旋转最值问题

1。在锐角△ABC 中,AB ＝4,BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 旋转，得到△A 1BC 1 （1）点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的定点，BP =4，

在△ABC 绕点B 旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，

直接写出线段EP 1的取值范围为________________

(2）点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点， 在△ABC 绕点B 旋转过程中,点P 的对应点是点P 1， 直接写出线段EP 1的取值范围为________________

2．(2015·湖北省武汉市，第10题3分）如图,△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ）

A ．32-

B ．13+

C ．2

D ．13-

3．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2, 点D 是斜边BC 的中点,将△ABC 绕点D 旋转得到 △GEG ，直线AG 、FC 相交于点Q ，连接BQ , 线段BQ 长的最大值是_________

P P 1C A E B A

P 1

C 1

A E B

A E

B A

4．（2013·湖北省武汉市,第16题3分)如图,E 、F 是正方形ABCD 的 边AD 上两个动点,满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是_______

5．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8， AD 是BC 上的高,另有一Rt △DEF （其直角顶点在D 点） 绕D 点旋转,在旋转过程中，DE 、DF 分别与边AB 、AC 交于 M 、N 点,则线段MN 的最小值为_________

6．如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A ＝60°，M 是AD 边的中点， N 是AB 边上的一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ， 连接A ′C ,则A ′C 长度的最小值是____________

7．如图，在△ABC 中，∠ABC =30°,AB =6，BC =8，试在△ABC 内找一点P ， 使P 到A ，B ，C 三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由

8．如图，PB ＝4，点A 为动点，PA ＝2，以AB 为一边作正方形ABCD ， 则PD 的最大值是（ ) A ．42

B ．6

C ．4+2

D ．8

B A

图形旋转与最值

三角形旋转与极值问题 （全等三角形） 八年级思考题：（最大值问题）（常规模型的运用） 1、如图所示：AM=3，BM=2，连AB， 以AB为边长作等边ABC，连MC， 求MC的最大值。 解析：将△AMC绕点A顺时针旋转90°，M′、M、B共线MC=M′B最大为5. 2、如图所示：AM=3，BM=5，连AB， 以AB为边长作正方形ABCD， 连DM，求DM的最大值。 解析：将△AMD绕点A顺时针旋转90°，F、M、B共线MD=FB最大为8. 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为正方形外一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是_______最大值是_______

解析：将△DEC绕点D顺时针旋转90°，可证∠AEC=90°，E、P、O共线PE=OE-OP 最小为22-2. P、O、E共线PE=OE+OP最大为22+2. 4.如图：正方形ABCD的边长是1，点P是边BC上任意一点（可以与B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线段BB′、CC′、DD′， ①、写出BB′、CC′、DD′的数量关系等式： 并证明你的结论 ②、BB′+CC′+DD′的最大值是（） ③、BB′+CC′+DD′的最小值是（） 解析：（1）如图△ADD’≌△BCN， DD’=BN=BB’+CC’ （2）P与B重合，BB′+CC′+DD′=2AD， 最大值是2 （3）P与C重合，BB′+CC′+DD′=BD， 最小值是2 5.在直角平面坐标系中，C（0,4），A在第三象限，B在第四象限，ΔOAB是等腰直角三角形，AB = 8， 求S ΔCAB最大值。（有两种方法，） 解析：AB长一定，当CM= OM+OC时，S△CAB最大 为32.故需将△AOB旋转 到C、O、M共线。 5、如图所示：两个等腰直角三角形没有重叠的部分， OA=6，OC=4， 求S ΔOBC +S ΔAOD 的最大值。 解析：△AOM≌△BON， ∴S △AOD =S△BOC，∴当BN=BO （如图）时， S△AOD+S△BOC最大为24。 P B C A D E

推荐人教版九年级数学上册：期中难点突破突破八旋转中的最值问题

【解析】(1)证△ACDSASCR 4^ I * * * ? (2)如图1，当点D 在上时，BD 取最小值，如图2，当点￡>在BA 的延长线上时，BD 取得最大值. 4.如图1,四边形ABCD 是正方形，AABE 是等边三角形，M 为对角线上任意 一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BIV ，连AM 、CM 、EN. (1)求证：/\AMB 给AENB;.突破八旋转中的最值问题 【方法归纳】：在旋转过程中注意旋转特殊度数时，图形产生的特殊的位置关系，如多点共钱等. % ?1.如图，线段AB=5,BC-2,将线段BC 绕点B 逆时针进行旋转，求在旋转 过程中，线段的最大值与最小值? 解：当点C 旋转至线段AS 的延长线上时，AC 最大，最大值为AB +BC =7;, ? % .当点(：旋转至线段上时，AC 最小，最大值为AB —SC =3. 2.如图，在△ABE 中，BE =V 2 ,AE =2,以为边向形外作正方形ABCD ，连接DE ，求的最大值. 解：将AASE 绕 A 逆时针旋转90°得AADF ，遂 EF ，DF=BE= V2 , EF = 4lAE = 2^2 , 9 VDE (1) 求证：AD=PB ；(2)gZPBC= 45°时，BD 有最小值；当ZPBC=135°时，BD 有最大值.画图并说明理由.(2)如图2,若正方形的边长为2,点P 为正方形内任意一点，求 PA+PB+PC 的最小值. 解：(1)略； (2)将尸绕点B 逆时针旋转60°得到AEBiV ，过E 作EG 丄CB 交CB 的延长线于G ，连EC ，易知PA 二EN ，PN =PB ，ik .PA +PB +PC =EN +PN +PC ^EC ,:?当E 、N 、P 、C 共线时，PA +PB+PC 的值最小，最小值为EC ,即2+V 3.

旋转中的最大值或最小值

旋转中的最大值或最小值 1.（2008?徐州）着图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30° 操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 探究一：在旋转过程中， （1）看图2，当CE EA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）看图3，当CE EA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE EA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为， 其中m的取值范围是．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若CE EA=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中： （1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围． 2.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上．若BF=x，△FCG的面积 为y． （1）当x= 时，四边形FEHG为正方形； （2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相 应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并求△FCG面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写） （4）△FOG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长 为． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A（8，2），B点在第一象限， BO=BA=5，若M、N是OB和OA中点，（1）直线MN的解析式 为（2）△ABN面积=

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类 基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连 结B′D，则B′D的 最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-

【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中 点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）. A B C ． D ．31

与旋转有关的最值

难点突破专题与旋转有关的最值与路径 一、构造全等，结合三边关系求最值 1.如图，等腰之间△ABC中，AC=BC=5,等腰直角△CDP中，CD=CP且PB=2， 将△CDP绕点C旋转（C、P、D三点按顺时针方向排列） （1）当∠PBC= 时，BD有最小值，最小值为多少？ （2）当角PBC= 时，BD有最大值。最大值为多少？ 解：连接AD. ∵△CDP、△ACB都是等腰直角三角形， ∴CD=CP，AC=BC，∠PCD=∠BCA=90°. ∵∠PCD=∠BCP+∠BCD=90°，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°， ∴∠BCP=∠DCA. ∵∠BCP=∠ACD，BC=AC，CP=CD， ∴△CPB≌△CDA（SAS）， ∴PB=AD=2. ∵AB-AD≤BD≤AB+AD， ∴10-2≤BD≤10+2. （1）当∠PBC=45°时，A、D、B共线，BD有最小值10-2； （2）当∠PBC=135°时，A、D、B共线，BD有最大值10+2. 60求最值 二、遇等边三角形，旋转 2.如图，△ABC中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP 的最大值。

解：如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC， ∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ∴△A′BA是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2， 在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6， 则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6； 故答案是：6 三、遇等边三角形，旋转 60求最值 3.如图，△ABC中，AB=2，AC=3，以C为直角顶点，BC为直角边，向下作等腰直角△BCD，求AD的最大值。

旋转最值问题

1.在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A1BC1 （1）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的定点，BP=4， 在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1， 直接写出线段EP1的取值范围为________________ （2）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点， 在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1， 直接写出线段EP1的取值范围为________________ 2．（2015·湖北省武汉市，第10题3分）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（） A．3 2- B．1 3+ C．2 D．1 3-

3．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2， 点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到 △GEG，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ， 线段BQ长的最大值是_________ 4．（2013·湖北省武汉市，第16题3分）如图，E、F是正方形ABCD的 边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG 于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_______ 5．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点） 绕D点旋转，在旋转过程中，DE、DF分别与边AB、AC交于 M、N点，则线段MN的最小值为_________ 6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点， N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN， 连接A′C，则A′C长度的最小值是____________ 7．如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，BC=8，试在△ABC内找一点P，使P到A，B，C三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由

圆中的最值问题

圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧?AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b+的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 ∠=?，6 _________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________． 题1图题2 图题3 图

题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O 的距离的最大值是_________． 1.2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．

旋转最值问题

1.在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 旋转，得到△A 1BC 1 （1）点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的定点，BP =4， 在△ABC 绕点B 旋转过程中，点P 的对应点是点P 1， 直接写出线段EP 1的取值范围为________________ （2）点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点， 在△ABC 绕点B 旋转过程中，点P 的对应点是点P 1， 直接写出线段EP 1的取值范围为________________ 2．（2015·湖北省武汉市，第10题3分）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 3．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2， 点D 是斜边BC 的中点，将△ABC 绕点D 旋转得到 △GEG ，直线AG 、FC 相交于点Q ，连接BQ ， 线段BQ 长的最大值是_________ A A

4．（2013·湖北省武汉市，第16题3分）如图，E、F是正方形ABCD的 边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG 于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_______ 5．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点） 绕D点旋转，在旋转过程中，DE、DF分别与边AB、AC交于 M、N点，则线段MN的最小值为_________ 6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点， N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN， 连接A′C，则A′C长度的最小值是____________ 7．如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，BC=8，试在△ABC内找一点P，使P到A，B，C三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由 8．如图，PB＝4，点A为动点，P A AB为一边作正方形ABCD， 则PD的最大值是（） A． B．6 C． D．8 B

正方形里面的最值问题资料

正方形里面的最值问 题

正方形里面的最值问题 一．选择题（共3小题） 1．（2012春?郾城区校级期中）如图，若正方形ABCD的边长为4，BE=1，在AC上找一点P，使PE+PB的值最小，最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD的最小值是（） A．边长的两倍 B．周长 C．两条对角线长之和D．以上都不对 3．（2008秋?锦江区校级期中）如图，P是矩形ABCD内一点，PA=3，PD=4，PC=5，则PB为（） A．4.5 B．C．D．4 二．填空题（共9小题） 4．（2014?宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．

5．（2014春?鄂州期末）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，则PC=． 6．（2011秋?广陵区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为． 7．（2015春?崇州市期中）在正方形ABCD内有一点P，且PA=2，PB=1，PD=，则正方形ABCD的边长为． 8．（2011春?化州市期中）如图，若正方形ABCD的边长是4，BE=1，在AC上找一点P 使PE+PB的值最小，则最小值为．

9．（2015?黄冈校级自主招生）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是． 10．（2011?三山区模拟）如图，正方形ABCD内一点P，PE⊥AD于E，若 PB=PC=PE=5，则正方形的边长为． 11．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA=2，PB=3，PC=4，则PD=． 12．（2008?南充自主招生）如图，设P为等边△ABC内一点，且PA=4，PB=5， PC=3．则△ABC的边长为．

中考数学中的最值问题解法

中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题： 例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】 A ．21+ B ．5 C ．1455 5 D ．52 例2.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。 例3.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 ▲ cm 。

练习题： 1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=2 3 BC．一 只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】 A、 6 (4) π +㎝ B、5cm C、35㎝ D、7cm 3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_ ▲ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题： 例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是▲ ．

中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题精编版

中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与 动点最值问题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

C D E B A 图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题 一、折叠、剪切类问题 1、折叠后求度数 （1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．600 B ．750 C ．900 D ．950 （2）如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° （3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、 压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________ 度. 2、折叠后求长度 图①

（1）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）． A 、3 B 、2 C 、3 D 、32 （2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103- （3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm （4）如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘 A B C D E F N M F E D C B A

中考数学压轴题破解策略专题7《旋转之求线段最值》

专题7《旋转之求线段最值》 破解策略 用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题 如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋O B． 最小值 常见的题型有： 1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动． m 取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D． m 2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．

m 取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D． m 3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动． 取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|． m

例题讲解 例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝1 2 ．若BC＝6，点D在边AC的三等分 点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值． 解：在Rt△ABC中，AC＝ tan BC BAC ＝12，AB ＝ ①如图1，当AD＝1 3 AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝ 1 2 AB＝， EF＝1 2 AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大， 此时CE＝CF＋EF＝ 2＋ 图1 ②如图2，当AD＝2 3 AC时，同理可得CE 的最大值为4＋ 综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段 CE的长度的最大值为4＋ 图2

初中数学 勾股定理旋转。面积。最值问题

知识点一．直角三角形与旋转问题 1、将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题。 （1）如图1，直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 边上的一点，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACF ，作AE 平分∠DAF 交BC 于E ，请证明：BD 2+CE 2=DE 2； （2）如图2，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是64cm 2， 则AC 长是 ▲ cm ； （3）如图3，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC=30°，AD=2， BD=3，求CD 的长． 2、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连接CQ ． (1) 观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论； (2) 若PA ：PB ：PC =3：4：5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 图1 B C F 图2 图3

知识点二．将军饮马及最短距离 2、如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶的两个相对的端点．若A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是______. 3、如图,圆柱的底面周长为48cm,高为7cm,一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A,现有两种路径：①折线B→C→A;②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l.请分别计算这两种路径的长,较短的路径是___.(填①或②). 4、如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 1.如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是_______． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠ABC的平分线BD交AC于D，且BD=8，点E 是AB边上的一动点，则DE的最小值为．

巧用“旋转”求解一类几何最值问题

巧用“旋转”求解一类几何最值问题 【模型1】如图，正方形ABCD的边长为√2，在对角线BD上有一点P，求当PA+PC+PB 的值最小时，则这个最小值为多少？ 【解析】 如图，将△ABP以点B为中心逆时针旋转60o，得到△EBQ，连接PQ，则△BPQ和△ABE均为等边三角形。设y=PA+PC+PB，则y=EQ+QP+PC，故当点E、Q、P、C在同一条直线上时y最小，即y的最小值为CE的长度。 过点E作EM⊥BC，交CB延长线于点M，易知，∠EBM=30o， ∴EM=√2/2，BM=√3·√2/2=√6/2； ∴CE2=（√2/2）2+（√6/2+√2）2

=4+2√3=（√3+1）2，∴CE=√3+1， 即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为√3+1。 通过求解过程我们发现，点P在不在BD上与结果并无关系，可以认为点P为△ABC 内部的一点，当∠ABC=90o，BA=BC=√2时，PA+PB+PC的最小值仍然是√3+1。 于是我们设想当∠ABC为其他特殊角，BA和BC不相等时，PA+PB+PC的最小值可以求得吗？ 【模型2】在△ABC中，∠BAC=30o，AB=6，AC=8，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。 【解析】如图，将△ABP以点A为中心逆时针旋转60o，得到△AB′P′，连接PP′。 则△APP′为等边三角形。则PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B′、P′、P、C在同一条直线上，即PA+PC+PB的最小值为B′C的长度。 易知，∠B′AC=30o+60o=90o，AB′=AB=6， ∴B′C=10，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为10。

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旋转中的最值问题 1.已知，线段AB=6 ，线段AC=4 ，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为10 最小值为 2 。 2. 如图，在△ABC 中，C=90°，AC=4 ，BC=2 ，点A、C 分别在x 轴、y 轴上，当点 A 在x 轴上运动时， 点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，求点 B 到原点的最大距离是。 2 2 +2 找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 y C B 3.如图，已知△ABC 中，ACB=90 °，AC=BC= 5 ，动点P 满足PB= 2 ，线段CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD，连DA 、DB 、PB。求BD 的最大值最小值。 最大：根号10+ 2 O A P x 最小：根号10— 2 C B 4.如图，已知△ABC 中，ACB=90 °，BC=6 ，AC=12 ，点D 在AC 上，且AD=8 ，将线段AD 绕点A 旋转， D 点对应点为D ' ，连接BD' ，点F 为B D'中点，连接CF，线段CF 的最大值为多少？ A 5.如图，PA=2 ，PB=4 ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P、D 两点落在直线AB 的两侧，当APB 变化时， D A 求PD 的最大值。 D C 6.如图，在Rt△POQ 中，OP=OQ=4 ，M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点 A 、B 。 （1）求证：MA=MB ；D' P D F （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB 的周长最小值。A P A M B C B O Q B

2021中考复习专题：利用旋转法解几何最值问题应用举例 练习反馈

利用旋转法解几何最值问题应用举例+练习反馈 一.利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值 例1.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为． 例2.如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD 上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为． 例3.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．

二.利用旋转转化为三点共线求最值 例4.如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为． 例5.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为． 例6.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .

例7.如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为． 三.利用旋转转化为四点共线求最值 例8.如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为． 例9.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是.

中考数学专题复习――四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题()

N M F E D C B A C D E B A 图② A B C D E F 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题 一、折叠、剪切类问题 1、折叠后求度数 （1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．600 B ．750 C ．900 D ．950 （2）如图2,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° （3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图3中的图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________ 度. 折叠后求长度 （1）将矩形纸片ABCD 按如图1所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C1处，并且点B 落在EC1边上的B1处．则BC 的长为（ ）． A 、3 B 、2 C 、3 D 、32 （2）如图4，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103- （3）如图5，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米. （4）如图6，是一张矩形纸片ABCD ，AD=10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE=6cm ，则CD= （5）如图7，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm （6）如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪 开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ． 2 m n - B ．m n - C ．2m D ．2n 图① m n n n 图② 图① 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 6题图

平移旋转中的最值问题

期中复习资料中平移旋转中的最值问题汇总 第一类： 1.如图，已知等边ABC ?的边长为2，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上移动．则动点C 到原点O 的距离的最大值是 ． 2.如图，在边长为的正方形中，将射线绕点按顺时针方向 旋转()得到射线，点是点关于射线的对称点，则线段长度的最小值为__________. 第二类：寻找动点轨迹 1.如图，边长为24的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ， 将线段BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长 度的最小值是( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．1 1ABCD AC A α≤

2.如图1，点 A 在y 轴正半轴上，点(,0) B m 在x 轴负半轴上，已知BAO α∠=?， ABO β∠=?，226440m ββαα++-+=，点 C 与点B 关于y 轴对称． （1）填空：m = ，CAO ∠= 度，ABC ?形状为 ； （2）如图2，D 是y 轴上的动点，以CD 为边做正三角形CDE ，连接BE ，图中有无与BE 始终相等的线段？若有，请指出这条线段，并证明之；若没有，请说明理由； （3）如图3，（2）中D 点在线段OA 上运动时，直接写出线段OE 长的取值范围．（可以图1为备用图） 3.在直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线绕点顺时针旋转交轴于点. （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________，__________； （2）如图，点是轴上的一个动点，连接绕点逆时针旋转得线段，连接和，请根据图形回答下列问题： ①和有怎样的数量关系，并说明理由； ②在运动过程中，求的最小值. 33+-=x y x y A B AB B ?60x C A B =∠ABO E y EA A ?60FA FC OF FC BE OF

费马点、利用旋转变换求线段和最值T

例5、（衢州市） 如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线上． (1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是 x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 14年1月石景山期末 6. 已知点)2,2(-A 和点),4(n B -在抛物线 )0(2 ≠=a ax y 上. （1）求a 的值及点B 的坐标； （2）点P 在y 轴上，且满足△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标; （3）平移抛物线)0(2 ≠=a ax y ，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B . 点M （2,0）在x 轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，''MB M A +最短，求此时抛物线的函数解析式. 练习 1、（达州）15、如图6，在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点， 点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上 2y ax =2y ax = 4 x 2 2 A 8 -2 O -2 -4 y 6 B C D -4 4

几何中的最值问题专题复习教学设计(优.选)

几何中最值问题专题复习教学设计 教材分析： 几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”“二次函数最值”等知识源,实现问题的转化与解决. 教学目标： 知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。 重点知识与命题特点 最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: ①两点间线段最短；②垂线段最短； ③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查. 核心思想方法 由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。 教学过程 一、问题导入 我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？ ①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长； ⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题. 师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源. 二、真题讲解 真题示例1 1.（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（） A．1 B．2 C.3 D．4 【题型特征】利用轴对称求最短路线问题 【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2），结合其他相关知识加以解决.

旋转最值问题

1。在锐角△ABC 中,AB ＝4,BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 旋转，得到△A 1BC 1 （1）点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的定点，BP =4， 在△ABC 绕点B 旋转过程中，点P 的对应点是点P 1， 直接写出线段EP 1的取值范围为________________ (2）点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点， 在△ABC 绕点B 旋转过程中,点P 的对应点是点P 1， 直接写出线段EP 1的取值范围为________________ 2．(2015·湖北省武汉市，第10题3分）如图,△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 3．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2, 点D 是斜边BC 的中点,将△ABC 绕点D 旋转得到 △GEG ，直线AG 、FC 相交于点Q ，连接BQ , 线段BQ 长的最大值是_________ P P 1C A E B A P 1 C 1 A E B A E B A

4．（2013·湖北省武汉市,第16题3分)如图,E 、F 是正方形ABCD 的 边AD 上两个动点,满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是_______ 5．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8， AD 是BC 上的高,另有一Rt △DEF （其直角顶点在D 点） 绕D 点旋转,在旋转过程中，DE 、DF 分别与边AB 、AC 交于 M 、N 点,则线段MN 的最小值为_________ 6．如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A ＝60°，M 是AD 边的中点， N 是AB 边上的一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ， 连接A ′C ,则A ′C 长度的最小值是____________ 7．如图，在△ABC 中，∠ABC =30°,AB =6，BC =8，试在△ABC 内找一点P ， 使P 到A ，B ，C 三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由 8．如图，PB ＝4，点A 为动点，PA ＝2，以AB 为一边作正方形ABCD ， 则PD 的最大值是（ ) A ．42 B ．6 C ．4+2 D ．8 B A