易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

钱益锋 罗坚坚 董龙寅

(2006年获全国一等奖)

摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所

用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，

并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。

模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，

建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径

两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，

mm R 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。

模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一

定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml

进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高

之和约为直径的两倍。

模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的

原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与

高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入

计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。

关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台

一、问题重述

销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某

种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设

计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的

话，可以节约的钱就很可观了。

现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，

测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数

据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。

问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理

地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，

等等。

问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个

正圆台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计？其结果

是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐

形状和尺寸的最优设计。

同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，

写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1

是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、问题分析

在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内体积大于饮料的净含量，同时考虑到饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省。

在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量，利用千分卡对易拉罐进行测量；问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准；问题三中，对比问题一中所测得的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，因此我们在解决此问题时可以假设罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，再利用规划方法求解由圆台和圆柱体组成的易拉罐的最优设计。在问题四中根据问题二、三的模型所求得的数据与测量的数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，作出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。

三、模型假设

1、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍。

2、易拉罐各接口处的材料忽略不计。

3、易拉罐各部分所用的材料相同。

4、单位体积材料的价格一定。

5、相同类型易拉罐的容积相同。

四、模型建立与求解

目前市场上大部分的易拉罐形状可以分成两类：一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分是正圆台（如图2所示）；另一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分与下面部分都是正圆台（如图3所示）。

如图2 如图3

我们用千分卡尺对杭州中萃食品有限公司生产的可口可乐易拉罐进行了测量，分别测量数据如下表。（单位；mm）

由上表可知：罐底与罐盖的厚度大约是柱壁厚度的2倍；高大约为正圆柱直径的2倍。

易拉罐形状和尺寸的最优设计就是确保盛放饮料时容器不变形、放置稳定、运输安全的前提下，如何设计形状与尺寸才能使一定容积量的易拉罐所用的材料最省，为此我们分别对问题二、问题三、问题四建立模型如下：

模型一：正圆柱体模型

假设易拉罐是一个正圆柱体，罐内半径为R ，罐内高为H ，罐壁厚为b ，根据假设1可知，罐底与罐盖厚为b 2，所以制作材料的体积为：

H R b H b R H R s 22)4()(),(ππ-++=

=32224842b R b R b Hb RbH πππππ++++

因为R b <<，故项34b π可以忽略不计。因而

)842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π

于是，问题就是求目标函数)842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π在条件H R V 2π=下的最优解。即

min )842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π

s.t.???>>=0

,02H R H R V π

利用Lagrange 乘子法求解，作函数

)()842(),,(22H R V bR R Hb RH b H R F πλπλ-++++=

令

?????????=-=??=-+=??=-++=??00)2(0

2)882(22H R V F R b R b H F RH b R H b R F πλ

λππλππ

即

??

???==+=++H R V R b R b RH b R H b 22)2(2)882(πλ

ππλππ 消去λ得：R H 4=，34πV R =，344π

V H ?=。唯一的驻点就是问题的极值点，也是此问题的最优解。由上述可知，当罐高为罐内直径的两倍时，正圆柱体的易拉罐所用的材料最省。这与我们目前市场上的可口可乐易拉罐的形状大致相同。

若用ml V 360=代入计算得，mm H 392.122=，mm R 598.30=，这与我们所测净含量为ml 355的易拉罐高123.7mm 与罐体半径30.51mm 还是比较接近的（饮料罐不能装满饮料，必须留有一定的空间余量）。

但也看出两组数据之间也存在一定差异，这是因为我们所测量的易拉罐下底并非是一个圆面，而是一个向上凸的拱面，接近上、下底部分是两个正圆台。

模型二：主体为正圆柱体，上面部分为正圆台模型

当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是正圆柱

体时（如图4），假设正圆柱体部分的罐内半径为R ，罐内

高为2h ，罐壁厚为b ；正圆台部分上底内半径为1r ，正圆台

内高为1h 。根据假设1可知，易拉罐罐底与罐盖的厚度均

为b 2，仍以制作易拉罐的材料最省作为最优设计。由于考

虑到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需

的材料等于外径体积减去内径体积进行计算。

易拉罐正圆台部分所用的材料体积：

图4

)(3

])())(()[(3)2(),,,(2112121121211r Rr R h b r b r b R b R b h h h r R S ++-+++++++=ππ台 )(322)(2)(211231211r Rr R b b r R b b r R bh +++

+++++=ππππ 因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料体积为：

)(3

2)(2)(),,,(21121211211r Rr R b r R b b r R bh h h r R S +++++++≈πππ台 易拉罐正圆柱部分的材料体积：

2222211)2(),,,(h R b h b R h h r R S ππ-++=）（柱

)24(22322222b h b R b bRh b R ++++=πππ

因为R b <<，故32b π可以忽略。则易拉罐正圆柱所用的材料体积：

)4(22),,,(22222211h b R b bRh b R h h r R S +++≈πππ柱

所以，易拉罐的总材料体积为：

),,,(),,,(),,,(211211211h h r R S h h r R S h h r R S 柱台+=

)(3

2)(2)(21121211r r R R b r R b b r R bh +++++++≈πππ )4(2222222h b R b bRh b R ++++πππ

要使生产易拉罐的费用最省，同理可建立优化模型：

min ),,,(211h h r R S )(3

2)(2)(21121211r r R R b r R b b r R bh +++++++=πππ )4(2222222h b R b bRh b R ++++πππ

s.t ．???

????>≥+++=0,,,3)(2

1112112122h h r R r R r Rr R h h R V ππ

利用LINGO 软件（附录一）计算得出1r R ==30.6mm ,93.1181=h mm ，mm h 48.32=；显然，易拉罐的形状是正圆柱体。也就是说在容积相同的情况下，正圆柱体形的易拉罐要比上面部分是正圆台、下面部分是正圆柱体的易拉罐省材，但是问题要求设计的上面部分是正圆台的易拉罐，因此需要进一步改进。

根据所测易拉罐的数据分析，假设易拉罐的正圆台高为正圆柱高的8%，正圆台的上内径为正圆柱内径95%。

min ),,,(211h h r R S )(3

2)(2)(21121211r r R R b r R b b r R bh +++++++=πππ )4(2222222h b R b bRh b R ++++πππ s.t ?????????>====+++=0

,,,0135.0,3605.12,95.03)(2111

212112122h h r R b V h h r R r Rr R h h R v ππ 利用LINGO 软件进行求解（附录二），分别得出：

R =30.87mm ,1r =29.33mm , ,94.81mm h =mm h h H mm h 74.120,8.111212=+==，这与我们所测得数据比较接近。

模型三：易拉罐的最优设计模型

对于盛装碳酸饮料的容器，不仅要考虑省材，还要考虑盛放与搬运中的安全、方便、实用。如果把易拉罐设计成球体，在一定容量的情况下材料最省，但对于放置、储存等会带来诸多的不便（球与球之间的空隙大）。根据几何原理，罐底为平面放置最稳，主体为正圆柱体最优。但考虑到碳酸饮料的压力等因素，罐底与罐盖要考虑牢固性，根据横梁受力的原理：当梁的支座从两端往中间移时，其载荷将会提高。 根据此原理，我们在易拉罐的底部设计了一个底轨（环形），并使其向量移动0.2R ，这样既可以提高易拉罐底的载荷，也可以使其摆放平衡。底轨的厚度为两个底厚加上它们之间的空隙，约为6b 。

因此在罐底的底轨与正圆柱的连接处就形成了一个正圆台，与此对应，我们在正圆柱的上面也设计了一个正圆台，进而从美学的角度考虑，根据黄金分割点将将直径与高的比设为0.618，同时在罐口设计了一个圆槽，使其内径略大于底轨外径，当两罐饮料叠放时，上面一罐饮料的底部可以嵌入下面一罐饮料的罐盖的圆槽，便于放置。

在罐底部分，根据拱桥的原理：桥面设计成一定的拱

形时，它的受力比一般平面桥要大得多。因此我们把罐底

底轨内的部分设计成具有一定弧度的拱面，使其能够更好

的承受罐内液体的压力。

综上所述，可将易拉罐罐体设计成三部分：上部为正

圆台，高为1h ，上圆台罐口内半径为1r ；中部为正圆柱，

高为2h ，罐体正圆柱内半径为R ；下部为正圆台，高为3h ，

罐底内半径为2r ，罐底拱高为d （如图5所示）。又设罐

体壁厚为b ，罐底、罐盖厚为b 2，对各部分进行材料体积

计算。

易拉罐上正圆台部分的材料体积： 图5 )(3

])())(()[(3)2(),,(211212112111r Rr R h b r b r b R b R b h h r R S ++-+++++++=ππ上台 )(322)(2)(21123111r Rr R b

b r R b b r R bh ++++++++=ππππ

因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料为：

)(3

2)(2)(),,(2112121111r Rr R b r R b b r R bh h r R S +++++++≈πππ上台

易拉罐正圆柱部分的材料体积：

22222)2(),(h R b h b R h R S ππ-++=）（柱

)24(22322222b h b R b bRh b R ++++=πππ

因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆柱部分的材料体积：

)4(22),(222222h b R b bRh b R h R S +++≈πππ柱

易拉罐下正圆台侧面部分的材料：

)(3

])())(()[(3),,(222232222332r Rr R h b r b r b R b R h h r R S ++-++++++=ππ下台 =)(3r R b b h ++π

易拉罐底部材料的体积：）（底2

2222),(r d r d S +=π

所以，易拉罐所用的总材料体积为： )

,(),,(),(),,(),,,,,(2322112121r d S h r R S h R S h r R S d h h r r R S 底下台柱上台+++= b R r Rr R b r R b b r R bh 2211212112)(3

2)(2)(ππππ++++++++≈ )2()()4(2222232222r d r R b b h h b R b bRh ++++++++ππππ

当易拉罐所需的总材料最少，则生产该易拉罐的费用最省，建立优化模型如下：

S min b R r Rr R b r R b b r R bh 2211212112)(3

2)(2)(ππππ++++++++= )2()()4(2222232222r d r R b b h h b R b bRh ++++++++ππππ s.t ?????>+-++++++=0,,,,6)3(3)(3)(2

121222222222112122h h r r R d r d r Rr R h r Rr R h h R V ππππ 当23121215.02,6,8.0h h h b r r R r ===-=，)(618.02321h h h R ++=，

7,135.0,360000===d b V 时，利用LINGO （附录三）解得：mm R 3.28=，mm r 667.222=，mm r 48.231=，1h =11.23mm ，mm h 61.53=，,85.742mm h =，mm H 69.91=，这样设计出来的易拉罐取材省，外观美丽。

五、模型评价与改进

此模型通过实际数据,将理论分析和实际状况进行比较，有较强的现实意义。能兼顾安全、实用、方便、美观、经济，理论引用可信度较高。但在模型中没有考虑接口处的材料，由于时间关系，对罐底、罐盖与罐壁的厚度等对比没有作深入的研究。期望能在此方面加以改革，以达到最经济的效果。

六、建模体会

数学建模是一项以培养青年学生创新思维、团结协作、综合应用能力、提高学生素质为目的的活动、深受青年学生的青睐，我们是这项活动的喜爱者、参与

者、受益者。

通过数学建模的学习与实践，我们懂得了数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼。用数学语言符号描述问题的内在联系，然后用适当的数学工具建立相应的数学模型，进而用数学知识、数学软件等求出模型的解，并验证模型的合理性。用该数学模型解释现实问题，甚至解决一些当前生产、生活中的技术难关，并将部分模型应用于实际生产中，给社会带来巨大的经济效益。数学建模的关键步骤可以归纳为：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验及模型应用等。对于我们来说，如何解读实际问题，掌握各种信息与数据，抓住其本质，再用所学的数学知识建立模型是难点。

就易拉罐的形状和尺寸的最优设计而言，考虑了易拉罐罐底为何设计成呈弧形的拱面，这样设计对易拉罐有何作用，如何设计易拉罐各部分材料的厚度以及形状，并证明所需要的材料是最省的，即对产家而言所需的费用是最省的，然而在此基础上还需考虑到罐内气体对易拉罐各部分的应力以及易拉罐的承受能力，并用数学的方式进行表达和证明，说明我们所设计的易拉罐是合理的，这是问题的关键所在，也是本模型的最大难点，而数学建模的最大难点也在于如何建立数学模型将理论转化为实际问题。

通过数学建模活动使我们真正懂得了数学的魅力，它的应用十分广泛，可以渗透到工程、生物、经济、环境、能源等各个邻域，也使我们学会了学习，学会了合作，学会了利用网络及我们所学的知识去解决问题的思想。这对我们今后的学生时代及走上岗位后的职业生涯会终身受益。

参考文献

[1] 刘鸿文，《材料力学》，人民教育出版社，1979.2. （第154页）

[2] 吴建国，《数学建模案例精编》，北京市三里河路6号：中国水利水电出版社，2005.1．(第89页)

[3] 《数学手册》编写组，《数学手册》，北京印刷二厂：人民教育出版社，1979 (第81页)

[4] 姜启源谢金星叶俊，《数学模型第三版》，北京市西城区德外大街4号：高等教育出版社， 2004.2

[5]admin，铝制易拉罐成形工艺及模具，https://www.wendangku.net/doc/f75342020.html,/mjsj/wjm/lsm/200604/474.html，2006．9．15

[6]刘代祥，饮料包装研究，https://www.wendangku.net/doc/f75342020.html,/yjxxx/2005/38/webpage/index.htm，2006．9．15

附录

附录一

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b^2*(R+r1)+2*3.14*b*(R^2+R*r1+r1^2)/3 +2*3.14*b*R^2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b^2*(4*R+h2);

3.14*R^2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r1^2/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;

R>=r1;

end

Local optimal solution found at iteration: 130

Objective value: 4785.179

Variable Value Reduced Cost

B 0.1350000 0.000000

V 360000.0 0.000000

H1 118.9332 0.000000

R 30.60349 0.000000

R1 30.60349 -0.6001035E-07

H2 3.480709 -0.1719013E-06

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -35601.72

2 0.000000 -0.8841982E-02

3 4785.179 -1.000000

4 0.000000 -0.8841982E-02

5 0.000000 -24.57812

附录二

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b^2*(R+r1)+2*3.14*b*(R^2+R*r1+r1^2)/3 +2*3.14*b*R^2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b^2*(4*R+h2);

3.14*R^2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r1^2/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;

R>r1;

r1>=0.95*R;

h1>=0.08*h2;

Local optimal solution found at iteration: 131

Objective value: 4751.322

Variable Value Reduced Cost

B 0.1350000 0.000000

V 360000.0 0.000000

H1 8.940641 0.000000

R 30.87646 -0.1512417E-06

R1 29.33264 0.000000

H2 111.7580 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -35349.82

2 0.000000 -0.8779419E-02

3 4751.322 -1.000000

4 0.000000 -0.8779424E-02

5 1.543823 0.000000

6 0.000000 -21.85243

7 0.000000 -0.5905080

附录三

model:

b=0.135;v=360000;d=7;

min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b^2*(R+r1)+6.28*b/3*(R^2+R*r1+r1^2)+6.2 8*b*R^2+6.28*b*R*h2+3.14*

(4*b^2*R+b^2*h2)+b*3.14*h3*(b+R+r2)+3.14*(d+2*r2^2);

3.14*R^2*h2+3.14*h1*(R^2+r*r1+r1^2)/3+3.14*h2*(R^2+R*r2+r2^2)/3-3.14* d*(3*r2^2+d^2)/6=v;

r2=0.8*R;

r1-r2=6*b;

h1=2*h3;

h1=0.15*h2;

2*R=0.618*(h1+h2+h3);

End

Local optimal solution found at iteration: 8

Objective value: 6682.800

Variable Value Reduced Cost

B 0.1350000 0.000000

V 360000.0 0.000000

D 7.000000 0.000000

H1 11.22734 0.000000

R 28.33220 0.000000

R1 23.47576 0.000000

H2 74.84894 0.000000

H3 5.613671 0.000000

R2 22.66576 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -25664.15

2 0.000000 0.2415566E-02

3 0.000000 -13.93667

4 6682.800 -1.000000

5 -0.1461669E-03 -0.1223693E-01

6 0.000000 -237.8623

7 0.000000 -15.32313

8 0.000000 23.41009

9 1.386329 0.000000

10 0.000000 -44.71500

11 0.000000 -40.68756

全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 (2006年获全国一等奖) 摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最 省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立 材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最 经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量 为355ml 的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时， 考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算 得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理， 设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为， 建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉 罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台 一、问题重述 销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义 下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的 钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就 很可观了。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验 证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说 明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所 测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆 台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计其结果是否可以合理 地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和 尺寸的最优设计。 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇 短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、问题分析

大型项目任务分配问题

一、 问题重述 假设有m 个人，共同完成n 项工作，(n>m ≥2)。每个人可以干任何一件工作，但效率不同，任意时刻每个人只能干一件工作，每项工作只能由一人独立完成。 如果这m 个人任选一项工作同时开始干，每个人干完一件工作后，立即选一项还没有人干过的工作接着干，直到所有n 项工作全部完成。从开始工作到最后一项工作完成的时间称为总完成时间，简称总时间，记为T 。 为使总时间T 尽量小，请对以下三种情况，分别确定每个人应干哪几项工作？顺序如何？并求出T 。 对一般情况进行讨论 （1） X1=(2, 3, 8, 9, 10, 7, 6) , X2=(3, 8, 5, 9, 7, 6, 4)。 （2） X1=(44, 37, 39, 25, 26, 49, 11, 49, 51, 46, 13, 31, 11, 50, 29, 16, 54, 13, 58, 29, 37, 49, 13, 40, 34, 25, 42, 43, 24, 24, 52), X2=(52, 37, 60, 56, 22, 45，60, 23, 37, 16, 60, 44, 11, 39, 16, 16, 50, 25, 13, 25, 30, 26, 58, 59, 31, 24, 19, 19, 43, 31, 31)。 （3） X1=(46, 27, 42, 21, 20, 40, 15, 33, 56, 24, 50, 29, 25, 56, 42, 42, 32, 15, 39, 45, 56, 52, 12, 38, 56, 32, 44, 36, 36, 34, 28, 31, 24, 13, 23, 59, 14, 30, 29, 35, 18, 34, 23, 42, 38, 18, 57, 43, 36, 30, 16, 50, 33, 48, 40, 52, 11, 21, 14, 16, 27, 17), X2=(11, 37, 43, 38, 52, 15, 20, 44, 33, 28, 18, 46, 57, 37, 15, 48, 31, 34, 35, 21, 27, 15, 40, 19, 57, 15, 33, 24, 54, 48, 24, 44, 23, 15, 12, 27, 50, 25, 22, 35, 23, 28, 13, 35, 21, 54, 40, 48, 57, 27, 38, 15, 42, 31, 59, 16, 57, 42, 28, 18, 34, 21)。 X3=(46, 37, 39, 25, 26, 49, 11, 49, 51, 46, 13, 31, 35, 50, 29, 59, 54, 13, 58, 29, 37, 15, 13, 40, 34, 25, 42, 43, 24, 24, 52, 52, 40, 60, 21, 22, 45, 60, 23, 37, 16, 60, 44, 11, 39, 16, 16, 50, 25, 13, 25, 30, 26, 58, 59, 31, 24, 19, 19, 43, 31, 31) 二、问题分析 我们的任务是寻找一个最佳调度方案，使总完成时间最短，该问题是一个NP 难题，不存在有效算法。求解大规模问题要用近似算法。最好能找到一个评价结果的指标。下面给出总时间的一个下界。设Y 是最短时间向量，如果每人都用Y 中的时间来干工作，中间无间息，且每人的最后一项工作都同时干完，这时的总时间T 最小，为T 0 因此有如下结论 定理 根据上述定理，计算出一个特定问题的下限很容易，对本问题的三种情形可计算出其下限。 （1） T 0= （2）T 0= 807 = 403.5 （3）T 0= 1395 = 465 ∑=≤≤=n j ij m i a m T 110)(min 1∑=≤≤≥n j ij m i a m T 11)(min 118)4679532(21=++++++??=∑=21y 21311i i ?=∑ =31y 31621i i

如何建立最佳的领导团队模型

如何建立最佳的领导团队模型 1权力分配不当 领导者的权力分配不当，就是权力与职位、职责不相匹配，也就是破坏了职权一致、责权对等、层级分明原则，从而造成有职无权、职大权小，无职有权、职小权大，有权无责、有责无权，权小责大、权大责小，责权不清、推诿扯皮等等现象。 领导权力分配一般有两层含义，一是权力在组织中的分布，这是从组织结构角度对权力的分配；二是指权力的授给，是从事务和工作的需要出发，领导者根据实现任务和完成工作的需要将其权力的一部分授给下属。一般来讲，第一层权力分配因为是按照组织结构和组织形式进行的，所以每一职位权力的大小和责任的轻重都有相对稳定的规定；相对于第一层权力分配，第二层权力分配在权力和责任的大小上都有相当的灵活性。这样看来，第二层权力分配较为容易出现权力分配失当现象，第一层权力分配则较少。 2领导权力错位 权力错位即领导者的越权，指领导者实际行使的权力超越职位相应权力的现象。越权，广义讲既有范围上的越权，又有使用上的越权。 范围上的越权，又分为僭越本分、兼理旁涉与越俎代疱三种情形。僭越本分，原指不守本分，冒用上级名义、礼仪和器物，此处用以指行使上级领导职权；兼理旁涉，指在未被委托和接受代理的情况下行使其他领导范围职权；越俎代庖，此处专指行使下级领导者的职权。 在领导实践中，越权是一种极为有害的现象。首先，它破坏正常工作秩序。分级领导、分工主管、各司其职、各负其责，这是领导活动系统的正常工作秩序。而越权行为破坏了这一正常工作秩序，因为它使得人们职责不清、位置不明，如同改变机器运转方向和速度，必然失去功能。 其次，越权不利于团结。越权实则“侵权”。上级被侵权认为侵权者飞扬跋扈、颐指气使，定有取代之心，因而或迎头痛击，或暗中设伏；平级侵权引起勾心斗角、关系紧张；下级被侵权则产生被“罢黜”心理，认为上级不信任自己。 3权力不受 权力不受有正当不受与无由不受之分。所说正当权力不受，是指下属对领导者职业特权与越权行为的抵制。我们熟知的“将在外，君命有所不受”，就是孙子对齐威王越权行为的抵制。而对领导者职业特权的抵制，则是我们极为赞扬的，因为它是同以权谋私现象的一种难能可贵的斗争。所说无由权力不受，是指下属对领导者职位权力的抵制。这种抵制是不能容许的。有人认为，你领导对了我就听，你领导错了我就不听。这个问题较为复杂，但并不是一本糊涂账。这里必须弄清楚“领导错了”是什么意思。如果仅是你认为的，那不能算数。比如领导者的决策，即便真的错了，从决策与其实施之初看，人们无法认定其错，又没有更好的决策出台，那下属还是要依计而行的。 4领导权力变异 领导权力变异，主要表现为使用权力的“越位”现象，即无限制地使用权力，将权力泛化到自己的职业中去，从而使自身职业的服务功能(职业规范所规定的应该做的乃至必须做的本职工作)转化为职业特权。 所谓职业特权，是指超出职业规范的规定，利用职业之便实施对他人的控制能力。职业特权不只属于领导权力变异，每个有职业的人都有可能获取职业特权。比如旅客列车上卧铺车厢的列车员，他手中有少数机动卧票。按其职业规范规定，这是为解决有特殊需要的旅客(如急症患者)的困难所赋予他的职业权力。可他却超越这个规定，将这几张卧票部分乃至全

模型试验方案

[例7-1] 杭州钱江三桥静力模型试验 钱江三桥是一座特大型城市桥梁，主桥由两座相同布置而又相互独立的六孔一联的独塔预应力混凝土单索面斜拉桥和多跨预应力混凝土连续粱组成。其跨径布置：(72+so+168x2+80+72)x 2：1 280m，单箱五室等高度断面，桥面全宽29．5m。结构的立面和断面如图7-1。 本模型静力试验主要试图解决两个问题：①恒载(结构自重)作用下控制断面正应力分布受剪力滞影响后的变化规律；②纯扭转荷载作用下控制断面(由约束扭转或截面畸变引起)的正应力和剪应力分布情况。 1．模型没计 模型选用有机玻璃板材制作，设计主要考虑： 1)与原形结构基本相似。模型与原型的静应变比值(虎克数)cq=1，这样，在几何缩尺确定之后，其他力学参数须按相似关系确定。

2)几何缩尺的确定原则。①为尽可能缩小模型的制作误差和测量误差，应把模型做得大些；②因有机玻璃模型将放在恒温室内进行测试，故它的尺寸上限受恒温室大小的制约。 3)控制断面问题。斜拉桥塔根附近断面是计算剪力滞变化最大的，其他如斜拉桥跨中、协作跨支座附近等断面的受力特点也需要搞清楚。 最后确定取斜拉桥的半联和连续梁的一跨为原型，几何缩尺定为1／70。 设计模型的基本参数如表7—1所列(表中括弧内为原型值)。 第133页 按上述原则和比例常数等设计的有机玻璃模型全长362cm，宽42．1cm。具体尺寸如 图7-2。 2．加载试验 1)测点布置和测试方式 选斜拉桥塔根附近、跨中和连续梁内支座附近、跨中等4个断面为应力测试断面；还选上述两个跨中断面为位移测试断面。 按剪力滞测试要求，在4个测试断面上各布置18个单向(正应力方向)应变测点；按截面扭转应力测试要求，在(除斜拉桥跨中以外)3个断面上各布置10组(应变花)平面应变测点。 最后综合考虑断面相同、测点位置重复等因素，实际共布置了60组平面应变测点和32个单向应变测点。 在斜拉桥和连续梁两个跨中断面上各布置两个竖向位移测点，以测定模型的竖向变位。在连续梁内、外两个支座上各布置两个力传感器，以测定模型支座的反力。 顺便指出，布置位移和支座测点的目的，只是为了控制模型试验的加载、变位等整体状态，与本模型的主要测试项目投有直接关系。 2)荷载及其施加方式 ①恒载 有机玻璃模型本身的自重略去不计(测量前可利用仪器凋零方法去除)，只考虑原型按缩 比算得的那部分自重荷载。按表列值算得模型的线均布荷载集度Qm=5．1N／cm，全部模拟恒 载为模型全长乘qm，约为1830N。 实际施加模拟自重荷载时，把印刷厂废铅字装入40emx lOcm的布袋，沿模型长度方向布满整个桥面。 ②扭矩

易拉罐形状和尺寸的最优设计

淮海工学院 毕业论文 题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计 作者：吴杰学号：0903102228 系(院)：数理科学系 专业班级：信息与计算科学032 指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者： 2007年5月连云港

毕业论文中文摘要

毕业论文文摘要

目录 1 引言 (1) 1．1易拉罐的发展和前景 (1) 1．2 实际调研 (2) 1.3基本设计方案 (2) 2可口可乐易拉罐的优化设计 (3) 2．1模型的假设 (4) 2．2数据测量 (4) 2.3符号说明 (5) 2．4 模型的建立与求解 (5) 2．4．1 模型一的建立与求解 (5) 2．4．2 模型二的建立与求解 (7) 2．4．3 模型三的建立与求解 (9) 2．5 模型的评价与推广 (11) 结论 (13) 致谢 (14) 参考文献 (15) 图1 罐体主要尺寸图 (4) 图2 圆柱罐体剖面图 (5) 图3 柱台罐体剖面图 (7) 图 4 罐体受压性能图 (10) 表 1 罐体主要尺寸 (4) 表 2 罐体物理性能 (10)

1 引言 1．1易拉罐的发展和前景 铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。 国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。 近年来，我国铝质易拉罐产量逐年增长，年消耗量约为60～70亿只。据业内专家预测，到2010年，全国易拉罐用铝将达到29万吨。据中国饮料协会预测，到2010年，碳酸饮料产量将达到800万吨，如果罐装率按20％计算，易拉罐用量将达到124亿只。尽管国内易拉罐需求量逐年上升，但供求关系严重失衡已是不可回避的事实。 为了生存，罐厂每年都出现“内耗”式的压价销售，这一方面导致罐厂本身处于亏损运营状态，另一方面阻碍了中国罐业向前发展。竞争的结果，表面上看饮料、啤酒厂是受益者，但从长远看包装品制造商因无力进行技改大幅度降低成本，而作为使用包装品的饮料、啤酒业也难以使自己产品的包装成本降低下来因而阻碍了消费，最终也是受害者。 国外罐业者在降低成本方面主要有二条途径，一是规模经济。国外罐业经过三十多年的发展，生产已形成集团化，具有相当大规模，在这样的基础上不断增置设备或提高生产速度再扩大规模是轻而易举的事。而国内罐厂的规模与国外相比都较小，又由于近年来大多数罐厂处于亏损运营，因而再花费一大笔资金去再引进技术和设备扩大规模是较为困难。此外在目前这种供求严重失衡的状况再扩大规模，无疑将需求关系进一步恶化。显然，靠这一途径降低成本不适合国内现状。 其次是降低原辅材料的成本。依靠科技进步降成本可以达到事半功倍。罐业是集冶金、化工、机械、电子等行业科技于一体，降低原辅材料成本就是依靠这些行业的科技进步。（1）减薄铝板材厚度。（2）改变罐形。根据国外某材料厂家报告，在美国的罐厂用铝板材料厚度每减薄0.01mm，每千罐可节省约0.22美元，易开盖口颈从404规格缩小至401规格可节省材料12.5%，罐从206口颈缩为204全套可节约材料用量6.7%，再降至202又可节约13.6%，最好水平到19.4%。为了确保罐原有的各项性能指标要求，相应采用许多新工艺，诸如采用罐底二次成型技术，可使罐底耐压力提高26%。在国外有许多罐业服务的专业性厂家，从铝板材、模具、电子化工设备等制造行业形成一条龙，每当罐业提出某

毕业设计论文-最佳任务分配模型设计论文

1 前言 1.1 课题研究背景 随着市场经济的全球化，企业市场竞争变的越来越激励，为了生存，企业的生产规模在不断的扩大，而生产过程中的分工也越来越细，这就要求生产组织对资源分配要有高度的计划性、合理性和经济性，在追求整体的生产效率和效益的同时，也要不断的追求生产成本的最低性。要想达到这样的目的，就要求企业要充分利用现有的人力资源，提出出最经济、最合理的任务分配方案，以减少成本、降低浪费、提高经济效益为目的，才能让企业在经济全球化进程中立于不败之地。 运筹学是一门应用分析、量化、优选的方法对经济管理系统中的人、财、物等资源进行统筹安排的学科，它能为决策者提供有定量依据的最优方案，以实现最有效的管理。运筹学前期必修课程包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等基础理论知识，在实际应用中，运筹学涉及的面也是很广的。可以说，运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是现代经济管理科学中的基础理论和一种不可缺少的方法、手段和工具；它是抽象的数学理论与丰富多彩的实践相结合的“桥梁”；它为从事生产社会实践和应用科学研究领域的工作人员提供了一套完整的数学方法，也为从事数学等理论研究的科研人员提供了广阔的应用领域。运筹学从确定目标、制定方案、建立模型、制定解法都有一整套严密科学方法。 自二战以来，国内外有很多国家都利用运筹学来解决本国的实际问题，在此过程中为各国节省了大量的人力、物力、财力等资源。在这个过程中运筹学也得到了许多的发展和研究，现阶段国内外很多公司都能很好地运用运筹学来解决任务分配问题以及其他问题。 从21世纪的发展战略上来看，势必将是计算机的时代。各个领域都将会越来越依赖社会的整体科技创新能力和由此派生出来的知识经济，随着计算机的不断发展，人们逐渐地将计算机知识运用到其中。许多的问题都是依靠科学来建模，而用计算机来对模型进行求解。本次设计就是用运筹学的知识建立的一个任务分配的模型，在掌握数据结构及其算法的基础上，将数据由VB向VC++转变，并在VC++6.0中实现最佳任务分配模型程序的设计和运行。 在国外，有很多大公司都将运筹学建模能力与计算机语言结合起来，实现了对现有的资源优化配置和任务的合理分配，从而实现了企业的理想目标。 新中国成立后，我国对运筹学也开始逐渐注重，并用运筹学知识为我国解决了许多在管理、决策方面的问题，特别在解决多任务分配问题上，为决策人员节省了宝贵的时间，为企业节省了大量的资源。虽然近几年，运筹学在我国发展比较快，但在运用和解决问题的能力上我们还与发达国家存在一定的差距。比如资源的优化配置程度

实验六 复杂模型机的设计与实现

实验五 复杂模型机的设计与实现 一、实验目的 综合运用所学计算机原理知识，设计并实现较为完整的计算机。 二、实验设备 Dais-CMX16+计算机组成原理教学实验系统一台，实验用导线若干。 三、数据格式及指令系统 1. 数据格式 8 其中第7位为符号位，数值表示范围是：≤＜。2. 指令格式 模型机设计四大类指令共16条，其中包括算术逻辑指令、I/O 指令、访问及转移指令和停机指令。 ⑴ 算术逻辑指令 设计9条算术逻辑指令并用单字节表示，寻址方式采用寄存器直接寻址，其格式如下： 其中，OP-CODE 为操作码，Rs 为源寄存器， Rd 为目的寄存器，并规定： 其中9条算术逻辑指令的名称、功能和具体格式见表5-1。 ⑵ 访问指令及转移指令 模型机设计2条访问指令，即存数（STA ）、取数（LDA ），2条转移指令，即无条件转移（JMP ）、 结果为零或有进 位转移指令（BZC ），指令格式为： 其中“0 0 M ”为源码段，2OP-CODE 为目的码段（LDA 、STA 指令使用）。D 为十六位地址段（低八在前，高八随后），M ⑶ I/O 指令

输入（IN）和输出（OUT ⑷停机指令 指令格式如下： HALT指令，用于实现停机操作。 3.指令系统 本模型机共有16条基本指令，其中算术逻辑指令9条，访问内存指令和程序控制指令4条，输入输出指令2条，其它指令1条。下表列出了各条指令的格式、汇编符号、指令功能。 图5-1复杂模型机微程序流程图 按照系统建议的微指令格式，参照微指令流程图，将每条微指令代码化，译成二进制代码，并将二进制代码表转换成十六进制格式文件。 源编码目的编码

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型综述

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 查建飞郑娴雅金兰贞 (2006年获全国二等奖) 摘要：目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。而资源 是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。 首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。 模型I :把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h与底面半径r之间的关系为h - ：^：：.2 r，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型U进行分析。 模型U :进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。通过对模型I中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。 模型川：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。 最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。 关键词：最优设计形状与尺寸合适度 一、问题重述 生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题： (1)取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。 (2)设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 (3)设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

易拉罐形状和尺寸的最优设计

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍 b 时，最优设计方案为61:： =H R 。 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。 关键词：最优设计 体积结构 材料最省 lingo

实验七基本模型机的设计与实现

实验七　基本模型机的设计与实现 一、实验目的 ⒈在掌握部件单元电路实验的基础上，进一步将其组成系统地构造 一台基本模型计算机。 ⒉为其定义5条机器指令，并编写相应的微程序，上机调试掌握整机 概念。 二、实验设备 Dais-CMH+/CMH 计算器组成原理教学实验系统一台，实验用扁平 线、导线若干。 三、实验原理 部件实验过程中，各部件单元的控制信号是以人为模拟产生为主，而 本次实验将能在微程序控制下自动产生各部件单元的控制信号，实现特 定指令的功能。这里，计算机数据通路的控制将由微程序控制器来完 成，CPU从内存中取出一条机器指令到指令执行结束的一个指令周期全 部由微指令组成的序列来完成，即一条机器指令对应一个微程序。 本实验采用五条机器指令：IN（输入）、ADD（二进制加法）、 STA（存数）、OUT（输出）、JMP（无条件转移），其指令格式如下 （前三位为操作码）： ==========================================================助记符 机器指令码 说 明 -------------------------------------------------- ------------- IN R0,SW 0010 0000 数据开关状态 →R0 ADD R0,[addr] 0100 0000 XXXXXXXX R0+[addr]→R0 STA [addr],R0 0110 0000 XXXXXXXX R0→[addr] OUT [addr],LED 1000 0000 XXXXXXXX [addr]→LED JMP addr 1010 0000 XXXXXXXX addr→PC ==========================================================其中IN为单字节(8位)，其余为双字节指令，XXXXXXXX为addr对 应的二进制地址码。 根据以上要求设计数据通路框图，如图7-10-1所示。系统涉及到的 微程序流程见图7-7-3，当拟定“取指”微指令时，该微指令的判别测试 字段为P(1)测试。由于“取指”微指令是所有微程序都使用的公用微指 令，因此P(1)的测试结果出现多路分支。本机用指令寄存器的前3位 (IR7~IR5)作为测试条件，出现8路分支，占用8个固定微地址单元。 当全部微程序设计完毕后，应将每条微指令代码化，表7-10-1即为 将图7-10-2的微程序流程图按微指令格式转化而成的“二进制微代码

全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 （2006 年获全国一等奖） 摘要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得H 122.63mm，R 30.58mm与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO软件仍用容积为360 ml 进行验算，算得R 30.58mm，r1 29.33mm， h1 8.94mm， h2 111.8mm ，高之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型易拉罐非线性规划正圆柱正圆台 一、问题重述 销量很大的饮料容器（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。问题一：取一个饮料量为355 毫升的易拉罐，例如355 毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所 测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1 所示，即上面部分是一个台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计其结果是否可地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐尺寸的最优设计。 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，短文（不超过1000字，论文中必须包括这篇短文 ），阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。正圆以合理 形状和 写一篇图1

易拉罐形状及尺寸的最优模型

易拉罐形状及尺寸的最优模型 『摘要』 本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。 我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。 第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。 第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。 第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等 关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad

1问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步 2 问题分析 通过对问题进行分析可以看出，本文研究容积一定的易拉罐的用料最省问题，通过建立模型找到一种最合理、最节约的设计，进而结合实际问题优化模型。 问题1，通过实际测量得到易拉罐下部圆柱体内直径，中部圆柱体内高度，上部圆台体上直径、下直径，上部圆台体高度以及易拉罐顶部和其他部位厚度。 问题2，假设易拉罐是一个正圆柱体，即将上部圆台看成正圆柱，问题简化为在圆柱体体积一定的条件下求其表面积最少，建立优化模型，用微分方程求解模型。 问题3，设易拉罐是由一个圆柱体和一个圆台构成，即在第二问基础上考虑到易拉罐上下表面直径不同，问题仍然可以看成已知体积求最小表面积的优化问题。求解方法为，把易拉罐分为两部分分别求其表面积和体积，然后求和得出其总体积、总的表面积，确定目标函数，并从美观、方便等方面建立约束条件，进而求出最优解。 问题4，

参考论文1-易拉罐的最优设计

易拉罐最优设计模型 （2006年全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件

建筑结构试验第五章建筑结构试验设计.

《建筑结构试验》第五章建筑结构试验设计 2004-12-28 建筑结构试验设计中应注意的问题 建筑结构试验设计要解决的问题：试件设计应从哪些方面进行考虑？要注意哪些问题？结构试验对试件设计有哪些要求？常用的模型材料有哪些？结构模型相似的三个定理应如何进行理解？如何确定原型与模型的相似条件？量纲分析法确定相似条件的步骤？为什么有时采用不同于设计计算所规定的荷载图式？试验的加载制度包括哪些内容？试验加载程序包括哪几部分内容？观测仪器如何选择，测读时应遵循什么原则？结构试验时应采取哪些安全措施？试验报告要如何书写？ 带着所提出的问题进行有针对性的学习。主要思路如下： 结构试验设计的内容，主要是通过反复研究，确定试验的目的，试验的性质与规模，进行试件设计，选定试验场所，拟定加载与量测方案，设计专用的试验装置和仪表夹具附件以及制订安全技术措施。同时，按试验规模组织试验人员，提出试验经费预算和消耗性器材数量和设备清单。最后在设计规划的基础上提出试验大纲和进度计划。试验工作者对新型的加载设备和测量仪器方面知识准备充分。 一、试件设计 对于试件设计，包括试件的形状，尺寸和数量的选择都要遵循合理可行的规则。 试件设计之所以要注意它的形状，主要是要在试验时形成和实际工作相一致的应力状态。在从整体结构中取出部分构件单独进行试验时，必须要注意其边界条件的模拟，使其能如实反映该部分结构构件的实际工作，同时要注意有利于试验合理加载。 任一试件的设计，其边界条件的实现与试件安装、加载装置与约束条件等有密切的关系。在整体设计时必须进行周密考虑，才能付诸实施。 结构试验所用试件的尺寸和大小，总体上分为真型（实物或足尺结构）和模型两类。不同情况下选择不同的试件尺寸，采用缩尺或真型试件。必要时要考虑尺寸效应的影响，在满足构造要求的情况下，太大的试件也没有必

易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)

参赛论文 易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题 摘要 饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？ 首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础， 建立模型<三>: Min S=[2H R ??π+2R ?π+32r ?π+22)3.0()(h h r R +?+?π]b ? S.t. V=H R ??2π+)(3 1 33r R -??π R=r+0.3h 设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉： Min )(2322 02120 02122R R r R R r R H R SV ---??++?+??=ππππb ? S.t V=H R ??2π+])()[(3 320322020R R h R R h R --+-?- ??π π 得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ） 最后,我们根据自己本次参加数学建模课余培训直到参加竞赛的亲身体验,写了《体验数学建模》一文。