结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
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量子力学基础习题
一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）
1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值
_______________。 1103、在电子衍射实验中，│
ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数
ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 ，
归一性的表达式为 。 1106、│
ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。
1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。
1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )=
_________________________；当粒子处于状态
ψ
211
时，概率密度最大处坐标是
_______________________；若体系的能量为22
47ma h ，其简并度是_______________。
1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2
2
43ma
h 的简并度是_____，E '=2
2827ma
h 的简并度是______________。
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2
1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ=
2
12
1m m m m +的一维谐振子，其势能为
V =kx 2/2，它的薛定谔方程是_____________________________。
1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。
1113、对于波函数ψj 、ψj ，其归一性是指 ，正交性是指 。
1114、若算符F
?满足 或满足 , 则算符F ?为厄米算符。
1115、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a 的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。
1116、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； 1117、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )=
_________________________；当粒子处于状态
ψ
211
时，概率密度最大处坐标是
_______________________；若体系的能量为2
247ma
h ，其简并度是_______________。 1118、对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h 2/(8ml 2)的能量范围。在此范围内有 个态？在此范围内有 个能级？
1119、对氢原子 1s 态：
(1) 2
ψ在 r 为_______________处有最高值；
(2) 径向分布函数 2
24ψr π在 r 为____________处有极大值；
(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。
1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出2
2
815ma
h E <的能量范围，在此范围内有 个能级？ 在此范围内有 个状态？
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3
二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）
1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck
1202、任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )
(A) λc
h E = (B) 2
2
2λm h E =
(C) 2) 25
.12
(λ
e E = (D) A ，B ，C 都可以
1203、下列哪些算符是线性算符----------------------------------------------------- ( ) (A)
dx
d
(B) ?2 (C) 用常数乘 (D)
1204、下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx
(C) e -ikx
(D) 2
e kx -
(1) 哪些是
dx
d
的本征函数；--------------------------------------------------------------- ( ) (2) 哪些是的22
dx d 本征函数；------------------------------------------------------------- ( )
(3) 哪些是22dx d 和dx d
的共同本征函数。----------------------------------------------- ( )
1205、线性算符R
?具有下列性质 R
?(U + V ) = R ?U +R ?V R ?(cV ) = c R ?V 式中c 为复函数，下列算符中哪些是线性算符？ -----------------------------------( )
(A) A
?U =λU ， λ=常数 (B) B
?U =U * (C) C
?U =U 2
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4
(D) D
?U = x
U d d (E) E
?U =1/U 1206、电子自旋存在的实验根据是：--------------------------------------------------------------- ( ) (A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( )
(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变
1208、立方势箱中的粒子，具有E =2
2
812ma h 的状态的量子数。 n x n y n z 是--------- ( )
(A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态
ψ (x )=sin x a
π的 一维势箱中的粒子，出现在x =4
a 处的概率为----- ( )
(A) P =
ψ (4
a ) = sin(a
π·4
a ) = sin 4
π =
2
2
(B) P =[
ψ (
4a )]2= 21
(C) P = a
2
ψ (4a ) =
a
1
(D) P =[
a
2 ψ ( 4a )]2= a 1 (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对
1210、在一立方势箱中，2
2
47ml
h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ，粒子质量为m )：-----------------------------------------------------------------( )
(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------（ ）
(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比
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5 (C)光电流大小与入射光强度成正比
(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大
1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：----------------------------（）
(A) de Br?glie (B) A. Einstein
(C) W. Heisenberg (D) E. Schr?dinger
1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v~应为：--------------------------------（）
(A) 4032 cm-1(B) 8065cm-1
(C) 16130cm-1(D) 2016cm-1
(1eV=×10-19J)
1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：-------------------（）
(A) ×10-23尔格(B) ×10-30尔格·秒
(C) ×10-34焦耳·秒(D) ×10-16尔格·秒
1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------（）
(A) 薛定谔(B) 狄拉克
(C) 海森堡(D) 波恩
1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------（）(Ａ)电子自旋(保里原理)
(Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征
(Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的
(Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理
1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------（）
(A) 由经典的驻波方程推得(B) 由光的电磁波方程推得
(C) 由经典的弦振动方程导出(D) 量子力学的一个基本假设
1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？
（A）X光区（B）紫外区
（C）可见光区（D）红外区
1219、由戴维逊－革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45o，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？
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6
--- ( )
（A ）<10 （B ）25 （C ）70 （D ）150
1220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是 ？
（A ）可取任意整数 （B ） 与势箱宽度一起决定节点数 （C ） 能量与n 2成正比例 （D ） 对应于可能的简并态 三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×） 1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。 1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。 1303、任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积。
1304、
ψ=cos x ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。
1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。 1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。 1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。
1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。
1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。
1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。 四、简答题
1401、对一个运动速率v< mv v E v h h p mv 2 1 === = =νλ A B C D E 结果得出2 1 1= 的结论。问错在何处？ 说明理由。 1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？ 百度文库 7 1403、被束缚在0 1404、一维势箱中一粒子的波函数 ψn (x )=(2/l )1/2sin(n πx /l )是下列哪些算符的本征函数，并 求出相应的本征值。 （A ）x p ? （Ｂ） 2?x p （Ｃ） x ? （Ｄ）H ?= m h 2)2/(2π2 2 d d x 1405、说明下列各函数是H ?，M ?2， M ?z 三个算符中哪个的本征函数？ ψ2pz ， ψ2px 和ψ2p1 1406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为 a x n a πsin 2，a 为势箱的长度，试问当粒子处于n =1或n =2的状态时，在0 ～a /4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样， n 取几时更大一些，请通过计算说明。 1407、θθcos 3cos 53-是否是算符)d d sin cos d d (?222 θ θθθF +-= 的本征函数，若是，本征值是多少？ 1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道???321,,是已归一化的） a. ()??2112 1+= ψ b. ()???321224 1 +-= ψ 1409、已知一函数f (x )=2e 2x ，问它是否是x p ?的本征函数？相应的本征值是多少？ 1410、有一粒子在边长为a 的一维势箱中运动。 (1)计算当n =2时，粒子出现在0≤x ≤a /4区域中的概率； (2)根据一维势箱的2 ψ图，说明0≤x ≤a/4区域中的概率。 五、证明题 1501、已知一维运动的薛定谔方程为: 百度文库 8 m h 228[π-2 2 d d x +V （x ）] ψ=E ψ ψ1和ψ2是属于同一本征值的本征函数， 证明: ψ 1 x d d 2ψ-ψ2x d d 1 ψ=常数 1502、试证明实函数Φ2 (φ)=(1/π)1/2cos2φ和Φ2’(φ)=(2/π)1/2sin2φcos φ都是Φ方程 [2 2 d d φ + 4] Φ (φ)=0 的解。 1503、证明函数x +i y ，x -i y 和z 都是角动量算符z M ?的本征函数，相应的本征值是多少？ 1504、已知有2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的π分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为 E k = 2 22 2) 12(8+n mr h k k =1，2，…，2n 其中，m 是电子质量，r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长λ与n 成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l ，而此台阶位于l /2～l 之间。 1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。 1506、证明厄米算符的本征值是实数。 1507、已知A ?和B ?是厄米算符，证明(A ?+B ?)和A ?2也是厄米算符。 1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数θψcos 212 1?? ? ??π3=是三维 空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22 2 2222222 φθr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。 1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数 φ θθψi 2 1e sin cos 21-?? ? ??2π15=是在三维空间中运动的自由粒子（势能V =0）的薛定谔方程 的解，并求粒子的能量。 百度文库 9 已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22 2 2222222 φ θr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。 1510、证明波函数φ θθψi 1e sin cos 21-?? ? ??2π15=是角动量平方的本征函数，并求粒子的 角动量。已知角动量平方算符)sin 1sin cos (?2 222222φθθθθθM ??+??+??-= 。 六、计算题 1601、波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知 铯的临阈波长为600 nm 。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电 子最大速率是多少？ (1 eV=×10-19J ， 电子质量m e =×10-31 kg) 1603、设体系处在状态 ψ=c 1ψ211+ c 2ψ210中， 角动量M 2和M z 有无定值。其值为多少？ 若无，则求其平均值。 1604、函数 ψ (x )= 2 a 2sin a x π - 3a 2 sin a x π2 是不是一维势箱中粒子的一种可能状 态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？ 1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n 的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n 为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n →∞时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？ 1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 ψ0= (π 2 α)1/4 exp[-α2x 2/2] 此处，α=(4π2k μ/h 2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 百度文库 10 (3) 波函数 ψ在x 取什么值时有最大值？ 计算最大值处ψ2的数值。 1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l =100nm ，计算量子数为n 时的de Broglie 波 长以及n =1和n =2时氢分子在箱中49nm 到51nm 之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。 1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 ， 用长为R 的、没有质 量的棒连接着，构成一个刚性转子。 (1) 建立此转子的Schr?dinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数； (2) 求该转子基态的角动量平均值。 已知角动量算符 M ?=M ?z =-i π2h φ ?? 。 1609、氢原子中，归一化波函数： （ 和 都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a ）R ；能量 出现的概率 是（b ）；角动量平均值是（c ） ；角动量 出现的概率是（d ）；角动量Z 分量的平均值是（e ） ；角动量Z 分量 出现的概率是（f ）。 1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为： 则（a ）此状态的能量为； （b ）此状态的角动量的平方值； （c ）此状态角动量在Z 方向的分量为；（d ）此状态的 值分别为； (e)此状态角度分布的节面数为； 2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D 2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨 道角动量等于（a ）； 原子总自旋角动量等于（b ）；原子总角动量等于（c ）； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（d ）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。 2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？ 百度文库 11 量子力学基础习题参考答案 1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、E =h ν p =h /λ 1102、,mv h p h == λ 小 1103、电子概率密度 1104、?x ·?p x ≥ π 2h 微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π 2h 。 1105、(a) ∫ ψ*i ψi d τ = 0, i ≠j (b) ∫ψ*i ψi d τ = 1 1106、电子1出现在x 1,y 1,z 1, 同时电子2出现在x 2, y 2, z 2处的概率密度 1107、-i ·π 2h (x y ?? - y x ??) 1108、(1) ψ = l 2sin l x n π n =1, 2, 3,… (2) E = 2228ml h n ; 2 2 8ml h (3) 1/2 (4) 增长 (5) ψ= l 2 sin l x n x πl 22 sin l y n y 2π E = 22 28ml h n x + 2 22)2(8l m h n y 1109、(1) ψ211(x ,y ,z ) = 3 8a sin a π2 x sin a πy sin a π z (2)(a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2) (3)6 百度文库 12 1110、3, 4 1111、 [] ψψμ π E x k h =+?- 221282 2 1112、T = () λh m m p 2 2122==×10-17 J 1113、(），j i d j i ==??1*τψψ（），j i d j i ≠=??0* τψψ 1114、（ττd F d F ψψ=ψψ??Λ Λ* * )(）（ττd F d F 2* 12*1 )(ψψ=ψψ??Λ Λ） 1115、零，2 28ma h 1116、(1) ψ = l 2sin l x n π n =1, 2, 3,… (2) E = 2228ml h n ; 2 2 8ml h 1117、 (1) ψ211(x ,y ,z ) = 3 8a sin a π2 x sin a πy sin a π z (2) (a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2) (3) 6 1118、17，5 1119、(1) O 或核附近 (2) a 0 或 pm (3) 8×9 eV 1120、E = )(222z y x n n n ++ 2 2 8ma h 共有17个状态, 这些状态分属6个能级。 1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内） 1201、(D) 1202、（B ） 1203、(D) 1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C 1205、(A), (D) 百度文库 13 1206、(A) 1207、(1) B (2) A 1208、（C ） 1209、（E ） 1210、（B ） 1211、(C),(D) 1212、(A) 1213、（B ） 1214、(C) 1215、(C) 1216、(A) ,(B) 1217、(D) 1218、(A) 1219、(C) 1220、(C) 1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×） 1301、× 1302、× 1303、× 1304、× 1305、× 1306、× 1307、× 1308、× 1309、√ 1310、× 1400、简答题 1401、A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C 中用了λ= v /ν, 这就错了。 因为λ= u /ν。 又D 中E =h ν是粒子的总能量, E 中E =2 1 mv 2仅为v < 量是不等的。 所以 C, E 都错。 1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。 百度文库 14 (3) 平方可积的, 即有限的。 1403、P = a a a 275.025.0?sin 2(a x π) d x = + π1 = 1404、(A).不是 (B).是,本征值为 n 2h 2/(4l 2) (C).不是 (D).是,本征值为 n 2h 2/(8ml 2) 1405、p p z 022= 是M z ?,M ?,H ?2 共同的本征函数 p x 2为p 12和p 12-的线性组合,是M ?,H ?2 共同 的本征函数 p 12 是M z ?,M ?,H ?2 共同的本征函数 1406、P =??π=???? ??π4022 4 0d sin 2d sin 2a/a/x a x n a x a x n a =2 sin 2141π π-n n n =1，P =πn 21 41- n =2，P =4 1 . n =2时，粒子出现在0—a /4区间概率更大些。 1407、 θθθ sin cos d d -= θθθcos cos d d 22 -= θθθθ23cos sin 3cos d d -= θθθθθ cos sin 6cos 3cos d d 23322 +-= ()=-θθF cos 3cos 5?3 ( ) θθθθθθcos 3cos 15cos 3cos sin 30cos 153232+-++-- =( ) θθθθcos 6cos sin 30cos 302 3 2 ++-- =() θθθθθθcos 6cos sin 30cos 30cos 30cos 3023 3 3 2 +++--- =()θθcos 36cos 603 2 +-- =12()θθcos 3cos 53 2 - 是，本征值为122 1408、归一化条件：11 2=∑=n i i c 百度文库 15 A =∑=2 1 2i i c 2( 1)2 1 2=,a 是归一化的。 B 23)42()41( 2)(223 1 2 =-+=∑=i i c ,b 不是归一化的。 归一化因子 32 即61。 1409、x x x x f p 2e 2d d i )(? -= x 2e i 4 -= )(i 2x f -= )(i x f h π = f (x )是x p ?的本征函数，本征值为π i h 。 1410、x a x n a a d )sin 2( 240 π? （当n =2时） =??????ππ-044sin 882a a x a a a =4 182=?a a (2) 2ψ 0 a /4 a /2 a 1500、证明题 1501、11ψ212d d x ψ = 21ψ2 2 2d d x ψ ψ 12 22d d x ψ - ψ22 1 2d d x ψ = 0 百度文库 16 x d d [ψ1x d d 2ψ - ψ2x d d 1ψ] = 0 [ψ1x d d 2ψ - ψ2x d d 1 ψ] = 常数 1502、将()() φφ2cos /12 /12πΦ=代入()φΦ方程 ()()()() ()()0 2cos 42cos 42cos 42sin 22cos 4/1/1/1/1/12 /12/12 /12 /12 /122=+-=+-= ??? ?? ?+πππφφφ φφφφφφ d d d d 说明 ()φΦ2 是()φΦ方程的解。 将()()φφφcos sin /22 /12 πΦ'=代入()φΦ方程 ()()()()()()[]()0 cos sin 4cos sin 2cos sin 2cos sin 4cos sin 4/2/2/2sin cos /2/22 /12/12 /12 22 /12 /122=+--=+-= ?? ? ???+πππππφφφφφφφ φφφφφφφ d d d d 说明 ()φΦ'2 也是()φΦ方程的解。 1503、()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y h z x y h z M M +-+-=+--=π ?? ?? π ?? ?? π 22?? 故x +i y 是M z ?本征函数,本征值为 π 2h ()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y h z x y h z M M ----=---=π ?? ?? π ?? ?? π 22?? 故x -i y 是M z ?本征函数,本征值为 π2h - ()()()()[]z z y z x i z y h z M ?==--=π ?? ?? π 002? 故z 是M z ?本征函数,本征值为 0 1504、第一吸收带是由HOMO 到LUMO 跃迁产生。 对本题HOMO k =n ; LUMO k =n +1; () ()[]()()() 1282 28122 2 22 8212121++= = -+=?++n mr mr n mr h n h n h n n E E hc ?=λ 所以 ()()h n mrc h hc n mr E hc /1282128+===?+?λ 即h mrc h mrcn /8/16+=λ 百度文库 17 1505、设u 1,u 2,...,u n ,...是算符A ?的分别属于本征值λ,,λ,λn 21.的本征函数，则有 ,?u u A m m m λ= ,?u u A n n n λ= () ****?m m m m m u λu λu A == 可得 τu u λτu A u n m n n m d d ?* *??= ( ) τu u λτu u A n m m n m d d ?**??= 根据的厄米性,从上式可得 τu u λτu u λn m m n m n d d * *? ?= ()0d *=-? τu u λλn m m n λλm n ≠ 0d *=∴? τu u n m 1506、按厄米算符的定义,有()ud τu A ud τA u ??=??* * 同时下列本征方程成立:()* ** ??u λu A λu,u A == 代入上式,得: τu u λτu u λd d ***? ?= 由此可得 * λλ= 故λ必为实数。 1507、(1). ∫u *(B A ??+)v d τ=∫u *A ?v d τ+∫u *B ?v d τ =∫(A ?u )*v d τ+∫(B ?u )*v d τ =∫[(A ?u )*+(B ?u )*]v d τ =∫[(A ?u )+(B ?u )]*v d τ =∫[(B A ??+)]*v d τ 由此得证 (2). ∫u *A A ? ?v τd =∫u *A ?(A ?v )τd =∫(A ?u )*(A ?v )τd =∫(A ?u )*A ?v τd =∫(A A ??u )*v τd =∫( A ?2 u )* v τd 由此得证 1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψ ψE H =? 222??-=m H 当r 为常数，ψ与r,φ无关。 百度文库 18 ??? ? ????+??-=θθθθmr H sin cos 2?2222 θN θθθθmr H cos sin cos 2?22 22??? ? ????+??-= ψ =()θθmr N cos cos 222 --- =ψ22 22cos mr θN mr = 2 2 ma E =∴ 当ψ与φ无关，??? ? ????+??-=θθθθsin cos ?2222 M 2?2=ψM 2=M 1509、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψψE H =? 2 22??- =m H 当r 为常数，ψ与r 无关, ???? ????+??+??-=2222222sin 1sin cos 2?φθθθθθmr H )e sin cos (??i φθθN H H -=ψ =???? ????+??+??-2222222sin 1sin cos 2φθθθθθmr N φ θθi e sin cos - =2 22mr N -(ψ-φ θθi e sin cos -+φφφθθθθθθi i i 2e sin cos e cos sin e sin cos -----) =222mr N φθθi e sin cos ??? ? ??++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θθθ222sin 1 sin cos +-=1 =ψH ?mr N 262 N φθθi e sin cos =mr 262 ψ,2 226mr E =∴ 1510、φθθN φθθθθθM ψi 2222222e sin cos sin 1sin cos ?-??? ? ????+??+??-= =2 N -(ψ-φ θθi e sin cos -+ φ φφθ θθθθθi i i 3e sin cos e cos sin e sin cos -----) 百度文库 19 =2 N φ θθi e sin cos ???? ? ?++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θ θθ2 22sin 1 sin cos +-=1 226? =ψM N φθθi e sin cos -=ψ26 ,26 为一常数，证毕。 6=M 1600、计算题 1601、1-241-9 --34 s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626???=????==-λh p T = m p 22 = 31 2 3410 109.92)10626.6(--??? J = ×10-17 J 1602、T = h ν- h ν0= λhc -0 λhc T = (1/2) mv 2 v = )1 1(20 λλ-m hc = ×105 m ·s -1 1603、(1) ψ是M ?2属于同一本征值2(π 2h )2 的本征函数的线性组合, 所以，ψ是M ?2的本征函数, 其本征值亦为2(π 2h )2 (2) ψ是M ?z 属于本征值h 和0的本征函数的线性组合, 它不是M ?z 的本征函数, 其M z 无确定值, 其平均值为 2 .2121) 2/(c c h c +π 1604、(1). 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因 a 2sin a x π及a 2sin a x π2是方程 的解，其任意线性组合也是体系可能存在的状态。 (2). 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数。 (3). 2 135ma h 1605、(1) ψn =l 2 sin l x n π P 1/4=∫4 /0l 2n ψd x =41 - πn 21sin 2 πn 百度文库 20 (2) n =3, P 1/4,max = 41 + π61 (3) lim ∞→n P 1/4 = lim ∞→n (41 - πn 21sin 2πn ) =4 1 (4) (3)说明随着粒子能量的增加, 粒子在箱内的分布趋于平均化。 1606、(1) [ - μ2 28πh 22 dx d + 21kx 2] ψ=E ψ (2) E = μα22 28πh = π 4h μ K = 2 1 h ν (3) x =0时 ， dx d ψ= 0， 有最大值 ψ0(0) = (π2α)1/4 最大值处 x =0 ψ02=(πα2)1/2 = π α 1607、E k m h p h 2= = λ 势箱中 ?? ? ??==l h n E m k E 22 28 故λ= 2l /n =(200/n )nm ()()[]()()π -π?π-=π==?? n n n dx l x n l dx p 98.0sin 02.1sin 02.0//2212 51 9 51 49 2 sin ψ n =1 P 1= n =2 P 2= n =1时 无节面,概率密度最大在50nm 处。 n =2时 节面数=n -1=1,节面在50nm 处,概率密度最大在25nm 和75nm 处。 1608、(1) Schr?dinger 方程为 - I h 22 8π2 2d d φ φψ） （ = E ψ (φ) E = I h m 2228π, ψ (φ) =π 21e im φ m =0,±1,±2,... (2) ?> = 0 1609、（a ） ； （b ） ； （c ） ； （d ）1 （e ） （f ）0 1610、（a ）－；（b ）0；（c ）0；（d ）2,0,0；(e)0 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置 表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern—Gerlach实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一 般地不能直接作为的零级近似波函数？ 15、在自旋态中，和的测不准关系是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭 加是否仍为定态方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[，]=1，，，证明：。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。 《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军 第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν 《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础 班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为（νh E =）、（λh p =）。德布罗意的假设，最先由（戴维 孙-革末）实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性）的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波），物质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布）。 3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说，这种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。其中位置与动量不确定关系的表达式为（2 ≥???x p x ）；能量与时间不确定关系的表达式为（2 ≥???t E ）。 4、薛定谔将（德布罗意公式）引入经典的波函数中，得到了一种既含有能量E 、动量P ，又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ，这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征，因此在薛定谔建立的量子力学体系中，就将这种波函数用来描述（微观粒子的运动状态）。 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数? ?? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)?r t 改写为ψ(,) ? r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如?() H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读 一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应 量子力学讲义 一、量子力学是什么？ 量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。 研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。 二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性： 光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征： 几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用 四、课程教学的基本要求 教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社 参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社 第一章 绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米 焦耳3 ） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?） 量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 3415h 9.110m λ--====? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 420222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 12220107.722p h -?=+=== ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11h 1.410p m λ--====? 再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ?λ= 0,1,2k =… 11 11 1.410sin 0.095227.3210 k d λ?--?===?? ， 5.48?= 22-4．以速度m/s 1063 ?=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速， 为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：34 10 h 110m λ--== ==? 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。 22-5．设电子的位置不确定度为 A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 2410 1.0510 5.2510220.110 h p x ---??===???? 由波长关系式：E c h =λ 可推出： E E c h ?=?λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-??===?? 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ == ，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为：2 hc E λ λ?=? 由测不准关系，/2,E t ??≥ 平均寿命τ=Δt ，则 22 224t E hc c λλτλπλ=?===??? 102112108 (4340.510)510s 4 3.141010310 ----?==?????? 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67 -?=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19 -，计 算该信号的波长宽度λ?。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ?=? 22 24x x p λλπλλ ?==≈??? 72 2 389 (6.310) 1.32310nm 31010 c t λλ---??===???? 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥??θ，式中L ?为粒子角动量的不确定度，θ?为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ?=? 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数 ψ 1 ， ψ 2 ， ψ 3 ，…。正交性的数学表达式为 ， 归一性的表达式为 。 1106、│ ψ (x 1 ， y 1 ， z 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 )│2 代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211 (x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系 的能量为2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2243ma h 的简并度是_____，E '=2 2 827ma h 的简并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 12 1m m m m +的一维谐振子，其势能为 量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.wendangku.net/doc/ff14490759.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980） 第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将 ψ(,)?r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0， 其中（1）∧ ) (H 0的本征值) (n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很小，称 为加在∧ ) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4η。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？量子力学思考题及解答
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