排列组合问题之捆绑法插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。

例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？

【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有

种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步

乘法原理，总的排法有种。

例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？

【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。

【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。

“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。

例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：

。

例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。

例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。

【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。

练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）

A．20 B．12 C．6 D．4

插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢?下面先给各位考生看一道题目：

②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余;

③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

下面再给各位看一道例题：

例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有( )种不同方法.

A.35

B.28

C.21

D.45

【解析】这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。

其实此题还是用“插板法”，只是要做一些小变化，详解如下：

夹板定理。10台阶看错10个球，10个球摆成一排，中间共有9个空格。要8步走完，就相当于9个空格里放7个板，把10个球分成8分。（每个空格最多一个板，7个板无论怎

样放，每份都能够保证小于等于3）所以就相当于组合C9,7=36

排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。

例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）

麻绳绳扣打法图示

麻绳的绳扣制作方法 麻绳在使用过程中，由于使用的场合不同，需将麻绳打成各式各样的绳结，以满足不同的需要。如麻绳与麻绳的连接，麻绳与吊钩、吊环的连接，作捆绑的绳结等。麻绳的几种常用绳结及其打结方法步骤如下。 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即 被拆开，拆开方便而迅速。

图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，

排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求

排列组合问题之 插板法应用小结!

数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

绳结的捆绑法

绳结的捆绑法 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即被拆开，拆开方便而迅速。

图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，

(小学奥数)7-5-4 组合之插板法.教师版

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合 技巧，如排除法、插板法等． 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某 项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的 组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321 m m n n m m P n n n n m C m m m P ?-?-??-+==?-?-????（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个 元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法． 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n n C =，01n C =． 7-5-4.组合之插板法 知识要点 教学目标

插板法插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C

各种绳结的介绍用途和打法

各种绳结的介绍用途和打法——不错不错！转了。。。 转载自安飞龙崔海斌转载于2010年07月08日 09:01 阅读(0) 评论(0) 分类：个人日记 举报 半结Overhand Knot 简介：所有绳结的基本结。 用途：防止滑动、或是在绳子未端绽开时可做为暂时防止继续脱线。 缺点：当结打太紧或弄湿时很难解开。 八字结 Figure-of-Eight Knot 简介：打法简单、易记。 用途：可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。 特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开。

平结Reef Knot 用途：将同一条绳的两端绑在一起。适用于连结同样粗细、同样质材的绳索；但不适用在较粗、表面光滑的绳索上。 特征：缠绕方法一旦发生错误，结果可能会变成个不完全的活结，用力一拉结目就会散开。其结目如果拉得太紧，就不太容易解开；不过如果双手握住绳头，朝两边用力一拉，就可轻松解开。 秘诀：左搭右、右搭左。 称人结 Bowline 简介：被称为绳结之王，为世界上最广为欢迎，于各种户外运动，甚至各行各业或日常生活中频繁的使用到。 用途：当绳索系在其它物体或是在绳索的末端结成一个圈圈时使用 特征：宜结宜解、配合保固安全性高、用途广泛、变化多端

双套结Clove Hitch 简介：其它绳结的开头和结束之用。 用途：通常应用在两端施力均等的物品上，适用于水平拉力之下。 三套结 Lashing for Shear 简介：作用和双套结相同，但较为牢固。 用途：应用在垂直方向的拖力。 其它：又称为转动结( Rolling Hitch)，马格纳斯结 ( Magnus Hitch ) ，拉绳结 ( Taut-line Hitch)，止索结 ( Stopper Hitch ) 。 渔人结 Fishermans Knot 简介：此结十分容易打，但很难拆开。故应尽量避免用在一些质地好的绳上，也不好用在会扯得很紧的绳上，因扯紧后，很难解开。 用途：将两条绳绳连接一起，通常是硬和软的两条绳。

实用绳结

实用绳结 教学目标： 1、使学生认识到绳结是劳动人民是劳动生产和日常生活中摸索总结出来的非常实用的劳动本领之一。 2、教会学生掌握几种常用的绳结法，提高生活技能，培养学生的技术意识。 3、使学生了解平凡的劳动中也有发明创造。 教学重点： 通过本课的学习，规范几种结绳的方法，学习并掌握几种绳结技术。 教学难点： 学习并掌握几种特殊绳结的方法。 教学准备： 彩色绒绳，绳结示意图 教学过程： 1、出示有关图片 人们在生产劳动的过程中，或在日常生活里，需用绳子捆绑系结的东西是很多的，比如物体的连结、悬挂、固定、紧扎以及对牲畜野兽的捕捉等等，都需用到绳子系结。 2、出示打结方法示意图，教师边讲解边演示操作，学生在自己坐位上跟着一个一个地进行练习。 （1）半结：所有绳结的基本结。可防止滑动、或是在绳子未端绽开

时可做为暂时防止继续脱线。缺点，当结打太紧或弄湿时很难解开。（2）八字结：打法简单、易记，可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开 （3）平头结：快速、方便 （4）蝴蝶结：绑鞋带时最常使用的结，它在日常生活中出现的频率相当高，只要拉两端的绳头，结目就会自动解开。完成的形状非常美观，经常作为装饰用。 （5）接绳结：用途，将两条绳按在一起。特征：容易解开。 （6）平结：又称连接结，适用于连结同样粗细、同样质材的绳索。（7）双环结：广泛地应用在将绳索绑系在物体上的双环结，它不但简单而且实用。 3、组织学生前后座位的4人小组，就课堂中介绍的几种打绳结方法，进一步开展互教互学，做到准确、熟练。 4、每个小组选派一位代表，讲台前进行打绳结比赛，看谁结得又快又准。 5、学生评价。 6、游戏：绳编织（或捆扎） 7、课堂小结： 以上几种绳结技法是可以综合运用的，而且还可以有多种变化，希望你们能创造出更加方便、实用的打结方法。 8、课外作业： 收集各种中国结。

(推荐)排列组合问题之插板法

排列组合问题之插板法： 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？ 例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法? 【解析】：题目中球的分法共三类： 第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。 第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C17=7。 所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下3个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。

排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？ 图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法. 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这n个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素?(3)分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明 把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？ 问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用 e二次插板法?例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？?－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种 【基本解题思路】 将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。

隔板法解决排列组合问题高高三

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？ （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中 选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小 球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即12个相同 的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子，即12个 相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有 4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3 15455 C=种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可 以装在1个盒子或两个盒子，共有12 4410 C C +=种。 法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小 球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3 510 C= 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

巧用隔板法解排列组合题

巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:

户外常用结绳方法

为什么绳结是必要的呢？ 假设我们先取一条长度适中的绳索。在野外，光是靠这一条绳子就可以变成“魔法绳索”。不管是当成晒衣架、物品的整理、包装、野营、备用鞋带或是路时的标旗等等，如能好好的处理，应该可以使用在各种用途上。因此，我们不能不了解隐藏着无限可能性的绳索的结绳法。在任何一方面都很有益助。可惜的是，似乎还有少数的人不会使用绳结。也许有些登山人士或露营的人会说：“就算完全不了解结绳，也不会有什么不便呀！”的确如此，就算不懂绳结仍旧可以登山、可以野营。不过，能够自由自在地操作一条绳索，将可加倍享受活动的乐趣。更甚者，在危急的时候，它就发挥了莫大的功效了。我们可以说，在变化万千的大自然里，户外活动是一种有创意是靠自己所营造出来的世界。而在这里，结绳法是不可欠缺的技术之一。可是和事实相反的是，一般大众收集了所有有关户外活动的最新资料杂志，却只是一一的照着所谓的《使你的户外活动更有趣的方法》入门书上所记载的东西去做，既没有自己的创意也没有灵活运用。一遇到书上所没写的状况，那就呼天不应呼地不灵了。这已经不是野外生活，而是野外生活方式了。如果您想拥有一个有创造性的户外活动，还是练就一身结绳技术以备不时之需吧！ 留意结绳的清理 北阿尔卑斯山的剑峰，因为它的雄壮，造就了如此荒蛮的景色而深深地吸引着我，并可说是我最喜爱的山。欲攀登此峰须利用滑雪缆绳。正因为此种交通设施，使得我们得以不须受苦便能接触剑峰的自然景观。不过，这也可以做为破坏自然中最佳的例证。人类为追求自然而走向山林。有时，乘坐着排满废气的车子，行驶于森林中开筑的林道。而延绵到山顶的登山道路，不知道从何时开始，附近的植物都早已因大批登山客的践踏而慢慢减少。在日本，也有很多山区正在进行道路的加宽以及裸地化的工作。

结绳法

救助技术综合操中结绳方法是结合南、北片区比武的实际情况，从比武竞赛和实战安全角度出发，统一结绳方法和评判标准。在24个绳结中需要打半结加固的绳结为9个，分别是：双重连结、三套腰结、缚带连结、腰结、锚结、双平结、卷结、单股活扣连 结、双绕双结。半结加固后，余长长度应为10-30厘米。 结绳法（34个） 绳索连结的基本方法、保护与注意事项 一、结节（8个）： 半结、单结、止结、蝴蝶结、8字结、双股单结（抓手扣）、双套腰结、三套腰结 1.半结：只能用于加固绳索（不能单独使用） 2.单结：用于在绳索的末端打结，防止绳索从滑轮或孔洞处滑落，以及绳索从切断的一段滑落。 3止结：用于绳索上打结（比单结牢固，但容易解开）。 4.蝴蝶结：主要用于在绳索中间制作绳圈。在展开时，蝴蝶结是不可缺少的结法。 5.“8”字结：主要用于将绳挂在树木或钩上，然后勒紧的场合。 6.双股单结（抓手扣）：主要用于需要在绳的中间制作绳圈的场合。 7.双套腰结（椅子结）：主要用于在绳索中间部位制作绳圈或救出伤病员的场合。8.三套腰结 二、结结（8个）： 腰结、卷结、双绕双结、锚结、捻结、交叉连结、纤绳连结、梅花结

1.腰结:与绳的粗细无关，结着时容易，解开时也容易；是比较安全牢固的系法，主要用于缚着人或树木等场所。 2.卷结：用于将绳索的末端或中间部位系在物体上，也可以做支点。 3.双绕双结：用于将绳的末端或中间部位系留在物体上等场合。在绳索的展开及悬垂绳的系结上，它是比较安全牢固的结法。 4.锚结：主要用于在小型锚上系锚索，或在水桶等物上面系绳索的场合。 5.捻结:用于捆绑表面光滑的圆柱体（如木材）等，绑紧后由于摩擦，不易脱落，是一种比较安全的方法。 6.交叉连结：用于在光滑的物体上系绳索。 7.纤绳连结：用于拉拽圆木，吊升气瓶等。 8.梅花结（栓马扣） 三、接合（6个）： 双平结、双重连结、水手结、床单连结、反穿单结、反穿止结 1.双平结：适合于将相同粗细的绳索连结在一起，将粗细不同或者材料不同的绳索结合在一起时容易造成脱落，因此必须十分注意。双平结是结合的最基本的方法。将结法搞错容易变成反扣，反扣不实用，也是非常危险的结法。 2.双重连结：用于粗细相同或材质不同及潮湿的两根绳索的连接。 3.水手结 4.床单连结：紧急情况下的逃生。 5.反穿单结 6.反穿止结 四、身体结索（7个）：

行测答题技巧：插板法解决排列组合问题

行测答题技巧：插板法解决排列组合问题 一、直接使用插板型 例1、把9个苹果分给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种?()(2010年河南政法干警考试A卷第41题) A.30 B.40 C.50 D.60 答案：D。该问题用分类计数法较复杂，但可以将9个苹果排成一行,9个苹果中间就出现8个空挡，再用,4个挡板把9个苹果分成有序的5份，每个人就依次按序分到对应的n个苹果(可能是1个﹑2个﹑3个﹑4个、5个)。即在8个空挡中插入4个挡板，由4个挡板把球分成5份,共有C84种方法。 在这道题目中，直接符合了使用插板法的2点要求：(1)每个苹果都相同;(2)每个人都至少拿到1个苹果。 二、一组多元素型 例2、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?()(2010年国家公务员考试行测第46题) A.12 B.10 C.9 D.7 答案：B。先拿出24份材料，每个部分发8份，这时变成"6份材料发给3个部门，每个部门至少发1份"，再利用插板法，在5个空中插上2个挡板：C52=10(种)发放办法。 在这道题中，显然不符合使用插板法的第二点要求："每组中至少分得一个元素"。题目要求"每个部分至少发放9份材料"，因此可以把题目稍作变形，先给每个部分发8份材料，题目就变成了"每个部分至少发1份材料"，符合使用插板法的2个要求，可以使用插板法。 三、允许空组型

例3、6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种分配方法?() A.16 B.20 C.24 D.28 答案：D。先"借"给每个小朋友一个苹果，现在一共有6+3=9个苹果。我们现在将这9个苹果分给3个小朋友，为了偿还刚才"借"的苹果，要求现在分配的时候"每个小朋友至少得到1个苹果"，在8个空中插上2个挡板：C82=28(种)方法。 这道题中，题目要求"6个相同的苹果分给3个小朋友"，允许有空组的存在，显然不符合使用插板法的第二点要求："每组中至少分得一个元素"，因此，先"借"给每个小朋友一个苹果，之后要求每个小朋友至少分得1个苹果，再把分得的苹果中拿出一个偿还，这就使题目变形符合使用插板法的2点要求，可以使用插板法。 从上面几道题目中不难看出，元素分组问题使用插板法后能变得较为简单。而使用插板法有2个要求：①元素相同;②每组中至少分一个元素。如果题目中的要求不符合其中一项，可将题目变形，使题意符合这2个要求，再使用插板法。

结绳法总结

结绳法（34个） 第一节绳索连结的基本方法、保护 与注意事项 一、结节（8个）： 半结、单结、止结、蝴蝶结、8字结、双股单结（抓手扣）、双套腰结、三套腰结 1.半结：只能用于加固绳索（不能单独使用）。 2.单结：用于在绳索的末端打结，防止绳索从滑轮或孔洞处滑落，以及绳索从切断的一段滑落。 3.止结：用于绳索上打结（比单结牢固，但容易解开）。 4.蝴蝶结：主要用于在绳索中间制作绳圈。在展开时，蝴蝶结是不可缺少的结法。 5.“8”字结：主要用于将绳挂在树木或钩上，然后勒紧的场合。 6.双股单结（抓手扣）：主要用于需要在绳的中间制作绳圈的场合。 7.双套腰结（椅子结）：用于在绳索中间部位制作绳圈或救出伤病员的场合。 8.三套腰结 二、结着（8个）：

腰结、卷结、双绕双结、锚结、捻结、交叉连结、纤绳连结、梅花结 1.腰结:与绳的粗细无关，结着时容易，解开时也容易；是比较安全牢固的系法，主要用于缚着人或树木等场所。 2.卷结：用于将绳索的末端或中间部位系在物体上，也可以做支点。 3.双绕双结：用于将绳的末端或中间部位系留在物体上等场合。在绳索的展开及悬垂绳的系结上，它是比较安全牢固的结法。 4.锚结：主要用于在小型锚上系锚索，或在水桶等物上面系绳索的场合。 5.捻结:用于捆绑表面光滑的圆柱体（如木材）等，绑紧后由于摩擦，不易脱落，是一种比较安全的方法。 6.交叉连结：用于在光滑的物体上系绳索。 7.纤绳连结：用于拉拽圆木，吊升气瓶等。 8.梅花结（栓马扣） 三、接合（6个）： 双平结、双重连结、水手结、床单连结、反穿单结、反穿止结 1.双平结：适合于将相同粗细的绳索连结在一起，将

隔板法在排列组合中的应用

在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。 例1. 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 ［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明。 技巧一：添加球数用隔板法。 ○ ○ ○∣○ ○ ○∣○ ○ ○ ○ 例2. 求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。 ［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为C122=66（个）。 ［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法： 例3. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由

例1知方法有C133=286（种）。 解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。 ［点评］ 两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。 例4. 为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ ［分析］ 记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例2知有C51种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有C61种方法。故由分步计数原理知，方法共有C51* C61 (种)。［点评］ 对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。