专题复习：动能定理、机械能守恒、能量守恒

机械能中物理规律的应用

本章解决计算题常用的方法：动能定理和机械能守恒定律、能量守恒定律、四个功能关系，很多同学可能在遇到问题的时候，不知道用哪个求解，或者在运用规律列方程时把有关规律混淆。尤其是机械能能守恒和动能定理。因此，有必要将机械能守恒定律的应用和动能定理的应用的异同性介绍清楚。。

1、思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量变化角度来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式。

2、适用条件不同：机械能守恒定律适用只有重力和弹力做功的情形；而动能定理则没有条件限制，它不但允许重力做功还允许其它力做功。

３、分析思路不同：用机械能守恒定律解题只要分析研究对象的初、末状态的动能和势能，而用动能定理解题不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功，并求出这些外力所做的总功。

４、书写方式不同：在解题的书写表达式上机械能守恒定律的等号两边都是动能与势能的和，而用动能定理解题时等号一边一定是外力的总功，而另一边一定是动能的变化。

５、mgh的意义不同：在动能定理中，mgh是重力做的功，写在等号的一边。在机械能守恒定律中，mgh表示某个状态的重力势能或者重力势能改变量。如果某一边没有，说明在那个状态的重力势能为零。不管用什么公式，等号两边决不能既有重力做功，又有重力势能。解题思路：

一首先考虑机械能守恒定律

一般来说，优先考虑是否符合机械能守恒条件，尤其是两个以上物体组成的系统，比如一杆带两球，一绳拴两个物体。

因为动能定理的研究对象在高中阶段通常是单个的物体。

相关的习题有：《讲义》P154 10、11、13及P156典例

容易混淆的题目：1如图所示，两个光滑的小球用不可伸长的细软线连接，并跨

过半径为R 的光滑圆柱，与圆柱轴心一样高的A 球的质量为2m ，正好着地的B 球质量是

m ，释放A 球后，B 球上升，则A 球着地时的速度为多少？

分析：相同点：系统机械能守恒，单独一个物体机械能不守恒，求解绳子对某个物体做

功时利用动能定理。

区别：两个物体高度变化不同：1中A 和B 高度变化相同，2中A 和B 不同

对于绳子连接的物体尤其注意两个物体速度是否相等。P 79变式训练

(2)机械能守恒定律的表达方式，在各种具体问题中，可根据解题的需要，以简便为原则

列出不同形式的表达式.一般有下列几种常见形式：

①物体在初状态的机械能E 1等于其末状态的机械能E2，即E 2=E 1或Ek2+Ep2=E k1+Ep1

②减少(或增加)的势能△Ep 等于增加(或减少)的总动能△Ek,即△EP=-△Ek.

③系统内一物体机械能的增加(或减少)等于另一物体机械能的减少(或增加)，

即△

E1=--△E2

在使用表达式（1）时，一定要选取参考面。如果解题时没有加—想当然的

把最低点就是参考面，因为它不一定是地面。

链条类问题最好采用这种方法，选取一个合适的参考面。例如《5.3练测评

P 3215》

使用表达式（2）（3）时不需要选取参考面。其中表达式（3）只对系统机械

图1

能守恒时才成立，表达式（1）（2）对单个物体和系统均可使用。

练习：

3如右图,一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各

系一小球a和b.a球质量为m,静置于地面；b球质量为3m,用手托往,

高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b后,a可能达到的最

大高度为

注意：看清要求,是从静止开始释放b后,a可能达到的最大高度为还

是b落地后a还能上升的高度。

注意事项：

(1)判断系统机械能是否守恒时，最好从能量转化的角度：只有动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的偶那个岛转化，而没有其它形式能（比如内能、化学能的产生和消失，或者说。没有其他形式能的输入或者输出。

原因：有些情况下内力做功的情况不易判断。

比如：

荡秋千中，人对自身做功。有化学能的输入，E不守恒。

对于绳子突然蹦紧：

如图所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角300（绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的绳子的拉力是多少？

。

(2)对系统利用机械能守恒时，注意系统内物体的速度是否相等，如果不相等，

需要对哪个物体的速度进行分解，准确找出两者速度大小的关系。

例如轻绳一端挂一质量为M 的物体，另一端系在质量为m 的圆环上，圆环套在竖直固定

的细杆上，定滑轮与细杆相距0.3m ，如图所示，将环拉至与定滑轮在同一水平高度上，

再将环由静止释放，圆环沿杆向下滑动的最大位移为0.4m ，若不计一切摩擦阻力，求：

⑴物体与圆环的质量之比；

⑵圆环下落0.3m 时的速度大小。（g 取10m/s 2）

机械能守恒定律与圆周运动结合

物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的

相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位里时的速

度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量．

1如图半径分别为R 和r 的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一

条水平轨道CD 相连，现有一小球从斜面上高为3R 处的A 点由静止释放，要使小球能滑

上乙轨道并避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD 段可取的长度。小

球与CD 段间的动摩擦因数为μ，其作各段均光滑。】

2如图，长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，另一端固定在O 点，在O 点的正下

方某处P 点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面

内做圆周运动，求P 点的位置

3．如图所示，斜面AB 与竖直半圆轨道在B 点圆滑相连，斜面倾角为 ：45°，半圆

轨道的半径为R,一小球从斜面的顶点A 由静止开始下滑，进入半圆轨道，最后落到斜

面上不计一切摩擦．试球：（结果可保留根号）。

(1)欲使小球能通过半圆轨道最高点C ，落到斜面上，斜

面AB的长度L至少为多大?

(2)在上述最小L的条件下，小球从A点由静止开始运

动，最后落到斜面上的落点与半圆轨道直径BC的距离，

x为多大？

二在不符合守恒定律的条件下，应自然想到动能定理

（1）由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与总功间的量值关系，且功是因，动能变化是结果，所以等式的左边，右边是动能变化，最好不要颠倒，更不允许功和能相加减。

（2）一般说来，高中阶段动能定理的研究对象为单个质点。（对于没有相对运动或者内力做功代数和为零两个以上物体也可以用。）对于运动状态不同的物体系统，应单个分别使用动能定理或者使用能量守恒。比如两个物体间有相对运动时，即有摩擦生热问题时。

练习1 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图8－28所示：绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上，设绳的总长不变；绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设

A到B的距离也为H，车经过B点时的速度为vB．求车由A移到

B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功？

练习2.（12分）如图所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m=2kg小球A。半径R=0.3m的光滑半圆形细轨道．竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m=2kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取l0m/s2。现给小球A一个水平向右的恒力F=55N。求：

（1）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中．力F做的功；

（2）小球B运动到C处时的速度大小；

（3）小球B被拉到离地多高时，小球A与B的速度大小相等。

练习3：如图所示，质量为Ｍ、足够长的木板版静置于光滑的水平面上，当质量为m

的小木块以水平向右的初速度v 0 滑上木块的瞬间，同时对木板施一水平向右的恒力Ｆ，已知木板、木块间的动摩擦因数为μ ，在两物体速度相等时，其速度为v ，木板的位

移为s ，求此时木块在木板上滑过的距离s ．

（2）应用动能定理求变力做功

练习：如图所示，质量为m 的物块与转台之间能出现的最大静摩

擦力为物体重力的k 倍，它与转轴OO /相距R ，物块随转台由静止

开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物

块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为（D ）

A .0

B .2πkmgR

C .2kmgR

D .2

1kmgR （3）应用动能定理求多过程问题：小球掉在泥潭中，斜坡—平面问题等

练习：总质量为M 的列车以匀速率 v 0在平直轨道上行驶，各节车厢受的阻力均为重量

的k 倍，而与车速无关。某时刻列车后面质量为m 的车厢脱了钩而机车的牵引力未变，前面的列车又行进了位移L 时，司机关闭了发动机。当列车与车厢都停止下来时，它们

之间的距离是多少？

（3）应用动能定理求物体做往复运动的总路程

物体做往复运动的总路程隐含在滑动摩擦力做功之中

练习1一个弹性小球质量为m，从高h处由静止开始下落，如果在运动过程中小球所

受的空气阻力大小恒定，小球与地面碰撞后反弹时机械能没有损失，小球每次向上弹起的高度总等于它下落时高度的4/5，则小球运动过程中所受空气阻力大小为____，从开始运动到最后停下通过的总路程为_____。

练习2（15分）如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由落下，到达

地面恰能沿凹陷于地面的粗糙半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘飞出，之后又落下······，如此反复几次，设摩擦力恒定不变，小球与槽壁相碰时机械能不损失，求：

（1）小球第一次离槽上升的高度h；

（2）小球最多能飞出槽外的次数（取g=10m/s2）。

三、对于发生相对运动（即内力做功代数和不为零的）物体系，也可以考虑能量守恒定律（或者分别使用动能定理）

相对运动的物体系有一动一静和两个都运动两种情况，比如子弹射木块和板块问题，物体在静止面上滑动等。

四、四个功能关系的考察多在选择题中考察

1．外力对物体做功的代数和等于物体动能的变化，即（动能定理）。

2．重力（或弹簧弹力）对物体所做的功等于物体重力势能（或弹性势能）增量的负值。

3除重力（和弹簧弹力）以外的力对物体所做的功，等于物体机械能的增量。

4．一对滑动摩擦力所做功的代数和总是负值，因摩擦所产生的内能等于滑动摩擦力跟物体间相对路程的乘积。

针对训练1：节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入一个竖直的炮筒中，然后点燃

礼花弹的发射部分，通过火药剧烈燃烧产生的高压燃气，将礼花弹由炮筒底部射向空中，若礼花弹在由炮筒底部出发至炮筒口的过程中，克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内运动的过程中（设礼花

弹发射过程中质量不变）说法正确的是（）

A.礼花弹的动能变化量为W3+W2+W1

B.礼花弹的动能变化量为W3 －W2 －W1

C.礼花弹的机械能变化量为W3－W2

D.礼花弹的机械能变化量为W3－W1

2：放在电梯地板上的货箱，在随电梯加速上升过程中，电梯对货箱做的功等于：

A.货箱增加的势能

B.货箱增加的动能

C.货箱增加的机械能

D. 货箱增加的动能和重力做的功

4:如图所示,具有一定初速度的物块,沿去倾角为300的粗糙斜面向上运动的过程中,受到一个恒定的沿斜面向上的拉力作用，这时物块的加速度为4m/s2 ，方向沿斜面向下，那么在物块向上运动过程中，正确的说法是（）

A. 物块的机械能一定增加

B. 物块的机械能一定减小

C. 物块的机械能可能不变

D. 物块的机械能可能增加也可能减小

如果加速度大小为5m/s2和6m/s2，情况如何？

必须掌握题型：机车两种启动方式类题目、子弹射木块类问题、传送带问题（水平和倾斜两种情况）把做过的有关题目看一下。

练习题目

1如图所示，木块A 放在木块B 上左端，用力F 将A 拉至B 的右端，第次将B 固定在地

面上，F 做功为W 1，生热为Q 1；第二次让B 可以在光滑地面上自由滑动，这次F 做的功

为W 2，生热为Q 2，则应有

A ． W 1＜W 2， Q 1= Q 2

B ． W 1= W 2， Q 1＝Q 2

C ． W 1＜W 2， Q 1＜Q 2

D ． W 1＝W 2， Q 1＜Q 2

2如图，质量为M 、长度为l 的小车静止在光滑的水平面上.质量为m 的小物块放在小

车的最左端.现用一水平恒力F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动.

物块和小车之间的摩擦力为f .经过时间t ，小车运动的位移为s ，物块刚好滑到小车的最

右端. ①此时物块的动能为(F -f )(s+l ) ②此时小车的动能为fs

③这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs ④这一过程中，物块和小车增加的内能为fl

3.测定运动员体能的一种装置如图所示，运动员质

量为m 1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮(不计滑轮质量 及摩擦)，下悬一个质量为m 2的重物，人用力蹬传送带而

人的重心不动，使传送带以速率v 匀速向右运动.下面是人

对传送带做功的四种说法，其中正确的是（ ）

A .人对传送带不做功

B .人对传送带做负功

C .人对传送带做功的功率为m 2gv

D .人对传送带做功的功率为(m 1+m 2)gv

4物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力F l ，经ts 后撤去F 1，立即再对

它施一水平向左的恒力F 2，又经ts 后物体回到原出发点，在这一点过程中，F l 、F 2分别

对物体做的功W 1、W 2间的关系是（）

A. W 1 = W 2 ；

B. W 2＝2 W 1；

C. W 2＝3W 1；

D. W 2=5 W 1

5以下说法正确的是（ ）

A ．摩擦力可以对物体做正功

B ．摩擦力可以使物体的速度发生变化，但对物体不

做功

C ．作用力与反作用力做功一定相等

D ．一对平衡力做功之和为零

6．如图所示，物体以100J 的初动能从斜面底端向上运动，当它通过斜面某一点M 时，其动能减少80J ，

机械能减少32J ，如果物体能从斜面上返回底端，则物体到达底端时的动能为

（ ）

A ．20J

B ．48J

C ．60J

D ．68J

7物体以60J 的初动能,从A 点出发作竖直上抛运动,在它上升到某一高度时,动能损失了

30J,而机械能损失了10J,则该物体落回到A 处的动能为(空气阻力大小恒定)( )

A.50J

B.40J

C.30J

D.20J

F

8如图所示，一只小球在固定的竖直平面内的圆环内侧连续做圆周运动，当它第4次经

过最低点时率为7m/s ，第5次经过最低点时速率为5m/s ，那么当它第6次经过最低

点时速率应该为（在所研究的过程中小球始终没有脱离圆周轨道）

（ ）

A ．一定是3m/s

B ．一定是1m/s

C ．一定大于1m/s

D ．一定小于1m/s

类似题目：如图所示，一物块以6m/s 的初速度从曲面A 点，运动到B 点速度仍为6m/s ，

若物块以5m/s 的初速度仍由A 点下滑，则它运动到B 点时的速度 （ ）

（A ）大于

（B ）等于（C ）小于（D A. 1W > D. 3W =9．长为L 的作用，擦而静止，如图所示，物体从放到小车上到与小车一起停止运动，摩擦力对物体所做的

功为 （ ）

（A ）0 （B ）μmgL

（C ）μmgS （D ）μmg （L-S ）

10

下列说法中，正确的是 （ ）

（A ）物体的动能不变，则物体所受的外力的合力必定为零

（B ）物体的动能变化，则物体所受的外力的合力必定不为零

（C ）物体的动量变化，则物体的动能必定发生变化

11如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m 的物

体，物体与转台间用长L 的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间

的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则 （ ）

（A ）由于惯性和摩擦力，物体将以O 为圆心、L 为半径做变速圆周运动，直到停止

（B ）若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为μmg2πL

（C ）若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功

（D ）物体在转台上运动π

μωg L 42

圈后，停止运动 12．水平传送带匀速运动，速度大小为V ，现将一个小工件（初速度为零）放到传送

带上它将在传送带上滑行一段时间后速度才达到V 而与传送带保持相对静止，设工件的

质量m ，它与传送带间的动摩擦因数为μ，在这段相对滑行的过程中 （ ）

（A ）滑动摩擦力对工件所做的功为22m v （B ）工件的机械能增量为2

2

m v （C ）工件相对于传送带滑动的路程大小为g

v μ22

（D ）传送带对工件做功为零

13．如图所示，站在汽车上人用手推车的力F ，脚对车向后的静摩擦力F ，，下列说法

中正确的是 （ ）

（A ）当车匀速运动时，F 和F ，所做的总功为零

（B ）当车加速运动时，F 和F ，所做的总功为负功

（C ）当车减速运动时，F 和F ，所做的总功为正功

（D ）不管车做何种运动，F 和F ，所做的总功都为零

14、 一质量为 m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从

平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2-7-3所示，则拉力F 所做的功为（ ） A. mgl cos θ B. mgl (1－cos θ) C. Fl cos θ

D. Flsin θ 变式：如果小球在水平恒力拉力F 作用下，从平衡位置P 点移动到Q 点

呢？

15、如图所示，一物体以初速度v 0冲向光滑斜面AB ，并恰好能沿斜面升高h ，下列说法中正确的是

A ．若把斜面从C 点锯断并去掉BC 段，物体冲过C 点后仍升高h

B ．若把斜面弯成圆弧形D ，物体仍沿圆弧升高h

C ．若把斜面从C 点锯断或弯成圆弧状，物体都不能升高h

D ．若把斜面AB 变成曲面AEB ，物体沿此曲面上升仍能到达B 点

2-7-3

16以初速度v 0竖直向上抛出一质量为m 的小物体。假定物块所受的空气阻力f 大小不

变。已知重力加速度为g ，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为 （ ）

A ．20

2(1)v f g mg

+

和v ．202(1)v f g mg +

和v C ．2022(1)v f g mg +

和v ．2022(1)v f g mg

+

和v 17小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H ，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。

在上升至离地高度h 处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离高度h 处，小球的势能

是动能的两倍，则h 等于 （ ）

A ．H /9

B ．2H /9

C ．3H /9

D ．4H /9

18．如图2所示，木板可绕固定的水平轴O 转动。木板从水平位置OA 缓慢转到OB 位置，

木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，木块的重力

势能增加了2J 。用N 表示物块受到的支持力，用f 表示物块受

到的摩擦力。在这一过程中，以下判断正确的是：（ ）

A ．N 与f 对物块都不做功

B ．N 对物块做功2J ，f 对物块不做功

C ．N 对物块不做功，f 对物块做功2J

D ．N 与f 对物块所做功的代数和为0

19固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒

定的拉力F 拉绳,使滑块从A 点起由静止开始上升.若从A 点上升至B 点和从B 点上升至

C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1、W 2,滑块经B 、C 两点时的动能分别为E kB 、E kC ,图

中AB=BC,则一定 （ ）

A.W 1>W 2

B.W 1< W 2

C.E kB >E kC

D.E kB

如果是使滑块从A 点起由静止，在F 作用下缓慢运动到C 呢？

20一个质量为m 的小铁块沿半径为R 的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部

时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为 （ ）

A ．18 mgR

B ．14 mgR

C ．12 mgR

D ．34

mgR

21(江苏省启东中学月考) 如图所示，一根不可伸长的轻绳

两端分别系着小球A 和物块B ，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O ，倾角为30°的斜面体置于水平地面上．A 的质

量为m ，B 的质量为4m ．开始时，用手托住A ，使OA 段绳

恰处于水平伸直状态（绳中无拉力），OB 绳平行于斜面，此时B 静止不动．将A 由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中正确的是( )

A ．物块

B 受到的摩擦力先减小后增大 B ．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右

C ．小球A 的机械能守恒

D ．小球A 的机械能不守恒，A 、B 系统的机械能守恒 22 从离地面H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k （k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：

（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？

（2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

23新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s ，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m 3

，若把通过横截面积S=20m 2的风能的50%转化为电能，利用上述已知量推导计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。

23、 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体。绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1 200W ，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m （已知物体在被吊高90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g 取10 m/s 2）

24在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体．当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J ，则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少？

2-7-7