中考数学答案123

中考数学试

参考答案与试题解析

一、选择题

1．（4 分）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）

A．B．C．【分析】由已知条件可知，主视图有D．

3 列，每列小正方数形数目分别为2， 1， 1，据此可得

出图形，从而求解．

【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图是．

故选： A．

【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方

形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正

方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相

应行中正方形数字中的最大数字．

2．（ 4 分）反比例函数是y=的图象在（）

A ．第一、二象限

B ．第一、三象限C．第二、三象限 D ．第二、四象限

【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．

【解答】解：∵反比例函数是y=中， k=2 ＞ 0，

∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．

故选 B．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；

当 k＞ 0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小是解

答此题的关键．

3．（ 4 分）已知△ABC∽△ DEF，若△ ABC与△ DEF的相似比为，则△ ABC与△DEF 对应中线的比为（）

A．B．C．D．

【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．

【解答】 解：∵△ ABC ∽△ DEF ， △ ABC 与 △ DEF 的相似比为

，

∴△ ABC 与 △ DEF 对应中线的比为

，

故选： A ．

【点评】 本题考查的是相似三角形的性质， 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方； 相似三角形对应高的比、 对应中线的比、 对应角平分线的比都等于相似比．

4．（ 4 分） 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， sinA= ，BC=6 ，则 AB= （ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

【分析】 在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出 sinA ，将 sinA 的值与 BC 的长代入求出 AB 的长即可．

【解答】 解：在 Rt △ABC 中，∠ C=90°， sinA=

= ， BC=6 ，

∴AB=

= =10，

故选 D

【点评】 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

5．（ 4 分） 一元二次方程 2 ）

x +2x+1=0 的根的情况（ A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根

D ．没有实数根

【分析】 先求出 △的值，再根据 △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根； △ =0 ? 方程有两个相

等的实数； △ ＜ 0? 方程没有实数根，进行判断即可．

【解答】 解：∵△ =22

﹣ 4×1×1=0，

∴一元二次方程 x 2

+2x+1=0 有两个相等的实数根； 故选 B ．

【点评】 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：

（ 1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根； （ 2） △ =0 ? 方程有两个相等的实数根；

（ 3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．

6．（ 4 分） 如图，在 △ ABC 中， DE ∥ BC ，若 = ，则 =（ ）

A．B．C．D．

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．

【解答】解：∵ DE ∥ BC ，

∴= = ，

故选 C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定

义或定理，难度不大．

7．（ 4 分）如图，在⊙ O中，若点C 是的中点，∠ A=50°，则∠ BOC=（）

A ． 40°B． 45°C．50°D． 60°

【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB ，根据垂径定理求出AD=BD ，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可．

【解答】解：∵∠ A=50 °， OA=OB ，

∴∠ OBA= ∠ OAB=50 °，

∴∠ AOB=180 °﹣ 50°﹣ 50°=80 °，

∵点 C是的中点，OC过O，

∴OA=OB ，

∴∠ BOC=∠ AOB=40°，

故选 A．

【点评】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．

8．（ 4 分）

二次函数 2 2 ）

y=x ﹣ 2x+4 化为 y=a （ x ﹣ h ） +k 的形式，下列正确的是（

2

2 2

2

A ． y=（ x ﹣ 1） +2

B ． y=（ x ﹣ 1） +3

C ． y= （ x ﹣2） +2

D ． y= （x ﹣ 2） +4

【分析】 根据配方法，可得顶点式函数解析式．

2

y=（ x ﹣ 1）2

+3， 故选： B ．

【点评】 本题考查了二次函数的形式你，配方法是解题关键．

9．（ 4 分） 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图） ，原空地

一边减少了 1m ，另一边减少了 2m ，剩余空地的面积为 18m 2

，求原正方形空地的边 长．设原正方形的空地的边长为 xm ，则可列方程为（ ）

A ．（ x+1）（ x+2 ）=18

B ． x 2﹣ 3x+16=0

C ．（ x ﹣ 1）（ x ﹣ 2） =18

D ． x 2

+3x+16=0

【分析】 可设原正方形的边长为 xm ，则剩余的空地长为（ x ﹣ 1） m ，宽为（ x ﹣ 2） m ．根据长方形的面积公式方程可列出． 【解答】 解：设原正方形的边长为 xm ，依题意有

（x ﹣ 1）（ x ﹣ 2） =18， 故选 C ．

【点评】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识， 应熟记长方形的面积公式． 另

外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

10．（ 4 分） 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，若四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ ADC

的大小为（

）

A ． 45°

B ． 50°

C ．60°

D ． 75°

【分析】 设∠ ADC 的度数 =α，∠ ABC 的度数 =β，由题意可得

，求出 β即

可解决问题．

【解答】 解：设∠ ADC 的度数 =α，∠ ABC 的度数 =β； ∵四边形 ABCO 是平行四边形， ∴∠ ABC= ∠ AOC ；

∵∠ ADC=

β，∠ AOC= α；而 α+β=180°，

∴

，

解得： β=120 °， α=60°，∠ ADC=60 °， 故选 C ．

【点评】 该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．

1（﹣ 1， y 1）， P 2（ 3， y 2 ），P 3（ 5，y 3）均在二次函数 y=﹣ x 2

的图

11．（4 分） 点 P

+2x+c 象上，则 y 1， y 2， y 3 的大小关系是（

）

A ． y 3＞y 2＞ y 1

B ． y 3＞ y 1=y 2

C ． y 1＞ y 2＞ y 3

D ． y 1=y 2＞ y 3

【分析】 根据函数解析式的特点，其对称轴为

x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧， y 随

x 的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，

P 1（﹣ 1，y 1）与（ 3， y 1）关于对称轴对 称，可判断 y 1=y 2＞ y 3．

【解答】 解：∵ y= ﹣x 2

+2x+c ， ∴对称轴为 x=1 ， 2（ 3， y 2）， P 3（ 5， y 3）在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小，

P

∵3＜ 5，

∴y 2＞ y 3，

根据二次函数图象的对称性可知， P 1（﹣ 1， y 1 ）与（ 3， y 1）关于对称轴对称，

故 y 1=y 2＞ y 3，

故选 D ．

【点评】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，及增减性．

同时考查了函数的对称性

12．（ 4 分） 如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，

假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（

滑轮上一点

）

P 旋转了

108°，

A ． πcm

B ． 2πcm

C ． 3πcm

D ． 5πcm

【分析】 根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．

【解答】 解：根据题意得： l=

=3πcm ，

则重物上升了 3πcm ， 故选 C

【点评】 此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

13．（ 4 分）二次函数

2

x=﹣ 1，有以下结论：y=ax +bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线

2

；③ 2a+b=0；④ a﹣ b+c＞ 2．其中正确的结论的个数是（）

① abc＞ 0；② 4ac＜ b

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由抛物线开口方向得到a＜ 0，由抛物线的对称轴方程得到为b=2a＜0，由抛物线与

y 轴的交点位置得到 c＞ 0，则可对①进行判断；根据抛物线与＞0，则可对②进行判断；利用 b=2a 可对③进行判断；利用x 轴交点个数得到△=b2﹣4ac x=﹣ 1 时函数值为正数可对

④ 进行判断．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜ 0，

∵抛物线的对称轴为直线x= ﹣=﹣ 1，

∴b=2a＜ 0，

∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，

∴c＞ 0，

∴a bc＞ 0，所以①正确；∵抛

物线与 x 轴有 2 个交点，

∴△ =b 2

﹣ 4ac＞0，所以②正确；

∵b=2a，

∴2a﹣ b=0，所以③错误；

∵抛物线开口向下，x= ﹣ 1 是对称轴，所以x= ﹣1 对应的 y 值是最大值，∴a﹣ b+c＞ 2，所以④正

确．故选 C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数

2

y=ax +bx+c （ a≠0），二次

项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞ 0 时，抛物线向上开口；当a＜ 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab ＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（ 0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△ =b

2

﹣4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△ =b 2

﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b

2

﹣4ac＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．

14．（ 4 分）如图，

矩形

ABCD的对角线AC与 BD相交于点O，CE∥ BD ，DE∥ AC ，AD=2，DE=2 ，则四边形OCED的面积（）

A．2B．4 C．4D．8

【分析】连接 OE，与 DC 交于点 F，由四边形ABCD 为矩形得到对角线互相平分且相等，

进而得到 OD=OC ，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到 ODEC 为平行四边形，根据

邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形 ODEC 为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF 的面积即可．

【解答】解：连接 OE，与 DC 交于点 F，

∵四边形 ABCD 为矩形，

∴OA=OC ， OB=OD ，且 AC=BD ，即 OA=OB=OC=OD ，

∵OD ∥ CE， OC∥ DE，

∴四边形 ODEC 为平行四边形，

∵OD=OC ，

∴四边形 ODEC 为菱形，

∴D F=CF ，OF=EF ，DC⊥OE，

∵DE ∥ OA ，且 DE=OA ，

∴四边形 ADEO 为平行四边形，

∵AD=2，DE=2，

∴OE=2，即OF=EF=，

在 Rt△ DEF 中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2 ，

则 S 菱形ODEC=OE?DC=×2×2=2．

故选A

熟练掌握矩形的性质【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，

是解本题的关键．

15．（4 分）如图，A ，B 两点在反比例函数y=的图象上， C、D两点在反比例函数y=

的图象上，AC ⊥ x 轴于点E，BD ⊥ x轴于点F，AC=2 ，BD=3 ，EF=，则k2﹣ k1=（）

A．4 B．C．D．6

【分析】设 A （ m，），B（n，）则C（m，），D（n，），根据题意列出方程组即可解决问题．

【解答】解：设 A（ m，），B（n，）则C（m，），D（n，），

由题意：解得 k2﹣ k1=4．

故选 A．

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分）

16．（ 4 分）

2

+4x﹣ 3 的最小值是﹣7．二次函数 y=x

17．（ 4 分）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有 6 个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球20 个．

18．（ 4 分）双曲线 y=在每个象限内，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是 m＜ 1．

19．（ 4 分）?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC ⊥ BD ，请添加一个条件：

∠BAD=90 °，使得 ?ABCD 为正方形．

20．（4 分） 对于一个矩形 ABCD 及⊙ M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD

的四个顶点到⊙ M 上一点的距离相等， 那么称这个矩形 ABCD 是⊙ M 的 “伴侣矩形 ”．如图，

在平面直角坐标系

xOy 中，直线 l ：y=

x ﹣ 3 交 x 轴于点 M ，⊙ M 的半径为 2，矩形 ABCD

沿直线运动（ BD 在直线 l 上）， BD=2 ，AB ∥ y 轴，当矩形 ABCD 是⊙ M 的“伴侣矩形 ”时，

点C 的坐标为

（

﹣ ，﹣

）或（

，

） ．

三、解答题（共 8 小题，满分 70 分 ,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21．（ 10 分） （ 1）

+（ ﹣1

﹣ 2cos45°﹣（ π﹣ 2016） 0

）

（ 2） 2y 2

+4y=y+2 ．

【分析】（ 1）原式第一项化为最简二次根式， 第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用利用零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

【解答】 解：（ 1）

+（

）﹣

1﹣ 2cos45°﹣（ π﹣ 2016） 0

=2 +2﹣2× ﹣ 1

=

+1；

（ 2） 2y 2

+4y=y+2 ，

2

2y +3y ﹣ 2=0， （ 2y ﹣ 1）（y+2 ） =0，

2y ﹣ 1=0 或 y+2=0 ，

所以 y 1=

， y 2=﹣ 2．

22．（ 5 分） 如图，已知⊙ O ，用尺规作⊙ O 的内接正四边形 ABCD ．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

【分析】 画圆的一条直径 AC ，作这条直径的中垂线交⊙ O 于点 BD ，连结 ABCD 就是圆内接正四边形 ABCD ．

【解答】解：如图所示，四边形ABCD 即为所求：

23．（ 6 分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1， 2，?，8 中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选

择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率．

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为 5 情况数，即可确定小军胜的概率．

【解答】解：列表如下：

1234 12345

23456

34567

45678

所有等可能的情况有16 种，其中两指针所指数字的和为 5 的情况有 4 种，

所以小军获胜的概率= = ．

24．（ 7 分）如图，一垂直于地面的灯柱AB 被一钢筋CD 固定， CD 与地面成45°夹角（∠ CDB=45 °），在 C 点上方 2 米处加固另一条钢线ED，ED 与地面成 53°夹角（∠ EDB=53 °），那么钢线 ED 的长度约为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据： sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【分析】根据题意，可以得到BC=BD ，由∠ CDB=45 °，∠ EDB=53 °，由三角函数值可以求

得 BD 的长，从而可以求得DE 的长．

【解答】解：设 BD=x 米，则 BC=x 米， BE= （ x+2）米，

在 Rt△ BDE 中， tan∠ EDB=，

即，

解得， x≈6.06，

∵s in ∠ EDB=，

即 0.8=，

解得， ED≈10

即钢线 ED 的长度约为10 米．

25．（ 10 分）阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E，F， G， H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC ．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状（如图 2），则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？说明

理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：

（2）如图 2，在（ 1）的条件下，若连接 AC ， BD ．

①当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，写出结论并证明；

②当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，直接写出结论．

【分析】（ 1）如图 2，连接 AC ，根据三角形中位线的性质得到EF∥ AC ， EF=AC ，然后

根据平行四边形判定定理即可得到结论；

（2）由（ 1）知，四边形 EFGH 是平行四边形，且 FG= BD ，HG= A C ，于是得到当AC=BD 时， FG=HG ，即可得到结论；

（3）根据平行线的性质得到 GH ⊥ BD ， GH⊥ GF，于是得到∠ HGF=90 °，根据矩形的判定

定理即可得到结论．

【解答】解：（ 1）是平行四边形，

证明：如图2，连接 AC ，

∵E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，

∴E F∥AC ， EF= AC ，

同理 HG ∥ AC， HG=AC ，

综上可得： EF∥HG ， EF=HG ，

故四边形 EFGH 是平行四边形；

（2） AC=BD ．

理由如下：

由（ 1）知，四边形EFGH 是平行四边形，且FG= BD ， HG=AC ，

∴当 AC=BD 时， FG=HG ，

∴平行四边形EFGH 是菱形，

（3）当 AC ⊥BD 时，四边形 EFGH 为矩形；理

由如下：

同（ 2）得：四边形 EFGH 是平行四边形，

∵AC ⊥BD ，GH∥AC，

∴GH⊥BD ，

∵GF∥ BD ，

∴GH ⊥ GF，

∴∠ HGF=90 °，

∴四边形 EFGH 为矩形．

26．（ 10 分）如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥ OB， AB ⊥ x 轴于点 C，点 A （， 1）在反比例函数 y=的图象上．

（1）求反比例函数y= 的表达式；

（2）在 x 轴的负半轴上存在一点P，使得 S△AOP=S△AOB，求点 P 的坐标；

（3）若将 △ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°得到 △ BDE ．直接写出点 E 的坐标，并判断点 E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．

【分析】（ 1）将点 A （

， 1）代入 y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；

（2）先由射影定理求出 BC=3 ，那么 B （

，﹣ 3），计算求出 S △AOB = × ×4=2 ．则

S △AOP = S △ AOB = ．设点 P 的坐标为（ m ， 0），列出方程求解即可；

（3）先解 △ OAB ，得出∠ ABO=30 °，再根据旋转的性质求出 E 点坐标为（﹣

，﹣ 1），

即可求解．

【解答】 解：（ 1）∵点 A （ ， 1）在反比例函数 y= 的图象上，

∴k=

×1= ，

∴反比例函数的表达式为 y=

；

（2）∵ A （ ， 1）， AB ⊥x 轴于点 C ，

∴OC=

， AC=1 ，

由射影定理得

OC 2 =AC ?BC ，可得 BC=3 ，B （ ，﹣ 3），

S

△AOB =

× ×4=2 ． ∴S △AOP = S △AOB =

．

设点 P 的坐标为（ m ， 0），

∴ ×|m|×1= ，

∴|m|=2 ， ∵P 是 x 轴的负半轴上的点， ∴m= ﹣ 2

，

∴点 P 的坐标为（﹣ 2

，0）；

（3）点 E 在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵OA ⊥ OB ， OA=2 ， OB=2 ， AB=4 ，

∴sin ∠ABO=

= = ，

∴∠ ABO=30 °，

∵将△ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，

∴△ BOA ≌△ BDE ，∠ OBD=60 °，

∴B O=BD=2，OA=DE=2，∠ BOA=∠ BDE=90°，∠ ABD=30°+60°=90°，

而BD ﹣ OC= ， BC﹣ DE=1 ，

∴E（﹣，﹣1），

∵﹣×（﹣ 1）=，

∴点 E 在该反比例函数的图象上．

27．（ 10 分）如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形， AB 是⊙ O 的直径， OD⊥AB 于点 O，分别交 AC 、CF 于点 E、D ，且 DE=DC ．

（1）求证： CF 是⊙ O 的切线；

（2）若⊙ O 的半径为 5，BC=，求DE的长．

【分析】（ 1）连接 OC，欲证明CF 是⊙ O 的切线，只要证明∠OCF=90 °．

（2）作 DH⊥ AC 于 H，由△AEO ∽△ ABC ，得=求出AE，EC，再根据

sin∠ A=sin ∠ EDH ，得到=，求出DE即可．

【解答】证明：连接OC，

∵OA=OC ，

∴∠ A=∠OCA ，

∵OD⊥AB ，

∴∠ A+ ∠ AEO=90 °，

∵DE=DC ，

∴∠ DEC= ∠DCE ，

∵∠ AEO= ∠ DEC ，

∴∠ AEO= ∠ DCE ，

∴∠ OCE+ ∠DCE=90 °，

∴∠ OCF=90 °，

∴OC⊥ CF，

∴CF 是⊙ O 切线．

（ 2）作 DH ⊥ AC 于 H ，则∠ EDH= ∠A ， ∵DE=DC ，

∴EH=HC= EC ，

∵⊙ O 的半径为 5， BC= ，

∴AB=10 ， AC=3 ，

∵△ AEO ∽△ ABC ， ∴= ，

∴AE=

=

，

∴EC=AC ﹣ AE=

，

∴EH=

EC=

，

∵∠ EDH= ∠A ，

∴ s in ∠A=sin ∠ EDH ，

∴

= ，

∴DE=

= =

．，

28．（ 12 分） 如图 1，二次函数 y=﹣ x 2

+bx+c 的图象过点 A （ 3， 0）， B （ 0，4）两点，动

点 P 从 A 出发，在线段

AB 上沿 A →B 的方向以每秒

2 个单位长度的速度运动，过点

P 作

PD ⊥ y 于点 D ，交抛物线于点 C ．设运动时间为

t （秒）．

（ 1）求二次函数 y=﹣ x 2

+bx+c 的表达式；

（ 2）连接 BC ，当 t= 时，求 △ BCP 的面积；

（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点

Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O →A 的方向以

1 个单位长度的速度运动．当点 P 与 B 重合时， P 、 Q 两点同时停止运动，连接

DQ ， PQ ，

将△ DPQ 沿直线 PC 折叠得到 △ DPE ．在运动过程中，设 △ DPE 和 △ OAB 重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系及 t 的取值范围．

【分析】（ 1）直接将 A 、B 两点的坐标代入列方程组解出即可； （2）如图 1，要想求 △ BCP 的面积，必须求对应的底和高，即 PC 和 BD ；先求 OD ，再求

BD ， PC 是利用点 P 和点 C 的横坐标求出，要注意符号；

（3）分两种情况讨论： ① △ DPE 完全在 △OAB 中时，即当 0≤t ≤ 时，如图 2 所示，重合

部分的面积为 S 就是 △ DPE 的面积； ② △ DPE 有一部分在 △ OAB 中时，当 ＜ t ≤2.5 时，

如图 4 所示， △ PDN 就是重合部分的面积 S ．

2

中得：

【解答】 解：（ 1）把 A （ 3， 0）， B （ 0，4）代入 y=﹣ x +bx+c

解得

，

∴二次函数 2

2

x+4 ；

y= ﹣ x +bx+c 的表达式为： y=﹣ x + （2）如图

1，当 t= 时， AP=2t ，

∵PC ∥x 轴，

∴

，

∴

，

∴OD=

= ×=

，

2

当 y=

时， =﹣x + x+4，

3x 2

﹣ 5x ﹣ 8=0，

x 1=﹣ 1， x 2= ，

∴C （﹣ 1，

），

由

得 ，

则 PD=2，

∴S △BCP = ×PC ×BD= ×3× =4；

（ 3）如图 3，

当点 E 在AB 上时，

由（ 2）得 OD=QM=ME=

，

∴EQ=

，

由折叠得： EQ ⊥ PD ，则 EQ ∥ y 轴

∴ ，

∴，

∴t=，

同理得： PD=3 ﹣，

∴当 0≤t≤时，S=S△PDQ=×PD×MQ=×（3﹣）×，2

S=﹣t +t；

当＜ t≤2.5 时，

如图4， P′D′=3﹣，

点Q与点 E 关于直线P′C′对称，则Q（ t， 0）、E（ t，），

∵AB的解析式为：y=﹣x+4，

D′E 的解析式为：y=x+t，

则交点N（，），

∴S=S△P′D′N=×P′D′×FN=×（3﹣）（﹣），

∴S=t2﹣t+．