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第10讲-函数的图象(讲义版)

第10讲-函数的图象

一、考情分析

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

二、知识梳理

1.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

(2)对称变换

y ＝f (x )的图象―——————————―→关于x 轴对称

y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象―——————————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――————————————→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；

y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换

y ＝f (x )――———————————————————→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1

a （a >0）倍y ＝f (ax ).

y ＝f (x )―————————————————————―→横坐标不变

各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).

(4)翻折变换

y ＝f (x )的图象――————————————→x 轴下方部分翻折到上方

x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；

y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧

原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.

[微点提醒] 记住几个重要结论

(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.

(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.

三、经典例题

考点一作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象：

(1)y ＝? ??

12|x |

； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.

【解析】 (1)先作出y ＝? ????12x

的图象，保留y ＝? ????12x

图象中x ≥0的部分，再作出y ＝? ????

12x

的图象中

x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝? ??

12|x |

的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.

(3)∵y ＝???x 2－2x －1，x ≥0，

x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称

性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③. 规律方法作函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

考点二函数图象的辨识

【例2】(1)(一题多解)函数y＝1＋x＋sin x

x2的部分图象大致为()

(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()

【解析】(1)法一易知g(x)＝x＋sin x

x2为奇函数，故y＝1＋x＋

sin x

x2的图象关于点(0，1)对称，

排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.

法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.

(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，

又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；

当x≥0时，f(x)＝2x2－e x，f′(x)＝4x－e x，

所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，

所以函数f(x)在(0，2)上有解，

故函数f (x )在[0，2]上不单调，排除C ，故选D. 规律方法 1.抓住函数的性质，定性分析：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 考点三函数图象的应用

【例3－1】已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)

【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得 f (x )＝???x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，

画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.

【例3－2】已知函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线ACB ，且函数g (x )＝log 2(x ＋1)”，则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )

A.{x |－1

B.{x |－1≤x ≤1}

C.{x |－1

D.{x |－1

【解析】令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图，

由???x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得???x ＝1，y ＝1.

∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1

【例3－3】已知函数f (x )＝???|x |，x ≤m ，

x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )

＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 【解析】在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.

当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 20.又m >0，解得m >3.

规律方法 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

2.用图

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等.

3.图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移1

2个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ? ??

－2? ????x －12，可避免出错.

4.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.

5.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.

四、课时作业

1．（2020·浙江省高三二模）函数()y f x =的部分图象如图所示，则（）

A ．()()()1112121x f x x x =

+++- B ．()()()111

2121x f x x x =-++-

C ．()()()1112121x f x x x =

+-+- D ．()()()

111

2121x f x x x =--++-

2．（2020·天津高一期末）已知函数()2,0

1ln ,0x x f x x x

-?≤?

=?>??，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数

a 的取值范围是（）

A ．[)1,0-

B ．[)0,+∞

C ．[)1,-+∞

D ．[

)1,+∞

3．（2020·江西省临川一中高一开学考试）已知函数()()21,

1ln 1,

x x f x x x -≤??=?

->??,则方程()()1f

f x =根的个

数为( ) A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

4．（2020·福建省高三其他（理））设函数()4

cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．（2020·四川省泸县第一中学高三三模（文））函数()21x f x x

-=的图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．（2020·陕西省高三二模（文））现有四个函数：①sin y x x =?；②cos y x x =?；③cos y x x =?；④2

y x =?的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A ．①④②③

B ．①④③②

C ．④①②③

D ．③④②①

7．（2020·湖南省长郡中学高二月考）函数()ln x

f x x

的图象可能是( ) A ． B ．

C ．

D ．

8．（2020·天津高二期中）已知定义在R 上的函数()y xf x '

=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点(2,0)

-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（）

A ．(-∞，2)(2-?，)+∞

B ．(-∞，3)

(3-，)+∞

C ．(-∞，3)(0-?，2)

D ．(3-，0)(3?，)+∞

9．（2020·金华市曙光学校高二开学考试）函数()ln f x x x =的图像大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．（2020·浙江省高三其他）函数3

33()x x

f x x

--=的图象大致为（） A ． B ．

C ．

D ．

11．（2020·河北省衡水中学高三期中（理））已知函数32

()32f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数0x ，

使得0()0f x >，则m 的取值范围为（） A ．(0,1)

B ．1

[,1)3

C ．2[,1)3

D ．2[,)3

+∞

12．（2020·山西省高二期中（理））已知()'f x 是函数()f x 的导函数，对任意的实数x 都有

()()2'x

f x f x e +=-

，且302f ??

= ???

，若函数()y f x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．2

52,e -??-+∞ ???

B ．52

2,0e ??- ???

C ．5

22,e -??-+∞ ???

D ．5

22,0e -??- ???

13．（2020·湖南省长郡中学高二月考）设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =?

=?-+≠>?，若函数

2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（）

A ．12

B ．11

C ．6

D ．3

14．（2020·金华市曙光学校高二开学考试）定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]

x ∈-时，2

()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的

零点的的个数是（） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

15．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知函数22log (1),13()129

6,3

2x x f x x x x ?-<≤?

=?-+>??，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（） A ．121=x x B ．12

1x x +

= C ．3412x x +=

D ．34(27,29)x x ∈

16．（多选题）（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()22

21,0

x x x f x x x x ?++≥=?-++

A ．()f x 为奇函数

B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤????

C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=

D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()

()–,04,∞+∞

17．（多选题）（2020·南京市大厂高级中学高一开学考试）下列命题中正确的为( )

A ．在同一坐标系中，2log y x =与

log y x =的图象关于x 轴对称 B ．函数21

12x y -+??

= ?

的最小值是

C ．函数1

x y x +=

+的图象关于点()2,1-对称 D ．函数()2

f x x =-只有两个零点

18．（多选题）（2020·山东省章丘四中高二月考）已知函数()3

f x e x =?，则以下结论正确的是( )

A ．()f x 在R 上单调递增

B ．()()125log 2ln f f e f π-??

<< ???

C ．方程()1f x =-有实数解

D ．存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解

19．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知()|1|1f x x =-+，()(),3

123,3

f x x F x x x ≤?=?->?.

（1）解不等式()23f x x ≤+；

（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.

第7讲函数的图象 (1)

第7讲函数的图象一、选择题 1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度解析因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象. 答案 B 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.故选 C. 答案 C 3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝? ?? ??x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)因为f (－x )＝? ????－x ＋1x cos(－x )＝－? ?? ??x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝? ?? ??π－1πcos π<0，排除C ，故选D. 答案 D 4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( ) 解析由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当01时，y >0. 排除选项A ，C ，D ，选B. 答案 B

第11讲函数的图象(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第11讲函数的图象思维导图知识梳理 1．利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换

①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x ) ――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x ) a ＞1，横坐标缩短为原来的1 a 倍，纵坐标不变 0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1 a 倍，纵坐标不变 →y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2019秋?海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-?? =-??->? ．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象；（Ⅱ）若1 () 4 f x ，求x 的取值范围；（Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；（Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解；（Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解．【解答】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图；（Ⅱ）当1x <-时，满足1 () 4 f x ，

第11讲一次函数应用及综合问题(讲练)(解析版)

备战2020年中考数学总复习一轮讲练测第三单元函数第11讲一次函数的应用及综合问题

1、了解：一次函数的概念； 2、理解：图象中横纵坐标表示的意义，及结合实际问题中的意义； 3、会：结合函数图象确定图形面积；并根据面积确定点的坐标，进而求出一次函数解析式；会解决一次函数有关的实际问题； 4、能：解决一次函数与几何综合，并根据整数点及公共点的个数确定参数的值或范围。 1．（2019春?石景山区期末）甲、乙两名同学骑自行车从A 地出发沿同一条路前往B 地，他们离A 地的距离()s km 与甲离开A 地的时间()t h 之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法： ①甲、乙同学都骑行了18km ②甲、乙同学同时到达B 地 ③甲停留前、后的骑行速度相同 ④乙的骑行速度是12/km h 其中正确的说法是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 【解答】解：由图象可得，甲、乙同学都骑行了18km ，故①正确，甲比乙先到达B 地，故②错误，甲停留前的速度为：100.520/km h ÷=，甲停留后的速度为：(1810)(1.51)16/km h -÷-=，故③错误，乙的骑行速度为：18(20.5)12/km h ÷-=，故④正确，故选：B ． 2．（2018春?平谷区期末）某区中考体育加试女子800米耐力测试中，同时起跑的甲和乙所跑的路程S （米

)与所用时间t（秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是() A．甲的速度随时间的增大而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后50秒时，甲在乙的前面 D．在起跑后180秒时，两人之间的距离最远【解答】解：由题意可得，甲对应的函数图象是线段OA，由图象可知甲在匀速跑步，故选项A错误，由图象可知，甲先跑完800米，则甲的平均速度比乙的平均速度大，故选项B错误，在起跑后50秒时，乙在甲的前面，故选项C错误，由图象可知，在起跑后180秒时，甲在乙的前面，此时两人之间的距离最远为200米，故选项D正确，故选：D． 3．（2019春?海淀区校级期中）已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是．【解答】解：220 Q， += x y ∴=-，即10 202 y x x<， Q两边之和大于第三边 ∴>， 5 x 综上可得510 <<． x 故答案为：220 =-+，510 y x <<． x 4．（2019春?海淀区校级月考）若一条直线与函数31 =-的图象平行，且与两坐标轴所围成的三角形的 y x

(课标通用)北京市202x版高考数学大一轮复习第二章 7 第七节函数的图象夯基提能作业本

第七节函数的图象 A组基础题组 1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度答案 C 由y=lg得y=lg(x+3)-1,把函数y=lg x的图象向左平移3个单位长度,得函数y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得函数y=lg(x+3)-1的图象.故选C. 2.(2017北京西城一模)函数f(x)=-log2x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B f(x)=-log 2x的零点个数就是函数y=与y=log2x的图象的交点个数. 如图: 由图知函数f(x)的零点个数为1.故选B. 3.函数y=的图象可能是( ) 答案 B 易知函数y=为奇函数,故排除A、C,当x>0时,y=ln x,只有B项符合,故选B. 4.下列y=f(x)的函数图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )

答案 D 因为f>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中, ff(0),所以 f0且b≠1)的图象如图所示,那么函数y=log b(x-a)的图象可能是( ) 答案 C 由y=a+sin(bx)的图象可得a>1,且最小正周期T=<π,所以b>2,所以y=log b(x-a)是增函数,排除A和B;当x=2时,y=log b(2-a)<0,排除D,故选C. 6.(2015北京朝阳期末,7)已知定义在R上的函数f(x)=若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则实数a的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2) C.(0,2] D.[1,2] 答案 B 由题意得f(x)=在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象如图所示, 由图象易知,若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则a的取值范围是[0,2),故选B. 7.(2017北京朝阳二模,7)已知函数f(x)=(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是( )

2021高考数学一轮复习第7讲函数的图象学案含解析.doc

第7讲函数的图象 [考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题. 2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点) 3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解. 1．利用描点法作函数图象的流程 2．变换法作图 (1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03 －f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )；

③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05 －f (－x )； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换 ①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝□07|f (x )|； ②y ＝f (x ) ―――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝□ 08f (|x |)． (4)伸缩变换 y ＝□09f (ax )； ②y ＝f (x )―――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0