圆锥曲线——点乘双根法

教师招聘圆锥曲线经典总结

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n

圆锥曲线齐次式与点乘双根法教学内容

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 例1：12,Q Q 为椭圆22 2212x y b b +=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂 线OD ，求D 的轨迹方程. 解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+， 联立22 2212y kx m x y b b =+???+=??化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 22222221212222222 2()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以 222222222222 1212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*L 又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2 00000 x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200 x k y x y m y ? -=????+=??代入*中，化简可得：22 20023x y b +=.

解法二（齐次式）： 设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立22 22222211 11022mx ny mx ny x y x y b b b b +=+=???? ???+=+-=???? 222 22()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b +---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2 2 2 22 2 2 (22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2 x ，则 222 2 2 2 22 1222 12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=?=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-， 22 2212122m b b n -=-- 22232()b m n ∴=+*L 又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2 00000 x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0 2200022 00 x m x y y n x y ?=?+?? ?=?+?代入*中，化简可得：22 20023x y b +=. 例2：已知椭圆2 214 x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.

圆锥曲线椭圆双曲线的性质

圆锥曲线椭圆双曲线的性质 1.直线x y 3-=与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于B A ,两点,以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点, 则椭圆离心率为 13- 解:如图,由题可得,圆的直径为AB ,也为21F F ,且?=∠1202AOF ,连接 21,AF AF ,则?=∠⊥60,2121F AF AF AF .由题知c F F 2||21=,则c AF c AF 3||,||21==.由椭圆的定义得a AF AF 2||||21=+,则 a c c 23=+,则a c 2)31(=+.解得离心率13-=e . 2.设21,F F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左右焦点,以||1OF 为半径的圆交双曲线左枝于B A ,两 点,2ABF ?为等边三角形,双曲线的离心率为13+ 解:如图,由题可得,圆的直径为21F F ,连接1AF ,则?=∠⊥60,2121F AF AF AF .由题知c F F 2||21=,则c AF c AF 3||,||21==.由双曲线的定义得 a AF AF 2||||12=-,即a c c 23=-,则a c 2)13(=-.解得离心率13+=e . 3.设21,F F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左右焦点,过1F 作直线l 交椭圆于B A ,两点,若2ABF ?是等腰直 角三角形,?=∠902B AF ,椭圆离心率为 12- 解:如图,由题可设),(A y c A -,因为点A 在椭圆上,则 1)(22 22=+-b y a c A ,解得a b y A 2 =.由题知c F F 2||21=. 因为2ABF ?是等腰直角三角形,则21F AF ?也是等腰直角三角形,则||||211F F AF =, 即c a b 22 =,则ac b 22=. 即ac c a 22 2 =-,即e e 212 =-,解得12-= e .

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法 一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 x 2 y 2 例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b 2 线OD ，求 D 的轨迹方程. = 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂 解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ， ? y = kx + m ? 联立? x 2 ?? 2b 2 y 2 b 2 1 化简可得: (2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以 x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2 , y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2 因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 ) m 2 - 2b 2k 2 x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2 +1 + 2k 2 +1 =0 ∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) * 又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x 0 (x - x x x 2 ) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于 1 2 0 y 0 y 0

高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结

二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠．

齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 例题、（07山东） 已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， （*） 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，（**） 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”） 解法二（齐次式法） 由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值）

高中数学-圆锥曲线双曲线

高中数学- 圆锥曲线 第3课 双曲线 【考点导读】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则1 4 m =- 2. 方程 13 322 =+--k y k x 表示双曲线，则k 的范围是33k k ><-或 3．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为x y 2 1 ±=，则此双曲 线的离心率为5 4. 已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于 6，则双曲线的标准方程为22 1916 x y - = 【范例导析】 例 1. (1) 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为 9 (3,,5)4 -，求双曲线的标准方程; （2）求与双曲线19 162 2=-y x 共渐近线且过() 332-，A 点的双曲线方程及离心率． 分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>>①；

∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。 将9(3,,5)4- 分别代入方程①中，得方程组：22 2 22 22(319() 2541 a b a b ?--=????-=?? 将21a 和21b 看着整体，解得221 116 11 9 a b ?=????=??， ∴2 2169 a b ?=??=??即双曲线的标准方程为221169y x -=。 点评：本题只要解得22,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。 （2）解法一：双曲线191622=- y x 的渐近线方程为：x y 43±= 当焦点在x 轴时，设所求双曲线方程为122 22=-b y a x ()0,0a b >> ∵ 34a b =，∴a b 4 3 = ① ∵() 332-，A 在双曲线上 ∴ 19 1222=-b a ② 由①－②，得方程组无解 当焦点在y 轴时，设双曲线方程为122 22=-b x a y ()0,0a b >> ∵ 43=a b ，∴a b 3 4 = ③ ∵() 332-，A 在双曲线上，∴112 922=-b a ④ 由③④得4 9 2=a ，42=b

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：

122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论 椭圆与双曲线对偶结论 椭圆双曲线 标准方程 () 22 22 10 x y a b a b +=>> 焦点()() 12 ,0,,0 F c F c - () 22 22 10,0 x y a b a b -=>> 焦点()() 12 ,0,,0 F c F c - 焦半径 1020 , PF a ex PF a ex =+=- e为离心率， x为点P的横坐标. 1020 , PF ex a PF ex a =+=- e为离心率， x为点P的横坐标. 焦半径范围 a c PF a c -≤≤+ P为椭圆上一点，F为焦点. PF a c ≥- P为双曲线上一点，F为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 如图，直线l过焦点 1 F与椭圆相交于,A B 两点.则 2 ABF △的周长为4a. （即 22 4 F A F B AB a ++=） 如图，直线l过焦点 1 F与双曲线相交于 ,A B两点.则 22 4 F A F B AB a +-=. 焦点弦 倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交 于,A B两点. 焦点弦长()2 2222 2 sin ab AB a b b α = -+ . 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相 交于,A B两点. 焦点弦长()2 2222 2 sin ab AB a b b α = +- .

AF与BF 数量关系 直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点， 则 2 112a AF BF b +=. 直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两 点，则 2 112a AF BF b +=. 已知点P是椭圆上一点，O坐标原点， 则b PO a ≤≤. 已知点P是双曲线上一点，O坐标原点， 则PO a ≥. 焦三角形 如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点， 已知 12 F PFθ ∠=， 12 PF Fα ∠=， 21 PF Fβ ∠=，则 （1） 12 2tan 2 PF F S b θ = △ ； （2）离心率 sin sin sin e θ αβ = + . 如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点， 已知 12 F PFθ ∠=， 12 PF Fα ∠=， 21 PF Fβ ∠=，则 （1） 12 2 2cot 2tan 2 PF F b S b θ θ == △ ； （2）离心率 sin sin sin e θ αβ = - . 垂径定理 如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点， 点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OM AB b k k a =-. 如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两 点，点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OM AB b k k a =. （注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B 两点，其他条件不变，结论依然成立）

MATLAB与数值分析课程总结

MATLAB与数值分析课程总结 姓名：董建伟 学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易 矩阵的创建 （1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖 （2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等 向量的生成 （1）用冒号生成向量 （2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对 数等分向量 矩阵的标识和引用 （1）向量标识 （2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识 （3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用 字符串数组 （1）字符串按行向量进行储存 （2）所有字符串用单引号括起来 （3）直接进行创建 矩阵运算 （1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂

（2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母 （3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线 （1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵 （2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色 （3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形 （5）subplot在同一窗口画多个子图 三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字 符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁 （1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点 （2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用 （3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构

圆锥曲线-双曲线

圆锥曲线-双曲线 一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的： x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的： y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 3.双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() 1x a x a <>≤-≥范围：，或 <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 <>= >41离心率：e c a e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。 <>± 5渐近线：y b a x = <>=±62 准线方程：x a c 5．若双曲线的渐近线方程为：x a b y ± = 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x

1 22 121 x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（） A m B m m ..-<<-<->-2121或 C m m D m R ..≠-≠-∈21且 2. 2 2 0ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 2 2 sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在x 轴上的双曲线 4.曲线3sin 2x 2+θ+2 sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。 （A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的双曲线 （C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的椭圆 5.平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是（ ）。 （A ）16x 2－9y 2＝1 (x ≤－4) （B ）9x 2－16y 2 ＝1(x ≤－3) （C ）16x 2－9y 2＝1 (x>≥4) （D ）9 x 2－16y 2 ＝1 (x ≥3) 6若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋3y=0，则此双曲线的标准方程只能是（ ）。 （A ）36x 2－12y 2=1 （B ）36y 2－12x 2=1 （C ）36x 2－12y 2=±1 （D ）36y 2－12 x 2 =±1

圆锥曲线(椭圆_双曲线_抛物线)的定义、方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<

3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

圆锥曲线---双曲线

圆锥曲线------双曲线 一 基础热身 1.已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,(1)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;(2)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于8,则点P 的轨迹方程是 ;(3)动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于10, 则点P 的轨迹方程是 ; 2.双曲线22916144x y -=的实轴长与虚半轴长的和等于 , 离心率等于 ,焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 ,准线方程是 ,渐近线的方程 ,两渐近线的夹角等于 ___,右支上一点P 到左焦点的距离等于10,则它到右准线的距离等于 ____通径等于___________. 3.已知曲线C 的方程是22 121 x y m m -=++,(1)若曲线C 是圆,则m 的取值范围是 ;(2)若曲线C 是椭圆, 则m 的取值范围是 ;(3)若曲线C 是双曲线, 则m 的取值范围是 . 4.经过点)2,2 1(且与双曲线1422=-y x 仅交于一点的直线条数是________. 二 典例回放 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1) 焦点为12(5F F a b +=（2）渐近线的方程是 23 y x =±,经过点9(,1)2 M -. 2.双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．

3.已知直线l 过定点（0，1），与双曲线122=-y x 的左支交于不同的两点A 、B ，过线段AB 的中点M 与定点)0,2(-P 的直线交y 轴于),0(b Q ，求b 的取值范围。 三 水平测试 1.已知动点P 到)0,5(1F 的距离与它到2F (-5,0)的距离的差等于6，则P 的轨迹方程为（ ） A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．116922=-y x )3(-≤x D ．116 92 2=-y x )3(≥x 2.双曲线122 22=-b y a x 的焦点到它的渐近线的距离等于( ) A. 22b a b + B.b C. a D. 22b a a + 3.方程12 2=+ y x 和 mx + （ 4.双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A ．23 B ．3 C ．34 D ． 3 5.设ABC ?的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 2 1sin sin = -，则第三个顶点C 的轨迹方程是 6.过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14 22 =-y x 的弦所在直线方程为 ． 7.斜率为1的直线与双曲线122 2=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1，（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长 A ． B ． C ． D ．

圆锥曲线——点乘双根法

圆锥曲线——点乘双根法 适用类型：类似21x x ，21y y ，))((21t x t x ++，))((21t y t y ++或||||,MB MA MB MA ??（其中2121,,,y y x x 是直线与曲线的两个交点的横纵坐标，B A ,直线与曲线的两个交点）以及可转化为上述结构的问题 理论基础：二次函数的双根式，若一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则) )((212x x x x a c bx ax --=++具体步骤：化双根式→赋值→变形代入 1．（2013天津）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 334．（1）求椭圆的方程； （2）设B A ,分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于D C ,两点．若8=?+?CB AD DB AC ，求k 的值．

2．（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ，线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ，且21B AB ?是面积为4的直角三角形． （1）求该椭圆的离心率和标准方程； （2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程． 3．（2014辽宁理）圆22 4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22 122:1x y C a b -=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程； （2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于B A , 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.

高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结

八、圆锥曲线 1、圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的与等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹就是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|,则轨迹就是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点 )0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中就是椭圆的就是 A.4 21=+PF PF B.621=+PF PF C.1021=+PF PF D.122221=+PF PF (答:C);(2)方程 8表示的曲线就是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点与定直线就是相应的焦点与准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即就是离心率e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距 离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2x y =上一动点P(x ,y),则y+|PQ|的最小值就是_____(答:2) 2、圆锥曲线的标准方程(标准方程就是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时122 22=+b y a x (0a b >>)?{ cos sin x a y b ??==(参数方程,其中?为参数),焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1(0a b >>)。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件就是什么？(ABC ≠0,且A,B,C 同号,A ≠B)。如(1)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____(答:11(3,)(,2)22 ---);(2)若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值就是____,22y x +的最小值 就是___(答:2) (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -＝1(0,0a b >>)。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件就是什么？(ABC ≠0,且A,B 异号)。如(1)双曲线的离心率等于 25,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:2 214x y -=);(2)设中心在坐标原

圆锥曲线第二讲——双曲线

圆锥曲线第二讲——双曲线 一、基础练习： 1. 已知 12(5,0),(5,0) F F -，曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为. 2. 双曲线的渐近线为 x y 23±=，则离心率为 . 3.设P 为双曲线1 122 2 =-y x 上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2 的面积为. 4. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且 满足021=?PF PF ，则2 2122 21)(e e e e +的值为. 5．双曲线kx 2－y 2 ＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是________． 6．(2010年苏州调研)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△AOF 的面积为 a 2 2 ，则两条渐近线的夹角为________． 7．(2009年高考江西卷改编)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b ) 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________． 8．(2010年南通市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2， P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是________． 9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2. (1)求双曲线C 的方程； (2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M 、N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求实数k 的取值范围． 二、知识梳理：

(word完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞