弯曲应力计算

第7章弯曲应力

7、1 引言

前一章讨论了梁在弯曲时得内力——剪力与弯矩.但就是，要解决梁得弯曲强度问题，只了解梁得内力就是不够得,还必须研究梁得弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力,如何计算各点得应力。

在一般情况下,横截面上有两种内力——剪力与弯矩。由于剪力就是横截面上切向内力系得合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩就是横截面上法向内力系得合力偶矩，所以它必然与正应力有关.由此可见,梁横截面上有剪力时，就必然有切应力；有弯矩M时,就必然有正应力。为了解决梁得强度问题，本章将分别研究正应力与切应力得计算。

7、2 弯曲正应力

7、２、1 纯弯曲梁得正应力

由前节知道,正应力只与横截面上得弯矩有关,而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩,而无剪力作用得弯曲情况来讨论弯曲正应力问题.

在梁得各横截面上只

有弯矩,而剪力为零得弯

曲，称为纯弯曲。如果在

梁得各横截面上，同时存

在着剪力与弯矩两种内

力，这种弯曲称为横力弯

曲或剪切弯曲。例如在图7

—1所示得简支梁中,BC段

为纯弯曲,AB段与CD段为

横力弯曲。

分析纯弯曲梁横截面

上正应力得方法、步骤与

分析圆轴扭转时横截面上

切应力一样,需要综合考虑

问题得变形方面、物理方

面与静力学方面。图7—1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应得纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时得变形现象。为此,取一根具有纵向对称面得等直梁,例如图７－2(ａ）所示得矩形截面梁,并在梁得侧面上画出垂直于轴线得横向线m—ｍ、n—ｎ与平行于轴线得纵向线ｄ-d、b-b。然后在梁得两端加一对大小相等、方向相反得力偶,使梁产生纯弯曲。此时

可以观察到如下得变形现象。

纵向线弯曲后变成了弧线、，靠顶面得aa线缩短了，靠底面得bb线伸长了。横向线m—m、n—n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定得角度,且仍与弯曲了得纵向线保持正交，如图7-２（ｂ）所示。

梁内部得变形情况无法直接观察，但根据梁表面得变形现象对梁内部得变形进行如下假设:

(1)平面假设梁所有得横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后得梁得轴线。

(2) 单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,每根纤维均处于拉伸或压缩得单向受力状态。

根据平面假设，前面由实验观察到得变形现象已经可以推广到梁得内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分得纵向纤维缩短，靠近下面部分得纵向纤维伸长。由于变形得连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层（图7—３）。中性层与横截面得交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁得纵向对称面内因此梁得变形也应该对称于此平面,在横截面上就就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定.

考察纯弯曲梁某一微段ｄｘ得变形(图７－4).设弯曲变形以后,微段左右两横截面得相对转角为dθ，则距中性层为y处得任一层纵向纤维bb变形后得弧长为

式中，为中性层得曲率半径.该层纤维变形前得长度与中性层处纵向纤维ＯO长度相等,又因为变形前、后中性层内纤维OO得长度不变,故有

由此得距中性层为ｙ处得任一层纵向纤维得线应变

(a）

上式表明,线应变 随y按线性规律变化.

物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时得弹性模量E相等，则由虎克定律，得

(b)

式(ｂ)表明，纯弯曲时得正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=０，因而σ=０，中性轴两侧,一侧受拉应力，另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点得正应力数值相等（图7—5）.

静力学方面虽然已经求得了由式（ｂ)表示得正应力分布规律,但因曲率半径ρ与中性轴得位置尚未确定,所以不能用式（b）计算正应力,还必须由静力学关系来解决。

在图7-５中，取中性轴为ｚ轴，过z、y轴得交点并沿横截面外法线方向得轴为x轴,作用于微面积上得法向微内力为。在整个横截面上,各微面积上得微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足,,三个平衡方程。

由于所讨论得梁横截面上设有轴力，,故由,得

（ｃ）将式(b)代人式(c）,得

式中，E／ 恒不为零,故必有静矩,由第５章知道,只有当z轴通过截面形心时,静矩Sｚ才等于零。由此可得结论：中性轴z通过横截面得形心。这样就完全确定了中性轴在横截面上得位置。

由于所讨论得梁横截面上没有内力偶M y，因此由，得

(d）将式(b)代人式(d）,得

上式中,由于y轴为对称轴,故，平衡方程自然满足。

纯弯曲时各横截面上得弯矩M均相等。因此,由,得

(e）将式(b)代人式（ｅ)，得

(ｆ）由式(f）得

（7—1）式中，为中性层得曲率，EIｚ为抗弯刚度,弯矩相同时,梁得抗弯刚度愈大,梁得曲率越小。最后,将式(7—1）代入式（b)，导出横截面上得弯曲正应力公式为

(７—2) 式中,Ｍ为横截面上得弯矩，I z为横截面对中性轴得惯性矩，y为横截面上待求应力得y 坐标。应用此公式时，也可将M、y均代入绝对值,就是拉应力还就是压应力可根据梁得变形情况直接判断。以中性轴为界，梁得凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。

以上分析中，虽然把梁得横截面画成矩形，但在导出公式得过程中,并没有使用矩形得几何性质。所以,只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在得纵向对称面内,式(7-1)与式(７—2）就适用。

由式（7-２)可见，横截面上得最大弯曲正应力发生在距中性轴最远得点上。用yｍaｘ表示最远点至中性轴得距离，则最大弯曲正应力为

上式可改写为

（7—3）其中

(７-4) 为抗弯截面系数，就是仅与截面形状及尺寸有关得几何量,量纲为［长度］3。高度为h、宽度为b得矩形截面梁，其抗弯截面系数为

直径为D得圆形截面梁得抗弯截面系数为

工程中常用得各种型钢,其抗弯截面系数可从附录得型钢表中查得。当横截面对中性轴不对称时.其最大拉应力及最大压应力将不相等。用式(７—3）计算最大拉应力时,可在式（7—4)中取y mａx等于最大拉应力点至中性轴得距离；计算最大压应力时，在式(7－4)中应取yｍax等于最大压应力点至中性轴得距离。

例7－1 受纯弯曲得空心圆截面梁如图7－6（ａ）所示。已知:弯矩M = l kN 、

ｍ，外径D=50mm ，内径d =25ｍm.试求横截面上a 、ｂ、c 及ｄ四点得应力，并绘过

a 、

b 两点得直径线及过

c 、ｄ两点弦线上各点得应力分布图。

解:

（1） 求 I z

474434444m 1088.2m )10(64)25π(5064)(I --?=?-=-π=d D z （2） 求σ

ａ 点

b 点

)(MPa 4.43Pa 105.1210

88.101373

拉应力=????==--b z b y I M σ c 点

)(MPa 3.75Pa 107.2110

88.101373

压应力=????==--c z c y I M σ d 点

给定得弯矩为正值，梁凹向上，故a 及c 点就是压应力,而b 点就是拉应力。过a 、b

得直

径线及过c 、ｄ得弦线上得应力分布图如图7-6（b)、（c ）所示。

７、2、２ 横力弯曲梁得正应力

公式(7-2)就是纯弯曲情况下以7-２—1提

出得两个假设为基础导出得。工程上最常见得弯

曲问题就是横力弯曲。在此情况下，梁得横截面

上不仅有弯矩，而且有剪力。由于剪力得影响,

弯曲变形后,梁得横截面将不再保持为平面,即发

生所谓得“翘曲”现象,如图7-7(a ）.但当剪力为

常量时,各横截面得翘曲情况完全相同,因而纵向

纤维得伸长与缩短与纯弯曲时没有差异。图7-７(b ）表示从变形后得横力弯曲梁上截

取得微段，由图可见,截面翘曲后，任一层纵向纤维得弧长A ’B ’,与横截面保持平面时

该层纤维得弧长完全相等,即A ＇Ｂ’=A Ｂ.所以,对于剪力为常量得横力弯曲，纯弯曲正

应力公式(7—2)仍然适用。当梁上作用有分布载荷，横截面上得剪力连续变化时,各横

截面得翘曲情况有所不同.此外,由于分布载荷得作用，使得平行于中性层得各层纤维

之间存在挤压应力。但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁,当跨度与高度之比l ／h

大于5时，纯弯曲正应力计算公式（7—2)仍然就是适用得，其结果能够满足工程精度

要求。

例7－２ 槽形截面梁如图７-８（a)所示,试求梁横截面上得最大拉应力。

解 绘M 图,得Ｂ、C 两截面得弯矩,，如图7—8（ｂ)所示。

求截面得形心及对形心轴得惯性矩,取参考坐标z 1Oy ,如图7—8(c ）所示，得截面形心C

得纵坐标

因ｙ为对称轴,故

过形心C 取z 轴，截面对z 轴得惯性矩为

Ｂ截面得最大拉应力为

MPa 06.1Pa )

10(10172810)317500(101043633max =???-??==--y I M σz B Bt C 截面得最大拉应力为

可见,梁得最大拉应力发生在Ｃ截面得下部边缘线上．

7、3弯曲切应力

横力弯曲时,梁横截面上得内力除弯矩外还有剪力，因而在横截面上除正应力外

还有切

应力.本节按梁截面得形状,分几种情况讨论弯曲切应力。

7.3.1 矩形截面梁得切应力

在图7—9(a)所示矩形截面梁得任意截面上，剪力F Q 皆与截面得对称轴y 重合，

见图7—9（b ）。现分析横截面内距中性轴为ｙ处得某一横线,s ｓ’上得切应力分布情况。

根据切应力互等定理可知,在截面两侧边缘得s 与ｓ'处，切应力得方向一定与截

面得侧边相切,即与剪力ＦQ 得方向一致．而由对称关系知,横线中点处切应力得方向,

也必然与剪力F Q 得方向相同。因此可认为横线ss ’上各点处切应力都平行于剪力F Q .

由以上分析,我们对切应力得分布规律做以下两点假设：

1。横截面上各点切应力得方向均与剪力ＦQ 得方向平行。

２．切应力沿截面宽度均匀分布。

现以横截面m —m 与n-n 从图7－9(a)所示梁中取出长为d x 得微段,见图7—１0(a)。设

作用于微段左、右两侧横截面上得剪力为ＦQ ,弯矩分别为M 与M +d M ，再用距中性层

为y 得rs 截面取出一部分mn ｓr ,见图7—10 （b)。该部分得左右两个侧面m ｒ与ｎｓ

上分别作用有由弯矩M 与M ＋d M 引起得正应力及.除此之外,两个侧面上还作用有切

应力.根据切应力互等定理，截出部分顶面rs 上也作用有切应力,其值与距中性层为y

处横截面上得切应力数值相等,见图7—１0(b ）、(c)。设截出部分ｍn ｓr 得两个侧面ｍ

r 与ｎs 上得法向微内力ｄA 与d A 合成得在x 轴方向得法向内力分别为ＦN 1及F Ｎ２,则

F N 2可表示为

*z z

A z A z A ns N S I M M A y I M M A y I M M A σF d d d d d d 111112+=+=+==

??? (a) 同理 （b ）

式中,Ａ1为截出部分ｍnsr 侧面ns 或mr 得面积,以下简称为部分面积为A 1对中性轴得

静矩。

考虑截出部分mn ｓr 得平衡,见图7-1０(c)。由,得

? （c)

将式（a)及式(b)代入式（c),化简后得

注意到上式中,并注意到与数值相等,于就是矩形截面梁横截面上得切应力计算公式为

(7-5)

式中,ＦＱ为横截面上得剪力,ｂ为截面宽度,为横截面对中性轴得惯性矩，为横截面上部

分面积对中性轴得静矩。

对于给定得高为h 宽为b 得矩形截面（图７-1１），计算出部分面积对中性轴得静

矩如下

将上式代入(7-５），得

(7—6）

由(7—６)可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。当y ＝±h ／2时,τ=0,即截

面得上、下边缘线上各点得切应力为零。当ｙ＝0时,切应力τ有极大值,这表明最大切

应力发生在中性轴上,其值为

将代人上式，得

（７-7)

可见,矩形截面梁横截面上得最大切应力为平均切应力F Q ／bh 得1、5倍。

根据剪切虎克定律，由式(７—6）可知切应变

? (7-8)

式（７-8）表明，横截面上得切应变沿截面高度按抛物线规律变化.沿截面高度各点具

有按非线性规律变化得切应变,

这就说明横截面将发生扭曲。由

式(7—8)可见，当剪力F Q 为常量

时,横力弯曲梁各横截面上对应

点得切应变相等,因而各横截面

扭曲情况相同。这一情况已在

5-7—2中做了说明。

例7—3 矩形截面梁得横

截面尺寸如图7—1２(b)所示。

集中力F =８8k Ｎ,试求１—1截

面上得最大切应力以及a 、b 两

点得切应力。

解 支反力ＦA 、ＦB 分别为ＦＡ=4０ｋN ，ＦB =48kN

1—1截面上得剪力

ＦQ 1=F Ａ=4０kN

截面对中性轴得惯性矩

截面上得最大切应力

a 点得切应力

35336m 102.1m 10)]25270(2125[10)25270(

40---?=?-?+??-?==a a *

z y A S

ｂ点得切应力 35336m 102m 10)]152

70(2115[10)15270(40---?=?-?+??-?==b b *

z y A S

7.3.2 工字形截面梁得切应力

工字形截面由上、下翼缘及腹板构成，见图7-1３（a）,现分别研究腹板及翼缘上得切应力。

1.工字形截面腹板部分得切应力

腹板就是狭长矩形,因此关于矩形截面梁切应力分布得两个假设完全适用.在工字形截面梁上,用截面m—ｍ与ｎ-ｎ截取dx长得微段,并在腹板上用距中性层为y得rs 平面在微段上截取出一部分mnsr,见图7—1３(ｂ)、(c）,考虑ｍnsｒ部分得平衡，可得腹板得切应力计算公式

(7－9）式（7—9)与式（７—５)形式完全相同,式中ｄ为腹板厚度.

计算出部分面积Ａl对中性轴得静矩

代人式（7—9)整理,得

??（7—１０）由式(７-１0)可见,工字形截面梁腹板上得切应力 按抛物线规律分布,见图7-13(ｃ)。以ｙ=0

及ｙ＝±h/２分别代人式(7－10）得中性层处得最大切应力及腹板与翼缘交界处得最小切应力分别为

由于工字形截面得翼缘宽度b远大于腹板厚度d,即,所以由以上两式可以瞧出,与实际上相差不大。因而，可以认为腹板上切应力大致就是均匀分布得。若以图7-13(c)中应力分布图得面积乘以腹板厚度d,可得腹板上得剪力FＱ1。计算结果表明，F Q１约等于(0、95—0、9７) FＱ。可见,横截面上得剪力FＱ绝大部分由腹板承受。因此，工程上通常将横截面上得剪力ＦQ除以腹板面积近似得出工字形截面梁腹板上得切应力为

?????(７－11）２。工字形截面翼缘部分得切应力

现进一步讨论翼绦上得切应力分布问题。在翼缘上有两个方向得切应力：平行于剪力F Q方向得切应力与平行于翼绦边缘线得切应力。平行于剪力F Q得切应力数值极小,无实际意义，通常忽略不计。在计算与翼缘边缘平行得切应力时，可假设切应力沿

翼缘厚度大小相等,方向与冀缘边缘线相平行,根据在冀缘上截出部分得平衡，由图７-13（d)可以得出与式（7-9）形式相同得冀缘切应力计算公式

??(７—１2) 式中ｔ为翼缘厚度,图７—13(c）中绘有冀缘上得切应力分布图。工字形截面梁翼缘上得最大切应力一般均小于腹板上得最大切应力．

从图7-13(c)可以瞧出,当剪力F Q得方向向下时，横截面上切应力得方向,由上边缘得外侧向里，通过腹板,最后指向下边缘得外侧,好象水流一样，故称为“切应力流”。

所以在根据剪力F Q得方向确定了腹扳得切应力方向后，就可由“切应力流”确定翼缘上切应力得方向.对于其她得L形、丁形与Z形等薄壁截面,也可利用“切应力流”

来确定截面上切应力方向。

7.3.3圆形截面梁得切应力

在圆形截面梁得横截面上,除中性轴处切应力与剪力平行外，其她点得切应力并不平行于剪力。考虑距中性轴为y处长为b得弦线ＡB上各点得切应力如图7-1４(ａ)．根据切应力互等定理,弦线两个端点处得切应力必与圆周相切，且切应力作用线交于y轴得某点p。弦线中点处切应力作用线由对称性可知也通过p点。因而可以假设AB线上各点切应力作用线都通过同一点p，并假设各点沿y方向得切应力分量相等，则可沿用前述方法计算圆截面梁得切应力分量,求得后，根据已设定得总切应力方向即可求得总切应力。

圆形截面梁切应力分量得计算公式与矩形截面梁切应力计算公式形式相同。

??(7—13) 式中ｂ为弦线长度，;仍表示部分面积A1对中性轴得静矩,见图7-14(ｂ)。

圆形截面梁得最大切应力发生在中性轴上，且中性轴上各点得切应力分量与总切应力大小相等、方向相同,其值为

?（7—14) 由式(7—1４)可见，圆截面得最大切应力为平均切应力得４/3倍.

7.3.4环形截面梁得切应力

图7—1５所示为一环形截面梁,已知壁厚t远小于平均半径R，现讨论其横截面上得切应力。环形截面内、外圆周线上各点得切应力与圆周线相切。由于壁厚很小,可以认为沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆周切线相平行。据此即可用研究矩形截面梁切应力得方法分析环形截面梁得切应力。在环形截面上截取d x长得微段，并用与纵向对称平面夹角θ 相同得两个径向平面在微段中截取出一部分如图7-1５(b),由于对称性，两个rs面上得切应力相等。考虑截出部分得平衡图７—1５(ｂ），可得环形截面梁切应力得计算公式

（7－1５)

式中，t为环形截面得厚度。

环形截面得最大切应力发生在中性轴处。计算出半圆环对中性轴得静矩

及环形截面对中性轴得惯性矩

将上式代入式(7-１5)得环形截面最大切应力

(7-16）注意上式等号右端分母πRｔ为环形横截面面积得一半,可见环形截面梁得最大切应力为平均切应力得两倍。

7.4弯曲强度计算

梁在受横力弯曲时，横截面上既存在正应力又存在切应力，下面分别讨论这两种应力得强度条件。

７、4、１弯曲正应力强度条件

横截面上最大得正应力位于横截面边缘线上,一般说来,该处切应力为零。有些情况下,该处即使有切应力其数值也较小，可以忽略不计。所以，梁弯曲时，最大正应力作用点可视为处于单向应力状态。因此,梁得弯曲正应力强度条件为

?（7—１7）

对等截面梁,最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上，这时弯曲正应力强度条件为

(７-18）式（7—１7)、式（7—1８)中,为许用弯曲正应力,可近似地用简单拉伸(压缩)时得许用应力来代替,但二者就是略有不同得，前者略高于后者，具体数值可从有关设计规范或手册中查得.对于抗拉、压性能不同得材料,例如铸铁等脆性材料,则要求最大拉应力与最大压应力都不超过各自得许用值.其强度条件为

, （7—19) 7.4.2弯曲切应力强度条件

一般来说,梁横截面上得最大切应力发生在中性轴处，而该处得正应力为零。因此最大切应力作用点处于纯剪切应力状态.这时弯曲切应力强度条件为

?(7-２０) 对等截面梁,最大切应力发生在最大剪力所在得截面上。弯曲切应力强度条件为

（7-21) 许用切应力［ 通常取纯剪切时得许用切应力。

对于梁来说，要满足抗弯强度要求,必须同时满足弯曲正应力强度条件与弯曲切应力强度条件。也就就是说,影响梁得强度得因素有两个:一为弯曲正应力.一为弯曲切应力。对于细长得实心截面梁或非薄壁截面得梁来说,横截面上得正应力往往就是主要得。切应力通常只占次要地位。例如图7—16所示得受均布载荷作用得矩形截面梁，其最大弯曲正应力为

图7-1６

而最大弯曲切应力为

二者比值为

即,该梁横截面上得最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比等于梁得跨度l与截面高度h得比。当l〉〉h时,最大弯曲正应力将远大于最大弯曲切应力。因此,一般对于细长得实心截面梁或非薄壁截面梁,只要满足了正应力强度条件,无需再进行切应力强度计

算。但就是,对于薄壁截面梁或梁得弯矩较小而剪力却很大时，在进行正应力强度计算

得同时,还需检查切应力强度条件就是否满足。

另外,对某些薄壁截面(如工字形、T 字形等）梁,在其腹板与翼缘联接处，同时

存在相当大得正应力与切应力。这样得点也需进行强度校核，将在第10章进行讨沦。

图7－１７

例７—4 T 形截面铸铁梁得载荷与截面尺寸如图７-17(a ）所示,铸铁抗拉许用应

力为=30MPa ，抗压许用应力为=140MP ａ。已知截面对形心轴ｚ得惯性矩为763cm ４,

且52m ｍ，试校核梁得强度。

解 由静力平衡方程求出梁得支反力为

做弯矩图如图7—17（b)所示。最大正弯矩在截面C 上,M C =2、5K ｎ、m,最大负弯矩

在截面Ｂ上，。T 形截面对中性轴不对称,同一截面上得最大拉应力与压应力并不相等。

在截面B 上,弯矩就是负得,最大拉应力发生于上边缘各点，且

最大压应力发生于下边缘各点,且

46.2MPa Pa )

(107631052)20(120104042332

=??-+??==--z B c I y M σ 在截面C 上,虽然弯矩M C 得绝对值小于M B ，但M ｃ就是正弯矩,最大拉应力发生

于截面得下边缘各点,而这些点到中性轴得距离却比较远,因而就有可能发生比截面B

还要大得拉应力，其值为

28.8MPa Pa )

(107631052)20(120102.542332

=??-+??==--z C t I y M σ 所以,最大拉应力就是在截面C 得下边缘各点处，但从所得结果瞧出,无论就是最

大拉应力或最大压应力都未超过许用应力，强度条件就是满足得。

由例7-4可见，当截面上得中性轴为非对称轴,且材料得抗拉、抗压许用应力数值

不等时,最大正弯矩、最大负弯矩所在得两个截面均可能为危险截面，因而均应进行强

度校核。

例7-5 简支梁ＡＢ如图7—18（ａ)所示。ｌ

=2m,ａ=０、2m 。梁上得载荷为q =１0kN/ｍ,F ＝

200kN.材料得许用应力为160ＭＰａ, 10０ＭPa 。试

选择适用得工字钢型号.

解 计算梁得支反力，然后做剪力图与弯矩

图，如图７—18(b)、（c)所示。

根据最大弯矩选择工字钢型号,45ｋN ·m,由弯曲正

庄力强度条件,有

查型钢表,选用2２a 工字钢,其３09cm 3．校核梁得切

应力。由表中查出,18、9m,腹板厚度ｄ=0、7５cm 。

由剪力图2１０ｋN 。代入切应力强度条件

][τ148MPa Pa 10

0.751018.910210223max max >=????==--b I S F τz *

z

Q

超过很多，应重新选择更大得截面。现以２５b 工字钢进行试算。由表查出,

21、27c ｍ，d =lc ｍ。再次进行切应力强度校核。

因此,要同时满足正应力与切应力强度条件，应选用型号为25b 得工字钢。

7.5 提高弯曲强度得一些措施

前面曾经指出，弯曲正应力就是控制抗弯强度得主要因素。因此,讨论提高梁抗弯

强度得措施,应以弯曲正应力强度条件为主要依据．由可以瞧出,为了提高梁得强度,可

以从以下三方面考虑。

7、５、1 合理安排梁得支座与载荷

从正应力强度条件可以瞧出，在抗弯截面模量不变得情况下,Ｍmax 越小，梁得

承载能力越高。因此，应合理地安排梁得支承及加载方式,以降低最大弯矩值。例如图

7－19(a)所示简支梁，受均布载荷q 作用，梁得最大弯矩为.

图7—1９

如果将梁两端得铰支座各向内移动0、2ｌ,如图７—19（ｂ)所示,则最大弯矩变为，仅为前者得１/5。

由此可见,在可能得条件下,适当地调整梁得支座位置，可以降低最大弯矩值,提高梁得承载能力。例如,门式起重机得大梁图7—20（ａ),锅炉筒体图７—２０（b)等,就就是采用上述措施,以达到提高强度,节省材料得目得。

图７-２０

再如，图7－21（a)所示得简支梁ＡB,在集中力Ｆ作用下梁得最大弯矩为

如果在梁得中部安置一长为ｌ／2得辅助梁ＣD(图7－2１ｂ),使集中载荷Ｆ分散成两个F/2得集中载荷作用在AB梁上,此时梁AB内得最大弯矩为

如果将集中载荷F靠近支座,如图（７—２1ｃ）所示，则梁AＢ上得最大弯矩为

图

由上例可见，使集中载荷适当分散与使集载荷尽可能靠近支座均能达到降低最大弯矩得目得。

７、5、2 采用合理得截面形状

由正应力强度条件可知,梁得抗弯能力还取决于抗弯截面系数WＺ.为提高梁得抗弯强度，应找到一个合理得截面以达到既提高强度，又节省材料得目得。比值图7—21

可作为衡量截面就是否合理得尺度，值越大，截面越趋于合理。例如图7—2２中

所示得尺寸及材料完全相同得两个矩形截面悬臂梁,由于安放位置不同,抗弯能力也不同。竖放时

平放时

当ｈ〉b时，竖放时得大于平放时得,因此,矩形截面梁竖放比平放更为合理。在房屋建筑中,矩形截面梁几乎都就是竖放得,道理就在于此。

表7—１列出了几种常用截面得值，由此瞧出，工字形截面与槽形截面最为合理，而圆形截面就是其中最差得一种,从弯曲正应力得分布规律来瞧，也容易理解这一事实.以图7—23所示截面面积及高度均相等得矩形截面及工字形截面为例说明如下：梁横截面上得正应力就是按线性规律分布得,离中性轴越远,正应力越大。工字形截面有较多面积分布在距中性轴较远处，作用着较大得应力,而矩形截面有较多面积分布在中性轴附近,作用着较小得应力。因此,当两种截面上得最大应力相同时，工字形截面上得应力所形成得弯矩将大于矩形截面上得弯矩.即在许用应力相同得条件下，工字形截面抗弯能力较大。同理,圆形截面由于大部分面积分布在中性轴附近,其抗弯能力就更差了。

图7－2２图７－23

截面形状矩形圆形槽钢工字钢

0.１67ｈ０、１25d（0、２7~0、31）h(0、２7~0、31)ｈ

综合考虑刚度、稳定性以及结构、工艺等方面得要求,才能最后确定。

在讨论截面得合理形状时，还应考虑材料得特性。对于抗拉与抗压强度相等得材料,如各种钢材，宜采用对称于中性轴得截面，如圆形、矩形与工字形等。这种横截面上、下边缘最大拉应力与最大压应力数值相同,可同时达到许用应力值。对抗拉与抗压强度不相等得材料,如铸铁,则宜采用非对称于中性轴得截面,如图7—２4所示．我们知道铸铁之类得脆性材料,抗拉能力低于抗压能力,所以在设计梁得截面时，应使中性轴偏于受拉应力一侧,通过调整截面尺寸,如能使y１与y2之比接近下列关系:

图7—２4

则最大拉应力与最大压应力可同时接近许用应力,式中与分别表示拉伸与压缩许用应力。

７、5、3 采用等强度梁

横力弯曲时,梁得弯矩就是随截面位置而变化得,若按式(7－18)设计成等截面得梁,则除最大弯矩所在截面外，其它各截面上得正应力均未达到许用应力值,材料强度得不到充分发挥。为了减少材料消耗、减轻重量,可把梁制成截面随截面位置变化得变截面梁。若截面变化比较平缓,前述弯曲应力计算公式仍可近似使用。当变截面梁各横截面上得最大弯曲正应力相同，井与许用应力相等时,即

时,称为等强度梁。等强度梁得抗弯截面模量随截面位置得变化规律为

（7－22）由式(7-２2）可见，确定了弯矩随截面位置得变化

规律，即可求得等强度梁横截面得变化规律,下面举例说

明.

设图７-25(a)所示受集中力F作用得简支梁为矩形截

面得等强度梁,若截面高度h＝常量，则宽度b为截面位

置ｘ得函数，b＝ｂ（x)，矩形截面得抗弯截面模量为

弯矩方程式为

将以上两式代人式(７—２２)，化简后得

图7－25

(a)

可见，截面宽度b（x)为ｘ得线性函数。由于约束

与载荷均对称于跨度中点,因而截面形状也对跨度中点

对称(图7-25ｂ)。在左、右两个端点处截面宽度b(x)＝0,这显然不能满足抗剪强度要求。为了能够承受切应力,梁两端得截面应不小于某一最小宽度,见图7-２5(c)。由弯曲切应力强度条件

得

?(b）

若设想把这一等强度梁分成若干狭条,然后叠置起来,并使其略微拱起，这就就是汽车以及其她车辆上经常使用得叠板弹簧,如图7-26所示。

若上述矩形截面等强度梁得截面宽度ｂ为常数，而高度h为x得函数,即h=ｈ(x),用完全相同得方法可以求得

?(c）???图７—２６

(d) 按式(c)与式(d）确定得梁形状如图7—２7(a）所示。如把梁做成图7—27(b)所示得形式，就就是厂房建筑中广泛使用得“鱼腹梁”。

图7－27 ?图7—28 使用公式（7-17)，也可求得圆截面等强度梁得截面直径沿轴线得变化规律。但考虑到加工得方便及结构上得要求,常用阶梯形状得变截面梁（阶梯轴)来代替理论上得等强度梁,如图7－2８所示。

7、６开口薄壁杆件得弯曲中心

在前面讨论中指出,当杆件有纵向对称面,且载荷也作用于对称面内时，杆件得变形就是平面弯曲。对非对称杆件来说,即使横向力作用于形心主惯性平面内,杆件除弯曲变形外，还将发生扭转变形,如图7-2９(a）所示．只有当横向力得作用平面平行于形心主惯性平面,且通过某一特定点Ａ时,杆件才只有弯曲而无扭转图7—29（b)。这一特定点Ａ称为弯曲中心。图7—29 开口薄壁杆件得弯曲中心有较大得实际意义,而且它得位置用材料力学得方法就可确定。为此,首先讨论开口薄壁杆件弯曲切应力计算.

??图7-30

图7-30(ａ）为一开口薄壁杆件，y与z为横截面得形心主惯性轴,设载荷Ｆ平行于y轴,且通过弯曲中心。这时杆件只有弯曲而无扭转,ｚ轴为弯曲变形得中性轴。横截面上得弯曲正应力仍由式(7—2）计算。至于弯曲切应力.由于杆件得壁厚ｔ远小于横截面得其它尺寸,所以可以假设沿壁厚t切应力得大小无变化.又因杆件得内侧表面与外侧表面都为自由面，未作用任何与表面相切得载荷,所以横截面上得切应力应与截面得周边相切。以相距为dx得两个横截面与沿薄壁厚度t得纵向面，从杆中截出一部分abcd图7—3０(b)、(ｃ）。在这一部分得ａd与bc面上作用着弯曲正应力，在底面d ｃ上作用着切应力。这些应力得方向都平行于x轴。由７-3所述得方法,求得ｂｃ与ａd面上得合力F N1与F N2分别就是

?

?

式中M与(M+d M)分别就是bc与ad两个横截面上得弯矩；就是截面上截出部分面积(图中画阴影线得面积）对中性轴得静矩：就是整个截面对中性轴得惯性矩。根据横截面上得切应力分布规律与切应力互等定理,底面dc上得内力为

把作用于abｃd部分上得力投影于,x轴.由平衡条件,可知

即

由此求得

由切应力互等定理可知,等于横截面上距自由边缘为处得切应力,即

?(7－23) 这就就是开口薄壁杆件弯曲切应力得计算公式。

??图７—31

求得开口薄壁杆件横截面上弯曲切应力后,就可以确定弯曲中心得位置。现以槽钢为例，说明确定弯曲中心得方法。设槽形截面尺寸如图7—３1(ａ)所示,且外力平行于y轴。当计算上翼缘距右边为处得切应力时，

代人公式（7—2３)，得

可见，上翼缘上得切应力,沿翼缘宽度按直线规律变化,见图7—3１（ｂ)。

如以代表上冀缘上切向内力系得合力，则

?(ａ) 用同样得方法可以求得下翼缘上得内力。与大小相等，但方向相反。计算腹板上距中性轴为y处得切应力时

代人公式(7-２3),得

可见腹板上切应力沿高度按抛物线规律变化。以代表腹板上切向内力系得合力,则

槽形截面对中性轴z得惯性矩约为

以代人上式,得

（b）至此，我们已经求得了截面上得三个切向内力、与,见图7—31(c)。与组成力偶矩h,将它与合并,得到内力系得最终合力。这一合力仍等于（），只就是作用线向左平移了一个距离e。如对腹板中线与z轴得交点取矩,由合力矩定理知

以式(a)代人上式，得

(７—2４) 由于截面上切向内力系得合力(即截面上得剪力)在距腹板中线为e得纵向平面内,如外力F也在同一平面内，则杆件就只有弯曲而无扭转,这就就是图7—29(ｂ）所表示得情况。

若外力沿z轴作用,因z轴就是横截面得对称轴,因此杆将产生平面弯曲而无扭转变形。这表明弯曲中心一定在截面得对称轴上。所以,与对称轴得交点A即为弯曲中心也称为剪切中心。在槽形截面得情况下,弯曲中心Ａ在对称轴ｚ上,其位置由公式7—2４确定。该式表明，弯曲中心得位置与外力得大小与材料得性质无关,它就是截面图形得几何性质之一。

由以上分析可知,对于具有一个对称轴得截面，例如槽形、T形、开口环形与等边角钢等，截面得弯曲中心一定位于对称轴上．因此,只要确定出e值后,即可定出弯曲中心得位置.对于具有两个对称轴得截面,例如矩形、圆形与工字形等，弯曲中心必在两对称轴得交点上,即截面形心与弯曲中心重合。如截面为反对称，例如Z字形截面,则弯曲中心必在反对称得中点，也与形心重合。表７-2给出了几种常见开口薄壁截面梁

弯曲中心得位置。

综上所述,当外力通过弯曲中心时，无论就是平行于y轴或沿着z轴,外力与横截面上得剪力在同一纵向平面内,杆件只有弯曲变形。反之,若外力Ｆ不通过弯曲中心，这时把外力向弯曲中心简化，将得到一个通过弯曲中心得力F与一个扭转力偶矩。通过弯曲中心得横向力Ｆ仍引起上述弯曲变形,而扭转力偶矩却将引起杆件得扭转变形,这就就是图７-2９（a)所表示得情况。

对实体截面或闭口薄壁截面杆件,因其弯曲中心与形心重合或靠近形心，且切应力数值通常又较小，所以不必考虑弯曲中心得位置。但对于开口薄壁截面杆件,因其承受扭转变形得能力很差,所以外力得作用线应尽可能通过弯曲中心,以避免产生扭转变形。因此，确定开口薄壁杆件弯曲中心得位置,就是具有实际意义得。

例7—６试确定图7—32(a)所示开口薄壁截面得弯曲中心,设截面中线为圆周得一部分。

解以截面得对称轴为z轴,y、z轴为形心主惯性轴，因而弯曲中心A必在z轴上。设剪力过弯曲中心Ａ，且平行于y轴．用与z轴夹角为 得半径截取部分面积Ａ1，其对z轴得静矩为

杆件的强度计算公式资料讲解

杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为

工程力学(杆件弯曲受力分析计算)

教学设计三 杆件弯曲受力分析计算 在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。 问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题 梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。 由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。 （公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。 （公式8.2） （公式8.3） （公式8.4） 其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。 将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。 （公式8.5）分析公式8.5，其中： 为截面绕Z轴的惯性矩。 公式8.5变形为8.6。 ρ ρ ρ ρ ρ ε y y dx dx = = - + = ? = dθ dθ dθ dθ y)dθ ( ?? = A y M dA σ ε σ? =E ρ ε σ y E E= = ? ??= ?? ? ? ? ? = ? = A A A y E y y E y M dA dA dA2 ρ ρ σ Z A I y= ?dA2

（公式8.6） 将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7 （公式8.7） 公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。 我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。 （公式8.8） 公式8.7可以化简为极值公式8.9。 （公式8.9） 例题分析讲解 【例1】 图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。 【解】 计算悬臂梁的弯矩 计算梁截面的惯性矩 计算抗弯截面模量 计算各点的正应力 y I W Z =m kN 6.488.1302 1 2?=??=M 001067 .0124.02.01233=?==bh I 00533.012 4.02.062 2=?==bh W Z W M Z = σZ Z I E M ?= ρ 1 y I M Z Z = σ

弯曲应力计算 (1)

第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、

b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长 了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由 虎 克定律，得 ρ y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而 ?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等（图7-5）。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内

材料力学公式汇总

材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ=， []b b n σσ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确

材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式

材料力学得基本计算公式外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力与荷载集度之间得关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力得计算公式 (杆件横截面 轴力F N,横截面面积A,拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上得正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线得方位角为正) 4.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d１) 5.纵向线应变与横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律 8.受多个力作用得杆件纵向变形计算公式？ 9.承受轴向分布力或变截面得杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆得强度计算公式 11.许用应力, 脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )

15.拉压弹性模量E、泊松比与切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心得极惯性矩(a)实心圆 (ｂ)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离r ) 18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数 ,(a)实心圆? (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤Ｒ０/10 ,R0为圆管得平 均半径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩Ｔ、杆长l、扭转刚度GＨｐ得 关系式 22.同一材料制成得圆轴各段内得扭矩不同或各段得 直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴得刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上得应力 计算公式, 27.平面应力状态下斜截面应力得一般公式 , 28.平面应力状态得三个主应力 , , 29.主平面方位得计算公式

弯曲应力计算

第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截

面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)

材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式

材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律

8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）

18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的 关系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,

27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力, 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律

弯曲应力、强度计算参考资料

第六章 弯曲应力和强度 一、授课学时:6学时 二、重点与难点: 重点:弯曲正应力、剪应力分布,弯曲强度条件应用 难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念 重点处理:从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方法,结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练. 难点处理: 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照A N = σ,P I T ρτ= 的推导消化难点,以学生理解这一推导思路.结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心. 三、主要内容: （一） 弯曲正应力 1、 纯弯曲时的正应力 图所示简支梁AB ，载荷P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为对称弯曲，其计算简图如图所示。从AB 梁的剪力图）和弯矩图可以看到，AC 和DB 梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在CD 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时， 0≠=Q dx dM 。 可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于 0==Q dx dM ，可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值，即M =常量。因此，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。 纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力σ组成的内力系的合力矩即为弯矩M 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超

孙训方版材料力学公式总结大全

材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材 料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?=ε，A P A N == σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ??? === 2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??== l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl =?

材料力学公式大全

材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N， 横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力，脆性材料，塑性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）

16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点 到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转 切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如 阶梯轴）时或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，

弯曲应力计算

第7章弯曲应力 7、1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时得内力——剪力与弯矩.但就是，要解决梁得弯曲强度问题，只了解梁得内力就是不够得,还必须研究梁得弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力,如何计算各点得应力。 在一般情况下,横截面上有两种内力——剪力与弯矩。由于剪力就是横截面上切向内力系得合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩就是横截面上法向内力系得合力偶矩，所以它必然与正应力有关.由此可见,梁横截面上有剪力时，就必然有切应力；有弯矩M时,就必然有正应力。为了解决梁得强度问题，本章将分别研究正应力与切应力得计算。 7、2 弯曲正应力 7、２、1 纯弯曲梁得正应力 由前节知道,正应力只与横截面上得弯矩有关,而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩,而无剪力作用得弯曲情况来讨论弯曲正应力问题. 在梁得各横截面上只 有弯矩,而剪力为零得弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁得各横截面上，同时存 在着剪力与弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图7 —1所示得简支梁中,BC段 为纯弯曲,AB段与CD段为 横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力得方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样,需要综合考虑 问题得变形方面、物理方 面与静力学方面。图7—1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应得纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时得变形现象。为此,取一根具有纵向对称面得等直梁,例如图７－2(ａ）所示得矩形截面梁,并在梁得侧面上画出垂直于轴线得横向线m—ｍ、n—ｎ与平行于轴线得纵向线ｄ-d、b-b。然后在梁得两端加一对大小相等、方向相反得力偶,使梁产生纯弯曲。此时

可以观察到如下得变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线、，靠顶面得aa线缩短了，靠底面得bb线伸长了。横向线m—m、n—n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定得角度,且仍与弯曲了得纵向线保持正交，如图7-２（ｂ）所示。 梁内部得变形情况无法直接观察，但根据梁表面得变形现象对梁内部得变形进行如下假设: (1)平面假设梁所有得横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后得梁得轴线。 (2) 单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,每根纤维均处于拉伸或压缩得单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到得变形现象已经可以推广到梁得内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分得纵向纤维缩短，靠近下面部分得纵向纤维伸长。由于变形得连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层（图7—３）。中性层与横截面得交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁得纵向对称面内因此梁得变形也应该对称于此平面,在横截面上就就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定. 考察纯弯曲梁某一微段ｄｘ得变形(图７－4).设弯曲变形以后,微段左右两横截面得相对转角为dθ，则距中性层为y处得任一层纵向纤维bb变形后得弧长为 式中，为中性层得曲率半径.该层纤维变形前得长度与中性层处纵向纤维ＯO长度相等,又因为变形前、后中性层内纤维OO得长度不变,故有 由此得距中性层为ｙ处得任一层纵向纤维得线应变 (a） 上式表明,线应变 随y按线性规律变化. 物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时得弹性模量E相等，则由虎克定律，得 (b) 式(ｂ)表明，纯弯曲时得正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=０，因而σ=０，中性轴两侧,一侧受拉应力，另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点得正应力数值相等（图7—5）. 静力学方面虽然已经求得了由式（ｂ)表示得正应力分布规律,但因曲率半径ρ与中性轴得位置尚未确定,所以不能用式（b）计算正应力,还必须由静力学关系来解决。 在图7-５中，取中性轴为ｚ轴，过z、y轴得交点并沿横截面外法线方向得轴为x轴,作用于微面积上得法向微内力为。在整个横截面上,各微面积上得微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足,,三个平衡方程。 由于所讨论得梁横截面上设有轴力，,故由,得 （ｃ）将式(b)代人式(c）,得