弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K

第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理

平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。

用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。

本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。

§6.1 基本方程与边界条件回顾

取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到

x

w

z

z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）

并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为

22x w z x ??-=ε，22y

w

z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （6-2）

其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即

0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）

由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩

x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称

为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力

/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图6-1所示。 平衡方程为

???

?

?

????-=??+??=??+??=??+??),(y x q y Q x Q Q y M x M Q y M x M y x y y xy x xy

x （6-4） 在薄板弯曲理论中，剪力x Q ,y Q 不产生应变，因而也不作功，因此可以从（6-4）式中消去

x Q ,y Q ，得到

0),(2222

2=+??+??+??y x q y

M y x M x M y xy x

（6-5） 以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而内力x Q ,y Q 不再作为独立的量看

待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。

与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率xy y x k k k ,,，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度w 的关系为

22x w k x ??-=，22y

w

k y ??-=，y x w k xy ???-=2 （6-6）

内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度U ~表示出来，若将U ~

表示为xy y x k k k ,,的函数，

则有

x

x k U

M ??=

~

，y y k U M ??=~，xy xy k U M ??=~21 （6-7） 这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，U ~

是xy y x k k k ,,的正定的二

次齐次函数。在各向同性的情况下，U ~

的算式为

)])(1(2)[(2

1~22xy y x y x k k k k k D U -μ--+= （6-8）

将（6-8）式代入（6-7）式，然后再将（6-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为

??

?

?

?

??

??

???μ--=??μ+??-=??μ+??-=y x w D

M x w y w D M y w x w D M xy y x 222222222)1()()( （6-9）

以上各式中)

1(122

3

μ-=Et D 称为板的弯曲刚度，其中t 为板的厚度，μ为材料的泊松系数。 如果我们定义}{κ为广义应变，{}M 为广义应力，即

图6-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向

???

??

????

?????????=????

?????????????????-??-??-=??????????????????=κxy y x xy y x M M M M y x w y w x w k k k }{ 22}{22222

， （6-10）

则有

}]{[}{κ=D M （6-11）

式中的][D 为弯曲刚度矩阵。（6-8）式可以写为

}]{[}{2

1

~κκ=D U T （6-12）

余应变能密度*

~U 看作是内力矩x M ,y M ,xy M 的函数，其值定义为

U k M k M k M U xy xy y y x x ~

2~*-++= （6-13）

并且有

x

x M U k ??=

*

~

，y y M U k ??=*~，xy xy M U k ??=*~2 （6-14） 同样，对于线性的弹性体，*

~U 是x M ,y M ,xy M 的正定的二次齐次函数。

如果以广义应力}{M 表示余应变能密度，则有

}]{[}{2

1~

*M C M U T = （6-15）

式中1

][][-=D C 。

（6-12）式与（6-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即*

~~U U =。

将（6-9）式代入（6-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为

),()2(4422444y x q y

w

y x w x w D =??+???+?? （6-16） 或

),(22y x q w D =?? （6-16/

）

在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由oxy 转变为ξηo ，如

图6-2所示，则两个坐标系中坐标的关系为

?

??

θ+θ-=ηθ+θ=ξθη+θξ=θη-θξ=cos sin ,sin cos cos sin ,

sin cos y x y x y x （6-17）

对于挠度w ，有),(),(ηξ=w y x w ，从而

??

?

??

??θ??+θ??-=η??θ??+θ??=ξ??cos sin sin cos y w

x w w y

w x w w （6-18）图6-2 坐标转换

及二阶偏导为

??

??

?

???

???θθ??+θ-θ???+θθ??-=η

?ξ??θ??+θθ???-θ??=η??θ??+θθ???+θ??=ξ??sin cos )sin (cos sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 222

2222222222222222222

222

2y w y x w x w w y w y x w x w w

y w y x w x w w （6-19）

弯矩、扭矩的变换公式为

??

?

????θθ+θ-θ+θθ-=θ+θθ-θ=θ

+θθ+θ=ξηηξsin cos )sin (cos sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 222

222y xy x y xy x y xy x M M M M M M M M M M M M （6-20）

剪力的变换公式为

?

??

θ+θ-=θ+θ=ηξcos sin sin cos y x y x Q Q Q Q Q Q （6-21）

在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。

设Ω为板在xy 平面上的定义域，板的边界为C ，令n 为沿边界外向法线的方向，s 为边界的切线，（n ,s ）的转向与（x ,y ）的转向是一致的，如图6-3所示。 第一种边界为固支边界1C ，在这种边界上，其挠度与法向斜率均为给定的，即有

n n

w

w w φ=??=,

（在1C 上） （6-22） 第二种边界为简支边界2C ，在这种边界上，其挠度

与法向弯矩为给定的，即有

n n M M w w ==,

（在2C 上） （6-23）

第三种边界为自由边界3C ，在自由边界上，作用在

边界上的力为给定的。从内力和力矩看，在边界上共有三个，即n ns n Q M M ,,，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看，ns M 和n Q 并不完全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分w δ，则n ns Q M ,在w δ上所作之功w δ是

s w Q s

w

M w C n ns

d ]δδ[δ3

?+??-= （6-24） 利用分部积分，上式又可以写成

33

|δd δ)(

δC ns C n ns

w M s w Q s

M w -+??=? （6-25）

由（6-25）式可见，切向扭矩ns M 可以分解为沿着周边边界3C 的分布载荷s

M ns

??及作用于3

C 两端的集中力||ns M ，而3C 两端是支座（不是固支边便是简支边）。从实际板的受力来分析，

可以看到集中力

图6-3 板的边界

||ns M 为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变形无影响。

因此，分布载荷

s

M ns

??与剪力n Q 构成沿自由边界3C 上的分布力，这部分边界力的虚功为

s w Q s M C n ns d δ)(3?+??

与w δ相对应的广义力为n ns

Q s

M +??，自由边的边界条件应取为

)(,s q Q s

M M M n ns

n n =+??= （在3C 上） (6-26)

)(s q 为已知的作用在3C 上的线分布载荷。

§6.2 虚功原理和功的互等定理

力学上，可能位移是指满足位移连续条件的位移。在薄板弯曲问题中只有一个广义位移

),(y x w ，因此，),(y x w 可能作为可能位移的条件是：y

w x w w ????,,

是x ,y 的连续可导函数， 并且在边界上满足连续条件：

??

?

??=φ=??=上）

（在上）（在21,C w

w C n

w

w w n （6-27） 同样，由可能位移w 按式（6-10）也可得到相应的可能曲率。

可能内力是指与某种外力保持平衡关系的内力。在薄板弯曲问题中，内力有x M ,y M ,

xy M ，这三个内力组成一组可能内力的条件是：在板的内部满足平衡方程（6-5）式，在板的

边界上满足条件

??

?

??

=+??==上）（在上）（在32)(,

C s q Q s M M M C M M n ns

n n n n （6-28） 根据能量守恒定理，外力在可能位移上所作的功等于可能内力在可能应变上所作的功，

通常把这一关系叫做虚功原理。在薄板弯曲问题中，若把支座反力也看作外力，则虚功原理的数学形式是

=??+???+??-??Ωy x y

w

M y x w M x w M y xy x d d )2(22222

??????-+??+ΩC n C n ns s n w

M s w Q s M y x qw d d )(d d （6-29）

上式中，w 为可能挠度，xy y x M M M ,,是可能内力，它们之间可以完全独立而彼此无任何联

系。

下面给出（6-29）式的数学证明。为了书写简单，引入下面符号：

)

,cos(),,cos(y n m x n l ==

现在将ξ取为n 的方向，η取为s 的方向，则可以利用（6-18）、（6-20）、（6-21）式等将

s

w

n w Q M M n ns n ????,

,

,,等用y w x w Q Q M M M y x xy y x ????,,,,,, 等表示出来，下面证明中将用到这些公式。

从（6-29）式中，等号右边两个线积分可作如下化简（并引用（6-22）、（6-23）式的边界条件），并得到

=

??-+????C C n n ns s n

w

M s w Q s M d d )(

=??+??-??C C ns n

n s s w

M n w M s w Q d )(d =

??+??--+-+??+??++-+??s y

w

l x w m M m l M M lm y

w m x w l M m lmM M l s w m Q l Q xy x y C

y xy x C y x d )}]()()([)()2{(d )(222

2

s y

w

mM y w l x w m M x w lM s w m Q l Q y C xy x C y x d })({d )(??+??+??+??-+?? （6-30） 再将（6-4）式的关系代入（6-29）式右边第一个积分项里的q 中，展开后为

??????????????ΩΩΩΩΩ??+???+??-

??+??+??+

??++-=????+??+

????+??++-=??+??++-=??+??-=y

x y w

M y x w M x w M s y

w mM y w l x w m M x

w

lM s w mQ lQ y x y

w y M x M x w

y M x M s w mQ lQ y

x y

w

Q x w Q s w mQ lQ y

x w y Q x Q y x qw y x x y xy C x C y x y xy xy x C y x y x C y x y

x d d )2(d ])([d )(d ]d )()[(d )(d d )(d )(d d )(d d 22222 （6-31）

将（6-30）式和（6-31）式代入（6-29）式的右端，可以证明其左端等于右端。

对于虚功原理方程（6-29）式，还可以表示为以下恒等式

??Ω??-???-??-??+??y x y w

M y x w M x w M w y Q x Q y xy x y x d d }2){(22222

???-+??=C n n ns s n

w M w Q s M d }){( （6-32） 式中的y x Q Q ,代表（6-4）式前两个方程的缩写。这里所谓恒等式，是指公式（6-32）中的

w M M M xy y x ,,,是四个可以任意选取的函数。该式要求w M M M xy y x ,,,具有一定连续可导

性质，例如要求w的一阶导数应该是连续而且是可导的。

利用上面说明的虚功方程（6-29）式，我们很容易导出功的互等定理。在（6-29）式中，应再次指明内力xy y x M M M ,,与挠度w 是彼此独立的，它们之间是无任何联系的。现在有两组载荷对同一块板作用，形成两组解，分别为

第一组载荷1q 作用下，产生的内力与挠度为1,,,111w M M M xy y x

第二组载荷2q 作用下，产生的内力与挠度为2,,,222w M M M xy y x 分别形成的虚功方程为

第一组外载及内力取第二组的位移（y x w y

w x w w ???????2

22222

222,,,）为虚位移，有 =??-+??+????ΩC n C n ns s n w M s w Q s M y x w q d d )(d d 2

221111

??Ω??+???+??-y x y w M y x w M x w M y xy x d d )2(22

222222111 （6-33） 第二组外载及内力取第一组的位移（y x w y

w x w w ???????1

22122

121,,,）为虚位移，有 =??-+??+????ΩC n C n ns s n w M s w Q s M y x w q d d )(d d 1

112222

??Ω??+???+??-y x y w M y x w M x w M y xy x d d )2(2

1

212212222 （6-34）

（6-33）式等号右边可以引用（6-11）式，得到下式

=??+???+??-??Ωy x y

w M y x w M x w M y xy x d d )2(22222222111??Ωκy x M T

d d }{}{12（6-35） 考虑到}]{[}{11κ=D M ，}]{[}{22κ=D M ，则（6-35）式可写成

??????

Ω

Ω

Ω

κκ=κκ=κy x D y x D y x M T T T d d }]{[}{d d }]{[}{d d }{}{211212

??Ω

κ=y x M T d d }{}{21 （6-36）

（6-36）式即是薄板的功的互等定理，还可以写成

=??-+??+????

Ω

C n C

n ns s n

w M s w Q s

M y x w q d d )(

d d 2

2211

11

????

??-+??+Ω

C n C

n ns s n

w M s w Q s

M y x w q d d )(

d d 1

112222

（6-37）

由于采用了线性的应力应变关系，所以无论是外力功的互等定理（6-37）式，还是内力

功的互等定理（6-36）式，都是能量守恒原理和线性性质的后果。

§6.3 最小位能原理

考虑板在横向分布载荷),(y x p 作用下处于平衡，并假定在板的边界上三种支持都存在的情况。整个板的总位能包括两部分，一部分为板的应变能U ，它的算式为

??Ω

=y x U U d d ~

（6-38）

U ~

为板的应变能密度，其算式如（6-12）式。

另一部分为外力包括分布载荷),(y x p 及边界力的位能，可写为

????+Ω??+--=3

23d d d d C C n C s n

w

M s w q y x pw V （6-39）

于是，整个板的总位能∏为

????+Ω??+--=+=∏3

23d d d d )~

(C C n C s n

w M s w q y x pw U V U （6-40）

在最小位能原理中，挠度w 为唯一经受变分的自变函数，称这种变分为“一个自变函数

的变分问题”。

令w 是精确解，与w 相应的弯矩、剪力为y x xy y x Q Q M M M ,,,,等，它们满足方程（6-4）式、（6-11）式和边界条件（6-22）、（6-23）及（6-26）式。令*

w 为一个可能挠度，则最小位能原理指出：与精确解w 相应的总位能)(w ∏小于任何其它可能挠度*

w 相应的总位能

)(*w ∏。现在令

w w w w w w ?+=-=?**, （6-41）

w ?满足下面的边界条件

0,

0=???=?n

w

w （在1C 边界上） 0=?w （在2C 边界上） （6-42） 与*

w 相应的总位能)(*w ∏为

)(),(2)()()(21*w w w w w w w ?∏+?∏+∏=?+∏=∏ （6-43）

式中)(2

w ?∏是把（6-41）式代入（6-38）式，以w ?代替w 所得到的结果，即

??Ω

κ?κ?=?∏y x D w T d d }]{[}{21

)(2 （6-44）

其中

T

y x w y w x w }2{}{22

222????-???-???-=κ? （6-45）

而

-???+????+???-=?∏??Ωy x y

w

M y x w M x w M w w y xy x d d )2(),(2222221

????+Ω???+?-?322d d d d C C n C s n w

M s w q y x w p （6-46）

根据（6-29）式的虚功方程，可以证明

0),(21=?∏w w

这样便有

)()()(2*w w w ?∏+∏=∏ （6-47）

从（6-44）式，)(2

w ?∏不论}{w ?为任何不全为零的组合，恒有0)(2

>?∏w 。因此有

)()(*w w ∏>∏ （6-48）

这便是最小位能原理。

若将最小位能原理写成变分的形式，则有

0δ=∏ （6-49）

利用分部积分，参考（6-30）的推导，由（6-40）式0δ=∏可以得到

+-??-???-??-??Ωy x w p y w y x M x M xy x

d d δ)2(22222

0d δ)(d δ)(23=??---+????s n w M M s w q Q s M C n n C n ns （6-50）

§6.4 最小余能原理

考虑与上节相同的薄板弯曲问题。令y x y xy x Q Q M M M w ，，，，，为精确解。再命

s

y

s x s y s xy s x Q Q M M M ，，，，为一组可能内力，它们满足下列方程 ????

?

??????=+??+??=-??+??=-??+??000q y Q x Q Q y M x M Q y M x M s

x s x s

y s y s xy s

x s

xy s x （6-51） 和在边界2C 、3C 上的边界条件

在2C 上： n s

n M M = （6-52a ）

在3C 上： n s n

M M =，q Q s M s n s ns

=+?? （6-52b ） 系统的余能*

∏包括两部分。一部分为余应变能*U ，它的算式为

??Ω

=y x U U d d ~

** （6-53）

式中*

~U 为余应变能密度。对于线性的应力与应变关系，它可以表示为（6-15）式。

另一部分为已知的边界位移的余功*

V ，它的算式为

??φ++??-=+1

21d d )(*C n n C C n ns

s M s w Q s

M V （6-54）

整个板的总余能*

∏为

????φ++??-=+=∏+Ω1

21d d )(d d ~

****C n n C C n ns s M s w Q s

M y x U V U （6-55）

总余能*

∏为自变函数xy y x M M M ,,的泛函。

现在取

x s x x M M M -=?，y s y y M M M -=?，xy s

xy xy M M M -=?，

x s x x Q Q Q -=?，y s y y Q Q Q -=?

且满足下列方程和边界条件

????

?

?

??

???=???+????=???+????=???+???0

y Q x Q Q y M x M Q y M x M y

x y y xy x xy

x （6-56） 在2C 上： 0=?n M （6-57a ）

在3C 上： 0,

0=?+???=?n ns

n Q s

M M （6-57b ） 以上两式表示内力增量在边界上对应为零的外载荷。并有

}{}{}{M M M s ?+= （6-58）

于是有

})({}){},({2})({}){}({})({2*1****M M M M M M M s ?∏+?∏+∏=?+∏=∏

（6-59）

式中})({2

*M ?∏为内力增量相应的余应变能，而中间一项代表下列算式：

-???+????+???-=?∏??Ωy x y w

M y x w M x w M M M y xy x d d )2(}){},({2222221

*

??φ?+?+???+121d d )(C n n C C n ns s M s w Q s M （6-60）

根据（6-29）式的虚功方程，可以证明

0}){},({21*=?∏M M

这样（6-59）式可以化为

})({})({})({2***M M M s ?∏+∏=∏ （6-61）

如果}{M ?不全为零，那么由（6-15）式可知

0})({2*>?∏M

于是可得到

})({})({**M M s ∏>∏ （6-62）

这便是最小余能原理。

将最小余能原理表达成变分形式，为

-??-???-??-=∏??Ωy x M y

w

M y x w M x w y xy x d d )δδ2δ(δ22222*

??φ++??+121d δd )δδ(C n n C C n ns s M s w Q s M （6-63）

最小余能原理是一种条件变分原理，因为可能内力必须满足平衡条件（6-51）式。

Southwell （索斯韦尔）指出，利用应力函数方法可以把以上条件变分问题化为无条件变

分问题。齐次方程的解可以用两个应力函数?

~与ψ~表示之，如

???

?

?

???ψ?+?????-=?ψ?+?????=?ψ?-???-=?ψ?=???=)

~~(21 ),~~(21)~~(21 ,~,~0

00

00y x x Q y x y Q y x M x M y M y x xy y x

（6-64） 再命P

y

P x P y P x Q Q M M ，，，是平衡方程的一组特解。于是可将内力表达为 ???

????

+=+=+=+=+=0

00

0 ,, ,,y P y y x P x x xy P xy xy y P y y x P x x Q Q Q Q Q Q M M M M M M M M M （6-65）

将以上算式代入（6-63）式，可将余能*∏表示成自变量?

~和ψ~的泛函。自变量?~和ψ~除满足力的边界条件（6-52）式外，不受其它条件的限制，这就把原来的条件变分原理转化为无

条件变分原理。

§6.5 二类自变量广义变分原理

上面所介绍的二种变分原理都是最小值原理。在最小值原理中，自变量必须事前满足一定的条件，所以称它们为条件变分原理。最小值原理虽然具有突出的优点，但用起来不够方便。而无条件广义变分原理，因为自变量可以独立自主变动，事前不受任何限制，用起来则方便多了。但也同时带来共同的缺点，就是所涉及的泛函都只取驻值，而不是极值。

广义的变分原理不过是拉格朗日乘子法在组成泛函过程的具体应用而已，或对拉格朗日乘子赋以力学上的说明。

继续考虑前面两节中讨论过的问题，对同一块板的弯曲定义两个泛函如下：

-

-+??---

??-??-???-??-=∏???+*Ω2

1d ))((d d )~

2(22222222C C n ns y xy xy x s w w Q s M y x pw U y

w

M y w M y x w M x w M

???+??+φ-??+3213d d )(d C C n C n n C s n w

M s n w M s w q （6-66）

-+??-+??+??+=∏???+Ω21d )(d d ])(~[*

*2C C n ns y x s w Q s

M y x w p y Q x Q U +-+???3d )(C n ns s w q Q s M ??+??-+φ321d )(d C C n n C n n s n w M M s M （6-67）

利用（6-32）式，注意到边界321C C C C ++=的条件，可以证明

0*22=∏+∏ （6-68）

显然，当满足物理关系}]{[}{κ=D M ，及位移边界连续

0=-w w （在21C C +边界上） 0=φ-??n n

w

（在1C 边界上） 的条件下，2∏就等于总位能∏。这里2∏的下标“2”表示这类泛函包括有二类变量的广义

位能，一类为内力矩

x M 、y M 和xy M ，另一类为挠度w 。

所谓二类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解，使二类变量广义位能和二类变量广义余能取驻值。即把x M 、y M 、xy M 、w 四个函数看作是彼此独立无关的函数，并且使它们的变分不受任何限制，那么变分式

0δ2=∏ 或 0δ*2=∏ （6-69）

相当于薄板弯曲问题中的全部方程和边界条件，即平衡方程（6-4）式，内力矩与挠度关系

（6-11），以及边界条件（6-22）、（6-23）、（6-26）式。

现在证明上述结论。从公式（6-66）得到

??Ω+??-??-+??-??-=∏y y x x M M U y

w M M U x w δ)~

(δ)~{(δ*

22*222

+

φ-??+??+-

-+??-+??--???-??-??-+

??-???-???????++Ω

3132121d δ)(d n δd δd ))(δδ(d δ)(

d d }δδ2δδ{d d }δ)~

2(22222*

2C n n C n C C C n ns

C C n ns xy y x xy xy

xy s M n w

s w M s w q s w w Q s M s w Q s M y x w p y x w M y w M x w M y x M M U y x w M

?+??21d δC C n s n w M （6-70）

（6-32）式中将w 改为w δ，有

=???-??-??-??Ωy x y x w

M y w M x w M xy y x d d )δ2δδ(22222 ??????-+??+??+??-ΩC n C n ns y x s n

w M s w Q s M y x w y Q x Q d δd δ)(d d δ)( （6-71）

将上式代入（6-70）式，经过整理后，可得

-+??---+??++??+??-??-???-+

??-??-+??-??-=∏??????+Ω

Ω2

13d )δδ)((d δ)(

d d δ)(d d }δ)~

2(δ)~

(δ)~{(δ*

2*

22*222C C n n

C n ns y x xy xy y y x x s Q s

M w w s w q Q s M y x w p y Q x Q y x M M U y x w M M U y

w M M U x w

??φ-??+??-+132d δ)(d δ)(C n n C C n n s M n

w

s n w M M （6-72） 因为x M δ,y M δ,xy M δ,w δ（其中ns M δ,n M δ,n Q δ均为任意独立自变函数的组合，故也为

任意的）为任意的，故有第一、二、三项形成物理关系（6-14）式，第四项为平衡方程（6-4）式，最后的四个边界积分中的被积函数式分别表示了边界条件（6-22）、（6-23）及（

6-26）各式。由此可知，因为由0δ2=∏可以导出以上各方程，故精确解能使0δ2=∏。

二类变量广义变分原理既是最小位能原理的推广，也是最小余能原理的推广。从公式上来看*

2∏是*∏的推广表现的格外明显，在最小余能原理中，自变量内力要求满足平衡方程（6-4）是和有关力的边界条件。将这些方程和条件通过恰当的拉格朗日乘子1λ,2λ,3λ并入泛函之中，得到

-λ+??+??+=∏??Ωy x p y

Q x Q U y x d d })(~{~1**

+λ-+??-+????+321d )(d )(2C n ns C C n ns s q Q s M s w Q s M ??+λ-+φ3

21

d )(d 3C C n n C n n s M M s M （6-73）

根据乘子1λ，2λ，3λ所满足的方程可以求出其相应的关系。对（6-73）式取变分，可得

+

φ+λ+??-λ-+??-+??-

λ??+??+λ+??+??+=∏??????+Ω11321d δ)δδ(d δ)(d )δδ(d d })δδ(δ)(~δ{~δ2211**

C n n C n ns C n ns C C n ns y x y x s M ds Q s M s q Q s M s w Q s M y x y

Q x Q p y Q x Q U ??++λ+λ-3

23

2d δd δ)(33C C n C C n n s M s M M （6-74）

对上式中右侧第一项，注意到（6-14）式和（6-10）式，可以展开如下

??????ΩΩ***Ω*

??-???-??-

=??+??+??=y x M y

w

M y x w M x w y

x M M U M M U M M U y x U y xy x y y xy xy x x d d }δδ2δ{d d }δ~δ~δ~{d d ~δ22

2

22

引用（6-32）式，其中以x M δ,xy M δ,y M δ,ns M δ,n M δ,n Q δ代替原式中的x M ,xy M ,y M ,

ns M ,n M ,n Q 等，得到下式

?

??????-+??+

??+??-=ΩΩ*

C

n n ns y x s n

w

M w Q s M y x y Q x Q y x U d }δ)δδ{(

d d )δδ(d d ~δ （6-75）

将（6-75）式代入（6-74）式中，经过整理可得下式

+

??-φ+λ-+??-λ-+??+-+??+

-λ??+??+λ+??+??=∏δ????????+ΩΩ*13321d δ)(d δ)(d ))(δδ(d ))(δδ(d d ))(δδ(d d δ)(~

2211C n n C n ns C n ns C C n ns y x y x s M n w s q Q s M s w Q s M s w w Q s M y x w y

Q x Q y x p y Q x Q

弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K

第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §6.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （6-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称 为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力

挠度计算

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).

第12章 薄板的小挠度弯曲问题

第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设

学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；

第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一） 概念和假定 薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。 荷载 纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。 横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。 中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。 薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设） （1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由?w /?z = 0得到 w = w (x , y ) 板厚度内各点具有相同的挠度。 放弃物理方程：)]([1 y x z z E σσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0 （2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=??+??x w z u ，x w z u ??-=?? 0=??+??y w z v ，y w z v ??-=?? x

放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+= ，yz yz E τμγ) 1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。 只有三个物理方程 )(1 y x x E μσσε-= )(1 x y y E μσσε-= xy xy E τμγ) 1(2+= 与平面应力问题相同。 （3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。 弹性曲面微分方程 按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由 x w z u ??-=??，y w z v ??-=?? 积分得到：),(1y x f z x w u +??- =，),(2y x f z y w v +??-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ??- =，z y w v ??-= 则： z x w x u x 22??-=??=ε，z y w y v y 22??-=??=ε，z y x w x v y u xy ???-=??+??=22γ 将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示 ??? ? ????+??--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ

工程力学习题库-弯曲变形

第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max

3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：() ''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。

弹性力学基础讲解

一、基本物理量 应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为： ??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量 的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变 弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：l l l l ll ??-?=→?'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长 或缩短。 弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。 应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分 量，得：??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。 关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力 体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}T z y x V V f f f V =??=→?F f 0lim 。 表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}T z y x S S s s s S =??=→?F s 0lim 。 二、基本方程 1、平衡方程

挠度计算公式

挠度计算公式 挠度计划公式简支梁在百般荷载作用下跨中最大挠度计划公 式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计划公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载准绳值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个齐集荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计划公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距安排两个十分的齐集荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计划公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距安排三个十分的齐集荷载下的最大挠度,其计划公式:

Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受齐集荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计划公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载准绳值(kn/m). ;p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). 你可以凭据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 实行反算，看能餍足的上部荷载要求！

简支梁挠度计算公式

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).

弯曲变形的强度条件和强度计算

弯曲变形的强度条件和强度计算 当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。 图1 平面弯曲 一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩 梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。 为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。 图2 剪力的正负 图3 弯矩的正负 例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：（ 1 ）求支反力 = ∑C M：0 3 10 12 6= ? - - ? Ay F，kN 7 = Ay F = ∑Y：0 10= - +By Ay F F，kN 3 = By F （2）列内力方程 剪力： ? ? ? < < - < < = 6 3 kN 3 3 kN 7 ) ( S x x x F 弯矩： ? ? ? ≤ ≤ ≤ ≤ ? - ? - = 6 3 3 m kN ) 6(3 m kN 12 7 ) ( x x x x x M （3）作剪力图和弯矩图 二、梁弯曲时的正应力 在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。 图4 梁弯曲时的正应力分布图 即有y I x M z ) ( = σ（1）

第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)

第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §5.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （5-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注 意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中

圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

第四节平板应力分析平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 t/b≤1/5时(薄板) w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力

载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线w的挠度。只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 分析模型

材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式

材料力学得基本计算公式外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力与荷载集度之间得关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力得计算公式 (杆件横截面 轴力F N,横截面面积A,拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上得正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线得方位角为正) 4.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d１) 5.纵向线应变与横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律 8.受多个力作用得杆件纵向变形计算公式？ 9.承受轴向分布力或变截面得杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆得强度计算公式 11.许用应力, 脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )

15.拉压弹性模量E、泊松比与切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心得极惯性矩(a)实心圆 (ｂ)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离r ) 18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数 ,(a)实心圆? (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤Ｒ０/10 ,R0为圆管得平 均半径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩Ｔ、杆长l、扭转刚度GＨｐ得 关系式 22.同一材料制成得圆轴各段内得扭矩不同或各段得 直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴得刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上得应力 计算公式, 27.平面应力状态下斜截面应力得一般公式 , 28.平面应力状态得三个主应力 , , 29.主平面方位得计算公式

第二章弹性力学基础(推荐文档)

第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。

第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力≤比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，

都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。

挠度定义

挠度 挠度定义：结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。 应用学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 挠度（德语 Durchbiegung，法语la flèche）——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用y表示。简言之就是指梁、桁架等受弯构件在荷载作用下的最大变形，通常指竖向方向y轴的,就是构件的竖向变形。 挠曲线——如图，平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵对称面内的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。 挠度与荷载大小、构件截面尺寸以及构件的材料物理性能有关。 挠度——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠 度，用 y表示。 转角——弯曲变形时横截面相对其原来的位置转过的角度称为转角，用θ表示。 挠曲线方程——挠度和转角的值都是随截面位置而变的。在讨论弯曲变形问题时，通常选取坐标轴x向右为正，坐标轴y向上为正。选定坐标轴之后，梁各横截面处的挠度y将是横截面位置坐标x的函数，其表达式称为梁的挠曲线方程，即 y = f ( x ) 。 显然，挠曲线方程在截面x处的值，即等于该截面处的挠度。 根据微积分知识，挠曲线的斜率为 因工程实际中梁的转角θ之值十分微小，可近似认为 可见，挠曲线在截面位置坐标x处的斜率，或挠度y对坐标x的一阶导数，等于该截面的转角。 关于挠度和转角正负符号的规定：在如图6-1选定的坐标系中，向上的挠度为正，逆时针转向的转角为正。

挠度的检测方法 传统的桥梁挠度测量大都采用百分表或位移计直接测量，目前在我国桥梁维护、旧桥安全评估或新桥验收中仍广泛应用。该方法的优点是设备简单，可以进行多点检测，直接得到各测点的挠度数值，测量结果稳定可靠。但是直接测量方法存在很多不足，该方法需要在各个测点拉钢丝或者搭设架子，所以桥下有水时无法进行直接测量；对跨线桥，由于受铁路或公路行车限界的影响，该方法也无法使用；跨越峡谷等的高桥也无法采用直接方法进行测量；另外采用直接方法进行挠度测量，无论布设还是撤消仪表，都比较繁杂耗时较长。

弯管力矩计算公式

第二节管材弯曲 一、材弯曲变形及最小弯曲半径 二、管材截面形状畸变及其防止 三、弯曲力矩的计算 管材弯曲工艺是随着汽车、摩托车、自行车、石油化工等行业的兴起而发展起来的，管材弯曲常用的方法按弯曲方式可分为绕弯、推弯、压弯和滚弯；按弯曲加热与否可分为冷弯和热弯；按弯曲时有无填料(或芯棒)又可分为有芯弯管和无芯弯管。 图6—19、图6—20、图6—21和图6—22分别为绕弯、推弯、压弯及滚弯装置的模具示意图。

图6—19在弯管机上有芯弯管 1—压块2—芯棒3—夹持块4—弯曲模胎5—防皱块6—管坯

图6—20 型模式冷推弯管装置 图6—21 V 形管件压弯模 1—压柱 2—导向套 3—管坯 4—弯曲型模 1—凸模 2—管坯 3—摆动凹模

图6—22三辊弯管原理 1—轴2、4、6—辊轮3—主动轴5—钢管 一、材弯曲变形及最小弯曲半径 管材弯曲时，变形区的外侧材料受切向拉伸而伸长，内侧材料受到切向压缩而缩短，由于切向应

力θσ及应变θε沿着管材断面的分布是连续的，可设想为与板材弯曲相似，外侧的拉伸区过渡到内侧的压缩区，在其交界处存在着中性层，为简化分析和计算，通常认为中性层与管材断面的中心层重合，它在断面中的位置可用曲率半径ρ表示(图6—23)。 管材的弯曲变形程度，取决于相对弯曲半径D R 和相对厚度D t (R 为管材断面中心层曲率半径，D 为管材外径，t 为管材壁厚)的数值大小，D R 和D t 值越小，表示弯曲变形程度越大(即D R 和D t 过小)，弯曲中性层的外侧管壁会产生过度变薄，甚至导致破裂；最内侧管壁将增厚，甚至失稳起皱。同时，随着变形程度的增加，断面畸变(扁化)也愈加严重。因此，为保证管材的成形质量，必须控制变形程度在许可的范围内。管材弯曲的允许变形程度，称为弯曲成形极限。管材的弯曲成形极限不仅取决于材料的力学性能及弯曲方法，而且还应考虑管件的使用要求。 对于一般用途的弯曲件，只要求管材弯曲变形区外侧断面上离中性层最远的位置所产生的最大伸长应变m ax ε不致超过材料塑性所允许的极限值作为定义成形极限的条件。即以管件弯曲变形区外侧的外表层保证不裂的情况下，能弯成零件的内侧的极限弯曲半径min r ，作为管件弯曲的成形极限。min r 与材料力学性能、管件结构尺寸、弯曲加工方法等因素有关。

05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式(供参考)

05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.wendangku.net/doc/087231837.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9) 1 * 问题的提出 在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。 如，梁 弯曲强度条件：[]σσ≤=W M max max ；剪切强度条件：[]τρτρ≤?= b I S F z Q * max ,max 刚度条件：挠度 ?? ? ???≤l y l y max ；转角[]??≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数， 即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律

8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材 料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）

18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0/10 ，R0为圆管的平均半 径）扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关 系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,

27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力 , 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律

惯性矩及弯曲变形公式

截面惯性矩及用曲率表示的梁的弯曲变形公式推导 一、定义 截面惯性矩是一个几何量，是一个截面参数，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。 任意截面如图所示，其面积为A，在坐标为(y，z)的任一点处， 取微面积dA，则下述面积分 I z=?A y2dA I y=?A z2dA 分别称为截面对z轴和对y轴 的惯性矩。 二、梁的弯曲变形公式推导 为什么要这样定义惯性矩，这个截面参数有什么意义呢？ 为了说明这个问题，我们举个实例来加以说明。 梁在承载力和作用下，是怎么发生弯曲的呢？ 如图所示，一小段梁的纯弯曲状 态。梁弯曲时部分“纤维”伸长，比如 图中(a)中的直线ab变为(b)中的弧线 a’b’；部分“纤维”缩短，比如图中(a) 中的直线cd变为(b)中的弧线c’d’；由 伸长区到缩短区，其间必存在一长度不 变的过渡层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。

用横截面1-1与2-2从梁中切取长度为dx的微段，并沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立y轴与z 轴，如图所示。梁弯曲后，纵坐标 为y的直线ab变为弧线a’。设 截面1-1与2-2间的相对转角为 dθ，中性层O1O2的曲率半径为ρ， 则ab的变形量为 a’b’-ab =a’b’-dx =(ρ+y)dθ-ρdθ ab的正应变为ε=(a’b’-ab)/(dx)=((ρ+y)dθ-ρdθ)/(ρdθ)=y/ρ由于距中性层相同距离的各“纤维”的变形相同，所以，上述应变ε即代纵坐标为y的任一“纤维”的正应变。 各“纤维”处于单向受力状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，即可应用胡克定律，由此得横截面上纵坐标为y处的正应力为σ σ=Ey/ρ(E为材料的弹性模量) 可见，σ与y成正比，如上图中(c)， 即正应力沿截面高度线性变化，而中性轴 上各点处的正应力则为零。 如右图所示，横截面上各点处的法向 微内力σdA组成一空间平行力系，横梁面

横向变形挠度

横向变形挠度 1．原理 本试验通过测定300 x 50 x 3mm砂浆棱柱试件的挠度，评定砂浆的变形性能。 2．试验器具 ⑴试验机：以2mm/min的速度进行试验的压力机。 ⑵试验测试头：该测试头的金属构造和尺寸见下图3-1。 图3-1 测试头的金属构造和尺寸 ⑶试验支架：两个直径为（10±0.1）mm，最小长度为60mm的圆形支架，其中心距为（200±1）mm ，见图3-2。 1－圆柱型支架，直径为（10±0.1）mm，最小长度为60mm。 2－胶粘剂厚度为（3±0.3）mm。 图3-2 试验支架 ⑷试验模具 一个刚性光滑防粘的矩形框架，其内部尺寸为（280±1）mm×（45±1）mm，厚度为（3±0.1）mm，由聚四氟乙烯（PTFE）制成。见图3-3。

注：建议在内部每个角落钻一个直径为2mm的圆洞以方便制备测试样品，见图3-3。 图3-3 试验模具 ⑸实验天平：精确度：± 0.1g。 ⑹砂浆搅拌机：满足JC/T681-2005行星式水泥胶砂搅拌机的要求。 ⑺秒表。 3．辅助材料 ⑴试验用基材：厚度最小为0.2mm的聚乙烯薄膜。 ⑵试验用密封袋：一定尺寸的聚乙烯袋，与试件有100mm的间隙。 4．备样 ⑴拌合过程 ①将水或液体倒入锅中。 ②将干粉撒入。 ③低速搅拌30秒； ④取出搅拌叶； ⑤60秒内清理搅拌叶和搅拌锅壁上的胶粘剂； ⑥重新放入搅拌叶，再低速搅拌60秒。 ⑦放置5min使胶粘剂熟化，然后继续搅拌15秒。 ⑵制备 ①试验基材准备 将聚乙烯膜固定在刚性垫座上，确保胶粘剂将要粘贴的表面不会发生扭曲变形，即没有皱纹。 ②试件制备 将模具紧密压在聚乙烯膜上。将足够的胶粘剂涂抹在模具内，然后涂抹均匀，使其完全平整地装填入模具内，最后小心地垂直移走模具。对每一种胶粘剂制备三块试件。根据试验要求将试件在标准试验条件下养护。