(完整版)线性代数第三章向量试题及答案

第三章 向量

1、基本概念

定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21ΛΛ称为一个n 维向量，

称这些数为它的分量。分量依次是a 1,a 2,? ,a n 的向量可表示成：

=α[]n a a ,,a 21ΛΛ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21ΛΛ称为列向量。

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1?n 矩阵，右边是n ?1矩阵)。习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。

一个m ?n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21ΛΛ时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21ΛΛ ）。

矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。

两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.

2、向量的线形运算

3、向量组的线形相关性

定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21ΛΛ是一组n 维量,m k k k ΛΛ21,是

一组数，则m m k k k αααΛΛ++2211为m ααα,,21ΛΛ的线性组合。

n 维向量组的线性组合也是n 维向量。

定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21ΛΛ的一个线性组

合，即=βm m k k k αααΛΛ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21ΛΛ线性表示。

判别β是否可以用m ααα,,21ΛΛ线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x ΛΛΛ2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βαααM ΛΛm 21,为增广矩阵的线性方程组。反之，判别

“以

()βM A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为

β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。

定义4：线性相关：对m 个n 维向量m ααα,,21ΛΛ，若存在一组不全为0

的数m k k k ΛΛ21,，使得m m k k k αααΛΛ++2211=0成立，则称向量组

m ααα,,21ΛΛ线性相关。

包含0向量的向量组肯定线性相关，有相等向量或成比例向量的向量组线性相

关，单个向量是0向量时线性相关。

定义5：线性无关：向量组m ααα,,21ΛΛ，只有当m k k k ΛΛ21,全为0时，

才有m m k k k αααΛΛ++2211=0成立，则称向量组m ααα,,21ΛΛ线性无关。

单个向量是非0向量时线性无关。

向量组m ααα,,21ΛΛ “线性相关还是无关”也就是向量方程

m m k k k αααΛΛ++2211=0 有没有非零解（仅有0解）,也就是以m ααα,,21ΛΛ为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解（仅有0解）.

??????

?=+++=+++=+++0

002211222212112121

11m nm n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

定理1： 向量组m ααα,,21ΛΛ（)2≥m 线性相关（无关）的充要条件是 向量组中至少有一个（任意一个）向量可由（均不能由）其余m-1个向量线性表出。

定理2：如果向量组m ααα,,21ΛΛ线性无关，而向量组βααα,,,21m ΛΛ

线性相关，则β可由m ααα,,21ΛΛ线性表示，且表示法唯一。

若向量组组成的矩阵是方阵，

? 则方阵的行列式为0.

?其中至少存在一个向量可由其余S-1个向量线性表示

?m m k k k αααΛΛ++2211，),2,1(m i k i Λ=不全为0.

4、向量组的极大无关组和向量组的秩

定义1：设向量组的部分向量组r ααα,,21ΛΛ满足条件：（1）

r ααα,,21ΛΛ线性无关（2）在向量组中任取一个向量α，则向量组α，r ααα,,21ΛΛ线性相关，则称r ααα,,21ΛΛ是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。

由定义1可知：（1）一个线性无关向量组的极大无关组就是它本身。 （2）向量组中任意一个向量都可由极大无关组线性表示，从而一个向量组与它

的极大无关组等价。（3）任一个含有非0向量的向量组总存在极大无关组（4）当

一个向量组的所有向量都是0向量时，这个向量组没有极大无关组。

定义2：向量组m ααα,,21ΛΛ的极大无关组所含向量的个数，称为向量组

的秩。

定理1：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等 定理2：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。

矩阵A 的行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列秩，一个矩阵A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A 的秩,记作r(A )。

定理3：任意m 个n 维向量组m ααα,,21ΛΛ线性无关的充要条件是这个向

量组的秩等于它所含向量的个数。即r(m ααα,,21ΛΛ)=m ,或者称他们构成矩阵A 的秩r(A )= m 。

定理4：任意m 个n 维向量组m ααα,,21ΛΛ线性相关的充要条件是这个向

量组的秩小于它所含向量的个数。即r(m ααα,,21ΛΛ)

推论1：当n m φ时，m 个n 维向量必线性相关。

推论2：任意n 个n 维向量组线性无关的充要条件是由他们构成的方阵A 的

行列式不等于0。

推论3：任意n 个n 维向量组线性相关的充要条件是由他们构成的方阵A 的

行列式等于0。

推论4：在一个向量组中，如果有一个部分向量组线性相关，则整个向量组

也必定线性相关。

推论5：一个线性无关的向量组的任何非空部分的部分向量组也必定线性无

关。

推论6：若m 个n 维向量组线性无关，则将期每个向量添加r 个相应分量所组成的n ＋r 维向量组也线性无关。

推论7：若m 个n 维向量组线性相关，则将其每个向量去掉n-r 个相应分量

所组成的r 维向量组也线性相关。

例 题

一、向量的行列式计算

1.已知,1α2α，3α，β，γ均为4维列向量，若4阶行列γααα321=a ，

b =+321αααγβ，那么4阶行列1232αααβ=

解：=+321αααγ

β+321αααβb =321αααγ

--123αααβb =γααα321

()a b +-=123αααβ，所以()a b +-=22123αααβ

2.321,,,,γγγβα均为4维列向量，已知,53211==γγγαA

1321-==γγγβB ，则=+B A

解:

32

8588882223

21321=-?=+=+=+=+B A r B A γγβαγγγβ

α

3.设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，

)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B

[][].,,,21222

12121

11212

1

?

?

?????

?????=mn n

n m m n m a a a a a

a a a a ΛM M M M ΛΛ

ΛΛαααβββ .221941321111=?=?=A B 3.已知A 是3阶矩阵，,1α2α，3α是3维线性无关的列向量，若A 1α=21αα+，

A 2α=2α+3α，A 3α=3α+,1α(1) 求行列式A

(2) 求作矩阵B ，使得B A ),,(),,(321321αααααα=

解：

()()()=??

??

?

?????=+++=110011101,,,,,,321133221321αααααααααααa A 所以2==B A

4.设A 是n m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，则

A 当m>n 时，必有行列式A

B ≠0 B 当m>n 时，必有行列式AB =0

C 当n>m 时，必有行列式AB ≠0

D 当n>m 时，必有行列式AB =0 解：m m m n n m AB B A ???=()()()()B r A r AB r ,m in ≤当m n <，(),n A r

（A ）A 的两行元素对应成比例（B ）A 中必有一行（列）为其余各行(列)线性组 （C ）A 中有一列元素全为0 （D ）A 中任一列均为其余各列的线性组合

二、向量的线性相关性

1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk , 则 k = ______时，α1, α2, α3, α4线性相关。

解：考察行列式

1

102131

1811052

13000011

182105213000211142k k k -----=-----=----- 316102038++-+--=k k = 13k +5 = 0。 13

5-=k 2.a,b,c 满足什么条件时向量组

1α=(a,0,c),2α=(b,c,0),=3α (0,a,b)线性无关

解：()0000

000≠+?=-

→bc bc a b

a

bc

a c

b a b

c a c b a 3.设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 C

(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1 4.设

α1, α2, α3 线性无关，则下列向量组线性无关的是：C

(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 - α1 (B) α1 + α2, α2 + α3, α1 +2α2 +α3 (C) α1 +2 α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 (D) α1+ α2 + α3 2α1-3α2 + 22α3 3α1+ 5α

2 -5α

3 5.设12,,,,a a a L 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是A （A ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. （B ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.

（C ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.

（D ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.

6. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，

)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是：

(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k

0)(2221121=++αλαλk k k ，由于21,αα线性无关，于是有??

?==+.

0,

022121λλk k k

当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).

方法二： 由于 ???

??

?=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，

可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是

.00122

1≠=λλλ

7.设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a , b , c 满足什么条件

a α1－α2,

b α2－α3,

c α3－α1线性相关.

解：假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k

得0)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k

因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组 ???

??=+-=+-=-0

00

32

2131ck k bk k k ak

当行列式 01

01

1

0=---c

b a

时, 321,k k k 有非零解. 所以 1=abc 时, a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关.

或者：a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1()321,,ααα=????

?

???

??---c b a 100110

当行列式

01

0110=---c

b a ，1=ab

c ，a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关。

8.AB =0,， A 、B 是两个非零矩阵，则

(A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。 (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。 (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。 (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

分析：A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论。

解一：设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()( 又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)

解二：由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关。

同理，由AB=O 知，O A B T

T

=，于是有T

B 的列向量组，从而B 的行向量组

线性相关，故应选(A).

10.若n 维向量组s ααα,,21ΛΛ线性相关，判断下列向量组的线性相关性 （1）121,,,+s s ααααΛΛ (2)

1221,,,--s s ααααΛΛ

11.设向量组 (I):T

T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα; (II):T

T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,

(A) (I)相关?(II)相关 (B) (I)无关?(II)无关 (C) (II)无关?(I)无关 (D) (I)无关? (II)无关

推论4：在一个向量组中，如果有一个部分向量组线性相关，则整个向量组

也必定线性相关。

推论5：一个线性无关的向量组的任何非空部分的部分向量组也必定线性无

关。

推论6：若m 个n 维向量组线性无关，则将期每个向量添加r 个相应分量所组成的n ＋r 维向量组也线性无关。

推论7：若m 个n 维向量组线性相关，则将其每个向量去掉n-r 个相应分量

所组成的r 维向量组也线性相关。

??

???

??维数增加，不确定

维数减少，必相关个数减少，不确定个数增加，必相关

线性相关，??????

?维数减少，不确定维数增加，必无关个数减少，必无关个数增加，不确定线性无关

三、向量的线性表示

1.当k = ___时, 向量β = (1, k , 5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示。 解： 考察行列式

,012

5

132

2

1=--k 得k =－8. 当k =－8时， β可用21,αα线性表示。

2.设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则

(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关 (C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2 线性表示

解：因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关,

所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.

3.设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问

（1）α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;（2）α1能否由α2, α3,α4线性表出? 证

明你的结论;（3） α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论

解：（1）α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: T )1,1(1=α, T

)0,1(2=α,

T )0,2(3=α. 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;

（2）因为α1, α2, α3 线性相关，所以α1, α2, α3, α4 线性相关，又因为α2, α3, α4线性无关，()=432,,αααr ()3,,,4321=ααααr ，所以α1能由α2, α3,α4线性表出。 （3）α4不能由α1, α2, α3线性表出.，因为α1, α2, α3线性相关，

()3,,321<αααr ，()3,,,4321=ααααr ，()≠4321,,,ααααr ()321,,αααr

4.设有三维向量??????????=111k α, ????

?

?????=112k α,??????????=2113α, ??????????=2

1k k β问k 取何值时

（1）β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一; （2）β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;（3） β不能由α1, α2, α3线性表示.

解：)1(2222

11111

12-=-=k k k k k

k

（1）10≠≠k k 且时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由

α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一。 （2）当k = 1 时

→????

??????121111111111M M M ????

?

?????010*********M M M . 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一。

（3）当0=k 时

→????

??????021*********M M M ??????????021*********M M M ????

?

?????→011011100101M M M ??????????-→100011100101M M M . 系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示. 5.设1α=(1+λ，1，1)，2α=(1，1+λ，1)，3α=(1，1，1+λ)，

β=(0，λ,λ2)．

① λ为何值时，β可用α1, α2, α3线性表示，并且表示方式唯一？

②λ为何值时，β可用α1, α2, α3线性表示，并且表示方式不唯一？ ③ λ为何值时，β不可α1, α2, α3用线性表示？ 解：()=321,,αααr ()3,,,321=βαααr

()()2300001

1

1311

1

111111λλλ

λ

λλ

λλ+=+=+++=

A

所以当3-0≠≠λλ且时，β可用α1, α2, α3线性表示，并且表示方式唯一。 当0=λ

时??

??

?

?????→??????????000000000111000111111111M M M M ，()=321,,αααr ()1,,,321=βαααr β可用α1, α2, α3线性表示，并且表示方式不唯一。

当3-=λ

时??

??

??????---→??????????---→??????????----63000023230112930332302323011

2930211121112M M M M M M 当3-=λ时，β不能用α1, α2, α3线性表示。

6. (),1,1,0,11=α()1,0,1,22-=α，()0,2,2,13-=α，()1,0,1.01=β，()1,1,1,12=β

问21,c c 满足什么条件时2211ββc c +可以用α1, α2, α3

线性表示

()?

????

?

??????--+--+--→????????????--+--→????????????++--221212121221221210021002101211100320210121011201210121C C C C C C C C C C C C C C C C ()?????

?

??????--+--+--212121220002100210121C C C C C C C 0221=+C C ，

()()3,,,,,2211321321=+=ββααααααC C r r

7. ()1,0,2,11=α()0,1,1,12-=α()1,,1,03a =α()0,1,0,11=γ()2,0,1,02=γ 问α和κ取什么值时

21κγγ+可用α1, α2, α3线性表示，写出表示式。 ?????????

???+----→???????

??

???-100

0310********

1210

111011210

11k k a k k a k 解：当1≠a 时，()3,,321=αααr ，101-=?=+k k

()()3,,,,,21321321=+=γγααααααk r r ，可以惟一线性表示。

当1=a 时，K 取任何值都无解。

8.设1α=(1,2,-3)，2α=(3,0,1)，3α=(9,6,-7)，1β= (0,1,-1)，2β=(a,2,1)，3β=(b ，1，0)。已知r(α1, α2, α3)=r(1β2β3β),并且3β可用α1, α2, α3线性表示，求a,b. 解：????

??????---→??????????--b b b b 32120100126093101713602931M M M M 510

6321=?-=-b b b 又因为r(α1, α2, α3)=r(1β2β3β)=2

????

?

?????-→??????????-0111305001112150a a ，1553=?=a a 9.已知β可用1α2α,…,s α线性表示，但不可1α2α,…,1-s α用线性表示。证明

（1）s α不可用1α2α,…,1-s α线性表示；

（2）s α可用1α2α,…,1-s α β线性表示。 证明：（1）若s α可以用1α2α,…,1-s α线性表示，设

112211--++=s s s l l l ααααΛΛ

由已知可得：s s a k a k k ΛΛ++=2211αβ

()1122112211--++++=s s s l l l k a k k ααααβΛΛΛΛ

()()()111222111---+++++=s s s s s s l k k l k k l k k αααΛΛ

β不可用1α2α,…,1-s α线性表示，同已知相矛盾，所以s α不可用

1α2α,…,1-s α线性表示；

（2）由已知可得：s s a k a k k ΛΛ++=2211αβ

,0≠s k 若0=s k ，则β可以用1α2α,…,1-s α线性表示。 112211-----=s s s s a k a k k k ΛΛαβα βααααs

s s s s s s k k k k k k k 1

112211+---

=--ΛΛ 所以s α可用1α2α,…,1-s α β线性表示。

10． 已知4321,,,a a a a 是线性方程组0=Ax 的一个基础解系，若

211ta a +=β，322ta a +=β，433ta a +=β，144ta a +=β，讨论实数t 满足

什么关系时，4321,,,ββββ也是0=Ax 的一个基础解系。

解：

11. 22111a t a t +=β，32212a t a t +=β121a t a t s s +=βΛ，其中21,t t 为实常数，试问21,t t 满足什么关系时，s βββΛ21,也是0=Ax 的一个基础解系。

解：()()

s s ααααββββΛΛΛΛ321321,,,,=1

2

1

2

122100

000000t t t t t t t t ΛM M

M M ΛΛ 1

2

1

2122

100

000000t t t t t t t t ΛM M M M ΛΛ()()s s s s s s t t t t t t 2

11121211111+-+--+=-+?=

当()s

s s

t t 2

111+-+0≠时，()s ββββΛΛ321,,线性无关。

当S 为偶数时，21210t t t t s

s

±≠?≠-，当S 为奇数时，021≠+s

s t t

12.

解：设有一组数

使得

，是线性方程组的非零解向量，故有

，从而

四、两个向量组的相互线性表示

定义：设有两个n 维向量组（I ）m ααα,,21ΛΛ和（∏）t βββΛΛ21,

若向量组（∏）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称向量组（∏）可由向量组（I ）线性表示，若向量组（I ）与（∏）可以互相线性表示，则称向量组（I ）与（∏）等价。

向量组的等价关系具有下列性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，即如果向量组t βββΛΛ21,可以用m ααα,,21ΛΛ线性表示，而m ααα,,21ΛΛ可以用t γγγΛΛ21,线性表示，则t βββΛΛ21,可以用t γγγΛΛ21,线性表示。

向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解；（矩阵方程）

A=（m ααα,,21ΛΛ），B=(t βββΛΛ21,)

定理1：矩阵方程B Ax =有解的充要条件是),()(B A R A R = 定理2：向量组（∏）t βββΛΛ21,能由向量组（I ）m ααα,,21ΛΛ线性

表示的充要条件是矩阵),,(21m a a a A ΛΛ=的秩等于矩阵

),,,(2121t m a a a C βββΛΛΛΛ=的秩， ),,(21m a a a r ΛΛ=),,,(2121t m a a a r βββΛΛΛΛ

推论1：向量组（I ）m ααα,,21ΛΛ和（∏）t βββΛΛ21,等价的充要条

件是),,(21m a a a r ΛΛ=),(21t r βββΛΛ=),,,(2121t m a a a r βββΛΛΛΛ

推论2：向量组t βββΛΛ21,可由向量组m ααα,,21ΛΛ线性表示,且

),(21t r βββΛΛ=),,(21m a a a r ΛΛ,则两向量组等价。

推论3：向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 推论4：若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 推论5：任一向量组和它的极大无关组等价.

推论6：等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。 定理3：设向量组（I ）m ααα,,21ΛΛ的秩为S,向量组（∏）t

βββΛΛ21,的秩为r ，若向量组（∏）可由向量组（I ）线性表示，则s r ≤

证明：如果t βββΛΛ21,可以用m

ααα,,21ΛΛ线性表示

?

),,(21m a a a r ΛΛ=),,,(2121t m a a a r βββΛΛΛΛ=S

),(21t r βββΛΛ≤),,,(2121t m a a a r βββΛΛΛΛ. 即s r ≤。

推论1：设有两个n 维向量组（I ）s ααα,,21ΛΛ和（∏）ΛΛ21,ββr β

若向量组（∏）线性无关，且可由向量组（I ）线性表示，则s r ≤。

推论2：若向量组r βββΛΛ21,可由向量组s ααα,,21ΛΛ线性表示，且

s r φ，则向量r βββΛΛ21,组线性相关。即如果多数向量能由少数向量线性表

出，多数向量一定线性相关。

例题:设向量组I: α1, α2,…, αr 可由向量组II ：β1,β2,…,βs 线性表示，则

(A) 当r s 时，向量组II 必线性相关. (C) 当r s 时，向量组I 必线性相关.

以上重要知识点可简写为：

向量组A 能由向量组B 线性表示 AX B ?=有解；

()(,)r A r A B ?=

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；

向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无 关，则r s ≤；

A 能由向量组

B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==

1. 已知向量组12(1, 2, 1, 3),(2, 5, , 8),T T a αα=-=3(1, 0, 3, 1)T

α=-及向量组

21(1, , 5, 7),T a a β=-2(3, 3, 3, 11),T a β=+3(0, 1, 6, 2)T β=.若1β可由321,,ααα线

性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。

解：以向量321,,ααα，321,,βββ为列构成矩阵A ，对A 作初等行变换，得

()3213

21,,,,βββααα=A

??????? ?

?--+-=21171

8

3635311305203

1

1212a a a a ??????

?

?

?-+---→224420664220132210

031121

2a a a a

??

?

?

?

?

?

??---+------→028280004120220013221003

11212a a a a a a a a

1βΘ可由321,,ααα线性表出，∴028=-a 即4=a 。

当4=a 时，继续对A 初等行变换，得

???????

?

?--→00000000010001122100311

2

1

A ??

??

?

??

??---→000000000100112

210213

501??

?

?

?

?

?

??--→000000000100112010213001

∴,2,,23213212211ααβααβααβ+-=+=+-=

即向量组321,,βββ可由321,,ααα线性表出，但321,,ααα不能由

321,,βββ线性表出。这是因为秩321321,,,3),,(αααααα=线性无关，

而秩321321,,,2),,(ββββββ=线性相关，因此这两个向量组321,,ααα与

321,,βββ不可能等价。321,,βββ不能由321,,ααα线性表出。 2.求常数a,使得向量组1α=(1,1,a),

2α=(1,a,1), 3α=(a,1,1)可由向量

1β=(1,1,a), 2β=(-2,a,4), 3β=(-2,a,a)线性表示,但是1β2β3β不可用

α1, α2, α3线性表示.

解：()()????

?

?????--+----++--2

113011011400220221a a a a a a a a M M M 当4=a 时，()2,,321=βββr ，()3,,,,,321321=αααβββr ，不满足已知条件。 当2-=a 时，()2,,321=βββr ，()3,,,,,321321=αααβββr ，不满足已知条件。

当1=a 时，()3,,321=βββr ，()3,,,,,321321=αααβββr ，()2,,321=αααr ， 满足已知条件。

????

??????----060000111300330221M M M

3.给定向量组(I ）1α=(1,0,2)，2α=(1,1,3)，3α=(1,-1,a+2)和(Ⅱ) 1β=(1,2, a+3)，

2β=( 2,1 ,a+6)，3β=(2,1,a+4)．当a 为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价? a 为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价? []321321,,,,βββαααM

????

??????-+-+-11111222110011011

1a a a a M M 当1-=a 时，()2,,321=αααr ，()3,,,,,321321=αααβββr ，()3,,321=βββr (Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，(Ⅱ)不能用(Ⅰ)线性表示。

1-≠a 时，()3,,321=αααr ，()3,,,,,321321=αααβββr ，(Ⅰ)和(Ⅱ)可以相互

线性表示，因此(Ⅰ)和(Ⅱ)等价。

4.已知n 维向量321,,ααα线性无关，若321,,βββ可用321,,ααα线性表出，设 （321,,βββ）=（321,,ααα）C ，证明321,,βββ线性无关的充分必要条件是C 0≠ 解：因为333131???=C A B ，若已知321,,βββ线性无关， ()3=AC r

()()(){}()C r C r A r Ac r ≤≤,m in ，()33≤≤c r ，()3=c r ，所以C 0≠。

若C 0≠，()3=c r ，()3=AC r ，所以321,,βββ线性无关。 5.已知n 维向量组

1α2α,…,s α线性无关，则n 维向量组1β2β…,s β也线性无

关的充分必要条件为

（A) 1α2α,…,s α可用1β2β…,s β线性表示

(B)

1β2β…,s β可用1α2α,…,s α线性表示

(C) 1α2α,…,s α与1β2β…,s β等价

(D)

矩阵（1α2α,…,s α）和（1β2β…,

s β）等价

解：1α2α,…,s α可用1β2β…,s β线性表示，可以推出，

r （1β2β…,s β）=r (1β2β…,

s βM 1α2α,…,s α),

已知1α2α,…,s α线性无关，r （1α2α,…,s α）s =，

r （1α2α,…,s α）≤r (1β2β…,

s βM 1α2α,…,s α)≤r （1β2β…,s β）=s

是充分条件，不是必要条件。 B r （1α2α,…,s α）=r (1β2β…,

s βM 1α2α,…,s α)s = r （1β2β…,s β）≤r (1β2β…,

s βM 1α2α,…,s α)

非充分，非必要条件。

C r （1α2α,…,s α）=r (1β2β…,s βM 1α2α,…,s α)= r （1β2β…,s β）

是充分条件，不是必要条件。

D 矩阵等价可以用初等变换相互交换，而且秩相同。

总结向量组等价和矩阵等价知识点：

向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：

{}{}1212,,,,,,n n αααβββ???=???%

矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =% ① 矩阵A 与B 等价?)()(B r A r =，且同型。

两个n m ?矩阵A 与B 等价?存在m 阶满秩矩阵P 及n 阶满秩矩阵Q ，

使得PBQ A =

矩阵A 与B 作为向量组等价

?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=),,,(2121n n a a a r βββΛΛΛΛ ?()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

如果两个向量组等价且向量组个数与维数都相等?矩阵等价

五、求向量的秩与极大线性无关组

1.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT

矩阵A = α·β, 则秩(A ) = ______.

解：A = α·β = ()→??

????????

??--=??????? ??-402

0201000

020

1020102101 ?

?

???

???????4020000000002010 或者：()(){}ββαr a r r ,≤?

2.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα, 且 秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______. 解：A = (α1, α2, α3, α4)?

?

???

?????

??=t 654

65435432

4321

????????????------=

1663064203210432

1t ?

?

?

??

???????-=7000

000032

104321t

所以当t = 7时, r (A ) = 2.

3.设1α=(1+a,1,1)，2α=(1,1+b,1)，3α=(1,1,1-b)，问a=__,b=__ r(α1, α2, α3)=2 解：因为r(α1, α2, α3)=2，0=A ，()012=+-=a b A

1

11

111111a +，()200=≠=A r a b 时，且，同理1-=a ，b 取任何数时秩为2. 4.已r(α1, α2, α3)=r(α1, α2, α3, α4)=3,r(α1, α2, α3, α4α5)=4，求r (α1, α2, α3, α4-α5) 解：因为r((α1, α2, α3)=r(α1, α2, α3, α4)=3，所以4α可以用321,,ααα线性表示， r(α1, α2, α3, α4α5)=4，? r((α1, α2, α3, α5)=4 r (α1, α2, α3, α4-α5)= r (α1, α2, α3, -α5)=4

5.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα 求它们的一个极大无关组，共有几个?

5题答案：?

?

???

?

???

???-00320000

310001330

13

01 因为()3=A r ，所以极大无关组一定包含3个向量，且必包含4α，62

4=C 个。

6.求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余用极大线性无关组线性表示.

)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.

解： →????

?

?

??????-------3763245113122141→

?

?

??

?

??

??

???---------34180039031902141

????

????????---3200

3200319

02141?

?

???

??

?????--→0000

3200

319

214

1

所以 321,,ααα是极大线性无关组. 由 3322114ααααk k k ++= 得方程组

???

??-==+=-+3

2392

43

32321k k k k k k 解得 2331-==k k , 212=k

所以

32142

32123αααα-+-=

7. 设4维向量组()T

a a 1,1,1,11+=，()T

a a 2.2.2.22+=，()T

a a 3,3,3,33+=

()T

a a +=4,4,4,44，问a 为何值时4321,,,a ααα线性相关，当4321,,,a ααα线性

相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出

，当100-==a a 或时

当10-=a 时

8.设,,,,4321ααααβ为4维非零列向量，A = (4321,,,αααα)，已知方程组A x = β的通解是T T k )0,2,1,1()2,0,1,1(-+-，其中k 为任意实数(1) 问β能否由321,,ααα线性表示？(2) 求向量组,,,,4321ααααβ的一个极大无关组。

解：因为齐次方程组0=Ax 的基础解系为()T

0,2,1,1-，所以A 的秩为3.

设β可以由321,,ααα线性表示，即存在321,,k k k ，使得：

332211αααβk k k ++=，即T k k k )0,,,(321是方程组β=Ax 的解，又因为

()T 2,0,1,1-也是方程组β=Ax 的解，所以两解之差()2,1,1,321-+-k k k 也是

方程组0=Ax 的解，但()

2,1,1,321-+-k k k 与()T

0,2,1,1-是线性无关的，出

现矛盾，所以β不能由321,,ααα线性表示。

（2）因为β=Ax 有解，所以=),,,,(4321βααααr 3),,,(4321=ααααr 又因为()T

0,2,1,1-是0=Ax 的解，所以02321=+-ααα，所以向量3α可由

21,αα线性表示，即3α可由421,,ααα线性表示，()T 2,0,1,1-是方程组β=Ax 的

解，即β可由421,,ααα线性表示，所以),,,,(4321βαααα与),,(421ααα等价，

3),,(421=αααr ，即向量组421,,ααα线性无关，所以421,,ααα是向量组

,,,,4321ααααβ的一个极大无关组。 六、向量组的正交规范化

定义1：设有n 维向量α=(n ααα,,21ΛΛ),称数值2

2221n ααα+++Λ为向

量α的长度，记为

α，即α=2

22

21n ααα+++Λ 若

α=1，则称α为单位向量，)0,0,1(1Λ=e ，)0,1,0(2Λ=e ???，

)1,0,,0(Λ=n e ，都是n 维单位向量，也称它们为n 维基本单位向量。 对于任意实数K ，可得αk =),(ααk k =),(2ααk =αk ，由此可得，当

≠α0时，有

αα

1

=

αα

1

=1，即

αα

1

为一单位向量，通常以

α

1

乘以α称为向量α的单位化或标准化。

定义2：如果向量α与β的内积为0，即()βα,=0，则称α与β正交。

显然零向量与任何向量都正交。

定义3：如果m 个n 维非零向量m ααα,,21ΛΛ两两正交，即满足()j i αα,=0，

()m j i j i ΛΛ.2,1,,=≠

，则称向量组m ααα,,21ΛΛ为n 维正交向量组，简称正

交组，如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则这个正交向量组称为单位正交向量组或标准正交向量组。

定理1：设m ααα,,21ΛΛ是n 维正交向量组，则m ααα,,21ΛΛ线性无关。

推论：互相正交的n 维向量的个数不会超过n 。

定理2：矩阵A=()

n

n ij

?α为正交矩阵的充要条件是A 的行（列）向量组是单

位正交向量组。

补充：若AA T =A T A=E ，则称矩阵A 是正交矩阵。 （1）A 是正交矩阵?A T =A -1

（2）A 是正交矩阵?2

A =1 (3) A 是正交矩阵，则A T ，A -1也都是正交矩阵， 若 A ，

B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。（可用定义证明）

定义4：施密特正交规范化：若m ααα,,21ΛΛ是正交向量组，则

m ααα,,21ΛΛ一定是线性无关向量组，反之则不然，但是从线性无关 m ααα,,21ΛΛ出发，可以得到一个与之等价的正交向量组m βββΛΛ21,，再将

m βββΛΛ21,单位化，即可得到与m ααα,,21ΛΛ等价的标准正交向量组

m ηηη,,,21Λ，这一过程称为向量组m ααα,,21ΛΛ的正交规范化。

设m ααα,,21ΛΛ是线性无关的向量组，令

11αβ=， 22αβ=-

()

()

1112,,βββα1β

()()()

()

222231111333,,,,ββββαββββααβ--=

….……………………………………… ()()()()()

()

111122221111,,,,,,--------

=m m m m m m m m m ββββαββββαββββααβΛΛ

[]111ββη=，222ββη=………………..m m m ββη=

容易验证m βββΛΛ21,两两正交，再将m βββΛΛ21,标准化为

m ηηη,,,21Λ，则m ηηη,,,21Λ为标准正交向量组且与向量组m ααα,,21ΛΛ等

价。

1.（1） 已知矩阵A

求：（1）a,b,c,满足什么条件时，矩阵A 的秩为3。

（2）a,b,c,取何值时，A 是对称矩阵。（3）取一组a,b,c,使得A 为正交矩阵。 解：（1）()bc a bc a A A A r 20203≠?≠??

?

??--=?≠?= （2）0,0,1===c b a

（3）02=+

b a

c ，122=+b a ，14

12=+c 23,21,23±=±==

b a

c ，2

3,21,23±=±=-=b a c 2.设()

3

3?=ij

a A 是实正交矩阵，且111=a ，()T

b 0,0,1=线性方程组b Ax =的解

解：A A E AA T

?=?=12

可逆，正交矩阵的向量组都是单位正交向量组。

????

?

?????=??????????=????????????????????===?=-0010011312113323

13

322212

312111

1a a a a a a a a a a a a b A b A x b Ax T 3.将向量组[]1,1,1,11-=α，[]1,1,1,12--=α，[]3,1,1,23=α

单位正交化。

[]111121

1--=

η，[]11313212--=η，[]570278

13=η 4.将向量组[]2,

1,01=α，[]1,0,12=α，[]0,1,13=α单位正交化。

[]210

5

11=

η []125

30

12-=

η []1216

13-=

η

????

?????

?=210

001

b

c a

A

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数 第三章向量

n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设　，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii)　对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。

例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关

上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

线性代数期末考试试卷

本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页

5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ①n 2②1 2 -n ③1 2 +n ④4 2. n 维向量组s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ①s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

线性代数期末考试试卷+答案(单美静)

2008年线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共1０分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ_＿__＿___＿_。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 ３.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 ４.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 ５.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ) 3. 向量组m a a a ，， ， 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ，，， 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。（ ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题２分,共１0分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2?② 1 2 -n ?③ 1 2 +n ?④ ４ 2. n 维向量组 s ααα，，， 21(3 ≤ s ≤ n)线性无关的充要条件是( ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示