|+-=--=πθθθd , 由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(4

6-.---------10分 训练1. 已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线C: ρ=4sin θ上任一点，

点P 满足3OP OM = ．设点P 的轨迹为曲线Q ．

（1）求曲线Q 的方程； （2）设曲线Q 与直线,:x t l y t a =-??=+?

（t 为参数）相交于A 、B 两点，且|AB|=4．求实数a ．

（1）设11(,),(,)P x y M x y ，222224sin ,4,(2)4x y y x y ρρθ=∴+=∴+-=Q ，①

3OP OM = ,???==∴1133y y x x 则111313x x y y ?=????=??

，代入①整理得，22(6)36x y +-=， ∴ 点P 轨迹方程为22(6)36x y +-=. ……5分

（2）将,(x t t y t a

=-??=+?为参数)化为普通方程得0x y a +-=，

由（1）知曲线Q 是圆心为(0,6)N ,半径6r =的圆，∴圆心N 到直线l 的距

离|d =

∴22262=+,解得2a =-或14. ……10分 2.曲线C ：cos (sin x y θθθ=??=?为参数）

曲线D

：2(x t y ?=????=??为参数）。 （1）指出曲线C 、D 分别是什么曲线？并说明曲线C 与D 公共点人的个数。 （2）若把曲线C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的

21倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C 、D 公共点是否相同？

3.点P 为椭圆C

：4cos (x y θθθ

=???=??为参数）上一点，若3OP π直线的倾斜角为，求点P 的坐标。

4．若直线340x y m ++=与圆1c o s (2s i n x y θθθ=+??=-+?

为参数）没有公共点，则实数m 的范围是 。

5.直线: 1cos (sin x t t y t αα=+??=?为参数）, 曲线C ：cos ,sin ,x y θθ=??=?

（θ为参数）. （1）当,3πα=

求：直线: 与曲线C 的交点坐标。

6. 直线l: 3(3x t t y t =+??=-?为参数），圆C 2cos (22sin x y θθθ=??=+?

为参数）：则圆心C 到直线的距离是 。

题型二：普通方程化为参数方程

例2.点P(x,y)为椭圆2

213

x y +=上一点，求（1）S x y =+的范围； （2）若0x y a ++≥垣成立，求a 的范围。

训练1.直线l 过点(1,1)P ，倾斜角6πα=

，

（1）写出l 的参数方程； （2）直线l 与圆2cos (2sin x y θθθ=??=?

为参数）相交于A 、B 两点，求||||PA PB 。

题型三：极坐标化直角方程

例3．已知某圆的极坐标方程为06)4cos(242=+--π

θρρ

（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II ）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值．

解（Ⅰ）06442

2=+--+y x y x ； ………3分 ?????+=+=α

αsin 22cos 22y x （α为参数） ………5分 （Ⅱ）因为??? ??+

+=+4sin 24παy x ，所以其最大值为6，最小值为2……………10分求曲线

训练1.两圆的极坐标方程为4cos ,sin ρθρθ==-。

（1） 把它们化为直角坐标方程；（2）求两圆的交点所在直线的直角坐标方程。

2．已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。

3. cos 3ρθ=与曲线4cos (0,0)2πρθρθ=≥≤<

的交点的极坐标 。

题型四：综合运用 例4.已知曲线C

：2cos (x y θθθ

=???=??为参数）

和定点A ， 12,F F 分别是曲线C 的左、右两个焦点。

（1） 以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程；

（2） 经过1F ，且与直线2AF 垂直的直线交此曲线于M N 、两点，求11||MF|-|NF||的值。

训练1.已知曲线C 极坐标方程为2sin ρθ=，设直线l 的参数方程是325(35x t t y t ?=-+????=??

为参数）。设直线l 与x 轴相交于于M N ,为曲线C 上的动点，求||MN 的最大值。

2. 直线l

的参数方程是3(2

x t y ?=????=??为参数）

。曲线C

极坐标方程为ρθ=。 设直线l 与曲线C 相交于于M N 、

两点，点P 。求||||PM PN +。

4.曲线C ：2cos (22sin x y ααα=??=+?

为参数），M 是曲线C 上的动点，点P 满足2OP OM = 。 （1）求点P 的轨迹D 的曲线方程；

（2）射线3πθ=

与曲线C 相交于异与极点的A 点，与曲线D 相交于异与极点的B 点，，求||AB .

5.曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ

=??=?（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵

倍，得到曲线2C .以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.

（1）求曲线2C 和直线l 的普通方程；

（2）P 为曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值.

精选参数方程高中复习经典题型

[备考方向要明了] 考什么怎么考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标 系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力． 2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等. 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这 样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究] 1.极点的极坐标如何表示？ 提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： [探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？ 提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了． 4．常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α 的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π ＋α(ρ∈R) (2)θ＝α和θ＝π＋α 过点(a,0)，与极轴垂直 的直线 ρcos_θ＝a 过点，与极轴平行的直 线 ρsin_θ＝a(0＜θ＜π) 1．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程． 2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程． 3．在极坐标系中，求点A关于直线l∶ρcosθ＝1的对称点的一个极坐标． 4．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，求AB的长． 5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，求该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离． 伸缩变换的应 用 [例1] 若椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为＋＝1，求满足的伸缩的变换． ——————————————————— 求经伸缩变换后曲线方程的方法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1．在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换后得到的曲线方程为y′＝lg(x′＋5)，求曲线C的方程． 极坐标与直角坐标的互 化 [例2]122ρcos＝2.

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、 题型总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、极坐标：直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? 极坐标?直角坐标 222 tan (0) x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ? ? 二、直线的参数方程：过定点（x0，y0）倾角为α的直线： α α sin cos t y y t x x + = + = （t为参数） 直线上 12 ,P P对应的参数是 12 ,t t。|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2. 直线的一般参数方程：0 x x at y y bt =+ =+ （t为参数）若221 a b +=，则上面几何意义成立，否则，不成立。此时，需要换参，令) ( 2 2 2 2 2 2 为参数 t b a t b y y b a t a x x b a t t' ? ? ? ? ? ? ? + ' + = + ' + = ? + ' = 三、圆、椭圆的参数方程 圆心在（x0，y0），半径等于r的圆： α α sin cos r y y r x x + = + = （α为参数） 椭圆 22 22 1 x y a b +=（或 22 22 1 y x a b +=）： α α sin cos b y a x = = （α为参数）（或 α α sin cos a y b x = = ） 补充知识：伸缩变换：点) , (y x P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ? ? > ? =' > ? =' ). (,y y 0), ( x, x : μ μ λ λ ?的作用下，点) , (y x P对应到点) , (y x P' ' '，称伸缩变换抛物线22 y px =： pt y pt x 2 22 = = （t为参数，p＞0） 题型归类：方程的互化：1、代公式；2、消参 一、极坐标的几何意义的应用 1在直角坐标系xOy中。直线1C:2 x=-，圆 2 C：()() 22 121 x y -+-=,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求 1 C， 2 C的极坐标方程；

极坐标与参数方程题型三：最值问题

极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．

16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解 知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

参数方程题型大全

参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

坐标系与参数方程(题型归纳)

坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：

cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

参数方程典型例题分析

参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）． （A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，， 1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）． 例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，） （2）（为参数）；

（3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．

（3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2） 参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得， ∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，，

它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）． （A）或（B）或（C）或（D）或 分析将参数方程化为普通方程，直线为（）， 当时不合题意．

《极坐标与参数方程》题型归纳

《极坐标与参数方程》高考高频题型 除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及 （一）有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点； 相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” （二）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题

“参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为， 以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （I ）写出的普通方程和的直角坐标方程； （II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标 的直角坐标方程为. 这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边 （Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值， . （欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一） 当时）（13 sin =+π α即当时，，此时的直角坐标 为. xOy 1C ()sin x y α αα?=?? =?? 为参数x 2C sin()4 ρθπ +=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α()sin()2|3d π αα= =+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31 (,)22

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

(新)极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数 方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2 ＝4，联立?????3x －y ＝0， y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.

(完整版)参数方程高考真题专题训练

高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

参数方程题型归纳

高考数学解答题分类-----参数方程 (I) 写出曲线 C 的参数方程，直线I 的普通方程; (n)过曲线C 上任一点P 作与I 夹角为30°的直线，交I 于点A ，求| PA|的最大值与 最小值. x 1 cos 2.(十模)已知在平面直角坐标系 x0y 内，点P (x,y )在曲线C: (为参数) y sin 上运动，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 L 的极坐标方程为 cos( ) 0. 4 (1) 写出曲线C 和直线L 的普通方程； (2) 若直线L 与曲线C 相交于A,B 两点，点M 在曲线C 上运动，求 ABM 面积的最大 值。 x 3cos 已知曲线C: (为参数),在同一直角坐标系中，将曲线C 上的点按 y 2si n (1)求曲线C 的普通方程。 2 x 1. (2014全国新课标1)已知曲线 C :— 4 2 y 9 1，直线I : t ( t 为参数) 2t 3.(冲刺卷二) x 坐标变换 y 1 x 3得到曲线

(2)若点A在曲线C上，点B(3,0),当点A在曲线C上运动时，求AB中点P的轨迹方程。 4.(2014全国新课标二)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，O,^ . (I)求C的参数方程； (n)设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y ,3x 2垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D的坐标. 5.(白卷)已知曲线 6的极坐标方程为: 2cos 4sin ，曲线C2的参数方程为:

1.2 X —t 3 ( t为参数).(1)在平面直角坐标系中以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 y t 立极坐标系，求曲线C1与曲线C2的公共弦AB的极坐标方程; ⑵在曲线C2上是否恰好存在不同的三点P i,P2,P3,使得这三点到直线AB的距离都等于丄1 2? 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。 8 6.(重组九)在平面直角坐标系中以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已 知曲线C: sin2=2acos (a 0),已知过点P(-2,-4)的直线L的参数方程为 ■■- 2 x 2 2(t为参数)，直线L与曲线分别交于M,N. y 43 2 1 写出曲线C和直线L的普通方程； 2若PM , MN , PN成等比数列，求a的值。

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为

参数方程题型归纳

高考数学解答题分类-----参数方程 1.（2014全国新课标1）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与 最小值. 2.（十模）已知在平面直角坐标系x0y 内，点P （x,y ）在曲线C:? ??=+=θθsin cos 1y x (θ为参数)上运动，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为 0)4 cos(=+πθρ. (1) 写出曲线C 和直线L 的普通方程； （2）若直线L 与曲线C 相交于A,B 两点，点M 在曲线C 上运动，求ABM ?面积的最大值。 3.（冲刺卷二）已知曲线C:???==θ θsin 2cos 3y x (θ为参数),在同一直角坐标系中,将曲线C 上的点按坐标变换??? ????='='y y x x 2131得到曲线C ' (1) 求曲线C '的普通方程。

（2）若点A 在曲线C '上，点B(3,0),当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程。 4.（2014全国新课标二）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到 的参数方程，确定D 的坐标. 5.(白卷)已知曲线C 1的极坐标方程为：θθρsin 4cos 2+=，曲线C 2的参数方程为：

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.

最新极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、极坐标：直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? 极坐标?直角坐标 222 tan(0) x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ? ? 二、直线的参数方程：过定点（x0，y0）倾角为α的直线： α α sin cos t y y t x x + = + = （t为参 数）直线上 12 ,P P对应的参数是 12 ,t t。|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2. 直线的一般参数方程：0 x x at y y bt =+ =+ （t为参数）若221 a b +=，则上面几何意义成立，否则，不成立。此时，需要换参，令) ( 2 2 2 2 2 2 为参数 t b a t b y y b a t a x x b a t t' ? ? ? ? ? ? ? + ' + = + ' + = ? + ' = 三、圆、椭圆的参数方程 圆心在（x0，y0），半径等于r的圆： α α sin cos r y y r x x + = + = （α为参数） 椭圆 22 22 1 x y a b +=（或 22 22 1 y x a b +=）： α α sin cos b y a x = = （α为参数）（或 α α sin cos a y b x = = ） 补充知识：伸缩变换：点) ,(y x P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ? ? > ? =' > ? =' ). (,y y 0), ( x, x : μ μ λ λ ?的作用下，点) , (y x P对应到点) , (y x P' ' '，称伸缩变换抛物线22 y px =： pt y pt x 2 22 = = （t为参数，p＞0） 题型归类：方程的互化：1、代公式；2、消参