数列上下极限的不同定义方式及相关性质
目录
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
摘要 (01)
一、数列的上极限、下极限的定义 (01)
1. 用“数列的聚点”来定义 (01)
2. 用“数列的确界”来定义 (02)
3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)
二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)
参考文献 (14)
英文摘要 (15)
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数
一、数列的上极限、下极限的定义
关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义
定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列
{}n x 的一个聚点.
例1 数列{(1)}1
n n
n -+有聚点1-与1； 数列{sin
}4
n π
有1,22--和1五个聚点； 数列1
{}n
只有一个聚点0；
常数列{1,1,,1,} 只有一个聚点1.
定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作
lim n a →+∞
=大;lim n n a x →∞
=小.
例2 lim (1)11n
n n n →+∞-=+(),lim 111
n n n →∞-=-+
lim sin 14n n π→+∞=,limsin 14
n n π
→∞=-
11
lim lim 0n n n n
→+∞→∞==
2. 用“数列的确界”来定义 定义3 任给数列{}n x ，定义
lim limsup{}n k n n k n
x x →+∞
→∞≥=;lim lim inf{}n k n k n
n x x →∞≥→∞
= （1）
分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.
若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.
例3 lim ((1)1)n n n →+∞
-+=+∞,lim (1)n n n →+∞
-=-∞,lim(1)n n n →∞
-=-∞
3. 数列上、下极限定义的等价性
下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即
lim limsup{}n k n n k n
a x x →+∞
→∞≥==大；
lim lim inf{}n k n k n
n a x x →∞≥→∞
==小.
证明：如果l i m s u p {}k n k n
x →∞≥=+∞
，由于s u p {}k k n
x ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k n
x ≥=+∞，n N ?>.于是，可取1n ∈ （自然数）1
..1n s t x >,又可取2,n ∈
2
21,..2,,n n n s t x >> 所以，得到数列{}n x 的子列{}()n
k
x k →+∞→+∞.这就证明
了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得
lim limsup{}n k n n k n
a x x →+∞
→∞≥==+∞=大;
如果lim sup{}k n k n
x →∞≥<+∞，则lim sup{}k n k n
x →∞≥=-∞或实数.
设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ?∈
,,i i n n i n ≥≥≥当时有
sup{}i n k k n
x x ≥≤，
lim sup{}i n k i k n
a x x →∞
≥=≤，
lim sup{}k n k n
a x →∞≥≤,
所以，数列{}n x 的最大聚点满足
lim limsup{}n k n n k n
x x →+∞
→∞≥≤.
另一方面， lim ,n n y x →+∞
?>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.
因此，,N ?∈ 当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有
sup{},k k n
x y ≥≤
由此可得
lim sup{}k n k n
x y →∞≥≤.
令()lim n
n y x +
→+∞
→，推出
limsup{}lim k n n n k n
x x →∞→+∞
≥≤.
综合上述，有
lim limsup{}n k n n k n
a x x →+∞
→∞≥== .
类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得
lim lim inf{}n k n k n
n a x x →∞≥→∞
==小.
如果lim inf{}k n k n
x →-∞≥=-∞，由于inf{}k k n
x ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k n
x ≥=-∞，
对n N ?>
.于是，可取自然数1n 使得11-
22- 聚点，且为最小聚点小a .由此可得 lim lim inf{}n k n k n n a x x →-∞≥→∞ ==小; 如果lim inf{}k n k n x →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k n x →-∞≥=+∞或实数. 设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有 k n x ≥inf{}k k n x ≥ lim inf{}i n k i k n a x x →∞ ≥=≥ lim inf{}k n k n a x →+∞≥≥ 所以，数列{}n x 的最小聚点满足 lim n n x →∞ ≥lim inf{}k n k n x →+∞≥. 另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞ 易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限 多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有 inf{}k k n x ≥y ≥， 由此可得 lim inf{}k n k n x →+∞≥y ≥. 令y →[lim n n x →∞ ]-，推出 lim inf{}k n k n x →+∞≥≥lim n n x →∞ . 综合上述，有 lim lim inf{}n k n k n n a x x →+∞≥→∞ ==小. 下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理. 二、数列的上、下极限的性质及定理 设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质 性质 1 lim lim n n n n x x →+∞ →∞ ≥； （2） 性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞ →+∞ →∞ =?== 例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限. 证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞ →∞ ≠，于是存在{}n x 的两个子 列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i m k n n n n x x →+∞ →+∞ =，''lim lim k n n n n x x →+∞ →∞ =，即存在{}n x 的两个子列收 敛于不同的极限. 性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足： 存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则 lim lim n n n n x y →+∞ →+∞ ≤; lim lim n n n n x y →∞ →∞ ≤; 特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则 lim lim n n n n a a αβ→+∞ →∞ ≤≤≤ 性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥= ，则 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ?≤≤? （3） lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ ?≤≤? （4） 例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n = ，有 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞ →+∞ →+∞ =?(0)n x ≥ 证明：分三种情况讨论 1、 若lim 0n n y →+∞ >，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列 ,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>?==?≤? 当时 ，当时 则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞ →+∞ =，对{}n x {}n y +应用（4）有 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ ?≤≤? 因{}n x 收敛， 所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞ →+∞ →∞ ==， 故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ =?=? 但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞ →+∞ →+∞ ==（）0n x ≥（因） 所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞ →+∞ →+∞ = 2、 若lim n n y →+∞ =-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞ >，因此n 充分大时有 0n x >，这时等式明显成立. 3、 若lim 0n n y →+∞ -∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得 l i m ()0 n n y C →+∞ +>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞ →+∞ →+∞ +=?+ 再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ +?=?+? 从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞ →+∞ →+∞ =?，证毕. 性质 5 在不发生()±∞∞ )+(情况下，有如下不等式成立： 1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ +≤+≤+ 2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞ →∞ →∞ +≤+ 3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞ →+∞ →+∞ +≤+ 事实上，这里的等号可以不发生，如对 {}{1,0,1,0,1,0,}n x = ； {}{0,2,0,2,0,2,}n y = ， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y += lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞ →∞ →∞ +=<+= lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞ →+∞ →+∞ +=<+= 例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n = ，有 lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞ →+∞ →+∞ +=+ 证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ +≤+≤+ 注意{}n x 收敛， 因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞ →+∞ →∞ ==， 所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ +≤+≤+即成立. 例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →∞ →∞ →∞ →∞ +≤+≤+ （2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ +≤+≤+ 证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞ →+∞ -=- （1） 设lim n n x a →+∞ =， 则依上极限定义，0ε?>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于 a ε-， 即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+， 所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞ -=-，即lim()lim n n n n x x →+∞ →∞ -=-. 设 lim n n x a →∞ =，lim n n y b →∞ =，lim()n n n x y a b →∞ +=+ 用反证法，设c a b <+， 依下极限定义，0ε?>，N ?,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1 ()2 a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞ =，lim n n y b →∞ =， 依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε <-， 由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞ →∞ →∞ +≤+， 又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞ →∞ →∞ +-≤， 由于 lim()lim n n n n y y →+∞ →∞ -=-， 所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞ →∞ →∞ →∞ ≤+≤+ （2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有 lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞ →∞ →∞ →∞ →∞ -+-≤-+≤+-， 由 lim()lim n n n n x x →+∞ →∞ -=- 得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ --≤-+≤--， 即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ +≤+≤+， 当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立. 性质 6 lim ()lim n n n n x x →+∞ →∞ -=-; lim()lim n n n n x x →+∞ →∞ -=-; 性质 7 若 lim 0n n x →∞ >，则 1 lim lim 1n n n n x x →+∞→∞ ?=; （7） 例7 证：若0,(1,2,)n a n >= 且1 lim lim 1n n n n a a →+∞ →+∞?=，则数列{}n a 收敛. 证明：若lim 0n n a →∞ =，则?子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞ =，于是有1 lim k k n a →+∞=+∞， 这与1 lim lim 1n n n n a a →+∞ →+∞?=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞ >，然后用上下极限等价定 义来证明. 性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0?∞型）时，有 lim lim n n n n n x y a y →∞ →∞ =; lim lim n n n n n x y a y →+∞ →+∞ =. 证明：以第二式为例给出证明 首先设 lim 0n n y b →+∞ =>， 其中b 为有限数或+∞. 令 ,00,0.n n n n y y z y >?=?≤? 当；当 则 lim lim n n n n z y b →+∞ →+∞ ==; lim lim n n n n n n x z x y →+∞ →+∞ =. 由0,0n n x z ≥≥得 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →∞ ≤≤?， 即 lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞ →+∞ →+∞ ≤≤?， 也就是 lim lim n n n n n x z a z →+∞ →+∞ =?， 代回到n y 就得到 lim lim n n n n n x y a y →+∞ →+∞ =?. 其次设 lim 0n n y b →+∞ =≤ （b 为有限数） 只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞ =-∞， 这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0?∞型），显然n n x y →-∞. 下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞ 与下极限lim n n x →∞ ; （2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞ =+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚 点; 如果数列{}n x 有上界b ① 若[],,a b a b ?<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞ →∞ =-∞=,此时 lim n n x →+∞ =-∞; ② 若[],,a b a b ?<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞ ; （3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞ =-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点; 如果数列{}n x 有下界a ① 若[],,b a a b ?>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞ →∞ =+∞=,此时 lim n n x →+∞ =+∞; ② 若[],,b a a b ?>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞ . 证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈?-= n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ?,且 ()22111 2 b a b a M -= -=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为 []33,a b ,则[][]2233,,a b a b ?,且 ()3322122 M b a b a -= -=； 如此下去得到一个递降闭区间套: [][][]1122,,,k k a b a b a b ???? ； 1 0()2 k k k M b a k --= →→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项. 由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞ =?∈ 对0x 的任何开领域U ，0,..s t ε?> 000(;)(,)B x x x U εεε=-+?，则N ?∈ ，当k N >时， 00[,](,)k k a b x x U εε?-+?，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列 {}n x 的聚点. 至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列 {}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中 ()1111111 ()022 k k k k k b a b a b a ----= -==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01 |,k k k x a b ∞ =?∈ . 下证0x 为数列{}n x 的最大聚点. （反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点* 00,x x >令*001()0,3 x x δ=->则 有 *** 000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时， ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多 含有数列{}n x 的有限项矛盾. 类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x . （2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,.. lim k n n s t x →+∞ =+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞ =+∞. 如果数列{}n x 有上界b ① 若[],,a b a b ?<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知, lim lim n n n n x x →+∞ →∞ =-∞=； ② 若[],,a b a b ?<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列 {}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞ ； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x . 定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞ →+∞ →∞ =?==. 证明：()? 设lim n n x a →+∞ =，则对a 的任一邻域U ，N ?∈ ，当n N >时， n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点. b a ?≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，.. a b s t U U φ= . 由于lim n n x a →+∞ =，故N ?∈ ，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ?，从而b U 中至多含 有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点. 综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以 lim lim n n n n x a x →+∞ →∞ ==. 或者，因lim n n x a →+∞ =，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞ =. 因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而 lim lim n n n n x a x →+∞ →∞ ==. ()? 设lim lim n n n n x x a →+∞ →∞ ==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一 开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当 {}1max ,,1k n N n n >= 时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞ =. 定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价： (1) a 大为数列{}n x 的上极限； (2) 0,,..N s t ε?>?∈ 当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t ,k n x a k ε>-?∈ 大； (3) ,a a ?>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ?<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个. 证明：(1)(2)?: 因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε?>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列 {}n x 的无限多项{} 12|k n x n n << ，则有,k n x a k ε>-?∈ 大. 又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大. (2)(3)?: ,a a ?>大令a a ε=-大，由（2）知，N ?∈ ，当n N >时，有n x a ε<+大 ()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个. b a ?<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{} k n x ， ,k n x a b ε>-=大 k ?∈ ，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个. (3)(1)?: 设U 为a 大的任一开邻域，则0,.. (;).s t B a a a U εεεε?>=-+?大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此 a a ε-+大大（， ε） 中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点. 另一方面，a a ?>大，记1 ()2 a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于() a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限. 定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价： (1) a 小为数列{}n x 的下极限； (2) 0,,..N s t ε?>?∈ 当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t ,k n x a k ε<+?∈ 小； (3) b a ?<小， 数列{}n x 中小于b 的项至多有限个;a a ?>小， 数列{}n x 中小于a 的项有无限多个. 证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x. 从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了. 参考文献: [1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001 [2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979 [3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998 [4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003 [5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993 [6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002 [7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997 [8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993 [9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004 [10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008 [11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004 The sequence about limit with gathers the row on lower limit collection Hao Li-jiao 20071115065 2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematics professions 1 class Abstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of nature Key words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 ●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2 第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ; |Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A; …… |X2-A|<|X1-A|/A; 向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 目录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘要 (01) 一、数列的上极限、下极限的定义 (01) 1. 用“数列的聚点”来定义 (01) 2. 用“数列的确界”来定义 (02) 3. 数列上、下极限定义的等价性 (02) 二、数列的上、下极限的性质及定理 (04) 参考文献 (14) 英文摘要 (15) 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数 一、数列的上极限、下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义 定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列 {}n x 的一个聚点. 例1 数列{(1)}1 n n n -+有聚点1-与1； 数列{sin }4n π 有1,22 --和1五个聚点； 数列1 {}n 只有一个聚点0； 常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1. 定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作 lim n a →+∞ =大;lim n n a x →∞ =小. 例2 lim (1)11n n n n →+∞-=+(),lim 111 n n n →∞-=-+ lim sin 14n n π→+∞=,limsin 14 n n π→∞=- 11 lim lim 0n n n n →+∞→∞== 2. 用“数列的确界”来定义 数列极限的证明 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A||Xn-1-A|…… |X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1设x(k)x(k+1)=√[2+3x(k)]3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0 √(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 数列极限四则运算法则 的证明 https://www.wendangku.net/doc/e9418866.html,work Information Technology Company.2020YEAR 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使 得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．． 求数列极限方法总结归纳 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1， 则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： 利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。 利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。 极限的运算 教学目标 1熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限. 2 ?理解和掌握三个常用极限及其使用条件?培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力. 3?正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想. 教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件. 教学过程 （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个 例1 ：求下列极限: 3^2 7n 3n (1) lim n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限. 生：可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限. 7- 0+ 0^- 0 7 师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？ 生；可以转化咸11啤JO的形式.分子、分母同时除臥" 心0 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何? 生：结果应该一样. 常用极限: 1 lim — =0,lim C=C , lim q n=0 (|q|<1 )来解决。 n 4n3 1 ,315 7 ----- 1 -------- p— 解‘原式牡叮山 lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~? lim4 - IL-KX* nf gfi 解：原式=lim肮— CO孑Z怕I?丿 Mi） 1 z 0-1 3 -lim I l旳 生；不能-因为limq" = 0中! 时，一般方法是把分子、分母同除以n的最高次為转化威求数列￡} 的极限问题. % rr^w 师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀耒大家分析、 判断正误. 0^~ 3 1-0 1 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限? |q| 例1、用数列极限定义证明：22lim 07 n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712 n n n n n n n n n n n n n n ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2 极限的基本性质 数列极限的性质 1、 极限的不等式性： 设；A x n n =∞→lim B y n n =∞ →lim ； ①若A>B, 则存在於同一趋势过程中，即?N ，当n>N 时 存在：> n x n y ②若>，则存在於同一趋势过程中，A≥B. n x n y ③若< ,在存在於同一趋势过程中，A≤B. n x n y 2、 极限的唯一性： 若；A x n n =∞→lim B x n n =∞ →lim 则在n 的同一趋势过程中，A=B 3、 收敛数列必有界性: 若在n 取定趋势下收敛，则 必然有界，即： n x n x 函数极限的性质 1、 函数极限的不等式性： 若；A x f n x x =→)(lim B x g n x x =→)(lim ； ①若A>B {在x→的趋势运动中，即： 0x ?δ>0 ,在δg(x) ②若f(x)>g(x), {δ 设， A x f n x x =→)(lim ①若f(x)≥0, 则在δ0, 则在δ0 3、 函数极限的唯一性： 设；A x f n x x =→)(lim B x f n x x =→)(lim 则在δ 极限的运算 教学目标 1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限． 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点 使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程 （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个 常用极限：n n 1 lim ∞→=0，∞→n lim C=C ，∞ →n lim q n =0（|q|<1）来解决。 例1：求下列极限： 1 45 37lim )1(323-++-∞→n n n n n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限． 生：可以分子、分母同除以n 3，就能够求出极限． 师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？ 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样． 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？ （二）先求和再求极限 例2求下列极限： 由学生自己先做，教师巡视． 判断正误． 生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n →∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的． 师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？ 生：用等比数列的求和公式先求出分母的和． =12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件． 例3求下列极限： 师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策． 生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形． 生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形． 导读： 极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词： 极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限 1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是： 对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点： 其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的 N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且A 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多 导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n). 关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且A 考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论 （1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2,n n n x x x x n +<<=-=L ，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2,n n n x x x x n +-<<=+=L ，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111lim 1111212n n →∞?? +++ ?+++++??L L 第2讲 数列极限概念及其性质 讲授内容 一、数列极限概念 数列 ,,,,,21 n a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子． （1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽. 园内接正n 边形的面积n R n A n π2sin 22= ,4,3(=n ），当∞→n 时，22 22sin R n n R A n ππ π π→= （2） 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 第一天截下 21，第二天截下221，……，第n 天截下n 21，……这样就得到一个数列 ,21,,21,212n ．或? ?????n 21.不难看出，数列{ n 21}的通项n 2 1 随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义． 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N 时有ε <-||a a n 则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞ →lim ，或)(∞→→n a a n .读作“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”． 若数列}{n a 没有极限，则称}{n a 为发散数列．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限． 二、根据N -ε定义来验证数列极限 例2 证明01 lim =∞→αn n ，这里α为正数 证：由于 ,1|01|ααn n =-故对任给的ε>0，只要取N=11 1 +??? ? ???? αε ，则当N n >时，便有 εαα< 用定义证明函数极限方法总结: 用定义来证明函数极限式lim ()x a f x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节 不同。 方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。 方法2：将()f x c -放大成() x a ?-，解() x a ?ε-<，得()x a h ε-<，从而得 ()h δε=。 部分放大法：当 ()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得 ()()f x c x a ?-≤-，解()x a ?ε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。 用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞ =，方法： 方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得 ()A h ε=。 方法2：将()f x c -放大成() x a ?-，解() x a ?ε-<，得()x h ε>，从而得 ()A h ε=。 部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得() ()f x c x a ?-≤-，解 ()x a ?ε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。 平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：2 lim(23)7x x →+=。 证明：0ε?>，要使： (23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022 x ε <-< ， 取2 εδ= ，即可。 例2 证明：22 112 lim 213 x x x x →-=--。 分析：因为，22 11212 213213321 x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制数列极限四则运算法则的证明
高中数学复习――数列的极限
数列极限的概念(经典课件)
数列极限的证明
数列上下极限的不同定义方式及相关性质.
数列极限的证明
数列极限四则运算法则的证明
数学分析-数列极限
求数列极限方法总结归纳
数列极限的运算性质
用极限定义证明极限
极限的基本性质
数列极限的运算性质
函数与数列极限的定义区别
数学分析数列极限分析解析
函数与数列极限的定义区别
考研数学数列极限内容概括及考点总结
数列极限及其性质2009
（这里).1||0<
0． 证：(ⅰ)当1=a 时，结论显然成立. (ⅱ) 当1>a 时，记11 -=n a α，则0>α.由 )1(11)1(1-+=+≥+=n n a n n a αα得
用定义证明函数极限方法总结[1]