空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一 平面的基本性质

【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）

A ．充分不必要条件．

B ．必要不充分条件．

C ．充要条件．

D ．既不充分也不必要条件．

【例2】 判断下面说法是否正确：

①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．

④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．

⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．

【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．无数个

D ．1个或无数个

【例4】 下列推理错误的是（ ）

A ．,,,A l A

B l B l ααα∈∈∈∈??

B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?=

C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合

D ．,l A l A αα?∈??

【例5】 已知点A ，直线l ，平面α，

①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________．

共线问题

【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1

O 典例分析

板块一.对平面的进一步认识

三点（ ）

A ．不共面共线

B ．共线

C ．共面不共线

D ．不共面

【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD

上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．

G F

E

D

C

B

A

P H

【例8】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面

与正方体的下底面相交于直线l ， ①请画出直线l 的位置；

②设l BC G =，求BG 的长．

【例9】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，

,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．

K

R

Q

P N

M

D

B

C A

【例10】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．

【例11】 在正方体 1111ABCD A B C D -中（如图）， 1A C 与截面 1DBC 交于O 点，,AC BD 交于M ，求证：

1,,C O M 三点共线．

M

O

D

D 1

A 1

A

B

B 1

C

C 1

【例12】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，M 是正方体对角线1A C 和截

面11AB D 的交点．求证：O 、M 、A 三点共线．

O

M A

B

C

D

B 1

C 1

D 1

A 1

共面问题 【例13】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．

【例14】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，

A B C D E '''''，，，，

分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点，

求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．

E'D'C'B'A'

F

E

D C

B

A

a

b

【例15】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、 的中点，求

证：这六点共面．

L

G F E D C

B

A

K H A 1

D 1B 1C 1

【例16】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．

⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；

⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．

【例17】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，AC

BD P =，11

AC EF Q =．

⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；

⑵若1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．

【例18】 已知空间四边形ABCD 的对角线是,AC BD ，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,CD ,,DA AC BD

的中点，

求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．

题型二 平面分空间问题

【例19】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？

【例20】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）

A ．5部分

B ．6部分

C ．7部分

D ．8部分

【例21】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）

A ．13部分

B ．19部分

C ．21部分

D ．27部分

【例22】 把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）

A ．11部分

B ．13部分

C ．15部分

D ．17部分

【例23】 右图是一个长方体，问此长方体过点A 的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A ''，

BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成几个部分？

D'

C'

B'

A'

C

B

A

题型三 截面问题

【例24】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面

（ ） A ．邻边不等的平行四边形

B ．菱形但不是正方形

C ．邻边不等的矩形

D ．正方形

【例25】 如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为1，过1A A ，11A B 和AC 的中点E ，

F ，

G 画截面．

E

Q

M P

F

H

G

C 1

B 1

A 1

C

B

A

【例26】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、

R 的截面．

R

S G Q

P

A

B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

E

F M

N

【例27】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．

⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．

A B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

P

F E

Q

中班数学空间方位教案

中班数学空间方位教案 【篇一：幼儿园中班数学教案：找格子】 幼儿园中班数学教案：找格子 设计意图： “找格子”这个数学活动涉及到两个维度：垂直和水平，对空间方位 进行观察和确定。而孩子们常常在一维(或垂直或水平)观察印象的主 导下，凭着“左、右、上、下”的大致印象进行判断。如何引导孩子 从片面观察、大致印象的判断，逐渐学会有序地从垂直和水平两个 维度的观察中进行准确判断是本次活动的重点。 活动中，我以幼儿的实践经验为主导，引导幼儿运用已有的数学知 识经验对方位大胆表达，通过同伴在倾听中的理解和评价进行提升，最终形成有关格子方位的精确的判断和定位。其间，通过幼儿常见 的文件袋、泡沫垫为辅助材料，引导幼儿在和这些加工过的常用物 进行有趣、积极的游戏活动中，激发起幼儿对数学活动的兴趣，增 强参和数学活动的愿望，体验参和数学活动的成就感和自信心。 活动目标： 1．了解幼儿常用的空间位置的判断标准，鼓励幼儿能在已有的“上、下、左、右”以及“横、竖、斜”等方位的基础上，结合数字(第几排第 几格)对位置进行判断。 2．在位置群的观察判断中，鼓励幼儿尝试探索选择一个物体作为参 照物，判断出其他物体的准确位置。 3．体会参和数学活动的快乐和成就感，激发幼儿对数学活动的兴趣。活动准备： 1．方格纸(白色)1张，黑色大纸1张；文件袋20个(用剪裁成条状 的即时贴将塑料文件袋制作成表格状)，泡沫垫20个(正反两面均用

记号笔画成格子图样)；大蝴蝶1只(立体)，蝴蝶即时贴粘纸入手1份。 2．制作动画画面。 活动过程： 1．导入活动：蝴蝶飞到哪里——有关方位词的运用和铺垫。 手指游戏：小手变蝴蝶，听指令上、下、左、右飞飞，横着飞飞， 竖着飞飞，等等。出示蝴蝶，猜测：蝴蝶找谁做朋友，会停在什么 地方? 反思 孩子在以自身为中心的不同方位的“飞行”游戏中，渐渐体验到“上、下、左、右”的飞行变化和“横、竖”的飞行变化之间的关系，这也为“找格子”活动中幼儿将已有的方位经验逐渐过渡提升到对“横”、“竖”两个维度的观察和判断打下了基础。 2．一个固定位置的确定和表达：蝴蝶停在哪里。 (1)展示和提问。 教师将蝴蝶停在设计好的背景中一块空出的方格上，揭开小方格上 的黑色蒙纸。 ①蝴蝶停在哪里? (幼儿回答时，教师根据幼儿的回答用相应的手势动作对应具体的位置进行即时评点和印证。) ②蝴蝶位置只有一个，为什么小朋友的说法那么多? 小结：每个小朋友都有自己的观察顺序和观察方法，所以同一个位 置也有不同的说法。 (2)交流和讨论。 ①怎样观察比较方便?

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

空间位置关系的判断与证明

. . 空间中的线面关系 要求层次 重难点 空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明

. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行． ◆如果一个平面的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平 行． ◆如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面相 交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平 面垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 知识内容

空间中的平行关系练习题

1.2.2空间中的平行关系 【目标要求】 1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题. 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系. 3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理. 1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，表示平面α） ( ) ①若a∥b，b∥α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b ③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b∥α，则a∥b A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?α 4.当α∥β时，必须满足的条件（） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且 不相交.；其中可能成立的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是 （） A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（） A.l?α，m?α，且l∥β，m∥β B.l?α，m?β，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（） ①a?α，b?β，a∥b；②a?α，b?α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β. A.① B.② C.③ D.均不能 11.若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系是（） A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 12.梯形ABCD中AB∥CD，AB?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.平行或相交 C.相交 D. CD平行平面α或CD?α 13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点 求证：平面EBD//平面FGA.

幼儿园大班数学活动：空间方位-廖小华老师

幼儿园大班数学活动：空间方位-廖小华老师 活动设计意图： 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自 由探索空间方位的神秘，我就结合大班孩子的年龄特点设计了以 下活动，让幼儿在玩中学。 活动名称：数学活动活动内容：空间方位 活动目标： 1、掌握左上、左下、右上、右下方位。 2、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 1、经验准备：教师和幼儿在课前玩过辨别左右的游戏。 2、物质准备：课件、音乐、一个鼓、七块田格软垫。 活动过程： 一、课件导入： 1、提问：小动物它们在什么地方？某某小动物在房子的什么位置？

幼儿回答;上边，下边，左边，右边，左上边，右上边，左下边，右下边。 2、小动物藏在什么地方呢？ 幼儿回答;上边，下边，左边，右边，左上边，右上边，左下边，右下边。 二、游戏：跳房子请一个幼儿进行示范，教师讲解。 先简单逐渐过度到难的。 三、身体的四肢方位游戏： 边出示课件教师边讲解。 幼儿、看课件听音乐游戏。 四、小结： 空间方位有：上下，前后，左右，中间，里外，老师编了活动空间方位的游戏我们到外面去玩。 活动反思：

孩子们对活动很感兴趣，他们还很投入到活动中。他们都能积极 举手发言，还能用完整的话来回答。不过幼儿对辨别空间方位上 还不大了解还得继续培养和巩固。活动开展的时间有点长。以后 我会吸取更多的教学方法争取上的更好。 提问：①这张大纸上有4个小格子，有两个格子在上边，两个格 子在下边。 谁能说说，哪两个颜色格子在上边？哪两个颜色的格子在下边？ ②还可以有另一种说法其中有两个格子在左边，两个格子在右边。谁能说说，哪两个颜色格子在左边？哪两个颜色的格子在右边？ ③如果我想说其中一个小格子我应该怎么说？（说对一个方位， 教师出示汉字表示正确）引导幼儿说出左上、左下、右上、右下 方位。 玩游戏《我来找》对刚才的了解的四个方位进行巩固。 出示作业纸，完成连线。 2、出示小房子，引出小兔子。

空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

儿童对空间方位的认知

儿童对空间方位的认知——幼儿绘画心理揭秘 发布时间：2007-11-11 来源：早期教育2007年10月作者：山东省济宁市李凌李影 幼儿对空间方位的认知，依赖于其心理的发展，与年龄密切相关。由于对空间透视、物体大小、远近、遮挡关系等认识不足，幼儿不可能合理地科学地按人和物的大小比例和空间透视作画。幼儿画画凭的是直感，画的过程一直是跟着“感觉”走的。也正因为这些不和谐因素，孩子画出的画才透出幼稚、好玩的气息。 幼儿对空间的安排是根据画面的需要而不是依照视觉的真实性。画的人和物在形体上是分离的，分散的，通常不会有遮挡现象。 图1“我的家”中，在画的右下方，小 作者已穿上衣服等着妈妈梳妆好送她 上学。因她没了解物体的遮挡关系， 不会处理被挡住的部分，她没把妈妈 画在梳妆台的正面，她认为画了妈妈 坐在梳妆台前，就不能正面表现妈妈 梳妆的情景了。但她为了能表达妈梳妆的想法，把妈妈梳妆改成了面对梳妆台的侧面，这样，虽不遮挡也交 代清楚了妈妈梳妆的事了。 图2 “过生日”中的人物依圆桌而 坐，如果按画面上的座位顺序往下发 展，圆桌下方的人物的头就是朝下 的。她不会处理这样的景象，就采取 了避让，干脆不画了。 幼儿对画面的空间分布意识都围 绕着主题物设定。图3 “野餐”中所有 的人物围着一块野餐的桌布，桌布上 方的人物安排在视觉上比较符合人的视觉习惯，但桌布下方如果画上真实的情景，画的人就会背对着观众，人还会

挡住桌布上的食物。幼儿不能解决这么复杂的 空间关系，他也采取了避开的方法，让人物离 开桌布，桌布下方的人也背对圆桌，这样也少 了处理“遮挡”的麻烦。 图4与图2、图3相比，在认识上简单了许 多。因她的年龄稍小一些，对空间的了解还不 多，自己怎么想就怎么画，画面上人都以圆桌 为点各就各位，即便是头朝下，也没觉得有不 妥的地方。她认为，一圈人围桌布而立，在桌 布下方的人物头朝下才符合自己的看法和理 解。但画面上也有一人“单独行动”，在画面右 边的女孩按她画上的“道理”应头朝外脚对着桌 子。这个站立女孩的出现，说明了她对空间认 识的“模糊”性刚刚开始，以后再画这样的题材 就会像图3，出现站立的人会更多。事实上幼 儿在处理这样的视觉难题时，也是很矛盾的， 但幼儿却不知道形成难题的原因所在。这也是 发生在幼儿成长过程中的正常现象。幼儿的这种对空间认识的“不确定”性会带来好多有趣的画面。 由于幼儿对空间位置的认识不足，在画侧面人物时大多把人“横着”摆到那里就算完了(见图2、图3)，看图3中的酒杯方向也正好与“横着”的人对应起来。5岁幼儿能完成正常视角的侧面的画不多见，即便是偶尔发现，也大多是“无意识”表达。从幼儿心理发展的角度去认识这个问题，这个年龄段的幼儿还不具备相应的认知能力。幼儿观察和认知事物的视角与年龄有很大关系，不到认知某事物的年龄就不会对某事物认知，过了这个年龄段就不会再犯这样的认知上的“错误” 了。 图5中生日圆桌两边的人是画了侧面人物的，她 画的人物的视角与成人几乎没什么区别。人和椅子 是正侧面的，这个年龄画出这么客观实景的幼儿不 多见。右边的人还“踏实”地坐在了座位上，只是她 不懂得遮挡，画的线条是透明的。图5的作者年龄 稍大一些，虽然画出了正侧面人物，但圆桌下方的 人仍头朝下。这也说明了她对空间的认识的模糊性。

最新空间位置关系的判断与证明

空间中的线面关系 要求层 次 重难点 空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的 点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ②以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，那么该直线与此平面公理1，公理2，公理3， 公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明

*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容

最新空间中的平行关系教案

课题：空间中的平行关系 授课人:杜仙梅 教学目标：1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化． 教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用；两个平面平行的判定和性质及其灵活运用． 教学方法：探究、引导、讲练相结合 教学过程： 基础知识梳理 1．直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 平面外一条直线与_______________平行，则该直线与此平面平行．（此平面内的一条直线） (2)性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线．（平行）2．平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 一个平面内的与另一个平面平行，则这两个平面平行．（两条相交直线） (2)性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线．（平行） 思考：能否由线线平行得到面面平行？ 【思考·提示】可以．只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行． 三基能力强化 1．两条直线a、b满足a∥b，b?α，则a与平面α的关系是(C) A．a∥α B．a与α相交 C．a与α不相交 D．a?α 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_____．(平行) 课堂互动讲练 考点一 直线与平面平行的判定： 判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面． 特别提醒：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 点P、Q，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 【证明】法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N， 连结MN、PQ.

空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =

空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一 平面的基本性质 【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件． 【例2】 判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面． 【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个 【例4】 下列推理错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】 已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________． 共线问题 【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析 板块一.对平面的进一步认识

中班数学教案空间方位

中班数学教案空间方位 【篇一：数学方位中间、旁边】 中班数学活动认识方位中间、旁边 设计意图： 活动名称；认识方位中间、旁边 活动目标： 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置中间和旁边，并能正确数出7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。活动过程： 一、游戏导入： 1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。 2、——“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。” 3、游戏：躲小猫“等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈“你刚刚躲在哪里的什么地方？” 二、辨别空间方位： 1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？” 2、出示范画（1）： （1）、“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？” （2）、出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？” 3、出示范画（2）：“它是谁啊？” 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。 2、幼儿拼一拼： 3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。

四、写一写1、出示范例：“今天老师出了一些题来考考小朋友，看看你们今天学的空间方位懂了多少。” 2、教师示范。 3、幼儿做题： 五、活动结束：火车开来了小朋友今天我们都学到了很多本领，我们一起去当小老师教一教弟弟妹妹吧。 【篇二：中班数学教案】 中班数学教案：左与右 活动目标： 1、以自身为中心区分自己身体的左右，分清自己的左边和右边，会向左和右数物体个数。 2、知道参照物的不同，左边和右边的方向也会变。 3、发展幼儿的空间方位知觉和判断力。 活动过程： 一、猜谜导入，感知自身的左右 1、区别左右 教师：今天老师给小朋友带来了一个谜语：一棵小树五个叉，不长树叶不开花，从早到晚不讲话，写字画画不离它。喔，这么多小朋友举起了手，那你们知道举手的这只手是——（右手） 教师：对呀，平时我们一般都举右手，高高举起你的右手。（教师检查）平时，你们的右手做些什么事情呢？教师小结：右手一般做拿筷子，握笔，刷牙，写字等等。那举起你们的左手，说说左手一般做些什么事情？ 小结：对呀，左手，右手是我们身上的一对好朋友，只有左手和右手的相互配合才能把事情做的更好更快。 2、找一找 教师：想一想，我们的身上，还有哪些象手一样，是一左一右的一对好朋友。 3、游戏 教师：刚才小朋友找的又快又好，现在老师要请我们身上的这些好朋友做个游戏，这个游戏就叫“我说你说你做”我们来试试。看谁的小耳朵最灵，反应最快。教师：来，来，来，举起你的右手来。 幼儿：我的右手举起来。（逐一进行：举起左手，拍拍右腿，摸摸左耳。 增加难度：右手摸左耳，左手拍右腿等等。

利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋

试论现代汉语空间方位表达的认知与推理研究

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/078655864.html, 试论现代汉语空间方位表达的认知与推理研究 作者：陈衡 来源：《北方文学》2018年第21期 摘要：现代汉语中关于方位词的研究由来已久，本文简单地回顾了汉语空间方位研究的既有成果，提出了重新從语言学层面进行汉语空间方位表达形式化研究的重要性与急迫性，并初步构想了实现这一目标的途径：一是空间知识库的构建，二是空间特征集的提取与形式化转化。汉语空间方位推理的形式化研究需要系统而深入地推进，以进一步推动汉语语言学研究的科学化和精密化。 关键词：方位词；现代汉语；空间方位推理；认知语言学 现代汉语中关于方位词的研究由来已久，可以说自中国现代语言学产生之初就已经开始了。黎锦熙（1924）提出方位词概念，当时称之为“方位名词”，是将它当作名词处理的，然而这也引起了后来学者们关于方位词词性的无数次辩论，直到现在这一争论还在继续。吕叔湘（1965）构建了方所范畴的框架。在这里方所指方位和处所，都属于空间范畴。方位指方向和位置关系，处所指地点。由于大多数语言学家只对方位词感兴趣，对处所词的研究很少，所以“方所”这一术语也较少沿用。因此，本文概述的立足点也是方位范畴。方位既包括空间的和也包括时间的，本文只讨论空间范畴中的方位问题。本文研究的目的就是要对近二十多年来语言学界从认知角度研究现代汉语空间方位问题的成果做一番总结，以期用系统性解释性更强的认知语言学的理论框架把这一问题作深入全面的论述，并借用认知理论的研究成果作指导探求问题研究的新视角或新方法。 一、空间范畴中的几个重要概念 （一）空间区域与空间关系 时间和空间是关于世界的两个基本概念。时间关系是一种基本的次序关系；空间关系是一种基本的存在关系。时空是一体的，但并不是不可分开来研究的。学界一般认为存在三种空间世界：物理空间、认知空间和语言空间。方经民（2002）给空间区域和空间关系下的定义是：“空间区域是指事物在空间世界里所占据的地方或与之相关的方向位置，空间关系是指射体（trajector）和地标（landmark）之间随着时间推移而形成的存在（静态的、动态的）或位移关系。”这个定义很适合语言学中关于空间范畴的研究，空间区域又称方所，“方”其实既指方向又指位置，“所”指处所，即定义中所说的“所占据的地方”。空间关系一般包括两个方面：方向关系和位置关系，前者如“头朝东”“他往村东去了”，没有位置参照点；后者如“我站在他的后面”“教学楼的东面是图书馆”，有位置参照点“他”“教学楼”。现在研究空间关系的最主要理论就是参照结构理论，后文中会详细论述。

幼儿园大班数学活动：空间方位

幼教课堂设计 幼儿园大班数学活动：空间方位 教师：*** 日期：*** XX幼儿园

活动设计意图： 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自由探索空间方位的神秘，我就结合大班孩子的年龄特点设计了以下活动，让幼儿在玩中学。 活动名称：数学活动活动内容：空间方位 活动目标： 1、掌握左上、左下、右上、右下方位。 2、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 1、经验准备：教师和幼儿在课前玩过辨别左右的游戏。 2、物质准备：课件、音乐、一个鼓、七块田格软垫。 活动过程： 一、课件导入： 1、提问：小动物它们在什么地方？某某小动物在房子的什么位置？ 幼儿回答;上边，下边，左边，右边，左上边，右上边，左下边，右下边。 2、小动物藏在什么地方呢？ 幼儿回答;上边，下边，左边，右边，左上边，右上边，左下边，右下边。 二、游戏：跳房子请一个幼儿进行示范，教师讲解。

先简单逐渐过度到难的。 三、身体的四肢方位游戏： 边出示课件教师边讲解。 幼儿、看课件听音乐游戏。 四、小结： 空间方位有：上下，前后，左右，中间，里外，老师编了活动空间方位的游戏我们到外面去玩。 活动反思： 孩子们对活动很感兴趣，他们还很投入到活动中。他们都能积极举手发言，还能用完整的话来回答。不过幼儿对辨别空间方位上还不大了解还得继续培养和巩固。活动开展的时间有点长。以后我会吸取更多的教学方法争取上的更好。 提问：①这张大纸上有4个小格子，有两个格子在上边，两个格子在下边。 谁能说说，哪两个颜色格子在上边？哪两个颜色的格子在下边？ ②还可以有另一种说法其中有两个格子在左边，两个格子在右边。谁能说说，哪两个颜色格子在左边？哪两个颜色的格子在右边？ ③如果我想说其中一个小格子我应该怎么说？（说对一个方位，教师出示汉字表示正确）引导幼儿说出左上、左下、右上、右下方位。

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

空间位置关系与距离专题

1 C _ A _ B _ M _ D _ E O _ C 空间位置关系与距离专题 【考题回放】 1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC 必与α相交 D. 平面ABC 必不垂直于α 2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别 是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则 四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A ．16 B ．14 C ．13V D ．12 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥ ③若βαβα//,//,,则n m n m ? ?； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??， 其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线' BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形 ③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD ' 有可能垂直于平面D BB ' 以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号） 6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离. 【考点透视】 判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 1． 转化思想： ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离， 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影

高考数学命题角度4_3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理

命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解 1.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -中， 1111AC B C =， 111A A A B =， 1160AA B ∠=?． （1）求证： 1AB B C ⊥； （2）若1112A B B C ==， 112B C =，求二面角11C AB B --的余弦值． 【答案】(1)见解析；（2） 21 7 . 【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值. （2）∵1ABB ?为等边三角形， 2AB =，∴13OB =，

∵在ABC ?中， 2AB =， 2BC AC ==， O 为AB 中点， ∴1OC = ， ∵12B C =， 13OB =，∴222 11OB OC B C +=， ∴1OB OC ⊥， 又1OB AB ⊥， ∴1OB ⊥平面ABC ． 以O 为原点， OB ， OC ， 1OB 方向为x ， y ， z 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ()1,0,0A -， () 10,0,3B ， ()1,0,0B ， ()0,1,0C ， 则() 1111,1,3OC OC CC OC BB =+=+=-，则()11,1,3 C -， ()1 1,0,3AB =， () 10,1,3AC =， 则平面1BAB 的一个法向量()0,1,0m =， 设(),,n x y z =为平面11AB C 的法向量，则1130, {30, n AB x z n AC y z ?=+=?=+=令1z =-，∴3x y ==， ∴( ) 3,3,1n = -， ∴21 cos ,7m n m n m n ?= =?． 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.