二次型与对称矩阵
二次型与对称矩阵
二次型与对称矩阵
1.设二次型()22212312233,,4323f x x x x x x x x =+++
a.求一个正交变换x Qy =将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换。
b.用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
c.用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
2.设
123A λλλ?? ?= ? ???，231B λλλ?? ?= ?
则存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =，其中_____P =
3.二次型
2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x =++-+正定时，t 应满足的条件是 _______________
4.设A 为实对称矩阵，且
0A ≠，则把二次型()T f x x Ax =化为 ()1T f y y A y -=的线性变换是____________
5.实二次型为正定的充分必要条件是__________
A . ()R A n = B. A 的负惯性指数为零
C. 0A >
D.A 的特征值全大于零
6.设 11
1111
1111
111
111A =，4000000000000000B = 则A 与B 的关系是__________
A . 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D.既不相似也不合同
7.设矩阵
320242025A =--??
正定，则与A 相似的对角矩阵为__________
A . 1210 B. 2010
C. 147
D.671-?? 8.设A ，B 为n 阶正定矩阵，则__________是正定矩阵
A .
12k A k B + B. A B **+ C.
11A B --- D.AB 9.设()ij n n A a ?=为实对称矩阵，二次型
()()
2
1211221,,,n n i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑
为正定二次型的充要条件是__________
A . 0A = B. 0A ≠
C. 0A >
D.0A <
10.设n 元二次型 ()()()()()
222212112223111,,,n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++ 其中()1,,i a i n = 为实数，试问当121,,,,n n a a a a - 满足什么条件时二次型()12,,,n f x x x 为正定二次型。
11.设()T f x x Ax =是一n 元实二次型，12,,,n λλλ 是A 的实特征值，且1
2n λλλ≤≤≤ ，证明对于任一n 维列向量x 有
1T T T n x x x Ax x x λλ≤≤ 12.设
m n A ?为实矩阵，若()R A n =，试证T A A 为正定矩阵
方阵的特征值
1.设A 是n 阶方阵，5A =，则方阵B AA *=的特征值是_______，特征向量是_________
2.设4阶方阵A 相似于B ，且A 的特征值为1111,,,2345，则
1B E --=_________
3.若λ是n 阶方阵A 的特征方程的单根，则()R E A λ-=_________
4.若n 阶可逆矩阵A 的每行元素之和均为a ，则12A E -+的一个特征值为_________
5.设三阶方阵A 有特征值0,1,1-，其对应的特征向量为123,,ααα，令()132,,P ααα=，则（）
A 110-?
B 101-??
C 011-??
D 011????-?????? 6.与矩阵
112A =??相似的矩阵是（） A 110010002B 100021001C 101020001D 110011002
7.矩阵 A 与B 相似，则（）A E A E B λλ-=-B E A E B λλ-=-
C A 与B 与同一对角矩阵相似
D 存在正交阵Q ，使得1Q AQ B -=
8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则（）
A ()R A n =
B A 有n 个互不相同的特征值
C A 是实对称矩阵
D A 有n 个线性无关的特征向量
9.设矩阵
001010100A =??相似于B ，则()()2R B E R B E -+-= A 2 B3 C 4 D5
10.设()12,,,T n a a a α= ，()10,1a n ≠>，T A αα=，求A 的特征值和特征向量
11.设矩阵22082006A a =??相似于Λ，求（1）a ，（2）可逆矩阵P 和对角矩
阵Λ，使得1P AP -=Λ
12.设A 是n 阶正交矩阵，且1A =-，证明－1是A 的一个特征值。
线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题
第六章 二次型 本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识. §1 二次型及其矩阵 一、二次型及其矩阵 定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 + ++= 22 222 11121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122 222--++++ (1) 若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成 j i n j i ij n x x a x x x f ∑==1 ,21),,,( (2) 称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型. 记,2122221 11211 ?? ???? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ???? ? ?? ??=n x x x x 21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中 A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把 ),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型. 对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型 3231212 3222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵， 并求出二次型的秩. 解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,??? ? ? ??----=242422221A 因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩. ?? ?? ? ??---+????? ??----+????? ??----=140022022 14~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3. §2 化二次型为标准型 一、二次型合同矩阵 二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型 对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。 一、对称矩阵的定义与特性 在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。具体定义如下： 定义1：对称矩阵 设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。 对称矩阵的一些特性如下： 特性1：主对角线上的元素 对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。 特性2：特征值 对称矩阵的特征值都是实数。 特性3：特征向量 对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。 特性4：对角化 对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质 二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。具体定义如下： 定义2：二次型 设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。称f(x)为二次型。 二次型有一些重要的性质： 性质1：对称性 二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。 性质2：标准型 对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。 性质3：正定、负定与半正定 二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。 三、对称矩阵与二次型的关系
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵和反对称矩阵 本文主要介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义、性质和应用。 1.定义 对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相等，即矩阵的转置等于它本身。定义如下： 设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于A本身，则称A为对称矩阵。 反对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相反，满足A=-AT。定义如下： 设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于-A本身，则称A为反对称矩阵。反对称矩阵中对角线元素都为0。只有当n为奇数时，才有可能构造出反对称矩阵。 2.性质 对称矩阵和反对称矩阵都是特殊的方阵，它们有以下性质： 1）对称矩阵的特征值都是实数。 2）对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。 3）对称矩阵的每个子矩阵都是对称矩阵。 4）反对称矩阵的行列式都是偶数次幂。 5）反对称矩阵的秩为偶数。
6）反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。 3.应用 对称矩阵和反对称矩阵在物理学、工程、数学等领域都有广泛应用。下面介绍其中一些应用。 3.1 对称矩阵 对称矩阵与二次型有密切关系。二次型是由一个n维向量x和一个n阶矩阵A的乘积xTAx表示的。如果A是对称矩阵，则称该二次型为正定二次型。正定二次型的特征值都是正数，表现出对向量的正面影响，常用于优化问题中。在物理学中，对称矩阵常用于表示物理系统的对称性，如空间对称性和内禀对称性。此外，在计算机科学领域中，对称矩阵可以用于计算图像处理中的中值滤波和边缘检测。 3.2 反对称矩阵 反对称矩阵在物理学中也很有用，可以表示无旋场，如电磁场和磁场等。在机器学习算法中，反对称矩阵可以用于求解矩阵奇异值、特征值和特征向量等问题，具有很高的计算效率。同时，反对称矩阵也能表示多种对称性和不变性，例如动量和角动量的守恒，以及物理系统中的对称映射。此外，反对称矩阵还被广泛应用于控制论和自动化领域。 4.总结
二次型定理
二次型定理 二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。 一、二次型的定义 在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。设有n 个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。二次型可以表示为： f(x) = x^TAx 其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。 二、二次型的矩阵表示 设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx 可以写成矩阵形式： f(x)=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} 整理得： f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j 将此式称为二次型的矩阵表示。 三、二次型定理 二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得： P^TAP = D
第六章 二次型总结
第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次函数 21211112121313112 2222232322(,,,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++L L L L 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,,,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++++++++++++++???? ??? ???= ? ?? ??????? =L L L L L L L L L L L L L M L 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称 矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的 正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同. 2.2 合同矩阵的性质
实对称矩阵与二次型
实对称矩阵与二次型 课后习题详解 习题8.1 1 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为: (1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2) 724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (3) 1141 41411⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 2 22254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭ (5) 3242 62423-⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪⎝ ⎭ (6) 744490405-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (7) 0041001441001 40 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ (8) 1333313333133 331---⎛⎫ ⎪ --- ⎪ ⎪ --- ⎪ ---⎝⎭ 解: (1) 22 1 ||43(1)(3)1 2 E A λλλλλλλ---= =-+=---- 所以 121,3λλ== 11λ=代入 ()0E A X λ-= , 12120|0 x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)T α=-,标准正交化为 :11,1)T η= - 23λ=代入 ()0E A X λ-= , 121200 x x x x -=⎧⎨ -+=⎩得基础解系, 2(1,1)T α=,标准正交化为 :2T η=
取Q ⎛ = ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ . (2) 27 24 ||625(25)(25)24 7 E A λλλλλλ---= =-=+--+ 所以 1225,25λλ==- 125λ=代入 ()0E A X λ-= , 12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 1 4(,1)3T α=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355 T T η== 225λ=-代入 ()0E A X λ-= , 12123224024180 x x x x --=⎧⎨ --=⎩得基础解系, 23(,1)4T α=-,标准正交化为:24334(,1)(,)5455 T T η=-=- 取43553455Q ⎛⎫- ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,250025T Q AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (3) 1 1401(1)(4)41||1 4 11 41 41 1 1416 14 E A λλλλλλλλλλ----+----+-=---=--------+-+ 2325336954(6)(3)(3)4153 λλλλλλλλλλλ-+--==--+=--+-++ 所以 1236,3,3λλλ===- 16λ=代入 ()0E A X λ-= ,
线性代数二次型
线性代数二次型 1 二次型与对称矩阵 一、 二次型及其矩阵 1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数： 22 2 12111222(,,,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + 12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --+++ + 称为二次型。 为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为： 2 12111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =++ + 2 212122222n n a x x a x a x x ++++ + 2 1122n n n n nn n a x x a x x a x ++++ ,1 n ij i j i j a x x == ∑ 令1112 12122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢ ⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则 12(,, ,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。 由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次 型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。 例1 设 3132212 322 2132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
第二章 2 试求二次型矩阵A . 解 111=a , 222=a , 333=a , 2 52112==a a , 273223==a a , 293113==a a . 于是得 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32 729272 25 29251A ，1123235912257(,,)2 2297322x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中 ⎪ ⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=321x x x X . 求二次型AX X T 的矩阵. 解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T 321321233110321),,(x x x x x x AX X 3231212322 214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--223211311. 二、线性变换 1 标准形 定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。 显然：其矩阵为对角阵。 2 线性变换
《计量经济学》第二章知识
第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为： v a a a a a a a a a a A mn m m n n ij ? ???? ???????== 2122221 11211][ 矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==n k kj ik ij b a c 1 ，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立 的： ● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？ 向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。 矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。 显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '， ● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。 ● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。 则称A 、B 是可逆矩阵，显然1 -=B A ，1 -=A B 。如下结果是成立的： 1111111)()()()(-------='='=A B AB A A A A 。
二次型与对称矩阵习题
二次型与对称矩阵习题 型例题一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准 三、正定二次型的判定 线性代数课件 一、二次型及其矩阵表示例1. 求实二次型f ( x1 , x2 , , xn ) (ai1 x1 ai 2 x2 ain xn )i 1 n 2 的矩阵及秩. 解a11 a21 令A an1 a12 a22 an 2 a1n A1 a2 n A2 ann An 线性代数课件 A1 n A2 则A ' A ( A '1 , A '2 , , A 'n ) A 'i Ai i 1 An 于是f ( x1 , x2 , , xn ) (( x1 , x2 , xn ) A 'i ) 2i 1 n x1 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) A 'i Ai i 1 xn 线性代数课件 x1 x1 n x2 x2 ( x1 , x2 , , xn )( A 'i Ai ) ( x1 , x2 , xn ) A ' A i 1 xn xn 由于( A ' A)' A '( A ')' A ' A, A ' A为n阶实对称阵,故f ( x1 , x2 , xn )的矩阵为A ' A, 其秩R( A ' A) R( A). 线性代数课件 二、化二次型为标准形例3.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x ' Ax ax 2 x22 1 2 2 3x3 2bx1 x3 (b 0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1, 特征值之积为12. (1)求a, b的值; (2)利用正交变换将二次型f 化为标准型, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(2003年数学3)5 线性代数课件 解法1 a 0 b (1)二次型f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为A 0 2 0 . b 0 2 设A的特征值为i (i 1, 2,3),由题设有
二次型及其矩阵表示
第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 22 22121212(,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.
线性代数中的二次型矩阵表示
线性代数中的二次型矩阵表示在线性代数中，二次型是一种重要的概念，它与矩阵表示有着密切的联系。本文将介绍二次型的定义及其矩阵表示的相关知识，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。 一、二次型的定义 二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其一般形式可以表示为： Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j 其中，x_1, x_2, ..., x_n为变量，a_{ij}为系数。二次型可以用矩阵来表示，即二次型矩阵。 二、二次型矩阵的构造 将二次型中的系数构成一个矩阵A = [a_{ij}]_{n\times n}，则矩阵A 为二次型的矩阵表示。其中，a_{ij}为二次型中的系数。 例如，对于一个二次型Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_1x_2 + 4x_2x_3，其矩阵表示为： A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3}{2} & 0\\ \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} 三、二次型矩阵的性质 1. 对称性：二次型矩阵A是对称矩阵，即A^T = A，其中A^T为A 的转置矩阵。
2. 正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，则称二次型矩阵A为正定矩阵。 3. 半正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx \geq 0，则称二次型矩阵A为半正定矩阵。 4. 负定性和半负定性的定义与正定性和半负定性类似，只是不等式的方向相反。 四、二次型矩阵的特征值与特征向量 对于二次型矩阵A，存在n个实数\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n，使得存在非零向量x_1, x_2, ..., x_n，满足Ax_i = \lambda_ix_i，其中i = 1, 2, ..., n。 这里的\lambda_i被称为矩阵A的特征值，而对应的x_i被称为矩阵A的特征向量。 五、二次型矩阵的对角化 对于二次型矩阵A，如果它的特征值都是不同的，并且存在n个线性无关的特征向量x_1, x_2, ..., x_n，使得它们构成了一组基，那么矩阵A可以相似对角化。 具体地，设P = [x_1 x_2 ... x_n]，则有 A = P^{-1}D P
二次型
第六章 二 次 型 I 重要知识点 一、二次型及其矩阵表示 1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n +a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。 2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵 A =?? ? ? ? ? ? ??nn n n n n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式： f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2122212 11211 ??? ?? ? ? ??n x x x 21=X T AX 其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。 二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了
一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。 3、线性变换 设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式 ?????? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由 x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。 线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵 C =?? ? ? ? ? ? ??nn n n n n c c c c c c c c c 2 1 22221 11211 则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式： X =CY 其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。 1) 当|C |≠0时，线性变换X =CY 称为非退化的线性变换。 2) 当C 是正交矩阵时，称X =CY 为正交线性变换，简称正交变换。 3) 线性变换的乘法。 设X =C 1Y 是由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 的非退化的线性变换，而Y =C 2Z 是由y 1，y 2，…，y n 到z 1，z 2，…，z n 的非退化的线性变换，则
第六章-二次型
第六章 二次型 二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为 标准形式的问题.不仅在几何中,而且在数学的其它分支与物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题.在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理与正定二次型等基本理论. §1 二次型 定义1 n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 +n n x x a x x a x a 2232232 22222+++ +… +)1.1(2 n nn x a 称为一个n 元二次型, 简称二次型.当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 都为实数时,f 称为实二次型.本章中只讨论实二次型. 取ji a =ij a
对称矩阵性质与应用
对称矩阵的性质及应用 班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥 内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： （1）对称矩阵一定是方阵 （2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都 成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 定义2 形式为1200000 l a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角 矩阵 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。 （2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零。反对称矩阵一定形如12112 2120 00n n n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。
不对称矩阵二次型化对称的原理
不对称矩阵二次型化对称的原理 不对称矩阵二次型化对称的原理 引言 在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，它可以用于描述一组线性方程的系数和变量之间的关系。对称矩阵是一类特殊的矩阵，在很多领域中都具有重要的应用，其中之一就是二次型。然而，有时我们需要将一个不对称矩阵变换为对称矩阵，这篇文章将介绍不对称矩阵二次型化对称的原理。 什么是二次型？ 二次型是一种数学对象，它表示为变量的平方和一些变量的乘积的形式。在线性代数中，二次型是由一个n维向量和一个对称矩阵所定义的。它在许多科学领域中都具有重要的应用，如物理、工程学和经济学等。 不对称矩阵的特点 不对称矩阵是指矩阵的转置与矩阵本身不相等的矩阵。它具有以下特点： 1. 不对称矩阵的对角线元素可以是任意的值。 2. 不对称矩阵的非对角线元素可能具有不同的值。 3. 不对称矩阵的特征值可能是复数，不一定是实数。
二次型化对称的原理 我们希望将一个不对称矩阵变换为对称矩阵，以便更好地研究其 性质和应用。为了实现这个目标，我们可以使用一个简单的原理：任 何一个二次型可以化简为一个对称矩阵。 具体来说，我们可以通过矩阵的特征分解来实现二次型的对称化。特征分解是一种将矩阵分解为特征向量和对应的特征值的方法。对于 一个不对称矩阵，特征分解可以将其分解为特征向量矩阵和对角线上 的特征值矩阵的乘积。 然而，由于不对称矩阵的特征值可能是复数，我们需要将其变换 为实数形式。这可以通过使用特征值的实部和虚部构成的对称矩阵来 实现。最终，我们将得到一个实对称矩阵，使得它所定义的二次型也 是对称的。 实例分析 为了更好地理解不对称矩阵二次型化对称的原理，我们举一个简 单的实例来进行分析。 设有一个不对称矩阵A: A = [[1, 2], [3, 4]] 首先，我们计算矩阵A的特征值和特征向量。通过计算，我们得 到A的特征值为-和，对应的特征向量为[-, ]和[, ]。
线性代数二次型习题及问题详解
第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111 111 T 2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1 T 2⎛⎫ = ⎪⎝⎭ A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == + +∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==+ ++ +∑ 设A i = 1(, ,,,)i ij in a a a ),,1(m i =
讨论对称矩阵的正定性-模板
讨论对称矩阵的正定性 本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。关键词:对称矩阵,正定性二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,其中正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵,那么,正定矩阵就一定是对称矩阵.那么怎样的对称矩阵是正定矩阵呢?本文将给出正定矩阵的定义以及判别实对称矩阵正定的常用条件. 设=,(其中C,i,j=1,2,…,n), 的共轭转置记为= 定义对于复对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵. 若仅在实数域上考虑,此定义等价于 定义对于实对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵. 由于二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,此定义又等价于 定义如果对于任一组不全为零的非零实数,,…,,都有 f(,,…,)=>0,则称实二次型f(,,…,)是正定的. 由以上定义可知正定矩阵的和仍是正定矩阵. 事实上若与为同价正定矩阵,则对于非零列向量=(,,…,)0,必有>0, >0,从而(+)=+ >0, 所以+也是正定的. 定理 n阶实对称矩阵正定,当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n. 证明设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得 ++…+(*) 由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么正定当且仅当(*)是正定的,由定义知(*)正定当且仅当>0 (i=1,2,…,n,),因此,正惯性指数为n. 推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0,(i=1,2,…,n,). 证明由定理得,实对称矩阵正定当且仅当二次型 f(,,…,)=++…+的正惯性指数为n,因此,>0 (i=1,…,n,). 推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n.