高三数学：解三角形专题
小微专题： 解三角形
【知识回顾】 1.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 2.余弦定理：222
2222
22222
222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ?+-=
???=+-+-??=+-?=??=+-??
?+-?=??
3.推论：正余弦定理的边角互换功能
① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a
A R =，sin 2b
B R =，sin 2c
C R
=； ③
sin sin sin a b c A B C ==
=sin sin sin a b c
A B C
++++=2R ；
④::sin :sin :sin a b c A B C =； ⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-； 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+-；
222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-.
4.三角形中的基本关系式：sin()sin ,B C A +=cos()cos ,B C A +=-
sin
cos ,22B C A +=cos sin .22
B C A
+= 5.三角形面积：B ac A bc C ab sin 2
1sin 21sin 2121
s ===?=高底 6一个常用结论：
在ABC ?中，sin sin ;a b A B A B >?>?>sin 2sin 2,.2
A B A B A B π
==+=则或
7、三角形形状判断
在三角形形状判断时，将给定条件统一成边或统一成角，再作进一步判断。
（1）为等腰△△ABC B A B A B A ?=?=?=?=b a tan tan cos cos sin sin （2）222222222a b c Rt a b c a b c ABC ABC ABC +=?+>?+
△为钝角△
【考点剖析】
考点一 ：正弦定理的简单应用
典例1、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b
A +C =2
B ，则sin A =
选题意图：本题考查正弦定理的简单应用 典例2、在ABC ?中.若1b =
，c =23
c π
∠=，则a = .
命题意图：本题考查了应用正弦定理求解三角形问题.
典例3、在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，若a =
2b =
，sin cos B B +A 的大小为 .
选题意图：本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，
变式1：已知ABC ?的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．
选题意图：本题考查了正弦定理以及三角函数恒等变换等内容
考点二 ：余弦定理的简单应用
典例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，
，则
（ ）
A.a ＞b
B.a ＜b
C. a ＝b
D.a 与b 的大小关系不能确定
选题意图：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题.
典例5：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S
为△ABC 的面积，满足2
22()4
S a b c =+-. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.
选题意图：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力.
选题意图：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.
典例6 、在ABC ?中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =
135ADB ο∠=.若AC =，则BD=____ _.
选题意图：本题考查了余弦定理
变式1：ABC ?的面积是30，
内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =. （Ⅰ）求?；
（Ⅱ）若1c b -=，求a 的值.
选题意图：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
考点三 ：正余弦定理的综合应用
典例7、.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，设
22
(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；
（22b c +=，求sinC ．
典例8、（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin
sin 2A C
a b A +=．
（1）求B ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．
典例9、（2017全国1理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．
典例10、（2018全国1理）
在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=?，45A ∠=?，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；
（2）若DC =，求BC .
变式1：（2017全国Ⅲ理17）
ABC
△的内角A
B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 0
+=A A ，
a 2
b =.
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD △的面积.
变式2：（2018全国2理）.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .
若ABC △的面积为
222
4a b c +-,则C =
( )
A. π2
B.π3
C.π4
D.π6
考点四：正余弦定理的实际应用
典例、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形
ABCD ，其中3AB =百米，AD
且BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，
BD
(路的宽度忽略不计)，设π,,π2
BAD θθ??
∠= ???
.
(1) 当5
cos θ=-
时，求小路AC 的长度；
(2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．
变式1、如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为
75,30??,此时气球的高是60m ,则河流的宽度BC 等于( )
A.
)30
31m
B. )12031m
C . )
18021m
D.
(
)
240
31m
【课后作业】
1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，
5
cos
2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB
A ．42
B 30
C 29
D ．52．(2018全国卷Ⅲ)ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
若ABC ?的面积为222
4a b c +-，则C =
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6π
3．（2016年全国III ）在ABC △中，
π4B =
，BC
边上的高等于13BC ,则cos A =
A
B C ．
-
D ．
-
4．（2016年全国II ）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
4cos 5A =
，
5
cos 13C =
，1a =，则b = ．
5．（2015新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，
75A B C ∠=∠=∠=o
，2BC =，则AB 的取值范围是_______．
6．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o
，45A ∠=o
，
2AB =，5BD =．
(1)求cos ADB ∠；
(2)若DC =BC ．
7．（2017新课标Ⅰ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知ABC ?的面积为2
3sin a A
(1)求sin sin B C ；
(2)若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ?的周长．
8．（2017新课标Ⅲ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知sin 0A A =，a =2b =． (1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ABD ?的面积．
9．（2017新课标Ⅱ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知
2
sin()8sin 2B
A C +=．
(1)求cos B
(2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ．
10．（2016年全国I ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若c ABC △=的面积为，求ABC △的周长．
11．（2015新课标2）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 面积是?ADC 面积的2倍．
(Ⅰ)求 sin sin B C ；
(Ⅱ) 若AD=1，DC=2，求BD 和AC 的长．
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 高三数学《解三角形》题型归纳（含解析） 题型一：求某边的值 （1）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知2 5,2,cos 3 a c A === ，则b =_______. （2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60?， ∠BCD ＝135? ，则BC ＝ ． （3）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2 －c 2 ＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ． （4）钝角△ABC 的面积是1 2 ，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝ ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b － c ＝2，cos A ＝－1 4，则a 的值为________． （6）在ABC △中，已知3,120AB A ==o ，且ABC △的面积为153 4 ，则BC 边长为______． （7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________． 答案：（1）3 （2）8 2 （3）4 （4） 5 （5）8 （6）7 （7）26 题型二：三角形的角 （1）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3 BC ，则cos A ＝________． （2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==,则cos C = （3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c B b += ．则A =________. （4）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且 cos sin a c A C =，则A =________. （5）在△ABC 中，若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________. （6）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>, 320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C =________. 答案：（1）－10 10 （2） 725 2014届高三数学(理)二轮复习练习：(九)解三角形 小题精练(九)解三角形 (限时：60分钟) 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋ cos2B＝( ) A．－1 2 B. 1 2 C．－1 D．1 2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对 边，若A＝π 3 ，b＝1，△ABC的面积为 3 2 ， 则a的值为( ) A．1 B．2 C. 3 2 D. 3 3．在△ABC中，cos2A 2 ＝ b＋c 2c (a，b，c分别为角 A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形 4．(2013·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4 ， AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( ) A. 10 10 B. 10 5 C.310 10 D. 5 5 5．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c.若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D．－ 1 2 6．(2014·长春市调研测试)直线l1与l2相交于 a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于( ) A.π 12 B. π 6 C.π 4 D. π 3 10．(2014·湖南省五市十校联考)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( ) A.π 4 B. π 3 C.π 2 D. 3π 4 11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( ) 高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】 第2章 解三角形 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c A C = （思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ． 第2章 解三角形 2.1.1 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A = c a sin B =c b sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B = . 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D ===， 同理 sin b B =2R ，sin c C ＝2R . 解三角形解答题专题训练 2017.12 1．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ； ，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ?的面积. 因为sin 0A ≠，解得 （Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则 ABC ?的面积 若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =． 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==． ABC ?的面积 综上，ABC ?的面积为 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5， (Ⅰ) 求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180 整理，得 01cos 4cos 42=+-C C ∵ ∴C=60° （Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故 所以 的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ? 三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1 ）求角C 的值； （2）若4,7c a b =+=，求 ABC S ?的值. 解：（1 得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 又sin sin()2sin cos C A B C C =+=， （2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-， ∴11ab =，∴4．在ABC ?中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值； （2）若2=c ，且ABC ?的面积为，求b a ,. 解：（1 ?< 解三角形 一．选择题（共20小题） 1．（2015?河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（） A．18 B．19 C．16 D．17 2．（2015?河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（） A．17 B．19 C．16 D．18 3．（2014?云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（） A．30°B．60°C．120°D．150° 4．（2013?陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 5．（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D． 6．（2013?温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（）A．﹣1 B．.C．.D．.2 7．（2013?天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．D． 8．（2013?泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（） A．B．3C．D．7 9．（2013?浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值范围是（） A．B．C．D． 10．（2012?广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（） A．B．C．D． 11．（2012?天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（） A．30°B．45°C．135°D．45°或135°12．（2010?湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（） A． ﹣B．C． ﹣ D． 课 题 解三角形专题1 教学目标 理解正玄定理、余弦定理的基本内容 会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题 重点、难点 正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用 考点及考试内容 本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。 教学内容 一、正弦定理及其证明 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c A B C == 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。 对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。 在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB 和bsinA 实际上表示了锐角三角形边AB 上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。 钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。 二、余弦定理及其证明 余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-； 余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。 由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。 同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。 这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。 三、正弦定理和余弦定理的应用 正弦定理的应用： 1．用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题： （１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 2019年 1. （全国Ⅱ文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2.（2019全国Ⅰ文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ， cos A =－14 ，则 b c = A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 4.（2019全国三文18）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围． 5.（2019天津文16）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=， 3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）求sin 26B π? ? + ?? ? 的值. 6.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b ，cos B = 2 3 ，求c 的值； （2）若 sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π +的值． 7.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上， 若45BDC ∠=?，则BD =____，cos ABD ∠=________. 解三角形 解答题（题型注释） 1．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin sin sin a A c C C b B +-=． （1）求B ； （2）若75,2A b == ，求,a c 2．在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2sin sin()cos a A A B c A ++= （1）求c b 的值；（2）若ABC ?的面积为22b ，求a 的值（用b 表示） 3．在ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2 3 2cos cos sin(A B)sinB cos(A C).25 A B B ---++=- （1）求cos A 的值； （2）若5a b ==，求向量BA BC 在uu r uu u r 方向上的投影． 4．在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos B C b a c =-+2． （1）求角B 的大小； （2）若b a c =+=134，，求ABC ?的面积． 5．已知bc a c b +=+222． （1）求角A 的大小； （2）如果3 6 cos = B ，2=b ，求AB C ?的面积． 【答案】（1） = A 6．已知在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，．且 cos 2cos 2cos A C c a B b --= ． （Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若cos B =1 4， b=2，求ABC ? 的面积S 。 7．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,,已知)sin(sin sin B A C A -=-,6=c ． （1）求B 的大小；（2）若72=b ，求ABC ?的面积；（3）若16,sinC a ≤≤求的取值范围．（3难，可不作答） 8．已知在锐角ABC ?中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2(2)cos 2cos 2 B b c A a a -=- ． （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若3=a ，求c b +的取值范围． 高三理数解三角形练习题 一、选择题 1. 已知2sin αtan α＝3，则cos α的值是( ) A. －7 B. －12 C. 34 D. 1 2 2. 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ?π 2 ＋α?sin ?－π－α? cos ?11π2－α?sin ?9π2 ＋α? 的值为（ ） A. －1 B. 34 C. - 3 4 D. 2 3. 已知sin(3π－α)＝－2sin ????π 2＋α，则sin αcos α等于( ) A. －25 B. 25 C. 25或－25 D. －1 5 4.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π 3对称，且f ????π12＝0，则ω的最小值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π 8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的 一个可能取值为( ) A. 3π4 B. π4 C. 0 D. －π4 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． B ． C ． D ． 7.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为（ ） A ． 518 B ． 34 C ． 3 D ． 78 8.在ABC ?中,角A,B,C 所对边分别为a,b,c ,且ο4524 ==B c ，,面积2=S ,则b 等于 （ ） A ． 2 113 B ．5 C ． 41 D ．25 9.在,,ABC A B C ?中，的对边分别为,,a b c ,若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列则B = （ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 23 π 10.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若2 2 245b c b c +=+-且2 2 2 a b c bc =+-, 则△ABC 的面积为（ ） A ．3 B ． 32 C ． 22 D ．2 二、选择题 11．在ABC ?中,角A,B,C 新对的边分别为a,b,c,若cos cos sin a B b A c C +=, 2223b c a bc +-=,则角B=________. 12．已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于 . 13．北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台 上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为106米,则旗杆的高度为 ______米 14．在ABC ?中,sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,则B 的取值范围是_____________ 三、解答题 15.已知函数()sin()(0,||)2 f x M x M π ω??=+>< 的 部分图象如图所示. (Ⅰ)求 函 数()f x 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ABC 中,角C B A 、、的 对 边 分 别是c b a 、、,若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的 取 值 范 围. 16．已知ABC ?的角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c A b B a =+sin 3cos . (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若1=a ,3=?AC AB ,求c b +的值. 解三角形专题练习 1、在b 、c ，向量() 2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 3、在ABC ?中，5cos 5A = ，10 cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设2AB =，求ABC ?的面积. 4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小； （II ）求)sin(6π +B 的值. 5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 2 3 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长. 7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且 c o s c o s B C b a c =-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ， 2 3cos )cos(= +-B C A ,ac b =2 ，求B. 9、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4 2sin(π -A 的值。高中数学解三角形方法大全
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