数学必修4第二章课后习题解答[唐金制]
![数学必修4第二章课后习题解答[唐金制]](https://img.wendangku.net/imgee/075gunqg4epjb7ndmw3f-e1.webp)
![数学必修4第二章课后习题解答[唐金制]](https://img.wendangku.net/imgee/075gunqg4epjb7ndmw3f-52.webp)
数学必修4第二章课后习题解答
第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）
1、略.
2、AB u u u r ，BA u u u r
. 这两个向量的长度相等，但它们不等.
3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r
，GH =u u u r
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、
（2
）
. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r
相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r
相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .
4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u u
u r
5、AD =u u u r
6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
习题2.1 B 组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6对，与AM u u u u r
反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与
AD u u u r
反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对
2．2平面向量的线性运算 练习（P84）
1、图略.
2、图略.
3、（1）DA u u u r
； （2）CB u u u r .
4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r .
水流方向
C
D
A B 练习（P87）
1、图略.
2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r
. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.
2、57AC AB =u u u r u u u r ，27
BC AB =-u u u r u u u r .
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r
反向. 3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r ； （4）89
b a =r r .
4、（1）共线； （2）共线.
5、（1）32a b -r r ； （2）111123
a b -+r r
； （3）2ya r . 6、图略.
习题2.2 A 组（P91）
1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ； （3）向东北走102km ； （4）向西南走52km ；（5）向西北走102km ；（6）向东南走102km.
2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r
表示河水
的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r
表示船实际航行的速度.
在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r
，
所以22
2282217AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r
因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈?
所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r
； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r . 5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r
9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132
a b +r r ； （4）2()x y b -r .
10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .
11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r
，
DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .
（第11题）
12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r
，
34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .
13、证明：在ABC ?中，,E F 分别是,AB BC 的中点，
所以EF AC //且1
2
EF AC =，
即12
EF AC =u u u r u u u r ；
同理，12
HG AC =u u u r u u u r
，
所以EF HG =u u u r u u u r .
习题2.2 B 组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.
2、不一定相等，可以验证在,a b r r
不共线时它们不相等.
3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13
AM AB =u u u u r u u u r
，
所以1111()3333
MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.
证明：∵13
AD BC =u u u r u u u r
，
∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.
证明：∵AB DC =u u u r u u u r
，
∴AB DC //且AB DC =
∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r
∴四边形ABCD 为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.
证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r
而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r
，即AB ∥CD . 因此，四边形ABCD 为平行四边形.
（第12题）
E
H
G
F
C A
B
乙
（第1题）
（第4题(2)）
B
C
D
（第4题(3)）
D
C
B
A
D
M
O
B
C
（第5题）
2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）
1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r
；
（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r
. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r
.
3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r
；
（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r
4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r
，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .
5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.
6、10(,1)3或14
(,1)3
-
7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32
AP PB =-u u u r u u u
r
(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r
∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)2
33(3)
2
x x y y ?
-=--????-=---??
∴8
15x y =??=-?
，所以点P 的坐标为(8,15)-.
习题2.3 A 组（P101）
1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).
说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.
2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r
3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r
而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r
，
(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r
由AD BC =u u u r u u u r 可得，12
27
x y +=??+=?，解得点D 的坐标为(1,5).
4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r
.
1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u u
r .
(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r
，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r
，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r
，所以，点E 的坐标为(2,1)-.
5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以23
6
x =-，解得4x =-.
6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuu
r 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r
，所以点A '的坐标为(2,4)；
3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r
习题2.3 B 组（P101）
1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r
.
当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以(4,5)P ；
当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57
(,)22
P ；
当2t =-时，
2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r
，所以(7,8)P .
2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r
，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线； （2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r
，所以P 、Q 、R 三点共线；
（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r
，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线. 3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121
e e λλ=-u r u
u r .
所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.
4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r
，,x y 都是唯一确定的，
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
1、1
cos ,86242
p q p q p q ?=??<>=??=u r r u r r u r r .
2、当0a b ? 时，ABC ?为直角三角形. 3、投影分别为0，-图略 练习（P107） 1、5a ==r ，b ==r 35427a b ?=-?+?=-r r . 2、8a b ?=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ?+=r r r ，2 ()49a b +=r r . 3、1a b ?=r r ，a =r b =r 88θ≈?. 习题2.4 A 组（P108） 1、a b ?=-r r 222()225a b a a b b +=+?+=-r r r r r r a b +=r r 2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ?=-u u u r u u u r . 3、a b +==r r a b -==r r 4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ. （1）当0λ=时，等式显然成立； （2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ， 所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ?==r r r r r r ()cos a b a b λλθ?=r r r r ()cos cos a b a b a b λλθλθ?==r r r r r r 所以 ()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ； （3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为180θ?-， 则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ?=?-=-r r r r r r ()cos cos a b a b a b λλθλθ?==-r r r r r r ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ?=?-=-r r r r r r 所以 ()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ； 综上所述，等式成立. 证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ， 那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ?=?=+r r 112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ?=?=+=+r r 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ?=?=+r r 所以 ()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ； 5、（1）直角三角形，B ∠为直角. 证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r ∴6(2)(6)20BA BC ?=-?-+-?=u u u r u u u r ∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ?为直角三角形 （2）直角三角形，A ∠为直角 证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r ∴2117(3)0AB AC ?=?+?-=u u u r u u u r ∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ?为直角三角形 （3）直角三角形，B ∠为直角 证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r ∴35350BA BC ?=-?+?=u u u r u u u r ∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ?为直角三角形 6、135θ=?. 7、120θ=?. 22 (23)(2)44361a b a b a a b b -+=-?-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ?=-r r ， 1 cos 2a b a b θ?==-r r r r ，所以120θ=?. 8、23 cos 40θ= ，55θ=?. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r ∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ?=?+-?=u u u r u u u r ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形. 10、解：设(,)a x y =r ， 则2 2 92x y y x ?+=??= ?? ，解得5x y ?=????=?? 5 x y ?=-? ???=?? . 于是a =r 或(,55 a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r ， 则221420x y x y ?+=?+=? ，解得5x y ?=????=?? 或5 x y ?=-????=?? . 于是)55e =-r 或(55 e =-r . 习题2.4 B 组（P108） 1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ?=???-?=??-=?⊥-r r r r r r r r r r r r r r 证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r . 先证()a b a c a b c ?=??⊥-r r r r r r r 1212a b x x y y ?=+r r ，1313a c x x y y ?=+r r 由a b a c ?=?r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--r r ，所以()0a b c ?-=r r r 再证()a b c a b a c ⊥-??=?r r r r r r r 由()0a b c ?-=r r r 得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ?=?r r r r 2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OB αβαβ?∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r . 3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r . cos ,u v u v u v ?=<>r r r r r r ，所以,ac bd u v +=<>r r ∴2 2 2 2 2 2 2222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r 4、AB AC ?u u u r u u u r 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关. 证明：取AB 的中点M ，连接CM ， 则CM AB ⊥，12 AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ?=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC ∠=u u u u r u u u r 所以2 12 AB AC AB AM AB ?==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ?中，90C ∠=?，则222 CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r 证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 由90C ∠=?，有CA CB ⊥，于是0CA CB ?=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r （2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥ 证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r ∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ?=+?-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以22 0AB AD -=u u u r u u u r ∴0AC DB ?=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥ （3）长方形ABCD 中，求证：AC BD = 证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ?=u u u r u u u r ∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . ∴22 ()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD = （4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y 则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r 由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即1123 2x x y y =-+??=-? （第4题） 代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ?∽OBC ?，1 2 DF BC = , 所以2 3 BO BF = . 2211()()3323 AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ； （2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A A v v v ?=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=?； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°. 习题2.5 B 组（P113） 1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ， 则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r . 设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ?=-???=? u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为 220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为 2 0sin 2v g θ u u r . 2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r 的夹角为α，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=?，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)- 解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r . O D F E A B C （第2题） （第4题） 将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4 π 到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ， 于是7777 (2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444 AP ππππ=+-=--u u u r 所以11 23x y -=-?? -=-? ，解得0,1x y ==- （2）32y x =- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4 π 后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ?' =-????'=+??，即2 ()2 2 ()x x y y x y ?'=-??? ?'=+?? 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得3 2y x =- 第二章 复习参考题A 组（P118） 1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×. 2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B . 3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133 DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233 FA DC a b ==-u u u r u u u r r r 1233 CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ； （2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ?=u u u r u u u r . 6、AB u u u r 与CD u u u r 共线. 证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=. 10、34 cos ,cos 0,cos 55 A B C === （第4题） 11、证明：2 (2)22cos6010n m m n m m -?=?-=?-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519 cos ,cos 820 θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119） 1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D . 2、证明：先证a b a b a b ⊥?+=-r r r r r r . 222()2a b a b a b a b +=+=++?r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-?r r r r r r r r . 因为a b ⊥r r ，所以0a b ?=r r ，于是22a b a b a b += +=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-?⊥r r r r r r . 由于222a b a a b b +=+?+r r r r r r ，22 2a b a a b b -=-?+r r r r r r 由a b a b +=-r r r r 可得0a b ?=r r ，于是a b ⊥r r 所以a b a b a b +=-?⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =?⊥r r r u r 22 ()()c d a b a b a b ?=+?-=-r u r r r r r r r 又a b =r r ，所以0c d ?=r u r ，所以c d ⊥r u r 再证c d a b ⊥?=r u r r r . 由c d ⊥r u r 得0c d ?=r u r ，即22()()0a b a b a b +?-=-=r r r r r r 所以a b =r r 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】 4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142 AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111()4242 AM AE EM a b a a b =+=++=+u u u u r u u u r u u u u r r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ， 所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11 OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=?，同理可得1330OPP ∠=? 所以31260P PP ∠=?，同理可得12360PP P ∠=?，23160P P P ∠=?，所以123PP P ?为正三角形. （第3题） D O P 3 P P 2 （第5题） （第6题） 6、连接AB . 由对称性可知，AB 是SMN ?的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7 、（18（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2 ）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90?+. 8、解：因为OA OB OB OC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ?-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ?=u u u r u u u r 同理，0OA BC ?=u u u r u u u r ，0OC AB ?=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ?的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直； （3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥， 夹角θ 的余弦cos θ= ； （4）d = 平面向量单元测试题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得（ ） A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 2．如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是（ ） A. AD →与CB → B. OB →与OD → C. AC →与BD → D. AO →与OC → 3．某人先位移向量a r ：“向东走5 km ”，接着再位移向量b r ：“向西走3 km ”，则a b +r r 表示( ) A ．向东走2 km B ．向西走2 km C ．向东走8 km D ．向西走8 km 4．如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6), (2,1)B -,(4,1)C -,则重心的坐标是 ( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 5．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7) 6．下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ） A.1e r =（0，0），2e u u r =（1，－2） B. 1e r =（－1，2），2e u u r =（5，7） C. 1e r =（3，5），2e u u r =（6，10） D. 1e r =（2，－3），2e u u r =（21，－4 3） 7． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（OB -OC ）·（OB +OC -2OA ）=0，则ΔABC 的形 状一定为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形 8．已知12,5||,3||=?==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A ． 512 B ．3 C ．4 D ．5 必修二第二章综合检测题 一、选择题 1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面 2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3B．4C．5D．6 3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面 4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90° 5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a?α，b?αB．a?α，b∥α C．a⊥α，b⊥αD．a?α，b⊥α 6．下面四个命题：其中真命题的个数为() ①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. A．4B．3C．2D．1 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论： ①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有() A．①②B．②③C．②④D．①④ 8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是() A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b 9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成 高一数学期末试卷（必修一、必修四） （考试时间：100分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 函数y = ） A. )4 3,21(- B. ]4 3,21[- C. ),4 3[]2 1,(+∞?-∞ D. ),0()0,2 1(+∞?- 2.函数12sin()2 4 y x π =-+的周期，振幅，初相分别是（ ） A. 4π，2，4π B. 4π，2-，4π- C. 4π，2，4π D. 2π，2，4 π 3. 图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数αx y =在第一象限内的图象，则解析式 中指数α的值依次可以是 （ ） （A ）1-、21、3 （B ）1-、3、21 （C ）21、1-、3 （D ）21 、3、1- 4. 已知 53 )sin(= +απ且α是第三象限的角，则cos(2)πα-的值是（ ） A 54- B 54 C 54± D 53 5．已知函数f(x)14x a -=+的图象恒过定点p ，则点p 的坐标是 （ ） A.（ 1，5 ） B.（ 1, 4） C.（ 0，4） D.（ 4，0） 6. 已知 ，若()3f x =，则x 的值是（ ） A 1 B 1或32 C 1，3 2 或 D 7．函数2 (232)x y a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是 （ ） (A) 0,1a a >≠ (B) 1a = (C) 12a = ( D) 1 2 1a a == 或 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是( ) A.sin cos 1αα+> B.sin cos 1αα+= C.sin cos 1αα+< D.不能确定 9. 设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2)f -，()f π，(3)f -的大小关系是（ ） A.()(3)(2)f f f π>->- B.()(2)(3)f f f π>->- C.()(3)(2)f f f π<-<- D.()(2)(3)f f f π<-<- 高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B 高一数学必修二第二章经典练习题 第I卷（选择题） 请修改第I卷的文字说明 一、单项选择 ）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确B．仅①、④正确 C．仅①正确D．四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（） A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条 3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（） A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（） A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E是SB 的中点,则AE SD ，所成的角的余弦值为( ) A. 1 3 D. 2 3 9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED 与D1F所成角的大小是 （） A． 1 5 B。 1 3 C。 1 2 D 10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A.若//,,// m n m n αα ?则 B.若,, m m n n αβα ?=⊥⊥ 则 C.若//,//,// m n m n αα则 D.若//,,,// m m n m n αβαβ ?= I则 11. 在三棱柱 111 ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是 侧面 11 BB C C的中心，则AD与平面 11 BB C C所成角的大小是 ( ) A．30o B．45o C．60o D．90o 12. 已知直线l、m，平面α、β，且lα ⊥，mβ ?，则// αβ是l m ⊥ 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 稷王中学高一年级第一次月考数学试题 2014-9-26 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 集合{1,3,5,7}用描述法表示出来应为 ( ) A.{x|x 是不大于7的非负奇数} B.{x|1≤x ≤7} C.{x|x ∈N 且x≤7} D.{x|x ∈Z 且1≤x ≤7} 2. 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3. 设集合A={x |－5≤x<1},B={x|x ≤2}，则A ∪B= ( ) A.{x |－5≤x<1} B.{x|x ≤2} C.{x|x<1} D.{x |－5≤x ≤2} 4. 已知集合A={x|x 2+x －2=0},若B={x|x ≤a},且A ?≠B,则a 的取值范围是 ( ) A.a>1 B.a ≥1 C.a≥-2 D.a≤-2 5. A={1,2},则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数为, （ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 6. 已知全集,U R =集合{}{} 1,1.M x R y x N y R y x =∈=-=∈=+则 M C N U =( ） A ．? B.{}01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {} 11x x -≤< 7． 设集合{}22≤≤-=x x M ，{} 20≤≤=y y N ，给出下列四个图形，其中能表 示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 8. 已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A ＊B={x ∣x ∈A 且x ?B}， 则集合A ＊B 等于（ ） A. {1，2，3} B. {2，4} C. {1，3} D. {2} 9．与||y x =为同一函数的是（ ）。 高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式: 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。 A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题： (1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4 9．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则 等于（）。 A、B、C、D、 10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。 A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2 12．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量与b的夹角为θ，那么我们称×b为向量与b的“向 量积”，×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b|=2, ·b=-2，则| ×b|=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量= , 求向量b，使|b|=2| |，并且与b的夹角为 。（10分） 16、已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均 高中数学必修高2第二章测试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________ 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α? B 、AB α? C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC 成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是 A 、l ∥a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ， a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心 10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A 、 23 B 、76 C 、4 5 D 、56 11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为 4，那么tan θ的值等于 必修四第一章复习题 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当 x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2 5．若sin ? ?? ??π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得 到y ＝sin ? ?? ??x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ 的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A B ．m －n D.12(m －n ) C ， ②函数f (x )在区间? ?? ??－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其 中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 第二章综合检测题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行 C．异面D．平行或异面 2．平行六面体ABCD－ABCD中，既与AB共面也与CC共面11111的棱的条数为() A．3B．4C．5D．6 3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面 4．长方体ABCD－ABCD中，异面直线AB，AD所成的角等111111于() A．30°B．45°C．60°D．90° 5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() ∥α，b．a?αα，b?αBA．a?C．a⊥α，b⊥αD．a?α，b ⊥α 6．下面四个命题： ①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ∥b，则a，b与③若ac所成的角相等； ∥c. ，则⊥ca④若a⊥b，b其中真命题的个数为() A．4B．3C．2D．1 7．在正方体ABCD－ABCD中，E，F分别是线段AB，BC11111111上的不与端点重合的动点，如果AE＝BF，有下面四个结论：11∥∥平面ABCD. 与AC异面；④⊥AA；②EFEFAC；③EF①EF1其中一定正确的有() A．①②B．②③C．②④D．①④ 8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是() ∥ba b与α所成的角相等，则aA．若，∥∥∥∥b βb，，则β，αaB．若aα∥∥βb，则αβαC．若a?，b?，aD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b 1 / 14 ∥，l，直线ABll，点A∈α，A?β9．已知平面α⊥平面，α∩β＝∥∥，则下列四种位置关系中，不一定成立α，n直线AC⊥l，直线mβ) 的是( ∥m．ACAB⊥m BA．∥β．AC⊥βDC．AB、D中，E已知正方体ABCD－ABC10．(2012·大纲版数学(文科))1111所成角的余弦值为DF与BB、CC的中点，那么直线AEF分别为111) (34 B. .A．－5533 ．－. DC54＝ACABC的三个侧面与底面全等，且AB＝11．已知三棱锥D－为面的二面角的余与面 l t h e 必修四第一章复习题 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法中，正确的是( )A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan 的值为( ) a π6A ．0 B. C ．1 D.3 33 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在( )θ 2A ．第一、三象限 B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝ B ．T ＝1，θ＝π π 2 C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ＝－，且π l 7．将函数y ＝得到y ＝sin (x － π6) A. π68．若tan θ＝2A ．0 B ( ) (0，＋∞)内( )D ．有无穷多个零点 11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg ＝n ，则lgsin A 1 1－cos A 的值是( ) A ．m ＋ B ．m －n 1 n s C. D.( m －n ) 12 (m ＋1n )1212．函数f (x )＝3sin 的图象为C ，(2x －π 3)①图象C 关于直线x ＝π对称；11 12②函数f (x )在区间内是增函数； (－π12， 5π12) ③由y ＝3sin2x 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 二、填空题(本大题共4在题中横线上) 13．已知sin ＝，α(α＋π2) 1314．函数y ＝3cos x (0≤x 图形的面积为________． 15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＝2； α<β，则tan α § 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a 高二周末检测题2013/10/25 一、选择题 1．下面四个命题： ①分别在两个平面内的两直线是异面直线； ②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ) A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( ) A ．三条交线为异面直线 B ．三条交线两两平行 C ．三条交线交于一点 D ．三条交线两两平行或交于一点 4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ） A 、点P 必在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面BC D 内 D 、点P 必在平面ABC 外 5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ?l ，则下列命题中的假命题是( ) A ．过点P 且垂直于α的直线平行于β B ．过点P 且垂直于l 的直线在α内 C ．过点P 且垂直于β的直线在α内 D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C ．若a ?α，b ?β，a ∥b ，则α∥β D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E ， F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论： ①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．6 9．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直 D ．与AC 、MN 均不垂直 10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、 2V B 、3V C 、4V D 、5 V 11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝1 2，则下列结论错误的是( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值 D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 . 14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 . Q P C' B' A' C B A 数学必修四第二章教案 【篇一：北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》 全部教案姚连省编制】 北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案 扶风县法门高中姚连省 第一课时 2.1从位移、速度、力到向量 一、教学目标 1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间 的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实 际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何 表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善 于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题. 3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习 态度和勇于创新的精神. 二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教法 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检 验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教法:探究交流法. 四.教学过程（一）、创设情境 实例：老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去。 问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为 方向错了. （二）、探究新知 1．学生阅读教材思考如下问题 [展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充） （1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有 方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等。 注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以 进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较 大小。 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 A ．棱台 B ．棱柱 C ． 棱锥 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ． 2 2 ＋2 C ． 2 2 1＋ D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ． 43 C ．33 D ． 23 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ． 125π B ．50π C ．25π D ．全不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ． 3∶3 B ．3∶2 C ．2∶3 D ． 3∶1 6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ． 2 9π B ． 2 7π C ． 2 5π D ． 2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2 3 ，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )． A． 2 9 B．5 C．2 D． 2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误 ．．的是( )． A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． (第10题) 二、填空题 11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________． 14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________． (第8题) 第一单元 命题人： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 （时间：90分钟.总分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.-300°化为弧度是 （ ） A.34π- B.35π- C ．32π- D ．65π - 2.为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)6 2sin(π +=x y 的图像（ ） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π 个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π 个单位长度 3.函数sin(2)3y x π =+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6 x π =- B ．12 x π=- C ．6 x π= D ．12 x π = 4．若实数x 满足㏒x 2=2+sin θ,则 =-++101x x ( ) A. 2x-9 B. 9-2x C.11 D. 9 5.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则x y 值为( ) A.3 B. - 3 C. 33 D. -3 3 6. 函数)3 2sin(π -=x y 的单调递增区间是（ ） A ．?????? +-125,12ππππk k Z k ∈ B ．?? ???? +-1252,122ππππk k Z k ∈ C ．?????? +-65,6ππππk k Z k ∈ D ．????? ? +-652,62ππππk k Z k ∈ 7．sin(－310π)的值等于（ ） A ．21 B ．－2 1 C ．23 D ．－23 2.2 线面平行、面面平行的判定 例题解读: 例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. 例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线 求证：//MN 平面BCE 例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、 例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD. 例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO? 巩固练习： 1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对 4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤ 6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( ) (1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α (2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 必修四第一章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若sin cos 0αα?<，则α的终边在( ) A ．第一或第二象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第四象限 D ．第二或第四象限 2．sin （﹣285°）＝（ ） A ． 62 - B ．62 -- C ． 62 + D ．62 +- 3．已知sinx ＋cosx ＝ 1 5 (0≤x ＜π)，则tanx 的值等于( )． A ．－ 34 B ．－ 43 C ． 34 D ． 43 4．若tan 3α=,则2sin cos 3cos()-5cos 2 αα π αα +-- 的值为（ ） A ． 12 B ．1-2 C ． 514 D ．74 - 5．化简12sin 50cos50-??的结果为（ ） A ．sin50cos50?-? B ．cos50sin50?-? C ．sin50cos50?+? D ．sin50cos50-?-? 6．sin110cos40cos70sin320??+??=( ) A ． 1 2 B ． 3 C ．12 - D ．3- 7．设函数()()002f x Asin x A πω?ω??? =+ ?? ? ＞，＞， ＜的部分图象如图所示， 则f （0）＝（ ） A ．3 B ． 3 2 C ．2 D ．1 8．函数f (x )=lg (1+2cosx )的定义域为（ ） A ．- 2233k k ππππ??++ ???，()k Z ∈ B ．22-2233k k ππππ??++ ??? ， ()k Z ∈ C ．- 2266k k ππππ?? ++ ???， ()k Z ∈ D ．22263k k ππππ?? ++ ??? ， ()k Z ∈ 9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝ 3 π 对称的是（ ）高一数学必修4第二章测试题
数学必修二第二章经典测试题(含答案)
高一数学人教版A必修一、必修四第一章期末试卷
高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量
高中数学必修二第二章经典练习题
(新)高中数学必修一第一章测试题附答案
高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
高二数学必修2第二章测试题及答案
高中数学必修四第一章测试题
数学必修二第二章测试题含标准答案
(完整版)高中数学必修四第一章测试题
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
数学必修四第二章教案
高中数学必修二第一章经典测试题及答案
高一数学必修4第一章测试题及答案1
数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质测验
数学必修四第一章试卷(含答案).
- 高一数学必修四第二章复习参考题
- 数学必修4-第二章-平面向量知识点
- 高中数学必修四第二章教案
- 高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量
- 数学必修4第二章课后习题解答[唐金制]
- 高中数学必修4课后习题答案
- 最新数学必修4-第二章-平面向量知识点
- 数学必修四第二章测试(附答案)
- 数学必修四第二章复习总结-经典例题。
- 高中数学必修四第二章习题
- 高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
- 人教版必修4高中数学必修4第二章测试题
- 人教版高中数学必修4课后习题答案详解
- 高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
- 高一数学必修4第二章测试题
- 数学必修四第二章测试(附答案)
- 数学必修四第二章教案
- 人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
- 高中数学必修4第二章复习课
- 人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)