第二章-导数与微分习题汇总

`

第二章 导数与微分

【内容提要】

1．导数的概念

设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x

y

x ??→?0lim

存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导

数，记为

)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或

0|d d x x x

y =或0|d d x x x f

=

+→?0x 时，改变量比值的极限x

y

x ??+

→?0

lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x

y

x ??-

→?0

lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义

,

导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。

3．可导与连续的关系

定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。

4．导数的运算

定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则

v u v u '±'='±)(

—

定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则

v u v u uv '+'=')(

定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则

2

v v u v u v u '

-'='

??

? ?? 定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导，且)(u f y =在其相应点u 处可导，则复合函数)]([x g f y =在x 处可导，且

x u x u y y '?'=' 或

d d d d d d y y u

x u x

=?

5．基本初等函数求导公式

本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下： "

0)(='C 1

)(-='μμμx

x a a a x x ln )(='

x x e )e (='

a

x x a ln 1)(log =

'

x x 1)(ln ='

x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='

x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='

x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=

2

11)(arcsin x x -=

' 2

11)(arccos x x --

='

2

11)(arctan x

x +=

' 2

11)cot arc (x

+-

='

<

这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。

6．微分的概念

设函数)(x f y =在点x 处可导，则称函数)(x f 在x 点的导数)(x f '与自变量增量Δx 的乘积为函数)(x f y =在x 处的微分，记为

x x f y ?'=)(d

若x y =，则Δx ＝d x ，即自变量的微分等于自变量的改变量，因此函数的微分可记为

x x f y d )(d '=

由x x f y d )(d '=可知，先计算函数的导数，再乘以d x 或Δx ，就得到函数的微分d y 。

7．微分的计算

{

由x x f y d )(d '=可知，微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、

法则和方法，可以直接得到微分基本公式和运算法则： d()0C = 1

d()d x x

x

μμμ-=

d()ln d x

x

a a a x = d()d x

x

e e x = 1ln d(log )d a x a

x x =

1d(ln )d x x x

=

d(sin )cos d x x x = d(cos )sin d x x x =- 2

d(tan )sec d x x x = 2

d(cot )csc d x x x =- d(sec )sec tan d x x x x =? d(csc )csc cot d x x x x =-?

d(arccos )x x = d(arcsin )x x =

?

21d(arctan )d 1x x x =

+ 2

1

d(arccot )d 1x x x =-+

微分的运算法则如下：

四则运算法则：当u 、v 可微时，

d(u ±v )＝d u ±d v d(uv )＝v d u ＋u d v d(C u )＝Cd u

2

d d v u d v v

u u v -=??

? ??，(v ≠0) 复合函数的微分法则：

*

设函数y ＝f (x )可微，当x 是自变量时，x x f y d )(d '=；当x 是中间变量x ＝g (t )时，复合函数y ＝f [g (t )]的微分为x x f t g x f t t g x f t y y t d )()(d )(d )()(d d '='=''='=。

就是说，不论x 是中间变量还是自变量，函数y ＝f (x )的微分都可以表示为x x f y d )(d '=。由于表达形式一致，称之为一阶微分的形式不变性。

8．微分的简单应用

由微分的定义可知，当x ?很小时，可以用函数)(x f y =的微分d y 代替函数改变量

y ?，误差仅为x ?的高阶无穷小，即

x x f y y d )(d 0'=≈?

由)()(00x f x x f y -?+=?，得到近似公式

x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000

记x ＝x 0＋Δx ，近似公式可以写为

;

))(()()(000x x x f x f x f -'+≈

若取x 0＝0，则得到当| x |很小时，()f x 的近似公式

x f f x f )0()0()('+≈

微分还可以用来估计误差。若)(x f y =，测量x 时产生的绝对误差为x ?，当x ?很小时，函数)(x f y =的绝对误差、相对误差分别计算为

|d |||y y ≈?，

|

||

d |||||y y y y ≈? 【习题解答】

2-1 求下列函数的导数。

$

（1） 3

421y x x =+-；

（2） 2

12x x y +=；

（3） 4

42x x y +=

； （4） y ＝(x 2

＋3)tan x ； （5） x x y ln =； （6） ????

?

?-+=x x y 11)1(； （7） x

x

x y cos 1sin +=

； （8） y ＝sec x tan x ＋csc x cot x ；

（9） 2lg log 2+=x x y ； （10） t

t

y --

+=

1111。

解 （1） 2

122y x '=+

（2） 21

y x x

'=-

+

（3） 44385

2816616x x x x y x x

---'==- （4） y '＝2x tan x + (x 2＋3)sec 2

x （5）

y '=（6）

1(1y '+= $

（7）2

(sin cos )(1cosx)xsinx(sinx)sin (1cos )1cos x x x x x

y x x

++--+'=

=++ （8） y '

= sec x tan 2

x + sec 3

x - csc x cot 2

x - csc 3

x

（9） 21log ln 2

y x '=+ （10）

y '=

2-2 设f (x )＝cos x sin x ，求)0(f '、??

?

??'2πf 。

解 f '

(x ) = - sin x sin x + cosxcosx = cos2x

)0(f '= 1 ??

? ??'2πf = -1

2-3 设2

1)(x

x

x f -=

，求)0(f '、)2(f '。 解 22

2222

1(2x)1()(1)(1)

x x x f x x x ---+'==-- !

)0(f ' = 1 )2(f ' = 5 /9

2-4 求曲线y ＝4x 2

＋4x －3在点(1，5)处的切线和法线方程。 解 y '

= 8x + 4 k = 12

切线方程 12x - y -7 = 0 法线方程 x + 12y - 61 = 0

2-5 物体运动方程为s ＝t ＋sin t ，求物体运动的速度和加速度。 解 s cos v t '== t s a sin -=''= 2-6 求下列各函数的导数。

、

（1） 21x y +=； （2） y ＝cos ax sin bx ； （3） y ＝ln 2

x ； （4） y ＝lncos x ；

（5） 2sin 2

2

x y =； （6） 2

12arctan x

x y -=；

（7） 2

cos 2

x

y =； （8）2

2

arctan

x

a x y -=；

（9） x

x

y sin 1sin 1ln

-+=； （10）2e kx y -=。

解 （1） 解 2

x

1+=

'x y

（2） bx ax b bx ax a y cos cos sin sin +-=' （3） 2ln x

y x

'=

~

（4） x x

x

y tan cos sin -=-=

'

（5） 22

2sin )(2

cos 2sin 2x x x x x y ==' （6） 2

22222

12

)1()2(2)1(2)1x 2(11x x x x x x

y +=-----+=' （7） x x x y sin 2

1

21)

2sin (2cos 2-=-=' （8） 22222222

2222

2

222)(

11x

a a x a x a x a x

x

x a x a x y -+=------+=

' （9） x

x x x x y x

x x x

x x y cos 1cos sin sin 1cos cos ln )sin 1ln(cos sin 1ln sin 1sin 1ln

=

--+='-+=+=-+= （10）2

2

2)2(e kx kx kxe kx y ---=-='

2-7 求下列各隐函数的导数。

—

（1） y 2＝apx ； （2） x 2＋y 2

－xy ＝1；

（3） x 3

＋y 3

－3axy ＝0； （4） y ＝1－x e y

。

解 （1） y 2

＝apx

2yy ’ = ap y ’ = ap/2y

（2） x 2

＋y 2

－xy ＝1

2x + 2yy ’ - y - xy ’=0 y ’ = (y-2x) / (2y-x)

（3） x 3

＋y 3

－3axy ＝0

3x 2 + 3y 2y ’ - 3ay - 3axy ’ = 0 y ’ = (3ay - 3 x 2) / (3y 2-3ax)

\

（4） y ＝1－x e y

y ’= - e y - xe y y ’ y ’ = -e y / (1+ xe y )

2-8 取对数求下列各函数的导数。

（1） xy ＝(x ＋1)2

(x －2)3

； （2）)

4)(3()

2)(1(-+-+=

x x x x y ；

（3） y x

＝x y

； （4） e y

＝xy 。 解 （1） xy ＝(x ＋1)2

(x －2)3

lnx +lny=2ln(x+1)+3ln(x-2)

1/x + y ' /y =2/(x+1) + 3/(x-2)

~

（2）)

4)(3()

2)(1(-+-+=

x x x x y

lny = ln(x +1) + ln(x -3) - ln(x +3) - ln(x -4)

y ' /y =1/(x+1) + 1/(x-3) - 1/(x+3) - 1/(x-4)

（3） y x

＝x

y

xlny = ylnx lny + xy ' /y = y ' lnx + y/x

（4） e y ＝xy y = lnx + lny y '

= 1/x + y '

/y y '

= y / x(y-1) 2-9 求下列各函数的二阶导数。

（1） y ＝e x

sin x ； （2） x x y -=e 2；

（3） y ＝2x 2

＋ln x ； （4） y ＝a cos bx 。 —

解 （1） y ＝e x

sin x

(sin cos )x

y e x x '=+

(sinx cosx)e (cosx sinx)2e cos x x x

y e x ''=++-=

（2） 22e x x

y x x e --'=- 224e x

x

x y e xe

x ---''=-+

（3） 14y x x

'=+ 2

1

4y x ''=-

（4） sin y ab bx '=-

&

2

cos y ab bx ''=-

2-10 某物体降温过程中的温度为 0e kt u u -=，求物体的冷却速率。 解 0e kt u ku -'=-

2-11 口服某药物后，血药浓度为)e e ()(mt kt a t C ---=，求血药浓度的变化率。 解 ()(k e

+me )kt

mt C t a --'=-

2-12 一截面为倒置等边三角形的水槽，长20m ，若以3m 3

/s 速度把水注入水槽，在水面高2m 时，求水面上升的速度。 解 设水面高h m 时体积为v m 3

则

2v 3h =

3

v hh ='' ?

3v '= h = 2 所以 m/s )h '=

2-13 求下列各函数的微分。

（1） 2

1x

x

y -=

； （2） 322)(x a y +=； （3） y ＝x sin x ＋cos x ； （4） y ＝arctane x

； （5） y ＝ln(1＋x 4

)； （6） )3cos(e x y x --=-。

解 （1） 2

22

1d d (1)x y x x +=-

（2） d 3y x =

（3）d y ＝x cos xdx （4） 2d d 1x

x

e y x e

=+ ]

（5） 34

4d d 1x y x x

=+ （6） d (e sin(3))d x

y x x -=--- 2-14 在括号内填入适当函数，使下列等式成立。

（1） d( )＝3d x ； （2） d( )＝2x d x ；

（3） d( )＝e x

d x ； （4） d( )＝sin t d t ；

（5） d( )＝2

11x +d x ； （6） d( )＝sec 2

x d x ．

解 （1） d( 3x )＝3d x （2） d( x 2

)＝2x d x

（3） d( e x )＝e x

d x （4） d( -cost )＝sin t d t

（5） d( ln(1+x ) )＝2

11x +d x （6） d( tan x )＝sec 2

x d x

|

2-15 已知2ln(1)arctan x t y t t

?=+?=-?，求d d y x ，22d d y x 。

解 2

2

22d 1d 1t x t t y t ?

=??+??=

?+?

d d 2y t x = d 1d()d 2y x = 222d 1d 4y t x t += 2-16 在| x |很小时，证明下列各近似公式。

（1） x e x

+≈1； （2） nx x n

+≈+1)1(；

（3）x x ≈tan ； （4） x x ≈+)1ln(。

解 （1）

000000(),0,,()1,()1()()()1x x f x e x x x f x f x f x x f x f x x e x

'==?==='+?-≈?≈+

（2）

,

000000()(1),0,,(),()1

()()()(1)1n n f x x x x x f x n f x f x x f x f x x x nx

'=+=?==='+?-≈?+≈+ （3）

000000()tan ,0,,()1,()0

()()()tan f x x x x x f x f x f x x f x f x x x x

'==?==='+?-≈?≈ （4）

000000()ln(1),0,,()1,()0

()()()ln(1)f x x x x x f x f x f x x f x f x x x x

'=+=?==='+?-≈?+≈ 2-17 求下列各式的近似值。

（1） 01

.1e

； （2）

解 （1） 0000001.01(),1,0.01,(),()()()()1.01x f x e x x f x e f x e

f x x f x f x x e e

'==?==='+?-≈?≈

^

（2）

0000001

()1000,2,(),()10300

()()()2149109300150

f x x x f x f x f x x f x f x x

'==?=-=

='+?-≈?≈-

=

2-18 造一个半径为1m 的球壳，厚度为1.5cm ，需用材料多少立方米 解 设球体积为V ，半径为R ，则

32

3

4

,d 4d ,R 1,dR 0.0153d 0.06m V R V R R V V πππ====?≈=

2-19 为计算球的体积，要求误差不超过1%，度量球的半径时允许的相对误差是多少解 设球体积为V ，半径为R ，则

324

,d 4d ,

3

d d 13100

d 1300

V R V R R V V R V V R R R ππ==?≈=≤≤

`

【课外练习】

一、单选题

1. 设()cos x f x x

=

，则'(0)f =（ ），'

()f π=（ ）。 A ． 1，0 B. 1，-1 C. 0,-1 D. 0，1 2.

设()f x =

，则'(0)f =（ ）

。 A. 0 B.1 C.

12 D. -12

3. 可导的偶函数，其导函数为（ ）函数，可导的奇函数，其导数为（ ）函数。 （A ）奇，偶 （B ）偶，奇 （C ）奇，奇 （D ）不能确定

<

4. 函数()f x 在点0x x =处可导是()f x 在点0x x =处可微的（ ）条件。 A. 充分不必要 B.充分必要 C. 必要不充分 D. 不能确定

5. 函数()f x 在点0x x =处的左导数以及右导数都存在并且相等是()f x 在点0x x =处可导的（ ）条件。

A.充分不必要

B.充分必要

C.必要不充分

D.不能确定 6. 函数2

y x =当x 从1改变到时的微分是（ ）。 A. 1.01 B. 0.01 C. D.

7. 设函数()f x 可导且下列各极限都存在，则（ ）不成立。 A. '

()(0)(0)lim

x f x f f x →-= B.'

0(2)()()lim h f a h f a f a h →+-=

)

C.'

0000

()()()lim x f x f x x f x x ?→--?=? D. '

0000()()()lim 2x f x x f x x f x x

?→+?--?=?

8. 若()()

lim

x a

f x f a A x a

→-=-，A 为常数，则有（ ）

。 A.()f x 在点x a =处连续 B.()f x 在点x a =处可导 C. lim ()x a

f x →存在 D.以上都不对

9. 若sin y x =，则(10)

y

=（ ）。

A.sin x

B.sin x -

C.cos x

D.cos x - 10. 曲线3

3y x x =-上，切线平行于x 轴的点有（ ）。

A .（-1,-2） B.（1,2） C.（-1,2） D .（0，0）

]

二、填空题

1. 若1x =，而0.1x ?=，则对于2

y x =，y ?与d y 之差是 ；当0.01x ?=时，y ?与d y 之差是 。

2. 若4

3

()325f x x x =++，则'

(0)f = ，'

(1)f = 。

3. 若()f x =，则'(1)f = ， '(4)f = 。

4. 由参数方程44

cos sin x t y t ?=?=?所确定的函数，在0t =时，此函数的导数d d y

x = ；由参数方程23

23x t t y t t

?=-?=-?所确定的函数的二阶导数22d d y

x = 。 5. 若已知函数2

()sin f x ax bx c =++，且'

(0)1f =，'

(π)2π1f =-，则常数a = ，常数b = 。若(0)2f =，则常数c = 。

6. 函数sin 2y x x =的微分是 ，函数2

[ln(1)]y x =-的微分是 。

"

7. 填入适当的函数，使等号成立：d （ ）=3d x x ，d （ ）=sin 2d x x ，

d （ ）=2d x

e x -。

8.设函数()y y x =由方程y e xy e +=所确定，则'(0)y = ，''

(0)y = 。 9. 若抛物线2

y x =与3

y x =的切线平行，则自变量x 取值为 。 10.设函数()f x 是可导的偶函数且'

(0)f 存在，则'

(0)f = 。

三、计算及证明题

1． 求下列函数的导数。

（1）232y x =+ ； （2）23

(1)y x =-； （3）33log y x x =；

、

（4）tan x y x =； （5）1cos x

y x

=-； （6）22

11x y x x -=++ 。

2．求下列函数的微分。 （1

）1

y x

=

+ （2）sin 2y x x = ； （3）22x

y x e =； （4）2

2

1arctan 1x y x -=+。

3．设arctan y x =，证明它满足方程2

''

'

(1)20x y xy ++=。 4．用定义求函数3

()f x x =在点1x =的导数。

5．证明函数1sin ,0()0,

0x x f x x

x ?≠?

=??=? 在0x =处不可导。 6．设2,3

(),3

x x f x ax b x ?≥=?+

【

7．已知直线运动方程为2

105s t t =+，分别令1t ?=，，求从4t =到4t t =+?这一段时间内运动的平均速度以及4t =时的瞬时速度。

8．求曲线3

y x =在点00(,)P x y 0(0)x ≠的切线方程与法线方程。 9．试确定曲线ln y x =上哪些点的切线平行于直线1y x =-。 10

的近似值。 11．求下列函数的高阶导数。

（1）()ln f x x x =， 求''

()f x ； （2）2

()x f x e -=，求 '''

()f x ； （3）()ln(1)f x x =+，求(5)

()f

x ； （4）3()x f x x e =，求(10)()f x ；

12． 现在已经测得一根圆轴的直径为43厘米，并知在测量中绝对误差不超过厘米。求以此数据计算圆轴的横截面面积时所引起的误差。 】

13． 设有一个吊桥，其铁链成一抛物线形状，桥两端系于相距100米且高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点（在支柱最下端，即铁链所系之处）下10米处。求铁链与支柱所成的夹角。

【课外练习 参考答案】

第二章 导数与微分

一、单选题

1. B

2. A

3. A

4. B

5. B

6. D

7. B

8. D

9. B 10. C

二、填空题 —

1. 0.01,00001

2. 0, 18

3.

，

4. 0，

3

4(1)

t - 5. 1,1,2

6(sin 22cos 2)x x x dx +，

2ln(1)

1

x dx x -- 7. 232x c +，1cos 22x c -+，

212x e c --+ 8. '1(0)y e -=-

，''2(0)y e -= 9. 0或2

3

10. 0 三、 计算及证明题

1. 解

（1）'

6y x = （2）'22

6(1)y x x =-

（3）2'

2

33log ln 3

x y x x =+ （4）2'

2sec tan x x x y x -=

（5）'

21cos sin (1cos )x x x y x --=- （6）2'

22

41(1)x x y x x --=++

1. 解

；

（1）21d (-

y x x x

=+ （2）d (sin 22cos 2)d y x x x x =+ （3）2d 2(1)d x

y x x e x =+ （4）4

-2d d 1x

y x x

=+ 3. 证明

由已知arctan y x =

则 '

'

21(arctan )1y x x ==+，'

''

222

121(1)x y x x ??==- ?++??

所以 2'''

(1)20x y xy ++=得证。 4. 解 由定义

：

332320

000

(1)(1)(1)11331

(33)3lim

lim lim lim x x x x f x f x x x x x x x x x ?→?→?→?→+?-+?-+?+?+?-===+?+?=???

所以 '

(1)3f =。 5. 证明 由于

()(0)1

sin 0f x f x x

-=-

则 0x →时，上式的极限不存在 所以函数()f x 在0x =处不可导。 6. 解

因为()f x 在 3x =处左、右两侧的函数表达式不同， {

所以要使()f x 在 3x =处可导，

必须使()f x 在 3x =处的左、右导数'(3)f -、'

(3)f +都存在且相等。

由于22

'

00(3)(3)(3)3(3)lim

lim 6x x f x f x f x x

+?→?→+?-+?-===??， 而'

0(3)(3)[(3)](3)

(3)lim lim x x f x f a x b a b f a x x

-?→?→+?-+?+-+===?? 所以 6a =

此时 ()f x 在3x =处可连续。 则 (3)(3)f f -=

而 0

(3)lim (3)3x f f x a b -?→=-?=+，2

(3)39f ==

~

所以 9b =-

7. 解

因为平均速度22[10()5()](105)10105s t t t t t t v t t t t

?+?++?-+===++??? 所以当4t =，1t ?=时，55v = 当4t =， 0.1t ?=时，50.5v =

当4t =，0.01t ?=时，50.05v =

4t =时的瞬时速度为

22000[10()5()](105)

lim lim lim(10105)50t t t s t t t t t t v t t t t

?→?→?→?+?++?-+===++?=??

}

8. 解

由于

2

20033y x x x x x

?=+?+?? 则 '

2

2

2

00000

()lim(33)3x f x x x x x x ?→=+?+?=,

所以曲线3

y x =在点00(,)P x y 的切线方程是20003()y y x x x -=-。

由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为1

(0)k k

-≠， 所以过点00(,)P x y 的法线斜率为'2

00

11

()3f x x -

=-， 因此，曲线3

y x =在点00(,)P x y 的法线方程为0020

1

()3y y x x x -=-

-。0(0)x ≠ 9. 解 ;

因为两直线平行等价于两直线的斜率相等（斜率都存在时）。 而直线1y x =-的斜率为'

1y = 曲线ln y x =的导数'

'1

(ln )y x x

== 则当1x =时，

1

1x

=，此时ln 0y x ==， 所以曲线ln y x =上的点(1,0)处的切线平行于直线1y x =-。 10. 解

()f x =0.97x =的值。

因此，令001,0.97x x x x ==+?= 即0.03x ?=-，于是得到

'1(0.03)x =≈?-=1

1(0.03)0.9852

+-=

11. 解

（1）因为()ln f x x x =，所以'

()1ln f x x =+，''

1()f x x

=

（2）因为2

()x f x e -=，所以2

'()2x f x xe -=-

222

''2()22(2)(42)x x x f x e x xe x e ---=---=- 2

2

2

'''22()8(42)(2)4(32)x x x f x xe x x e x x e ---=+--=-

（3）因为()ln(1)f x x =+，所以'

1()1

f x x =

+=1

(1)x -+ ''2()(1)f x x -=-+，'''3()2(1)f x x -=+，(4)4()6(1)f x x -=-+ (5)5()24(1)f x x -=+

（5）因为3()x

f x x e =，所以'

323

2

()3(3)x

x

x

f x x e x e x x e =+=+

''32232()(3)(36)(66)x x x f x x x e x x e x x x e =+++=++

'''32232()(66)(3126)(9186)x x x f x x x x e x x e x x x e =+++++=+++ (4)322()(9186)(31818)x x f x x x x e x x e =++++++

…….

由以上归纳可得：

(10)32()(30270720)x f x x x x e =+++

12. 解

由题意，圆轴的直径43D =厘米，其绝对误差0.2D ?≤厘米。按照所测的直径计算圆轴的横截面面积为

2211

()43462.2544

s f D D πππ====2cm

它的绝对误差

'1()2S dS f D D D D π?≈=?=

?1

430.2 4.32

ππ≤??=2cm 其相对误差

21

20.4

20.93%1434

D D S dS D S S D D ππ???≈==≤≈

13. 解

根据题意，以铁链最低点处的切线作为横轴，以铁链的最低点作为坐标原点，建立直角坐标系。

则铁链所处的抛物线方程为21250y x =

，则 '1125

y x =。 记左悬点为(50,10)A -，右悬点为(50,10)B ，

则抛物线在右悬点处的切线斜率为'

2 (50)

5

y=

所以在右悬点处抛物线与坐标轴横轴的夹角为

2 arctan

5

因此，铁链与支柱所成的夹角为

2

arctan

25π

-。

第二章 导数与微分习题汇总

第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =

高等数学第2章 导数与微分

第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义

10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导

第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；

导数与微分总结

arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。

第2章 导数与微分总结

1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系：

导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！

导数与微分单元归纳

学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分

函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

第二章导数与微分试题及答案

第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=

法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y

第二章导数与微分教学文案

第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度

★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不

(新)高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0'00000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =-

考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结

考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'() y f x x x f x -=--. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -=

（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11 ）(arcsin )'x =（12 ）(arccos )'x = （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （ 15[ln(x += 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 ''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数21 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11'()'()'(()) g y f x f g y ==. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数

第二章 导数与微分部分考研真题及解答

第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3 x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可 导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在