排列组合插板法插空法捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)

插板法(m为空得数量)

【基本题型】

有n个相同得元素,要求分到不同得ｍ组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？

?

图中“”表示相同得名额,“"表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板”得一种插法恰好对应了10 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,

【总结】?需满足条件:n个相同元素,不同个m组,每组至少有一个元素,则只需在n个元素

得ｎ—1个间隙中放置ｍ—１块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。?

注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。

插板法就就是在n个元素间得(n-1)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(ｂ+１)组得方法.?应用插板法必须满足三个条件:?(１)这ｎ个元素必须互不相异

(2)所分成得每一组至少分得一个元素

(3) 分成得组别彼此相异

举个很普通得例子来说明?把1０个相同得小球放入３个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况??问题得题干满足条件(1)(2),适用插板法,c9 2＝３6 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用?e 二次插板法

例８:在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加３个节目,共有几种情况？

—o - o - o —ｏ－o －o －三个节目ａbｃ?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插８个空位,用最后个节目去插９个空位?所以一共就是c7 1×c81×ｃ9 １=５04种

【基本解题思路】

将ｎ个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(ｍ-１)个“档板”插入(ｎ－1)个空档中,就把n个元素隔成有序得m份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是1个、2个、３个、4个、….),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到ｍ组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。?

【基本题型例题】

【例１】共有10完全相同得球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法？?解析:我们可以将10个相同得球排成一行,10个球之间出现了９个空隙,现在我们用6个档板"插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序得7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置得几个球(可能就是1个、2个、3个、4个),这样,借助于虚拟“档板"就可以把10个球分到了7个班中。?

【基本题型得变形(一)】

?题型:有ｎ个相同得元素,要求分到m组中,问有多少种不同得分法？?解题思路:这种问题就是允许有些组中分到得元素为“0",也就就是组中可以为空得。对于这样得题,我们就首先将每组都填上１个,这样所要

元素总数就m个,问题也就就是转变成将(n＋m)个元素分到m组,并且每组至少分到一个得问题,也就可以用插板法来解决。

?【例2】有８个相同得球放到三个不同得盒子里,共有()种不同方法。?A。35 B、2８ C.21 D、４5?解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加1个,则球得总数为8+3×1=１１,此题就有C(10,２)=4５(种)分法了,选项D为正确答案、

【基本题型得变形(二)】

题型:有n个相同得元素,要求分到ｍ组,要求各组中分到得元素至少某个确定值S(s>1,且每组得s值可以不同),问有多少种不同得分法？??解题思路:这种问题就是要求组中分到得元素不能少某个确定值ｓ,各组分到得不就是至少为一个了。对于这样得题,我们就首先将各组都填满,即各组就填上对应得确定值s那么多个,这样就满足了题目中要求得最起码得条件,之后我们再分剩下得球。这样这个问题就转变为上面我们提到得变形(一)得问题了,我们也就可以用插板法来解决。

【例3】15个相同得球放入编号为1、2、3得盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同得放法?

解析:

编号1:至少1个,符合要求。

编号２:至少2个:需预先添加１个球,则总数—１

编号3:至少3个,需预先添加2个,才能满足条件,后面添加一个,则总数－２

则球总数15-１-2＝12个放进3个盒子里

所以C(11,2)=５5(种)

【例】10 个学生中,男女生各有5 人,选4 人参加数学竞赛。

(１)至少有一名女生得选法种数为__＿＿__＿__＿_____。

(2)Ａ、B 两人中最多只有一人参加得选法种数为＿＿＿＿＿_＿__＿_

解法1:１0 名中选4 名代表得选法得种类:Ｃ104, 排除4名参赛全就是男生:C54 (排除法)C104 —－－－C５4=２05

解法2:选1女生时,选２个女生时,选3、4个女生时得选法,分别相加

(2010年国考真题)某单位订阅了３0份学习材料发放给３个部门,每个部门至少发放９份材料、问一共有多少种不同得发放方法？() A.7 Ｂ.9 Ｃ。10 D、１２

解析:每个部门先放8个,后面就至少放一个,三个部门则要先放８×３=2４份,还剩下30－24=6份来放入这三个部门,且每个部门至少发放１份,则C(5,2)=１0

插空法

插空法就就是对于解决某几个元素要求不相邻得问题时,先将其她元素排好,再将所指定得不相邻得元素插入它们得间隙或两端位置。首要特点就就是不相邻。下面举例说明、

一。数字问题

【例】把1,２,３,４,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻得五位数,则所有不同排法有多少种?

解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,５三个元素排定,共有种排法,然后再将1,2插入四个空位共有种排法,故由乘法原理得,所有不同得五位数有

二. 节目单问题

【例】在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目得相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同得添加方法共有多少种？

解析:—o －o - o －o - ｏ— o －六个节目算上前后共有七个空位,那么加上得第一个节目则有种方法;此时有七个节目,再用第二个节目去插八个空位有种方法;此时有八个节目,用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得,所有不同得添加方法为:。

三。关灯问题

【例】一条马路上有编号1,２,3,４,5,6,７,8,9得九盏路灯,为了节约用电,可以把其中得三盏灯关掉,但不能

同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同得关灯方法有多少种？

解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着得灯瞧作六个元素,然后用不亮得三盏灯去插七个空位(用不亮得3盏灯去插剩下亮得６盏灯空位,就有７个空位)共有种方法,因此所有不同得关灯方法为种、

四。停车问题

【例】停车场划出一排12个停车位置,今有８辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同得停车方法有多少种？

解析:先排好８辆车有种方法,要求空位置连在一起(剩下４个空位在一起,来插入8辆车,有9个空位可以插),将空位置插入其中有种方法、所以共有种方法。

五、座位问题

【例】3个人坐在一排８个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法得种类有多少种？

解法:先拿出５个椅子排成一排,在５个椅子中间出现4个空,再让3个人每人带一把椅子去插空,于就是有种。

捆绑法

解答:根据题目要求,则其中一个盒子必须得放２个,其她每个盒子放1个球,所以从６个球中挑出2个球瞧成一个整体,则有26C ,这个整体与剩下4个球放入5个盒子里,则有55A 、方法就是26C 55A

排列组合中得解题方法之插板法

一、基础理论:

插板就是一个无形得东西即板子,它不能代表一个元素,它区别于插空法、插板法就是用于解决“相同元素”分组问题。判断插板法得题目主要瞧题干中得两个词语:①相同元素 ②至少为1, 如果有这样两个词语一般此题就可以直接插板进行解题。

引例说明:春节前单位慰问困难职工,将10份相同得慰问品分给6名职工,每名职工至少要分得１份慰问品,分配方法共有:

A 、84种

B 、126种

C 。2１0种 Ｄ。252种

【分析】此题第一眼给人得感觉就是能用列举法进行分类解题,但就是细一思考分类得情况太多了,不易计算,因为想用插板法解题一般就是分两类或三类。而插板法就可以使这种为题迎刃而解。利用无形得板子把其分割开来。

【解析】“10份慰问品相同且每人至少得１份”,满足插板法得两个前提①相同元素②至少为１,故可直接使用插板法。将10份慰问品依次排成一条直线,我们用插板得形式把慰问品分给6名职工,中间形成９个空,插上第1个板子,则第一个板子之前得分给第一名职工,在后面又插了一个板子,表示第1个板子与第２个板子之间得分给第二名职工,依次类推,因为要分给6个人,所以要插5个板子,第５个板子之后得分给第六名职工,所以只要板子固定了,那么每名职工分几份慰问品就固定了。

所以10分慰问品中间形成了9个空;分给6个人,插入5个板;共有=12６种分配方法。

注:估计有得同学会问,为什么第一个慰问品之前得位置与最后一个慰问品之后得位置不能放板子。其实原因在于“每名员工至少分１份慰问品”,如果在第一个慰问品之前得位置放板子那么第一名职工就一份分不到了,如果在最后一个慰问品之后得位置放板子那么最后一名职工就一份分不到了。

二、真题举例:

例1、假设x、y、z就是三个非零自然数,且有ｘ+y+z=36,则共有多少组满足条件得解？

A、700 B.665 C、6３0 D、59５

【分析】此题可以瞧做就是36块糖排成一排,即元素相同;由于x、y、z就是非零自然数,即至少为1, 问题:x+y＋z＝36,顺便瞧成3个人来分这36块糖。满足插板法应用条件。

【解析】根据题意,３6块糖内部形成3５个空位,分给三个人,需要插两个板子,故有=５95种,而一种分法对应着一组解,如x=１,y＝1,z=34,就就是一组解。共有595组解。因此,选D、

例2、将10本没有区别得图书分到编号为1、2、３得图书馆,要求每个图书馆分得

图书数量不小于其编号数,问共有多少种不同得分法？( )

A。12 B.1５ C.３0 Ｄ.45

【分析】根据题意,“1０本没有区别得图书"即相同元素,“要求每个图书馆分得

图书数量不小于其编号数“即1号图书馆至少分1本,2号图书馆至少分两本,３号图书馆至少分3本,分析完题意之后发现似乎不满足插板法得前提条件至少为1,类似得这种题目我们只需要适当变形就可利用插板法解题、

【解析】１号图书馆至少分１本,已经满足至少为１,不用变形。而2号图书馆至少分两本,所以可从１0本中取出一本先给2号图书馆。而3号图书馆至少分3本,可以从１0本中取出两本书给3号图书馆,所以在给出一本与两本,那么还剩下7本,现在1号,2号,3号图书馆至少在发放一本书就可以满足了,那么此时就可以用插板法解题。

所以答案就是＝15

小结:题目中一般有相同元素,至少为什么,此题都可用插板法解题,所以大家要不断熟悉插板法得应用。

三、插板法与列举法得对比

例３、１0个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同得分配方法？

A、34种Ｂ、36种Ｃ.40种 D、42种

【答案】B

【列举法】先每个班级分一个名额,然后剩下两个名额,①如果两个名额分到一个班级里面则有 ,②如果两个名额分到两个班级里面则有种分法,则共有8+2８=36.

【插板法】１0个名额９个空,插入7个板,共有种分配方法。

例４、某单位订阅了30份学习材料发放给３个部门,每个部门至少发放９份材料。问一共有多少种不同得发放方法? ( )

A.7 B、9 C.10 D、12

【答案】C

【列举法】每个部门得材料数分布情况不同得分法种数

(9,９,12) ３种

(９,1０,１1) 6种

(１0,１0,10) １种

所以共有3+６+１=10种。

【插板法】３个部门每个部门先发８份,让其满足插板法,２０－8×3=６,计算: 。

小结:通过例３与例4来瞧,列举法可以叫做排列组合得通法,但就是遇到个别得题目必要时也要用插板法。

排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。

例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）

麻绳绳扣打法图示

麻绳的绳扣制作方法 麻绳在使用过程中，由于使用的场合不同，需将麻绳打成各式各样的绳结，以满足不同的需要。如麻绳与麻绳的连接，麻绳与吊钩、吊环的连接，作捆绑的绳结等。麻绳的几种常用绳结及其打结方法步骤如下。 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即 被拆开，拆开方便而迅速。

图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，

十二个技巧速解排列组合题

有关排列组合的常用解题技巧 排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略． 1．相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有[ ] A ．60种 B ．48种 C ．36种 D ．24种 分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人全排列，＝种，故选．P 24D 44 2．不相邻问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ] A ．1440 B ．3600 C ．4820 D ．4800 分析 5P 6P P P 3600B 55 62 55 62 除甲、乙外，其余个排列数为种，再用甲、乙去插个空位有种，不同排法种数是＝种，故选． 3．多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理． 【例3】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ] A ．36 B ．120 C ．720 D ．1440． 分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素 排成一排，共＝种，故选．P 720C 66 【例4】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？ 分析 22P 1P 55P P P 57604 2 41 55 41 42 看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排个，有种；某个元素在后半段四个位置中选一个，有种；其余个元素任排在剩余的个位置上有种，故共有＝种排法． P 55 4．定序问题倍缩法（标号排位问题分步法） 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． （把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．） 【例5】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]

排列组合问题教师版

二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443

排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求

排列组合问题之 插板法应用小结!

数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

排列组合问题,常见解题策略

排列组合问题，常见解题策略 曹永玉 排列组合问题是高考的必考内容，也是高考题中正确率最低的题目之一。究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题，这样有利于学生认识模式，进而熟练应用。本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略，以期对大家有所帮助。 一、排列问题 1.某个（或某几个）元素要排在指定位置——特殊元素“优先法”。 例1. 乒乓球队的10 名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力要排在第一、三、五位置，其余7队员中选2名排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？ 解析：3名主力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有A72A33种可能，然后从其他队员中选2 人安排在第二、四位置，有A72种排法，因此结果有A33种。 点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。 2.某个元素不排在指定位置——排除法。 例2． 5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少？ 解析1：（排除法）5人的全排列数A55，其中甲在排头的排列数A44，故甲不在排头的排列数A55 --A44=96种 解析2：（特殊元素优先法）：先从余下的4个位置中选一位置排上，甲有

A41种方法，然后其他4个元素排在余下的四个位置A44，所以总计A44A41种排法。 解析3：（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人中选出一人排在特殊位置——排头A41，然后其他四个元素排在余下的4个位置A44，所以总计A41A44种排法。 3. 相邻问题——捆绑法 例3． 4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多少种排法？ 解析：4名女生看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列A55，但这4名女生内部又有顺序A44，故A44A55种不同排法。 4. 小团体问题——捆绑法 例4．5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？ 解析：先从甲、乙之外的3人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有C31A22种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有A33种。因此共A31A22A33种不同站法。 5. 不相邻问题——插空法 例5．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法有多少？ 解析：先将5个独唱节目排列A55，形成的6个空挡中，从后面5个空挡中选3个排在舞蹈节目A53，故有A55A53种不同排法。 6. 定序排列问题——缩短法 例6．书架上有6本书，新买了3本书插进去，保持原来6本书的顺序不变，有多少种排法？ 解析：9本书作全排列A99，考虑到原来6本书的顺序不变，原来的每一种

高中数学排列组合难题十一种方法教师版

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法

排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

绳结的捆绑法

绳结的捆绑法 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即被拆开，拆开方便而迅速。

图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，

数学解排列组合应用题的21种策略

解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列， 4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同 的排法种数是525 63600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

高考数学专题七：排列组合二项式定理教师版教师原创 全国通用

高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、高考考试说明 计数原理 （１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． （２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： １．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． ２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 １．排列与排列数 （１）排列： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个排列． （２）排列数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!. ２．组合与组合数 （１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． （２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!. ３．排列数、组合数的公式及性质 注意： １．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． ２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）． ３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． ４．排列问题与组合问题的识别方法：

插板法插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C

各种绳结的介绍用途和打法

各种绳结的介绍用途和打法——不错不错！转了。。。 转载自安飞龙崔海斌转载于2010年07月08日 09:01 阅读(0) 评论(0) 分类：个人日记 举报 半结Overhand Knot 简介：所有绳结的基本结。 用途：防止滑动、或是在绳子未端绽开时可做为暂时防止继续脱线。 缺点：当结打太紧或弄湿时很难解开。 八字结 Figure-of-Eight Knot 简介：打法简单、易记。 用途：可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。 特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开。

平结Reef Knot 用途：将同一条绳的两端绑在一起。适用于连结同样粗细、同样质材的绳索；但不适用在较粗、表面光滑的绳索上。 特征：缠绕方法一旦发生错误，结果可能会变成个不完全的活结，用力一拉结目就会散开。其结目如果拉得太紧，就不太容易解开；不过如果双手握住绳头，朝两边用力一拉，就可轻松解开。 秘诀：左搭右、右搭左。 称人结 Bowline 简介：被称为绳结之王，为世界上最广为欢迎，于各种户外运动，甚至各行各业或日常生活中频繁的使用到。 用途：当绳索系在其它物体或是在绳索的末端结成一个圈圈时使用 特征：宜结宜解、配合保固安全性高、用途广泛、变化多端

双套结Clove Hitch 简介：其它绳结的开头和结束之用。 用途：通常应用在两端施力均等的物品上，适用于水平拉力之下。 三套结 Lashing for Shear 简介：作用和双套结相同，但较为牢固。 用途：应用在垂直方向的拖力。 其它：又称为转动结( Rolling Hitch)，马格纳斯结 ( Magnus Hitch ) ，拉绳结 ( Taut-line Hitch)，止索结 ( Stopper Hitch ) 。 渔人结 Fishermans Knot 简介：此结十分容易打，但很难拆开。故应尽量避免用在一些质地好的绳上，也不好用在会扯得很紧的绳上，因扯紧后，很难解开。 用途：将两条绳绳连接一起，通常是硬和软的两条绳。

解排列组合问题的利器之一：“隔板法”

解排列组合问题的利器之一：“隔板法” 发表时间：2014-01-20T14:00:41.903Z 来源：《职业技术教育》2013年第10期供稿作者：赵善辉[导读] 上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，方程的一组解（x1，x2，x3，x4） 赵善辉（山东省齐河县职业中专山东德州251114） 排列、组合是历年对口高考必考内容之一,它联系实际,生动有趣,题型多样,思路灵活。教材中出现的解决这类问题常见的方法有插空法、捆绑法、排除法等，本文在这里介绍教材里没有出现的一种方法——隔板法。 隔板法可解决相同元素的分配问题，在相同元素之间插入隔板来达到分配的目的，它强调的是分配之后每组元素的个数,而与每一组包含哪几个元素无关。 【例1】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，每所学校至少一个，有多少种不同的分法？ 解析：可把8个相同的篮球排成一列，8个篮球中间有7个空隙（不包括两端），用3个隔板分别插在7个空隙中，把8个篮球分成4组，例如OOIOOOIOIOO依次分配给甲乙丙丁四所学校的篮球数为2、3、1、2，所以每一种分隔法都对应了一种分法,于是分法种数为C73=35。 上述问题还可以转化为方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，方程的一组解（x1，x2，x3，x4）对应一种分配方案，有8个1排成一列，中间有7个空隙（不包括两端），7个空隙中选出3个分别插入3个“+”，8个1被分成4组，每种插入方法对应着方程的一个解，此方程正整数解的个数为 C73=35。 【例2】把8个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，有多少种不同的分法？ 解析：设分给甲乙丙丁四所学校的篮球数分别为x1、x2、x3、x4，方程x1+x2+x3+x4=8（x1∈N，x2∈N, x3∈N，x4∈N）解的个数即为分配方案的种数，（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）=8+1+1+1+1=12。 设x1+1=y1，x2+1=y2，x3+1=y3，x4+1=y4， y1+y2+y3+y4=12 （y1∈N，y2∈N，y3∈N，y4∈N） 两个方程解的个数相同，由【例1】中的方法知，第二年方程的解有C113=165个，方程x1+x2+x3+x4=8（x1∈N，x2∈N,x3∈N，x4∈N）解的个数为C113=165，所以有165种分法。 可用借球法这样解释：本题中有的学校可能没分到球，先借4个球分别给4个学校，以上问题变成了：12个相同的篮球任意分给甲乙丙丁四所学校，每所学校至少一个，有多少种不同的分法？用隔板法可得有C113=165种分配方案。 隔板法在解题过程中带有一定的格式化、程序化,可使解题过程简单明了、快捷准确，但任何一种方法都不是包治百病的灵药，在解决具体问题时还应灵活掌握，各种方法综合运用。 以下几题，同学们可小试牛刀。 练习：（1）把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法? A.190 B.171 C.153 D.19 （2）（a+b+c+d）10的展开式中共有多少项？ （3）在所有的三位数中，各位数字之和是19的数共有多少个？ 答案：（1）B (2)C143=364 (3)C102=45 【分析】三位数的数字和等于19，这个三位数的三个数字不可能有0。可以想象成19个1排成一排，中间插2个木板，分成三部分，这三部分的和肯定等于19。第一部分是百位上的数字，第二部分是十位上的数字，第三部分是个位上的数字。但是每一部分有可能大于9，不能作为一个三位数的某一个位上的数字，找一个新的三位数，新三位数的每一位加原来三位数的对应位的数字都等于10（百位数字加百位数字，十位数字加十位数字，个位数字加个位数字）。新三位数和老三位数是一一对应的，有多少个这样的新三位数就有多少个这样的老三位数。新三位数的数字和等于30-19=11，可以用“隔板法”，就不会出现上面的问题了。

人教版的高中的数学《排列组合的》教案设计

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

实用绳结

实用绳结 教学目标： 1、使学生认识到绳结是劳动人民是劳动生产和日常生活中摸索总结出来的非常实用的劳动本领之一。 2、教会学生掌握几种常用的绳结法，提高生活技能，培养学生的技术意识。 3、使学生了解平凡的劳动中也有发明创造。 教学重点： 通过本课的学习，规范几种结绳的方法，学习并掌握几种绳结技术。 教学难点： 学习并掌握几种特殊绳结的方法。 教学准备： 彩色绒绳，绳结示意图 教学过程： 1、出示有关图片 人们在生产劳动的过程中，或在日常生活里，需用绳子捆绑系结的东西是很多的，比如物体的连结、悬挂、固定、紧扎以及对牲畜野兽的捕捉等等，都需用到绳子系结。 2、出示打结方法示意图，教师边讲解边演示操作，学生在自己坐位上跟着一个一个地进行练习。 （1）半结：所有绳结的基本结。可防止滑动、或是在绳子未端绽开

时可做为暂时防止继续脱线。缺点，当结打太紧或弄湿时很难解开。（2）八字结：打法简单、易记，可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开 （3）平头结：快速、方便 （4）蝴蝶结：绑鞋带时最常使用的结，它在日常生活中出现的频率相当高，只要拉两端的绳头，结目就会自动解开。完成的形状非常美观，经常作为装饰用。 （5）接绳结：用途，将两条绳按在一起。特征：容易解开。 （6）平结：又称连接结，适用于连结同样粗细、同样质材的绳索。（7）双环结：广泛地应用在将绳索绑系在物体上的双环结，它不但简单而且实用。 3、组织学生前后座位的4人小组，就课堂中介绍的几种打绳结方法，进一步开展互教互学，做到准确、熟练。 4、每个小组选派一位代表，讲台前进行打绳结比赛，看谁结得又快又准。 5、学生评价。 6、游戏：绳编织（或捆扎） 7、课堂小结： 以上几种绳结技法是可以综合运用的，而且还可以有多种变化，希望你们能创造出更加方便、实用的打结方法。 8、课外作业： 收集各种中国结。

排列组合问题的解题方法

第一课时 排列组合问题的解题方法（一） 教学目标： 掌握几类特殊的排列问题的解决技巧. 教学重点：掌握“条件排列”、“集团排列”、“间隔排列”、“部分顺序排列”问题的解题 技巧. 教学难点：如何应用“技巧”解题． 教学过程： 【例析技巧】 一.集团排列问题：部分元素必须安排在一起（相邻）的排列问题，称之为“集团排列” 问题.解决这类问题，常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”部的元素，再把这个大“元素” 与其它元素一起排列即可. 例1 若7位同学站成一排 （1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ （4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？ 解：（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学） 一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有2 2A 种方法．所以这 样的排法一共有62621440A A ?=种. （2）方法同上，一共有55A 33A =720种. （3）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素， 因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾， 有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑” 进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 2 2A =960种方法. 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站 在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=?-A A A 种方法.