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高等代数习题课指导讲义

高等代数习题课指导

高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。

习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵（2学时）

教学目的通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。

基础提要略述（结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法）。

课堂练习：

1 计算AB ，BA ，AB －BA ，其中 ??

??=???? ??=a c b b c a B a b c c b a A 111,

111．

2 设A ，B ，C ∈)(F M n

．证明，若AB =BA ，AC =CA ，则A (B + C ) = (B + C ) A ；A (BC ) = (BC ) A ．

3 设A = )()(F M a n

∈，A 的主对角元素nn

a a a ,,,2211Λ的和∑=n

i ii

a 1

叫做A 的迹，记作A Tr ．设A ，B )(F M n

∈，证明：

1);Tr Tr )(Tr B A B A +=+ 2);,Tr )(Tr F k A k kA ∈=

3));(Tr )(Tr BA AB = 4)AB －BA n

I ≠． 4 设A n

M ∈(R)，且A '= A ．证明，若2

A = 0，则A = 0．

5 设A = B +C 机遇)(F M n

∈，其中C C B B -='=',．证明下列命题彼此等价：

A A A A '='； 2)BC = C

B ； 3)CB 是反对称矩阵．

6 设)(F M A n

∈，且A 2+A +I n =0．证明，A 可逆；并求A -1

7 设)(F M A n ∈是对合矩阵, 即n I A =2

,且n

I A ±≠.证明：

1)A 是可逆矩阵, 并求1

-A . 2)A I n +与A I n

-都是奇异矩阵.

8 设A ，B ，C )(F M n

∈．证明：

1)若A 非奇异，则AB = AC ?B = C ； 2)若A 奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．

9 设)(F M A n

∈可逆，且1

-A =nn

ij b )(，求,)(1-A P ij ,))((1-A k D i )((k T ij

)-A ．

10 设n

M A ∈(R)．证明若以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：

1) A 是对称矩阵； 2) A 是对合矩阵； 3) A 是正交矩阵．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。习题课2 行列式的概念及其计算（2学时）

教学目的通过本习题课的教学实践，提高学生对行列式定义、性质、定理及其应用的认识，把握行列式的计算。

基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：

1 已知204，527和255都能被17整除，利用行列式的定义、性质(不计算)证明下面行列式也能被17整除：

527254

02．

2 设)

()

(F M a A n nn

ij ∈=,求

∑

n n j j j nj nj nj j j j j j j a a a a a a a a a ΛΛM M M ΛΛ21212121222111 ,

这里n

j j j Λ2

1取遍所有的n 排列．

3 设)(t a ij

是区间[a , b ]上的可微函数，i ，j =1，2，…，n ．证明：

∑==n

j nn nj n n j n j nn n n n n t a t a dt d

t a t a t a dt

t a t a t a dt d

t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a dt d 1

122211111212222111211)

()()()

()()()()()()

()()()()()()()()(ΛΛM

M M ΛΛΛΛ

ΛM M M ΛΛ．

4 证明：

c b

d a z y w x c b d a z y w x x

y z

w a b c d d c b a w

z y x ----++++=.

5 证明，

∑∑==='-n

j ij

j i n

i A y x Y X A 1

0，这里，)()(F M a A n nn ij ∈=,(1x X ='),

,,2n x x Λ

n A y y y Y ),,,,(21Λ='是|A |中a ij

的代数余于式．

6 证明：

a a a a Λ

M M M M ΛΛΛ001001001111210∑=-=n

i i

n a a a a a 1021)

(Λ；

∑=+=++++n i i n n

a a a a a a a a 121321)

11(11111111111111111111ΛΛ

M M M M ΛΛΛ．

7 应用行列式计算下列

行列式：

121

222221

1211111

11------n n

n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ΛM

M M M ΛΛ．

8 下列行列式：

n n n n

n n x b a b a b a b a x b a b a b a b a x b a b a b a b a x ΛM M M M ΛΛΛ3

21332313232212131211；

9 计算下列行列式： 1)

n a a a a a a a ------100000001100110

0133221ΛΛM M M M ΛΛΛ； 2)

n y x y y x x y y x x y y x ------ΛΛM M M M ΛΛΛ0000000000

033221；

10 设)

()(F M a A n nn ij

∈=．证明：

∑∑==+=+++++++++n i n

j ij

nn n n n n A x A x

a x a x a x

a x a x a 11212222111211ΛM M M ΛΛ；其中A ij 如§3

所示；

∑∑==------------=n

i n

j nn

nn n n n n n

n n n ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 11

1322121223

222221111131212111

11ΛM M M M ΛΛ．课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课3 行列式的应用与矩阵的秩（1学时）

教学目的通过一学时的习题课教学实践，增进学生对行列式在矩阵

基础应用中的认识及其证题能力。

基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：

1 设nn

a A )(=，若)(j i j i <>时都有0=ij

a ，则称A 是一个上(下)三角矩阵．证明：

1)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；

2)可逆的上(下)三角矩阵的逆阵也是上(下)三角矩阵．

2 设)(F M A n ∈．证明，存在非零矩阵)(F M B n

∈，使AB =0的充分且必要条件为|A | = 0．

3 设n

M A ∈(C)．证明：

1)A adj =adj A 2)adj(kA )1

-=n k (adj A ), k ∈C

3)adj(A ')=(adj A )'； 4)若A 非奇异，则adj(A -1)=(adj A )-1．

4 设)(F M A n

∈，2≥n ．证明： 1)|adj A |1||-=n A ； 2)adj(adj A )A A n 2

||-=． 5 设n

m F A ?∈．若rank A =m (n )，则称A 是行(列)满秩矩阵．证明，A 是行(列)满

秩矩阵的充分且必要条件为存在n (m )阶可逆

矩阵Q (P )，使得A =(I m , 0)Q （A =P

? ??0n I ）．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。

习题课4 向量的线性相关性与线性方程解的理论（2学时）教学目的通过2学时的习题课教学实践，增强学生对向量线性相关性概念的理解及其对线性方程组解的理论的认识，基本把握这样类型问题的证明。

基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：

1 同上题所设．设r

i i i ααα

,,,21

Λ是t

αα,,1

Λ中的r

个向量，且t

αα,,1

Λ中的每个向量都可以由r

i i αα,,1

Λ线性表示．证明r

i i αα

,,1

Λ是t

αα,,1

Λ的一个极大线性

无关组．

2 设n

F ∈ααα,,,2

Λ．证明，n

ααα,,,2

Λ线性无关的充分且必要条件是n

F 的每一个向量都可以由它们线性表示．

3 证明，非零向量组n

F ∈ααα,,,21Λ线性无关的充分且必要条件是每一个i

α，1＜i ≤t ,都不能由它前面的向量线性表示．

4 设n m F A ?∈t

m F B ?∈,．证明，若rank(A ,B ) = rank A ，则B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示；反之亦然．

5 设,n

m F A ?∈rank A =r ．证明：

1) 若B 是由A 的s 个行构成的矩阵，则rank B ≥r + s －m ．

6 设向量组;,,;,,11t m ββααΛΛt

m ββαα,,,,,11ΛΛ的秩分别为321,,r r r ．证明，2

1321},max{r r r r r +≤≤．

7 设)()(F M a A n nn ij ∈=,F k F b b n

∈∈=',),,(1Λβ，且

? ??'=k A B ββ.证明，若

rank A = rank B ，则线性方程组β=AX 有解．

8 设n

n n

n ij F a A ?--∈=)1()1()(，A 去掉第j 列所成矩阵的行列式记作j D ．证明：

1)))1(,,,(1

n D D D ---='Λη是齐次线性方程组AX = 0的解；

2)若有n t D t

≤≤≠1,0，则η是AX = 0的一个基

础解系，因此)()(

ηL A N =．

9 设n

m mn ij F

A ?∈=)(，??

? ??=2

1A A A 11

-m ．证明，若齐次线性方程组AX = 0与A 1X =0同解，则A 的第m 行可以由它的前m －1行线性表示．

10 设0

γ是非齐次线性方程组β=AX 的一个解,t

ηη,,1Λ是β=AX 的导出组的一个基础解系，令.,,2,1,0t i i

i Λ=+=ηγγ证明：

1)t

γγγ,,,10Λ线性无关；

2)若γ是β=AX 的任一解，则i

i i k γγ∑==0

，其中

∑==t

i i

k 0

．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课5 数域F 上多项式的因式分解问题（2学时）

教学目的通过本习题课的教学实践，增进学生对一般数域F 上多项式因式分解理论的认识，以便更好地把握其证题。

基础提要略述（类似习题一的处理）。课堂练习：

1 证明，在F [x ]中，若d (x )是f (x )与g (x )的一个公因式，且

d (x )=f (x )u (x )+g (x )v (x )， u (x )、v (x )∈F [x ] 则d (x )是f (x )与g (x )的一个最大公因式．

2 设f (x )与g (x )是F [x ]中的不全为零的

多项式，而

]}

[)()(,0)()()()()(|)({x F x v x u x g x v x f x u x h x h A ∈≠+==、．

证明，(f (x )，g (x ))|h (x )；且deg(f ,g )≤deg h ，此不等式取等号，当且仅当h (x )是f (x )与g (x )的最大公因式

3 设f (x )与g (x )是不全为0的多项式．证明：

(af (x )+bg (x ),c f (x )+dg (x ))=(f (x ),g (x )),其中a,b,c,d ∈F,且ad －bc ≠0.

4 设f (x )与g (x )不全为零，证明： 1)若u (x )f (x )+v (x )g (x )=(f (x )，g (x ))，则(u (x )，v (x ))=1；

2) 1)))

(),(()(,))(),(()((=x g x f x g x g x f x f ． 5 证明，若t j s i x g x f j

,,2,1,,,2,1,1))(),((ΛΛ===，则

,)((1∏=s i i x f 1))(1

=∏=t

j j

x g ．

6 设f (x )，g (x )，h (x )][x F ∈．证明，若(f (x )，g (x ))=1，则(f (x ) h (x )，g (x ))=(h (x )，g (x )．

7 证明，(f (x )，g (x )h (x ))=1的充要条件

是(f (x )，g (x ))=1且(f (x )，h (x ))=1．

8 设p (x )是F [x ]中次数≥1的多项式．证明，若对于F [x ]中的任意多项式f (x ) 与g (x )，由p (x ) | f (x )g (x )都可推出p (x ) | f (x )或p (x ) | g (x )，则p (x )是F [x ]上的不可约多项式．

9 设f (x )，g (x )∈F [x ]．n ∈N*．证明，))(),(())(),((x g x f x g x f n

=．

10 设k >1，若x －a 是f (x )的k 重因式．证

明，x －a 也是)()()()(x f x a x f x g '-+=的k 重因式．当k =1时，此命题真吗？说明理由．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课6 C 、R 、Q 上多项式的因式分解问题（2学时）

教学目的通过2学时的习题课教学实践，增进学生对复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论的认识，以把握这些数域上多项式证题的一般性与特殊性技巧。

基础提要略述（类似习题课一的处理）课堂练习

1 证明，1是多项式1

)12()12()(1

2-+++-=++n

n n x n x n x x f 的三重根．

2 设)()

3(x f a 是的一个k 重根．证明，a 是)]()([2

)(a f x f a x x g '+'-= )(x f -)(a f +的一个k +3重根． 3 证明，b ax x x f m

n n

++=-)(不能有不为零的重数大于2的根．

4 设实系数多项式s tx x x x f ++-=2

5)(的一个根为2－3i ，求t 与s 的值．

5 证明，若p (x )是R 上的不可约多项式，f (x )∈R[x ]，且f (x )与p (x )在C 上有公根α，则p (x ) | f (x )．

6 证明，实系数多项式f (x )在实数域上无重因式的充分且必要条件是在复数域上也无重因式．

7 设d cx bx x x f +++=2

)(是整系数多项式，且bd +cd 是奇数．证明，f (x )在Q 上不可约．

8 设f (x )∈Z[x ]．证明：若f (0)与f (1)都是奇数，则f (x )不能有整数根．

9 设f (x )∈Z[x ]．证明：若有一个偶数a 及一个奇数b ，使f (a )与f (b )都是奇数，则f (x )没有整数根．

10 证明：1)设f (x )∈Z[x ]，m 是f (x )的一

个整根，则(1-m )|f (1)，(1+m )|f (-1) ．

2)若既约分数q p 是整系数多项式f (x )的一个根, 证明，(p -q )|f (1), (p +q ) | f (-1)．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议习题课7 二次型基础（2学时）

教学目的通过2学的习题课教学实践，增进学生对二次型（对称矩阵）化简、化简唯一性及其正定（半正定）二次型（矩阵）的认识，进一步把握矩阵的分块方法。

基础提要略述（类似习题课一的处理）。课堂练习：

1 给出有理数域上的两个秩都是r 的n 阶对称矩阵A 和B ，它们在有理数域上不合同．

2 证明，任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

? ??00r r I I ，若n =2r ；

????

??1000000r r I I ，若n =2r +1．

3 证明，任何一个n 阶可逆实对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

????

? ??-r n r

I I I 2000000或?

???

? ??--r n r

I I I

2000000． 4 设),,,(2

x x x f Λ是一实二次型，若有实n 维向

量2

,X X ，使,01

>'AX X 02

<'AX X ．证明，必存在实n 维向量00

≠X ，使00

='AX X ．

5 设2212222121),,,(q

p p p n

l l l l l x x x f ++---+++=ΛΛΛ，其中),,2,1(q p i l i +=Λ是n

x x x ,,,21Λ的一次齐式．证明，),,,(21n

x x x f Λ的正惯性指数≤ p ，负惯性指数≤q ．

6 设B 是n ?m 阵，A 是n 阶正定矩阵．证明，rank B 'AB =rank B ．

7 设A 是实对称矩阵．证明，当实数t 充分大时，tI n +A 是正定矩阵．

8 设实二次型∑=+++=s

i n in i i n

x a x a x a

x x x f 1

221

)(),,,(ΛΛ，

证明,,(2

x x f ),n

x Λ的秩等于rank A ，其中A =(a ij )sn ∈F s ×n ．

9 证明，二次型),,,(2

x x x f Λ是半正定的充

分且必要条件是它的正惯性指数与秩相等．

10 证明，2

??-∑∑

==n i i n i i x x n 是半正定的．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。

习题课8 向量空间基础（2学时）

教学目的通过2学时的习题课教学实践，增进学生对抽象的向量空间概念的理解，把握刻画向量空间的基础：基、维数及子空间直和的刻画。

基础提要略述（类似习题课一的处理）课堂练习

1 设向量α1，α2，…，αr 线性无关，而α1，α2，…，αr ，β，γ线性相关．证明，或者β，γ中至少有一个可以由α1，α2，…，αr 线性表示，或者向量组{α1，α2，…，αr ，β}与{α1，α2，…，αr ，γ}等价．

2 证明，复数域C 作为实数域R 上向量空间，维数是2．若C 看成它自身上的向量空间，维数为何？

3 设V 是数域F 上的n 维向量空间，

αα,,1Λ是V 中n 个向量．证明，若V 中每个向

量都可以由n

αα,,1

Λ线性表出，则n

αα,,1

Λ是V 的一个基．

4 证明，多项式组()()1

,,,1----n a x a x a x Λ，是

F [x ]n 的一个基，并求多项式 f (x )=∑-==10

n i i i

x a 在这个基下的坐标．

5 1)证明，在C[x ]n 中，多项式组

n i a x a x a x a x f n

i i i

,2,1)())(()(1

ΛΛΛ=----=+-，

是一个基，其中n

a a a ，，，Λ2

是互不相同的数；

2)在1)中，取n

a a a ，，，Λ2

为全体n 次单位根，求由基1

1-n x x ，，，Λ到基n

f f f ，，，Λ21的过渡过矩阵．

6 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间，α，β是V 的两个向量，其中α∈W 2，但α∈W 1，又β∈W 2．证明：

1)对于任意k ∈F ,β+k α∈W 2； 2)至多有一个k ∈F ，使得β+k α∈W 1．

7 设V 是数域F 上一个n 维向量空间，n

αααΛ，，21是V 的一个基，而 )()(2121n

s αααβββ，，，，，，ΛΛ=A ，其中A ∈F

n ?s

．证明，dim L (s

βββ，，，Λ21)=rank A ．

8 设W 1，W 2，W 都是F 上向量空间V

的子空间，并且W ?W 1+W 2．问：W =(W ∩W 1)+( W ∩W 2)是否总是成立？若W 1?W ，则上式是否一定成立？

9 证明，若V =W 1⊕W 2，W 1=W 11⊕W 12，则V =W 11⊕W 12⊕W 2．

10 设W 1，W 是数域F 上向量空间V 的子空间，且W 1?W ．若W 1在V 中的一个补空间是W 2．证明W =W 1⊕ (W 2∩W )．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议习题课9 线性映射(变换)及其矩阵（2学时）

教学目的通过本习题课的教学实践，增进学生对线性映射（线性变

换）运算及有限维向量空间线性变换矩阵的认识，把握高等代数两大主要研究对象的内在联系。

基础提要略述（类似习题课—的处理）。课堂练习：

1 设}

),,{(2

F x x x x F i n n

∈=Λ，是数域F 上n 维行

空间，定义

)

,,,0(),,,(1121-=n n x x x x x ΛΛσ．

1)证明σ是F n 的一个线性变换； 2)求Ker σ和Im σ的维数．

2 设σ∈End V ．证明：Im σ ?Ker σ当且仅当σ2=0；

3 设V 和V '都是数域F 上的有限维向量空间，σ 是V 到V '的一个线性映射．证明，存在直和分解V =U ⊕W ，V '=M ⊕N ，使得Ker σ =U ，并且M W ?．

4 设V 是数域F 上一个有限维向量空间．证明，若σ∈End V ，则下列三个条件是等价的：

5 设F 上三维向量空间V 的线性变换σ在基{3

,,ααα}下的矩阵是

A =?

??---6788152051115，求σ在基3

22,43,32αααβαααβαααβ++=++=++=的矩

阵．

若3

2αααα-+=，求)(ασ在基3

βββ，，下的坐标． 6 设三维向量空间V 上的线性变换σ在基3

,,εεε下的矩阵为A =(a ij )33∈M 3(F )．

1)求σ在基1

,,εεε下的矩阵；2)求σ在基3

,,εεεε+下的矩阵；

3)求σ在基3

,,εεεk 下的矩阵，其中k ∈F 且

k ≠0．

7 设{n

γγγ,,,2

Λ}是n 维向量空间V 的一个基，且

∑∑=====n i n

i i

ij j

i ij j

n j b a 1

,,,2,1,,Λγβγα

并且n

ααα,,,21Λ线性无关．又设σ∈End V ，使得σ (j α)=j

β, n j ,,2,1Λ=．求σ在基n

γγγ,,,21Λ下的矩阵．

8 在n 维线性空间中，设有线性变换σ与向量α，使得θασ≠-)(1n ，但θασ=)(n

．

证明，σ在某个基下的矩阵是??

? ??-0001

n I ． 9 证明：1)若A ，B ∈M n (F )，A 可逆，则AB ~BA ．

2)若A ~B ，C ~D ，则diag(A ，C )~diag(B ，D ) ．

10 σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换．证明，若σ在任意两个基下的矩阵都相同，则σ是位似变换．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。习题课10 线性变换的化简（2学时）

教学目的通过2学时的教学实践，增进学生对线性变换的特征值、不变子空间等概念的理解，把握线性变换化简的原理及其基本方法。

基础提要略述（类似习题课一的处理）课堂练习

1 设a ，b ，c ∈C ，令

???

? ??=???? ??=???? ??=b a c a c b c b a C a c b c b a b a c B c b a b a c a c b A ，，．

证明，A ，B ，C 彼此相似；且若BC =CB ，则

A ，

B ，

C 的特征值至少有两个等于零．

2 设A 是一个复n 阶矩阵．证明： 1)存在复n 阶可逆矩阵T ，使得

???

?=-nn n n n b b b b b b AT T ΛM M

M ΛΛ22221121100λ．

2) A 相似于一个上三角矩阵．

3 设A 是一个复n 阶矩阵，n

λλλ，，，Λ2

是A 的全部特征根(重根按重数计算)．证明：

1)若f (x )是C 上任意一个次数大于零的多项式,则)()()(2

n f f f λλλ，，，Λ是f (A )的全部特征根．

2)若A 可逆，则n 21i 0，，，，Λ=≠i

λ，

并且112

---n

λλλ，，，Λ是1

-A 的全部特征根．

4 用Hamilton -Cayley 定理证明：若n

阶阵A 的所有不同的特征值是s

λλλ，，，Λ，

它们的重数分别是s

k k k ，，，Λ2

，则0

)

-(1

=∏=s

i i

k n i I

A λ．

5 数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ叫做一个对合变换，若V

=σ．设σ是V 的一个对合变换，证明：

1)σ的特征值只能是±1；

2)V =V 1⊕V －1，这里V 1是σ的属于特征值1的特征子空间，V －1是σ的属于特征值－1的特征子空间．

6 数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ 叫做幂零的，若存在一个自然数m ，使0=m

σ．证明：

1)σ是幂零变换当且仅当f σ(λ)=λn ； 2)若一个幂零变换σ可以对角化，则σ 一定是零变换．

7 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一

个可对角化的线性变换．令t

λλ，，

Λ1是σ的全部不同特征值．证明，存在V 的线性变换t

σσσ，，

，Λ21，使得

1)t t σλσλσλσ+++=Λ2211； 2)V

t 121=+++σσσΛ；

3)j i j

≠=，若0σσ； 4)i

σσ=2，t i ，，，Λ21=；

5)i V V i

λσ=)(，i

V λ是σ的属于特征值λi 的特征子空间，t i ，，，Λ21=．

8 设V 是复数域C 上一个n 维向量空

间，σ,τ是V 的线性变换，且στ =τσ．证明：

1)σ 的每一特征子空间都在τ之下不变；2)σ与τ在V 中有一公共特征向量．

9 设V 是复数域上的n 维向量空间，

σ∈End V 在基n

εεε，，，Λ2

下的矩阵是一Jordan

块，即为??

? ?

?-0001

n n

I ＋λ之矩阵．证明：

1)V 中包含1

ε的σ －子空间只有V 自身； 2)V 中任一非零σ －子空间都包含n

ε；

3)V 不能分解成两个非平凡的σ －子空间的直和．

课外建议结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议习题课11 矩阵相似问题（2学时）

教学目的通过教学实践，增进学生对行列式因子、不变因子、初等因子、最小多项式等概念及处理矩阵相似方法的理解，把握矩阵相似的Jordan 标准形、有理标准形的求解及其对矩阵相似化简的应用。

基础提要略述（类似习题课一的处理）。

1 设A ，B ∈M n (Q)，F 为数域．证明，

存在Q上的可逆阵P,使B=P－1AP?存在F 上的可逆阵T，使B=T－1AT．

2 证明，n阶矩阵A与其转置矩阵A'相似．

3 设A为n阶矩阵，f (λ)=λ2－8λ+15，g(λ)=λ2－4λ+3，且f(A)=0，g (A)=0，求A的最小多项式．

4 两个n阶矩阵的特征多项式相同，它们的最小多项式是否也相同？

5 设A∈M3(C) ．1)若A是幂零矩阵，求A的一切Jordan标准形；

2)若A是幂等矩阵，求A的一切Jordan 标准形．

3)若A是对合矩阵，求A的一切Jordan 标准形．

4) 设A任意，求A的一切Jordan标准形．

6 设A为n阶非零的幂零矩阵，证明A 不能相似于对角矩阵．

7 设A为复n阶矩阵．证明，A的最小多项式m A (λ)无重因式的充分且必要条件是λI n－A的初等因子全是一次式．

8 设A∈M n(C)，则有n阶复对称矩阵M1，M2，其中M1可逆，使得A=M1M2．

9 设A为复n阶矩阵．证明，A可表为一幂零矩阵N与一其初等因子由一次式构成的矩阵之和．

课外建议结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。

习题课12 Euelid空间的概念与基本结构问题（2学时）

教学目的通过2学时的习题课教学实践，增进学生对实向量空间度量的理解，把握标准正交基的求解、应用及正交补定理的证明与应用。

基础提要略述（类似习题课一的处理）。

课堂练习：

1 证明，在一个Euclid 空间中，对于任意向量α，β，以下等式成立：

1)|α+β|2+|α－β|2=2|α|2+2|β|2；2)?α,β?=4

1|α+β|2－4

1|α－β|2

．在解析几何里，等式1)的几何意义是什么？

2 设α1,α2,…,αn 是Euclid 空间的n 个向量．行列式

G (α1,…,αn )=n

n n n n

n αααααααααααααααααα，，，，，，，，，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 叫做α1,…,αn 的Gram 行列式．证明，G (α1,…,αn )=0，必要且只要α1,…,αn 线性相关．

3 设α，β是Euclid 空间中的两个线性无关的向量，满足以下条件：

ααβα，，2和β

ββ

α，，2都是≤0的整数．证明，α与β的夹角只可能是43322π

ππ，，或6

5π． 4 设V 是一个n 维Euclid 空间，α1，…，αn 是V 的一个基．设c 1，…，c n 是任意给定的一组实数．证明，V 中存在唯一的一个向量α，使得

〈α，αj 〉=c j ，j =1，2，…，n ．

5 证明：1)上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上的元素为1或－1.

2)若A 是一个n 阶实矩阵，且|A |≠0，则A 可以分解成A =QR ，其中Q 是正交矩阵，R 是一个正对角的上三角形矩阵；并且这个分解是唯一的．

3)若A 是n 阶正定矩阵，则存在一上三角形矩阵T ，使A =T 'T ．

6 在R 2中指定内积为〈α，β〉=x 1y 1+2x 2y 2．其中α=(x 1，x 2)，β=(y 1，y 2)．把

《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二第一部分名校考研真题第6章线性空间一、选择题 1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研] A．B． C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的． 2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组 (I)：0 (Ⅱ) (Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题 1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研] 【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题 1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研] 解：取的一组基，再取的一组基则＝秩 2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W：（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研] 解：（1）令可得．所以由于为的一个极大线性无关组，因此又可得且，故为U＋W的一组基．（2）令因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：再令，则故ζ为U∩W的一组基． 3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组求W的一个基．[华东师范大学研]

数学专业参考书——学数学的必看

数学专业参考书——学数学的必看学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从《数学分析》开始讲起：《数学分析》是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。记住以下几点： 1.对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2.学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3.别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4.看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5.课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6.开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7.经常回头看看自己走过的路以上几点请在学其他课程时参考。《数学分析》书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。

华中师范大学数学与统计学学院考研参考书目

华中师范大学数学与统计学学院考研参考书目学术型硕士研究生参考书目：数学分析考研参考书目：华东师范大学数学系，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社高等代数考研参考书目： 1、樊恽、刘宏伟编，《线性代数与解析几何教程》（上、下册），科学出版社，2009年8月第1版；（或以下参考书2） 2、樊恽、郑延履编，《线性代数与几何引论》，科学出版社，2004年8月第1版概率论基础考研参考书目：李贤平，《概率论基础》（第三版），高等教育出版社。课程与教学论复试科目参考书目：《数学教育学》：《新编数学教学论》涂荣豹，王光明，华东师范大学出版社或《中学数学教材教法总论》(第二版)，十三院校协编，高等教育出版社。全日制专业学位硕士研究生考研参考书目：学科教学（数学）初试科目参考书目：《数学教学论》：《新编数学教学论》涂荣豹，王光明，华东师范大学出版社。《数学分析》：华东师范大学数学系，《数学分析》（上册），高等教育出版社。《高等代数》：高等代数（第3版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等教育出版社。考察内容：数学分析与高等代数的基础知识与基本思想方法。学科教学（数学）复试科目参考书目：《数学教育学》：《新编数学教学论》涂荣豹，王光明，华东师范大学出版社或《中学数学教材教法总论》(第二版)，十三院校协编，高等教育出版社。应用统计硕士考研参考书目：《统计学》：《概率论与数理统计》盛骤等编，高等教育出版社（第四版），浙江大学

应用统计复试科目参考书：《计量经济学》：《计量经济学》，赵国庆，中国人民大学出版社，2012-2-1。考研加试科目参考书目：《抽象代数》：《抽象代数》樊恽、刘宏伟编，普通高等教育“十一五”国家级规划教材，科学出版社。《实变函数》：《实变函数》徐森林、中国科学技术大学出版社或《实变函数》，江泽坚、吴智泉，高等教育出版社（第二版）《数理统计》：邓集贤、杨维权、司徒荣、邓永录，《概率论与数理统计》（第4版下册），高等教育出版社。《复变函数》：钟玉泉．《复变函数》（第三版），高等教育出版社。《概率论基础》：《概率论基础》（第三版），李贤平，高等教育出版社

数学专业参考书整理推荐

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天津师范大学高等代数考研辅导及复习资料

天津师范大学高等代数考研辅导及复习资料想给大家分享一下我去年参加天津师范大学高等代数考研辅导班的经验，还有一些关于辅导方面的信息，我报考的是学硕哦，不是专业硕士。首先呢，我的复习时间是从暑假开始的，在暑假之前稍稍复习了一点公共课，也就是政治和英语一还有数学三，而专业课高等代数我在七月开始入手学习的。一开始先在书店直接买了所有高等代数的参考书，然后才在网上找找前辈分享的复习经验，就是一些计划，开始了简单的学习之路。开始复习了两个月吧，总感觉很累，就像高中学习地理一样，说难也不是难，需要背诵的知识真不少，后来都快到九月份开学了，有点慌，感觉做真题的时候成绩太差了，开学以后没有那么多时间去学习这个，也没有认识的学长学姐可以教教我，所以在我爸妈的建议下报名了天津考研网的一对一辅导。于是就开始了自己复习+一对一辅导的学习模式，在时间紧任务重的情况下，选择辅导班确实是提升自己的学习效率和思维能力的捷径。至于选择天津考研网机构，在这之前还是有一段了解过程的，我事找了几家辅导机构对比的，天津考研网这里可以自己选择辅导课时，按照总课时去计价，而总课时是根据自己的知识功底来决定的，会先做一下测试题然后和老师一起看一下自己的情况再决定，而且面授或者视频都可以自己商量。我觉得蛮有保障而且时间自由就选择了。在辅导的同时还给我讲很多专业近况和他们的学习氛围还有导师和研究生之间的事。对于我的初试复试帮助都很大。实际上可能也是先入为主的效应所以才选择的这个机构，因为之前买专业课资料时候就是买的他家的《天津师范大学数学专业（高等代数+数学分析）考研真题复习宝典（真题+答案，赠考研学长指导视频）》真题解析资料，特别全面，因为真题是回忆版的答案也是在读研究生做的，那种答题逻辑很适合备考学生使用，而且讲解非常详细易懂。就增添了一些好感。那么天津师范大学高等代数考研辅导的相关信息就说到这里吧，说的太多也

高等代数试题库上课讲义

高等代数试题库

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为 D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

武汉大学高等代数内部讲义

武汉大学高等代数（基础课程内部讲义）

目录武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析........................................... 第一章多项式......................................................................... 第二章行列式......................................................................... 第三章线性方程组..................................................................... 第四章矩阵........................................................................... 第五章二次型.......................................................................... 第六章线性空间........................................................................ 第七章线性变换........................................................................ 第八章入-矩阵与约当标准型............................................................. 第九章欧几里得空间.................................................................... 第十章双线性函数与辛空间..............................................................

老师推荐数学专业必看的书

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2019考研数学参考书：用过都说好的一些书籍推荐_毙考题

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高等代数第七章线性变换复习讲义

第七章线性变换一.线性变换的定义和运算 1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V. 它们都是V的线性变换。（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P. 2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,α s线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(α

s)线性无关。 3.线性变换的运算

4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B. （2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V 中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n. 二．线性变换的矩阵 1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出 Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εn Aε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn …… Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn 用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中 a 11 a 12 …… a 1n a 21 a 22 …… a 2n A= …… a n1 a n2 …… a nn 称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。 2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；

丘维声高等代数讲义(学生用、含教学大纲、两套试题)

《高等代数》教学大纲（教学计划）第一学期第一周：（第一章§1）代数系统的概念；数域的定义；定理任一数域都包含有理数域；集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。（第一章§2）高等代数基本定理及其等价命题；推论数域上的两个次数小于m 的多项式如果在m 个不同的复数处的取值相等，则此二多项式相等；韦达定理；实系数代数方程的根成对出现；推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。第二周：（第一章§3）数域K 上的线性方程组的初等变换的定义；命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解；线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义；线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则；命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。（第二章§1）向量和n 维向量空间的定义及性质；线性组合和线性表出的定义；向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。第三周：（第二章§1）向量组的秩；向量组的线性等价；极大线性无关组；集合上的等价关系。（第二章§2）矩阵的行秩与列秩，行（列）初等变换不改变行（列）秩；命题矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩；矩阵的转置；推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A 的秩记为r ( A) ；

满秩方阵；矩阵的相抵；相抵是等价关系；秩是相抵等价类的完全不变量；用初等变换求矩阵的秩。第四周：（第二章§3）齐次线性方程组的基础解系；定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；基础解系的求法；非齐次线性方程组的解的结构。（第二章§4）矩阵的加法和数乘的定义；矩阵的乘法的定义，矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质；矩阵的和与积的秩。第五周：（第二章§5） n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵；命题矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。推论设A 是满秩矩阵，对于任意矩阵B, C ，有r ( A B) =r (B) ，r (CA) =r (C)（只要乘法有意义）. 可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义；群和环的定义；命题数域K 上的n 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为K 上的一般线性群，(K ) ；数域K 上的n 阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为K 上的全记为GL n (K ) ；矩阵环，记为M n 可逆矩阵转置的逆矩阵；命题矩阵可逆当且仅当满秩；用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程AX=B和XA=B的解法（A为可逆阵）；例设A 和B 为数域K 上的m ?n 和n ?s 矩阵，则 r ( AB) ≥r ( A) +r (B) -n. 第六周：（第二章§6）

北京大学数学科学学院考研参考书目汇总

北京大学数学科学学院考研参考书目汇总考试科目编号： 01 数学分析 02 高等代数 03 解析几何 04 实变函数 05 复变函数 06 泛函分析 07 常微分方程 08 偏微分方程 09 微分几何 10 抽象代数 11 拓扑学 12 概率论 13 数理统计 14 数值分析 15 数值代数 16 信号处理 17 离散数学 18 数据结构与算法 01 数学分析（ 150 分）考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（ 100 分）考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（ 50 分）考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。 04 实变函数（ 50 分）考试参考书：

1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。 05 复变函数（ 50 分）考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（ 50 分）考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（ 50 分）考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（ 50 分）考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（ 50 分）考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（ 50 分）考试参考书： 1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。

高等代数第一章答案(多项式)

专业课《高等代数》考研大纲和参考书目

专业课《高等代数》考研大纲和参考书目参考教材及参考书：《高等代数》（第三版），北京大学编，高等教育出版社《高等代数教程》（上、下册），王萼芳等编，清华大学出版社课程内容（打＊部分内容或章节要求重点掌握）多项式：＊整除概念，带余除法理论；最大公因式定义及求法；＊多项式互素的概念与性质；＊因式分解定理和不可约多项式的性质；＊复系数与实系数多项式的因式分解；行列式：＊行列式的定义；＊行列式性质及按行按列展开法则，并用此计算行列式； Laplace定理；＊克莱拇法则；＊线性方程组：消元法；向量组的线性相关与线性无关性，向量组的极大无关组与秩；矩阵的秩及求法；线性方程组有解判别定理；线性方程组基础解系、通解及解的结构；＊矩阵：矩阵线性运算，乘法，转置及运算律；矩阵初等变换，初等矩阵；逆矩阵极其存在条件，求逆矩阵；分块矩阵运算；二次型：＊二次型的矩阵表示；矩阵合同＊可逆线性变换化二次型为标准型；惯性定理；＊正定二次型判定；线性空间线性空间的定义与性质；＊有限维线性空间的基与维数，向量坐标；＊基变换与坐标变换；＊子空间定义，维数与基、维数公式；＊子空间的交与和，直和；线性空间的同构；＊线性变换线性变换的运算，线性变换的矩阵

特征值与特征向量；可对角化问题；线性变换的值域与核；不变子空间；若尔当标准型的概念；最小多项式； λ-矩阵 λ-矩阵等价标准型；＊不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其关系；＊矩阵相似的条件；若尔当标准型理论及求法；欧氏空间内积与欧氏空间定义，度量矩阵；施密特正交化方法求标准正交基；＊正交变换，对称变换；＊对称矩阵的标准型及用正交线性替换化二次型为标准型；酉空间介绍。

数学专业参考书整理推荐

数学专业参考书整理推荐从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社

线性代数讲义-复习知识树

线性代数绪论一、线性代数研究的核心问题代数——用字母代替数；代数学——关于字母运算的学说，研究的中心内容：解方程。初等代数（用字母代替数）： )1( 一元一次方程 )2(

行列式解法消元法四元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组无一般根式解一元五次及更高次方程根式解或求根公式一元四次方程一元三次方程一元二次方程??????????????????→? ?? ???)2()1( 问题一：如何求解含更多个未知数的一次方程组？ 1．Varga ，1962年提到在Bettis 原子能实验室已经解了108000个未知数的方程组； 2．70年代末，我国“全国天文大地网首次整体平差计算”课题，核心部分是求解一个含16万个未知数31万个方程式的矛盾方程组。一般地，如何求解含n 个未知数m 个一次方程的方程组：

? ?????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 其中未知数之间的关系由加法与数乘来实现，称这种关系为线性关系，称相应的方程组为线性方程组。线性代数如何求解线性方程组发展??→? 线性代数研究的核心问题——求解线性方程组。字母——代替代数量（如行列式、向量、矩阵、张量等）。线性代数定义——研究具有线性关系的代数量的一门学科。问题二：一元高次方程及多元高次方程组（简称为代数方程（组））的有关问题，如：根的个数、根的性质（实根、虚根、重根等）、根的分布（上界与下界、分布区域等）、根的近似计算、公共根等。研究代数方程（组）??→?发展多项式代数

(完整)2018年暨南大学高等代数考研真题.docx

2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数考试科目代码： 810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1、设 A 为 3 阶矩阵 , A 1 , 求 (3A) 1 5A * = 。 3 2、当实数 t 时，多项式 x 3 tx 2有重根。 x 1 2x 2 4x 3 0 3、取值时，齐次线性方程组 2x 1 (2 ) x 2 x 3 0 有非零解。 x 1 x 2 x 3 0 4、实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) X T AX x 12 ax 22 2x 32 bx 1 x 3 (b 0) ，其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 -12 ，则 a = ， b = 。 1 2 1 3 。 5、矩阵方程 X 4 2 , 那么 X 3 4 6、已知向量 1 0,0,1 ， 2 1 , 1 ,0 ， 3 1 , 1 ,0 是欧氏空间 R 3 的一 2 2 2 2 组标准正交基 , 则向量 2,2,1 在这组基下的坐标为。

考试科目 : 高等代数共 4 页 ,第 1 页 7、已知矩阵 A , B 均可逆， X B ，则 X 1 。 A 0 2 2 2 2 0 2 2 2 8、4 阶方阵的 Jordan 标准形是。 0 0 2 2 0 0 0 2 9、在欧氏空间 R 3 中，已知 2, 1,1 ， 1, 2,1 ，则与的夹角为（内积按通常的定义）。 2 2 1 10、设三维线性空间 V 上的线性变换在基 1, 2 , 3 下的矩阵为 0 1 1 ，则在 2 1 基 2 , 1 , 3 下的矩阵为。

考研高等代数大纲(硕士)

化学与生物工程学院《有机化学》考研大纲一、试卷题型结构单选题、命名与写结构式、完成反应式结构式推断题、鉴别题、合成题、机理推断题二、课程考试大纲 1 有机化合物的结构和性质范围：有机化合物结构特点、有机化学物分类。考试要求：了解有机化学发展史；了解有机化合物的一般结构特点和性质特点；掌握有机化合物的一般分类方法。 2 烷烃范围：烷烃命名、烷烃构象、烷烃取代反应和烷烃取代反应的机理。考试要求：掌握烷烃命名规则与性质；理解烷烃构象分析；烷烃的取代反应；理解烷烃取代反应的机理。 3 烯烃范围：烯烃的结构与命名、烯烃亲电加成等反应、亲电加成反应机理。考试要求：掌握烯烃的命名方法；掌握烯烃亲电加成反应与氧化反应等性质；掌握亲电加成机理；了解烯烃的其它反应。 4 炔烃、二烯烃、红外光谱范围：炔烃与共轭二烯烃的命名结构及化学性质、炔烃与共轭二烯烃的加成反应、共轭二烯烃的D-A反应、红外光谱中主要官能团的吸收范围。考试要求：掌握炔烃与共轭二烯烃的命名；掌握炔烃与共轭二烯烃的结构特点；掌握炔烃与共轭二烯烃的化学性质；了解红外光谱中主要官能团的吸收范围；了解不同共轭体系的结构特点。 5 脂环烃范围：脂环烃的结构与构象、脂环烃命名、环烯烃和小环脂环烃的化学反应。考试要求：掌握脂环烃的结构和命名；掌握各类脂环烃命名方法；掌握环烯烃和小环脂环烃的化学反应和特殊性质。 6 单环芳烃范围：苯及衍生物的命名、芳香烃的亲电取代反应及机理、亲电取代定位规则与苯环的芳香性、设计合成各类取代芳香化合物。考试要求：掌握苯衍生物的命名；掌握芳香烃的亲电取代反应；掌握亲电取代定位规则；熟练运用定位规则设计合成各类取代芳香化合物。 7 多环芳烃和非苯芳烃范围：联苯、萘、蒽和菲及衍生物的命名；联苯、萘、蒽和菲的取代反应、多环芳烃和非苯芳烃的芳香性和休克尔规则。考试要求：掌握联苯、萘、蒽和菲及衍生物的命名；掌握联苯、萘、蒽和菲的电取代反应、掌握多环芳烃和非苯芳烃的芳香性和休克尔规则，应用休克尔规则判断芳香性。 8 立体化学

高等代数考研真题__第一章_多项式

第一章多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X ?整除,而()1f x ?能被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分）（1）设x 2?2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x ?1)f(x)+(x ?2)g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d ?1∣x n ?1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)，g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P 是素数当且仅当任取正整数a，b 若p∣ab 则p∣a 或p∣b。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6?6x 5?8x 4+19x 3+9x 2?22x+8，g(x)=x 2 +x ?2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k +C k-1(x)g(x)k-1+…+C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1,…,k。（15分）（2）设d(x)=(f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分）9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x)f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x),则g 2(x)∣f 2(x)。

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