离散数学复习题(请参考课件)

离散数学Part1_数理逻辑部分

1．将下列命题符号化。P48

（1）豆沙包是由面粉和红小豆做成的.

（2）苹果树和梨树都是落叶乔木.

（3）王小红或李大明是物理组成员.

（4）王小红或李大明中的一人是物理组成员.

（5）由于交通阻塞，他迟到了.

（6）如果交通不阻塞，他就不会迟到.

（7）他没迟到，所以交通没阻塞.

（8）除非交通阻塞，否则他不会迟到.

（9）他迟到当且仅当交通阻塞.

分清复合命题与简单命题

分清相容或与排斥或

分清必要与充分条件及必要充分条件

答案：（1）是简单命题（2）是合取式

（3）是析取式（相容或）（4）是析取式（排斥或）

请分别写出（1）—（4）的符号化形式

设p: 交通阻塞，q: 他迟到

（5）p→q, （6）?p→?q或q→p

（7）?q→?p或p→q, （8）q→p或?p→?q

（9）p?q或?p??q

可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）3．用真值表判断下面公式的类型P51

（1）p∧r∧?(q→p)

（2）((p→q) →(?q→?p)) ∨r

（3）(p→q) ?(p→r)

按层次写真值表，由最后一列判类型

答案：（1）为矛盾式，（2）为重言式，（3）为可满足式例用等值演算法判断下列公式的类型P59

（1）q∧?(p→q)

（2）(p→q)?(?q→?p)

（3）((p∧q)∨(p∧?q))∧r)

解（1）q∧?(p→q)

?q∧?(?p∨q) （蕴涵等值式）

?q∧(p∧?q) （德摩根律）

?p∧(q∧?q) （交换律，结合律）

?p∧0 （矛盾律）

? 0 （零律）

由最后一步可知，（1）为矛盾式.

（2）(p→q)?(?q→?p)

? (?p∨q)?(q∨?p) （蕴涵等值式）

? (?p∨q)?(?p∨q) （交换律）

? 1

由最后一步可知，（2）为重言式.

问：最后一步为什么等值于1？

说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.

（3）((p∧q)∨(p∧?q))∧r)

? (p∧(q∨?q))∧r（分配律）

?p∧1∧r（排中律）

?p∧r（同一律）

由最后一步可知，（3）不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.

总结：从此例可看出

A为矛盾式当且仅当A ? 0

A为重言式当且仅当A ? 1

例求公式A=(p→?q)→r的主析取范式与主合取范式. P71

（1）求主析取范式

(p→?q)→r

? (p∧q)∨r（析取范式）①

(p∧q)

? (p∧q)∧(?r∨r)

? (p∧q∧?r)∨(p∧q∧r)

?m6∨m7②

r

? (?p∨p)∧(?q∨q)∧r

? (?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧r)∨(p∧?q∧r)∨(p∧q∧r) ?m1∨m3∨m5∨m7 ③

②, ③代入①并排序，得

(p→?q)→r?m1∨m3∨m5∨m6∨m7 （主析取范式）（2）求A的主合取范式

(p→?q)→r

? (p∨r)∧(q∨r) （合取范式）①

p∨r

?p∨(q∧?q)∨r

? (p∨q∨r)∧(p∨?q∨r)

?M0∧M2 ②

q∨r

? (p∧?p)∨q∨r

? (p∨q∨r)∧(?p∨q∨r)

?M0∧M4 ③

②, ③代入①并排序，得

(p→?q)→r?M0∧M2∧M4 （主合取范式

1．设A与B均为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？P85 （1）A?B当且仅当A与B有相同的主析取范式

（2）若A为重言式，则A的主合取范式为0

（3）若A为矛盾式，则A的主析取范式为1

（4）任何公式都能等值地化成{∧, ∨}中的公式

（5）任何公式都能等值地化成{?, →, ∧}中的公式

（1）为真，这是显然的

（2）为假. 注意, 任何公式与它的主范式是等值的，显然重言式不能

与0等值。重言式的主合取范式不含极大项，因而主合取

范式为1.

（3）的分析类似于（2），矛盾式的主合取范式为0.

（4）为假，因为{∧, ∨}不是完备集，比如矛盾式?(p→q)∧q不能化成

{∧, ∨}中的公式.

（5）为真，注意{?, →, ∧}的子集{?, →}为完备集.

2．通过求主范式判公式类型P87

（1）(p→q)→(?q→?p)

（2）?(p→q)∧q

（3）(p→q)∧?p

（1）重言式，（2）矛盾式，（3）可满足式

解用等值演算法求解

（1）(p→q)→(?q→?p)

??(?p∨q)∨(q∨?p) (消去→) ①

? (p∧?q)∨(q∨?p) (?内移) ②

? (p∧?q)∨(?p∧q)∨(p∧q)∨(?p∧?q) ③

?m2 ∨m1 ∨m3 ∨m0④

?m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ⑤

? 1 ⑥问由②如何得③？

⑤为主析取范式，⑥为主合取范式

结论：（1）为重言式

（2）?(p→q)∧q

??(?p∨q)∧q①

?p∧?q∧q②

? 0 ③

?M0 ∧M1 ∧M2 ∧M3 ④

问：由②如何得③？

③为主析取范式，④为主合取范式

结论：（2）为矛盾式.

（3）(p→q)∧?p

?m0 ∨m1①

?M2 ∧M3 ②

请自己等值演算得①与②

结论：（3）为可满足式

请用真值表再解此题

3．已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r，并知道它的成真赋值为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式，及A对应的真值函数. P90

答案A的主析取范式为m1 ∨m2 ∨m7

A的主合取范式为M0 ∧M3 ∧M4 ∧M5 ∧M6

设A对应的真值函数为F，则

F(001)=F(010)=F(111)=1

F(000)=F(011)=F(100)=F(101)=F(110)=0

试说明以上得出答案的理由

5.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满

足以下条件：P94

（1）若赵去，钱也去.

（2）李、周两人中必至少有一人去

（3）钱、孙两人中去仅去一人.

（4）孙、李两人同去或同不去.

（5）若周去，则赵、钱也去.

用等值演算法分析该公司如何选派他们出国？

解此类问题的步骤应为：

○1将简单命题符号化

○2写出各复合命题

○3写出由②中复合命题组成的合取式

○4将③中公式化成析取式（最好是主析取范式）

解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去

②(1) (p→q)

(2) (s∨u)

(3) ((q∧?r)∨(?q∧r))

(4) ((r∧s)∨(?r∧?s))

(5) (u→(p∧q))

③设(1)—(5)构成的合取式为A

A = (p→q)∧(s∨u)∧((q∧?r)∨(?q∧r))∧

((r∧s)∨(?r∧?s))∧(u→(p∧q))

④A ? (?p∧?q∧r∧s∧?u)∨(p∧q∧?r∧?s∧u)

结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不

去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）

例用构造证明法构造下面推理的证明：P112

若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，说明天是星期一或星期三是不对的.

构造证明

（1）设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课

（2）形式结构

前提：(p∨q)→r, r→s, ?s

结论：?p∧?q

（3）证明

①r→s前提引入

②?s前提引入

③?r①②拒取式

④(p∨q)→r前提引入

⑤?(p∨q) ③④拒取式

⑥?p∧?q⑤置换

2.附加前提证明法

（1）欲证：

前提：A1, A2, …, A k

结论：C→B

（2）等价地证明

前提：A1, A2, …, A k, C

结论：B

（3）理由：

(A1∧A2∧…∧A k)→(C→B)

??( A1∧A2∧…∧A k)∨(?C∨B)

??( A1∧A2∧…∧A k∧C)∨B

? (A1∧A2∧…∧A k∧C)→B

例构造下面推理的证明P115

2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数. 若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.

用附加前提证明法构造证明

（1）设p：2是素数，q：2是合数，

r：是无理数，s：4是素数

（2）形式结构

前提：p∨q, p→r, r→?s

结论：s→q

（3）证明

①s附加前提引入

②p→r前提引入

③r→?s前提引入

④p→?s②③假言三段论

⑤?p①④拒取式

⑥p∨q前提引入

⑦q⑤⑥析取三段论

请用直接证明法证明之

2．在P系统中构造下面推理的证明：P125

如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩. 如果颐和园游人太多，就不去颐和园. 今天是周六，并且颐和园游人太多. 所以我们去圆明园或动物园玩.

（1）设p：今天是周六，q：到颐和园玩，

r：到圆明园玩，s：颐和园游人太多

t：到动物园玩

（2）前提：p→(q∨r), s→?q, p, s

结论：r∨t

（3）证明：

①p→(q∨r) 前提引入

②p前提引入

③q∨r①②假言推理

④s→?q前提引入

⑤s前提引入

⑥?q④⑤假言推理

⑦r③⑥析取三段论

⑧r∨t⑦附加

2．在一阶逻辑中将下列命题符号化P150

（1）大熊猫都可爱

（2）有人爱发脾气

（3）说所有人都爱吃面包是不对的

（4）没有不爱吃糖的人

（5）一切人都不一样高

（6）并不是所有的汽车都比火车快

由于没指出个体域，故用全总个体域 （1）?x (F (x )→G (x ))

其中，F (x ): x 为大熊猫，G (x ): x 可爱 （2）?x (F (x )∧G (x ))

其中，F (x ): x 是人，G (x ): x 爱发脾气 （3）??x (F (x )→G (x )) 或 ?x (F (x )∧?G (x ))

其中，F (x ): x 是人，G (x ):x 爱吃面包 （4）??x (F (x )∧?G (x )) 或 ?x (F (x )→G (x ))

其中，F (x ): x 是人，G (x ): x 爱吃糖 （5）?x (F (x )→?y (F (y )∧?H (x ,y )→?L (x ,y ))),或

?x ?y (F (x )∧F (y )∧?H (x ,y )→?L (x ,y ))

其中，F (x ):x 是人, H (x ,y ), x 与y 相同, L (x ,y ): x 与y 一样高 （6）??x ?y (F (x )∧G (y )→H (x ,y )) 或 ?x ?y (F (x )∧G (y )∧?H (x ,y ))

其中, F (x ):x 是汽车, G (y ):y 是火车, H (x ,y ):x 比y 快

几点说明

使用的是全总个体域

(1)与(2)是两个基本公式的使用 (3)与(4)是否定式 (5)与(6)使用了二元谓词

(3)-(6)的不同符号化形式是等值的 离散数学Part2_集合论部分

2．计数实例 P14

例 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8

整除的数有多少个？ 解 方法一 方法二 令

S = {x | x ∈Z ∧1≤x ≤1000}, A = {x | x ∈S ∧x ≡0(mod 5)} B = {x | x ∈S ∧x ≡0(mod 6)}, C = {x | x ∈S ∧x ≡0(mod 8)} 则

|S | = 1000

|A | = ?1000/5? = 200, |B | = ?1000/6? = 166, |C | = ?1000/8? = 125 |A ?B | = ?1000/lcm(5,6)? = ?1000/33? = 33 |A ?C | = ?1000/lcm(5,8)? = ?1000/40? = 25 |B ?C | = ?1000/lcm(6,8)? = ?1000/24? = 41

|A ?B ?C | = ?1000/lcm(5,6,8)? = ?1000/120? = 8

= 1000-(200+166+125)+(33+25+41)-8 = 600

．设A = {1, 2, 3}, R = { | x , y ∈A 且x +2y ≤ 6 }， P104

S = {<1,2>, <1,3>,<2,2>}, 求 （1）R 的集合表达式 （2）R -1

|

|C B A ??

（3）dom R, ran R, fld R

（4）R S, R3

（5）r(R), s(R), t(R)

（1）R = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>}

（2）R-1 = {<1,1>, <2,1>, <1,2>, <2,2>, <1,3 >}

（3）dom R = {1, 2, 3}, ran R = {1,2}, fld R = {1, 2, 3}

（4）R S = {<1,2>, <1,3>, <2,2>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}

R3 = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>}

（5）r(R) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,3>}

s(R) = {<1,1>,<1,2>,<2,1>, <2,2>, <3,1>, <1,3>};

t(R) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>}

2．设A={1,2,3,4}，在A?A上定义二元关系R：P106

<,>∈R ?x+y = u+v，

求R导出的划分.

解

A?A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <2,4>,

<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>} 根据有序对中的x+y=2,3,4,5,6,7,8将A划分成等价类：

A/R={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>, <2,2>, <3,1>},

{<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>}, {<2,4>, <3,3>, <4,2>},

{<3,4>, <4,3>}, {<4,4>}}

4．设偏序集 的哈斯图如图所示. P108

（1）写出A和R的集合表达式

（2）求该偏序集中的

极大元

极小元

最大元

最小元

解

（1）A = {a, b, c, d, e}

R = {, , , , , , }?I A

（2）极大元和最大元是a , 极小元是d , e ；没有最小元. 例 设 f ：R →R , g ：R →R P133

2

)(323)(2

+=???<-≥=x x g x x x x f

求f οg , g οf . 如果f 和g 存在反函数, 求出它们的反函数.

解

??

?<-≥+=→??

?<≥+=→1

2

1)2()(:30

32

)(:2

2x x x x f g R R f g x x x x g f R R g f

f ：R →R 不是双射的, 不存在反函数.

g ：R →R 是双射的, 它的反函数是 g -1：R →R , g -1(x )=x -2

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(完整版)离散数学试卷及答案

离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：

((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，，，，，，}， (1)写出R 的关系矩阵。 (2)判断R 是不是偏序关系，为什么？ 解 (1) R 的关系矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=100001100010100 10110 11111 )(R M (2)由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R 是自反的；ij r ＋ji r ≤1，故R 是反对称的；可计算对应的关系矩阵为：

离散数学模拟题一套及答案

离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧())

下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

离散数学考试试题(A卷及答案)

离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）证明?(A∨B)→?(P∨Q)，P，(B→A)∨?P A。 证明：(1)?(A∨B)→?(P∨Q) P (2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E (3)P P (4)A∨B T(2)(3)，I (5)(B→A)∨?P P (6)B→A T(3)(5)，I (7)A∨?B T(6)，E (8)(A∨B)∧(A∨?B) T(4)(7)，I (9)A∧(B∨?B) T(8)，E (10)A T(9)，E 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。 依题意有， (1)甲和乙只有一人参加，符号化为A⊕B?(?A∧B)∨(A∧?B)； (2)丙参加，丁必参加，符号化为C→D； (3)乙或丁至多参加一人，符号化为?(B∧D)； (4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为?D→?A。 所以原命题为：(A⊕B)∧(C→D)∧(?(B∧D))∧(?D→?A) ?((?A∧B)∨(A∧?B))∧(?C∨D)∧(?B∨?D)∧(D∨?A) ?((?A∧B∧?C)∨(A∧?B∧?C)∨(?A∧B∧D)∨(A∧?B∧D))∧((?B∧D)∨(?B∧?A)∨(?D∧?A)) ?(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)∨(?A∧B∧?C∧?D)?T 但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故?A∧B∧?C∧?D为F。所以只有：(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)?T，即甲、丁参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。 (1)?x(P(x)→Q(x)) P (2)P(y)→Q(y) T(1)，US (3)?xP(x) P (4)P(y) T(3)，ES (5)Q(y) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 解 (4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能将其改为自由变元。所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。 正确的推理过程为： (1)?xP(x) P (2)P(c) T(1)，ES (3)?x(P(x)→Q(x)) P (4)P(c)→Q(c) T(3)，US (5)Q(c) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。 解设R＝{，，，}，则

离散数学试题与答案

试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b

二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。

离散数学期末试题及答案完整版

离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).

离散数学模拟试题讲解

1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f

2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >=

【浙江工商大学】《离散数学》期末考试题(B)

《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )

离散数学模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个

离散数学期末考试试卷(A卷)

离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是

（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）

离散数学期末试卷及答案

一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法构成环。( ) 8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。( ) 9．设A={a,b,c},则A上的关系R={,}是传递的。( ) 10．设A、B、C为任意集合，则A?(B?C)=(A?B)?C。( ) 二、填空题（共10题，每题3分，共30分） 11．设p：天气热。q：他去游泳。则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号 化为。 12．设M(x)：x是人。S(x)：x到过月球。则命题“有人到过月球”可符号 化为。 13．p?q的主合取范式是。 14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。 15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。 16．模6加群中，4是阶元。 17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。. 18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度

列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{,}，则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24．求图示带权图中的最小生成树，并计算最小生成树的权。 25．设R*为正实数集，代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群？是群者，求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题（共3小题，共20分） 26 （8分）在自然推理系统P中构造下述推理的证明： 前题：p→(q∨r)，?s→?q，p∧?s 结论：r 27 （6分）设是群，H={a| a∈G∧?g∈G，a*g=g*a},则是G的子群 28．（6分）设G是n(≥3)阶m条边、r个面的极大平面图，则r=2n-4。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ

（2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={| x,ｙN∧y=ｘ2} R*S＝｛| x，y N∧y＝x２+1} Ｓ*R=｛<ｘ,y>| x,ｙN∧y=(x＋1)２},R{1，２}＝{＜1，1>，＜2，４>｝,Ｓ[{1,2}]={1,4}。 七、设Ｒ={<ａ，b>,,＜c，ａ>}，求ｒ(R)、s(Ｒ)和t(Ｒ) （１5分）。 解：r(R）=｛,，,,<ｂ,b＞，｝

离散数学模拟试题及答案

《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)(

离散数学试卷二十三试题与答案

试卷二十三试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、?； C 、∈； D 、?。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=*； B 、),max(b a b a =*； C 、b a b a 5+=*； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。 8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。 A 、（1，1，2，2，3）； B 、（1，1，2，2，2）； C 、（0，1，3，3，3）； D 、（1，3，4，4，5）。 9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。 A 、点与边； B 、边与点； C 、点与点； D 、边与边。 10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（ ）。 A 、5； B 、7； C 、9； D 、8。

离散数学试卷及答案

填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论

C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x)

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P

离散数学考试试题(A、B卷及答案)

离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

离散数学试卷及答案(1)

一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。

8．图的补图为 。 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ? ； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A ．{4，3}Φ?； B ．{Φ，3，4}； C ．{4，Φ，3，3}； D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） R 是自反的； A．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S R 是对称的； C．若R，S 是对称的，则S R 是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P（A）/ R=（） < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（） 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = ； C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。 （注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集） 8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。 A．0；B．1；C．2；D．3。 9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）