山东省实验中学2012级高三第二次模拟考试
理学试题(理) 2015,6
说明:试题分为第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分.试题答案请用2B 铅笔或0,5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效,考试时间120分钟.
一、选择题(本题包括10小题,每小题5分,共50分,每小题只有一个选项符合题意)
l-已知全集U=R ,集合 {}
{}3|021,|log 0x
A x
B x x =<<=>,则
A. {}|1x x > B . {}|0x x > C. {}|01x x << D. {}|0x x < 2.若 ,R αβ∈, 则
90αβ+= 是sin sin 1αβ+> 的
A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C .充耍条件
D .既不充分也不必要条件 3.复数z 满足 (12)7i z i -=+,则复数 z ==( )
A. 13i +
B.13i -
C.3i +
D. 3i -
4.执行下图所示的程序框图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
5.下列四个命题:
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了l0个跌停(每次跌停,即下跌l0%)后需再经 过如个涨停(每次涨停,印上涨10%)就酉以回到原来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ,本次期末考试 两级部;学平均分分别是a 、b ,则这两个级部的数学平均分为
na mb m n
+ ④某中学采伯系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中 抽50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从001到800进行
编号,已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组00l ~016中随机抽到的学生编号是007. 其中真命题的个数是
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6.已知函数 ()sin()f x A x ω?=+ (其中A>0, 2
π
?<
)的部分图象 如图所示,为了得到g(x)=sin 2x 的图象,则只需将f (x)的图象 A.向右平移
6
π个长度单位 B.向右平移 12π个长度单位
C .向左平移
6
π个长度单位 D .向左平移 12π个长度单位
7.已知数列 {}{}n n a b 满足 1111,2,n n a b a a n N *+==-==∈,则数列 {}
n a b 的前10项和为 A.
()101413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()94
413
- 8.函数 2()(2)x f x x x e =-的图像大致是
9.已知A 、B 是圆 22:1O x y +=上的两个点,P 是AB 线段上的动点,当?AOB 的面积最
大时,则 2
AO AP AP ?- 的最大值是
A. -1
B.0
C.
18 D. 12
10.已知a>0,b>0,c>0,且 2221,4ab a b c =++=,则ab+bc+ac 的最大值为
A. 1+
C. 3
D. 4
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二.填空题(本题包括5小题,每小题5分,共25分)
11.已知 ()24f x x x =++-的最小值是n ,则二颈式 1
()n
x x
-展开式中2
x 项的系数为
__________.
12.若双曲线 22:2(0)C x y m m -=>与抛物线 216y x =的准线交于A ,B 两点,且
AB =则m 的值是__________.
13.若实数x,y 满足条件 20,0,3,x y x y x +-≥??
-≤??≤?
, 则z=3x-4y 的最大值是__________.
14.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________.
15.用[x]表示不大于实数x 的最大整数, 方程 []2
lg lg 20x x --=的实根个数是
__________.
三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16.(本小题满分12分)
已知函数 ()sin (0)f x x ωω=->在区间 0,
3π??
????上单调递减,在区间 2,33ππ??
????
上单调递增;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为△ABC 的内角以B, C 的对边,且 满足 sin sin tan 4cos cos 3
B c A B
C ω
+=
-- .
(I)证明:b+c =2a :
(Ⅱ)若b=c ,设 AOB θ∠=.
(0),22OB OB θπ<<==,求四边形OACB 面积的最大值.
17. (本小题满分12分)
如图, 在四棱锥P –ABCD 中,PA ⊥平面ABCD , ∠DAB 为直角, AB//CD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点. ( I)证明:AB ⊥平面BEF :
(Ⅱ)设PA =h ,若二面角E-BD-C 大于45
,求h 的取值范
围.
18.(本小题满分12分)
一个袋子装有大小形状完全相同的9个球,其中5个红球编号分别为l ,2,3,4,5:4个白球编号分别为1,2,3,4,从袋中任意取出3个球. (I)求取出的3个球编号都不相同的概率;
(II)记X 为取出的3个球中编号的最大值,求X 的分布列与数学期望, 19. (本小题满分12分)
数列{}n a 的前n 项和记为 11,2,n n n S a a S n +==+,等差数列 {}n b 的各项为正,其前n 项和为 n T ,且 39T =,又 112233,,a b a b a b +++成等比数列. (I)求 {}n a ,{}n b 的通项公式} ( II)求证:当n ≥2时, 222
121114
5n
b b b ++???+< 20. (本小题满分13分)
如图,椭圆 22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为
x 轴被曲线 2
2:C y x b =-截
得的线段长等于1C 的短轴长, 2C 与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A 、B ,直线MA,MB 分别与 1C 相交于点D 、
E.
(I)求1C 、 2C 的方程; (Ⅱ)求证:MA ⊥MB :
(Ⅲ)记?MAB , ?MDE 的面积分别为 12,S S ,若 1
2
S S λ=,求 λ的最小值. 21.(本小题满分l4分)
已知函数 1
()(1)ln ,()f x ax a x a R x
=+-+
∈. (I)当a=0时,求 ()f x 的极值; (Ⅱ)当a<0时,求 ()f x 的单调区间;
(Ⅲ)方程 ()0f x =的根的个数能否达到3,若能请求出此时a 的范围,若不能,请说明理由,
第二次模拟试题答案(理科数学)
一、 选择: DDBDC AABCA
二、 填空 11. 15;12. 20;13. -1;14. 8:27;15. 3 三、
解答题
16解:(Ⅰ)由题意知:243π
πω
=
,解得:3
2ω=
, ……………………2分
C
B C
B B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==
∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分
a c
b A B C 2sin 2sin sin =+?∴=+∴…………………………………………………6分
(Ⅱ)因为2b c a b c +==,,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形 …………8分
21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ??=+=?+ ……………9分
P
435cos 3-sin +=θ
θ2sin (-)3πθ=+
, ……………………10分 (0)θπ∈ ,,2--333
π
ππ
θ∴∈(,), 当且仅当-
3
2
π
π
θ=
,即56πθ=
时取最大值,OACB S
的最大值为24
+………………12分 17.解:(Ⅰ)证:由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角,故ABFD 是矩形,
从而AB ⊥BF . ……(1分)
又PA ⊥底面ABCD , ∴平面PAD ⊥平面ABCD , ……(2分) ∵AB ⊥AD ,故AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PD , ……(3分) 在ΔPCD 内,E 、F 分别是PC 、CD 的中点,EF //PD ,……(4分) ∴ AB ⊥EF . ……(5分)
由此得⊥AB 平面BEF .……(6分)
(Ⅱ)以A 为原点,以AB ,AD ,AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系,
则)
21,0(),0,2,1(h
BE BD =-=
……(8分)
设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ,平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =,
则 ?????=?=?0
022BE n n
??
???=+=+-020
2hz
y y x 可取??? ??
-=h n 2,1,22 ……(10分) 设二面角E -BD -C 的大小为θ,则
|
||||,cos |cos 212121n n n n n n ?=
><=θ2
24522
<
+
h h , 化简得542
>h ,所以5
5
2>h …(12分)
18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ,则“取出的3个球中恰有两个球编号
相同”为事件A ,则3
1
)(3
91
714==C C C A P 所以32)(1)(=-=P A P ………………(4分)
(II ) X 的取值为2,3,4,5
211)2(3912222212=+==C C C C C X P ,214
)3(3
91
4222412=+==C C C C C X P 73)3(3
91
6222612=+==C C C C C X P ,3
1
)5(3928===C C X P
…………………(8分)
的数学期望21
3574213212=?+?+?+?=EX ………..12分 19解:(Ⅰ)由n S a n n +=+1,得
)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ,两式相减得
1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ,所以121+=+n n a a ---------------------------------2分
所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-,从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分
而21=a ,不符合上式,所以???≥-==2
,121,
2n n a n n -------------------------------------6分
因为}{n b 为等差数列,且前三项的和93=T ,所以32=b ,--------7分
可设d
b d b +=-=3,331,
由于7,3,2321===a a a ,于是
d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211,因为332211,,b a b a b a +++成等比数列, 所以36)10)(5(=+-d d ,2=d 或7-=d (舍)
所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 (Ⅱ)因为
???
??--=-=--<-=k k k k k k b k
11141)22(211)12(1)12(11222
所以,当2≥n 时
22221)12(1
3111111-++=+++n b b b n
??
??????? ??--++??? ??-+??
? ??-+ 3121211411 ??????-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分 20.解(1) 222c a b a == (1分) 又2b =,得1b =22 221:1,:12 x C y x C y ∴=-+= (3分) (2)设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22 101 y kx x kx y x =??--=?=-? (4分) 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ?=+?+=++++ =0 M A M B ∴⊥ (6分) (3)设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=- 112 1122 110,(,1)11 1x k y k x x A k k y y k y x ==-??=??∴-???=-=-=-????解得或,同理可得222(,1)B k k - 11212S MA MB k = = (8分) 121 21 1122222 1112141120421,(,)1121221 1212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ? ==-??+=?-??∴???=-++-+=???=??+? 解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -+ +212S MD ME ∴== (11分) 2122 2112121 52( )(12)(12)9 16 1616 k S k k k S λ++++===≥ 所以λ的最小值为16 9 ,此时k =1或-1. (13分) 21解:(Ⅰ))(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分 当0=a 时,x x x f 1ln )(+ = ,221 11)(x x x x x f -=-='. 令0)(='x f ,解得1=x , 当10< 所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(,单调递增区间是),1(+∞; 所以1=x 时, )(x f 有极小值为1)1(=f ,无极大值 ……………3分 (Ⅱ) 222211(1)1(1)(1) ()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分 令0)(='x f ,得1=x 或a x 1-= 当01<<-a 时,a 11- <,令0)(<'x f ,得10< 令0)(>'x f ,得a x 1 1-<<; 当1-=a 时,0)1()(2 2 ≤--='x x x f . 当1- x 1 0-<<或1>x , 令0)(>'x f ,得11 <<-x a ; 综上所述: 当01<<-a 时,)(x f 的单调递减区间是)1,0(,),1 (+∞-a , 单调递增区间是)1,1(a -; 当1-=a 时,)(x f 的单调递减区间是),0(+∞; 当1- -,),1(+∞,单调递增区间是)1,1(a - (10) 分 (Ⅲ)0≥a 时)0() 1)(1()(2 >-+= 'x x x ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解. (注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.) 由(Ⅱ)知01-<+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1 (+∞-a 上 有1个解. -1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;