函数的最值与导数公开课导学案

1.3.3 函数的最大(小)值与导数

复旧知新

问题一：函数极值相关概念

（1）若函数y=f(x)在点x=b 的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都小，满足f '(b)=0

且在点x=b 附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则把点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函

数y=f(x)的极大值。

（2）若函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小,满足f '(a)=0

且在点x=a 附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,则把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函

数y=f(x)的极小值。

问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？

解方程f '(x) =0。当f '(x 0) =0时：

（1）如果在x 0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f (x 0)是极大值；

（2）如果在x 0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x 0)是极小值；

讲授新课

观察区间[a ,b ]上函数y =f (x )的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，

最小值吗？

极大值：f (x 2)，f (x 4)，f (x 6)

极小值：f (x 1)，f (x 3)，f (x 5)

最大值：f (a) 最小值：f (x 3)

规律总结

最值特点：

性质探究

探究问题1：开区间上的最值问题

如图，观察（a ，b ）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a ，b ）上有最大值、最小值吗？

如果有，最大值和最小值在什么位置取到？

探究问题2：闭区间上的最值问题

如图，观察[a ，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a ，b]上有最大值、最小值吗？如

果有，最大值和最小值分别是什么？

在闭区间[a,b]上连续的函数是f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值的条件

牛刀小试

例1 .给出下列说法：

（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。（2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。

（3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。（4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。

其中说法正确的有

提炼升华

一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值

2 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

典例精讲

例2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。

巩固练习

求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值

课堂小结

1.规律总结；

2.函数存在最值的的条件

3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤.

布置作业

课本P31页：练习（2）（4）题

练习册：

课时作业

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

简单复合函数求导

简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+

练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=

几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分： 年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点： 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析： 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别 作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，

即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由． 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

简单复合函数的导数

简单复合函数的导数 1. 函数f(x)=cos(?2x)的导函数是( ) A.2cos2x B.?2cos2x C.2sin2x D.?2sin2x 2. 已知函数f(x)=e2x+1?3x，则f′(0)=( ) A.0 B.?2 C.2e?3 D.e?3 3. 设函数f(x)=?cos x?x4的导函数为g(x)，则|g(x)|的图象大致是( ) A. B. C. D. 4. 设f(x)=sin x cos x，则f(x)在点(π 6,f(π 6 ))处的切线的斜率为( ) A.1 2B.√3 2 C.?1 2 D.?√3 2 5. 函数f(x)=ln x x ，则f′(e)值为( ) A.0 B.1 C.1 e D.1 e2 6. 若函数f(x)=(2x?x2)e x的导数为f′(x)，则f′(x)=（） A.2(x+1)e x B.(2?x2)e x C.(2+x?x2)e x D.2(x?1)e x 7. 已知函数f(x)=x3?2x2+x?3，则f′(2)=( ) A.?1 B.5 C.4 D.3 8. 已知函数，则的导函数() A. B. C. D. 9. 函数y=x2sin x的导函数为________. 10. 函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x，则f′(0)+f(0)=________. 11. 设函数f(x)=x2+1 e x . (1)求f(x)的导数f′(x)；

(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程． 12. 求下列函数的导数： (1)f(x)=x3+6x?2 ； x (2)f(x)=cos x ； e x x. (3)f(x)=(x?1)2log 2 13. 已知函数f(x)=(2x?1)2+5x． (1)求f′(x)； (2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程．14. 分别求下列函数的导数. (1)y=e x ； x (2)y=(2x2?1)(2x+1)+2sin x?cos x.

常见函数的导数

常见函数的导数 学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。 学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理 1. 基本初等函数，有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠， a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－ 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 二、典例讲解 例1、求下列函数导数。 练习：（1）5 -=x y （2） 、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3 l o g = （5）、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ，，， （6）、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ，0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y

数学选择性必修二 第五章 5.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 知识点复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√) 2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×) 3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√) 一、求复合函数的导数 例1求下列函数的导数： (1)y＝1 (1－3x)4 ； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解(1)令u＝1－3x，则y＝1 u4＝u －4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝ 12 (1－3x)5 .

(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2 (2x ＋1)ln 2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋ 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝ 1 1－2x ； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ????2x ＋π3. 解 (1)() 12 =12,y x -- 设y ＝12 u -，u ＝1－2x ， 则y ′x ＝()1212u 'x '?? - ???- ()32212u -?? -? ??? ＝－ ()32 =12x .- - (2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝ －5u ln 2＝5 (x －1)ln 2 .

《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，

3.1导数导学案

导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑

二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =

2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。

高三数学复习教案：简单复合函数的导数

高三数学复习教案：简单复合函数的导数 【高考要求】：简单复合函数的导数(B). 【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征. 3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值. 【知识复习与自学质疑】 1.复合函数的求导法则是什么? 2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则 ___________.(4)若，则 ___________. 3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数. 4.函数的单调性是_________________________________________. 5.函数的极大值是___________. 6.函数的值,最小值分别是______,_________. 【例题精讲】 1. 求下列函数的导数(1) ;(2) . 2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值. 【矫正反馈】 1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________. 2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.

(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是 ____________. 4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________. 5.曲线上的点到直线的最短距离是___________. 【迁移应用】 1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围. 2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.

3.2.1几个常用函数导数(学、教案)

3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案

1．2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． 一、知识回顾 函数的和、差、积、商的求导法则 设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数 [C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x ) ]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究 1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数． cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成. 32 21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x y x x y x 思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？ 2．复合函数的求导法则 2 (2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？ 2(2)(31),6(31) (4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x 思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.

ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数． 三、知识应用 (1)ln(51)(2)cos(12) y x y x 例1：求下列函数的导数 31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数 四、当堂训练 1.指出下列函数的复合关系： (1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3； (3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)． 2.求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e －2x ； (3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数习题 苏教版选修2-2

1.2.3 简单复合函数的导数 明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)． 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积． 探究点一复合函数的定义 思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))． 思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？ 答A?B. 小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x. 解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的； (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数

（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】

1常见函数的导数公式

1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为 。 函数y =tanx 的导数为 。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++=

4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线 （ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 （ ） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程.

《1.2.3 简单复合函数的导数》导学案1

《1.2.3简单复合函数的导数》导学案 一、教学目标 1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用 二、教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 三、教学难点:简单复合函数的导数的应用 四、教学过程 【基础知识梳理】 1.复合函数的求导数公式 2.根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示 3.运算法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即： [()()]()().f x g x f x g x '''±=± 法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数

法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+ 法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[ ]()() f x f x g x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中 4.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ?= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量. 【问题探究】 问题1：求函数2(32)y x =-的导数 . 问题2：考察函数sin 2y x =的导数. 【建构数学】 一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u )，u =ax +b ，则'''x u x y y u =?，''x u y y a =?即： ? 对于一般的复合函数，结论也成立 . ? 复合函数的求导法则 ? 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =? 【数学运用】 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数： 31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31 y x y x y y x x =-=+= =--

5.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 基础过关练 题组一复合函数的求导法则 1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=() A.3(2020-8x)2 B.-24x C.-24(2020-8x)2 D.24(2020-8x)2 2.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=() A.e x ln2x+e x 2x B.e x ln2x-e x x C.e x ln2x+e x x D.2e x·1 x 3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为() A.1 2B.2 3 C.3 4 D.1 4.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=. 5.函数f(x)=cos2x e x 的导函数f'(x)=. 6.求下列函数的导数. (1)y=x 2 (2x+1) ; (2)y=e-x sin2x; (3)y=ln√2x+1-1; (4)y=cos(-2x)+32x+1. 深度解析

题组二复合函数求导的综合运用 7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是() A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为() A.20mm/min B.400mm/min C.1 2mm/min D.1 4 mm/min 9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则lim Δx→0f(1-2Δx)-f(1) Δx 的值为() A.10 B.-10 C.-20 D.20 10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 11.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1 x ,则 f(0) f'(0) =() A.2 B.-2 C.1 D.e+1 12.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则 a=. 13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为. 14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴交于点(0,6),试确定a的值.

导数导学案

-可编辑修改- §3.1 变化率与导数（１） 学习目标 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率； 学习过程 一、新课导学 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 新知：平均变化率：_______________=_______ 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就 表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变 化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它 们的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量 与 的增量的比值. ※ 典型例题 例1已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2] 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 小结 1.函数()f x 的平均变化率是 2.求函数()f x 的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 ※ 学习探究二 问题3：计算运动员在49 65 0≤ ≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什 么问题吗？ 新知： 1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念

高二数学学案：《复合函数求导》(人教版选修)

学习目标 复合函数的分解，求复合函数的导数. 重点：求复合函数的导数 难点：复合函数的分解 学习过程 一、课前准备 复习教材1617P P -后，疑惑之处： 复习1：求)4(23-=x x y 的导数 复习2：求函数2(23)y x =+的导数 二、新课导学 学习探究 探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=? 解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗? 新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x = 复合函数的求导法则： 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=g ， 其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 试试：(sin 2)x '= 反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。 典型例题 例1 求下列函数的导数：

（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=； （3）sin()y x π?=+（其中π，?均为常数） 变式：求下列函数的导数： （1）cos 3 x y =； （2）y = 小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重. 动手试试 练1. 函数()r V = ?求()r V ' 练2. 一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMm F r =给出，其中M 为地球队质量，G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率.

几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案 教学目的 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点和难点 掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点． 教学过程 一、复习提问 1．按定义求导数有哪几个步骤？ 2．用导数的定义求下列各函数的导数： (1)y＝x5；(2)y＝c． 几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx． 二、新课 1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式． 2．几个常见函数的导数公式． (1)设y=c(常数)，则y'=0． 此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c 的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．

(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)． 此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成． 证明：设y=f(x)=x n， 此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”． (3)(sinx)'=cosx． 证明：y＝f(x)=sinx，