2020年南开大学物理科学学院理论物理(量子力学+专业外语)考研复试核心题库之量子力学计算题精编

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一、2020年南开大学物理科学学院理论物理(量子力学+专业外语)考研复试核心题库之量子力学计算题精编

1．一维谐振子受到微扰的作用，其中c是常数，在粒子数表象中,a

与分别是湮没算符和产生算符，满足如下公式：，其

中是一维谐振子哈密顿量的本征态,(1)用微扰论，准确到二级近似，求能量修正值;(2)求能量的准确值，并与微扰论给出的结果比较。

【答案】

利用公式

算出微扰矩阵元

零级近似能量，一级与二级修正能量分别为

求精确能量，

的本征能量

由于λ是微小量，

其中

精确能量展开式的第1,2与3项分别同能量的零级近似值,一级修正值与二级修正值相等。2．设一维势场为，用变分法求粒子在其中运动的第一激发态能量，并说明应选下面的

哪一个函数作为试验波函数？(1),(2)，⑶，⑷，

(5)。

【答案】由于势函数是偶函数，基态波函数是偶函数，所以第一激发态应具有负宇称。又第一激发态有一个节点，故原点应是波函数的零点。这样可以断定应选(3)式作为试验波函数。这样可得

故第一激发态能量为

3．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的期望值。

【答案】由求出

归一化系数

一维无限深势阱本征函数为

(阱内)

粒子概率分布函数

4．一个质量为m的粒子在一维谐振子势场中运动。在动能T与动量p有关系的非相对论极限下，基态能量为，现在考虑T与p的相对论修正，计算基态能级的移动至阶，c为光速。

【答案】在相对论中,有动能

其中相对论修正项可看成微扰。它所引起的基态能级的移动为

利用

易得

5．已知条件：粒子在一维势场U(x)中运动，U(-X)=U(x)。

待证问题：本征函数具有确定的宇称，即。

相互联系：本征函数满足定态薛定谔方程

(1)

【答案】对定态薛定谔方程进行空间反演，即把x换成-x得到

(2)

计算中已经利用了势能的对称性。与(1)式比较后，可以看出也是定态薛定谔方程的一个解，即也是本征函数，与对应于同一个本征值E

如果与线性相关，即

(3)

在上式中再x把-x换成得到

(4)

由于波函数不能恒等于零，上式给出了条件，即。代入到(3)式后，得到

(5)

如果与线性无关，则可以线性组合成两个新的独立本征函数

(6)

容易验证

(7)

由此说明了粒子的定态波函数具有确定的宇称。