高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
一、幂函数的定义
例1、已知函数是幂函数，求m的值。
分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。
解：令及，可解得：m=2。
例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。
解答：依题意，。又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。
二、判断函数的奇偶性
一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。
例3、判断函数的奇偶性。
解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。
若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。
例4、判断函数的奇偶性。
解答：
分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。
三、复合函数的奇偶性
复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。
例5、判断函数的奇偶性。
解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为
的复合函数，故为偶函数。
四、利用函数的奇偶性解题
例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时
的解析式。
解答：
例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解
得，易证这是一个奇函数。
若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。
五、幂函数的图像
例8、函数的图像是（）
解答：由是偶函数，排除B、C；又当0
六、比较大小
例9、比较下列两式的大小
•；‚；ƒ
解答：•画出的图像，由于函数当x>0时是一个增函数，故；
‚在同一坐标系中画出的图像，
故有；
ƒ由于，故有：。
比较这类式子的大小时，往往要充分利用幂函数的单调性以及在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的相互位置关系进行判断。
七、解不等式
例10、解不等式。
解答：由于是一个增函数，故由知：
，故：
不等式的解集为。
例11. 解不等式。
解答：由于是一个减函数，故有，从而该不等式的解集为。
高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
一、幂函数的定义 例1、已知函数是幂函数，求m的值。 分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。 解：令及，可解得：m=2。 例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。 解答：依题意，。又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。 二、判断函数的奇偶性 一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。 例3、判断函数的奇偶性。 解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。 若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。 例4、判断函数的奇偶性。 解答：
分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。 三、复合函数的奇偶性 复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。 例5、判断函数的奇偶性。 解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为 的复合函数，故为偶函数。 四、利用函数的奇偶性解题 例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时 的解析式。 解答： 例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解 得，易证这是一个奇函数。 若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。 五、幂函数的图像 例8、函数的图像是（）
高一数学函数的奇偶性知识及例题
高一数学函数的奇偶性 提出问题 ① 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性 对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1 ?偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f( x) f (x)，那么f (x) 就叫做偶函数. 2 ?奇函数：一般地，对于函数 f (x)的定义域的任意一个x，都有f( x) f (x)，那么f (x) 就叫做奇函数. 1、如果函数y f (x)是奇函数或偶函数，我们就说函数y f (x)具有奇偶性；函数的奇偶性是函 数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶 函数且f(x) f (|x|)。奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数为奇函数? 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f( x) f (x)或f ( x) f (x)是否恒成立；
(3)、作出相应结论. 若f ( x) f(x)或彳(x) f(x) 0,则f(x)是偶函数； 若 f( x) f (x)或 f ( x) f (x) 0,则 f (x)是奇函数 例?判断下列函数的奇偶性 x 3 x 2 为非奇非偶函数；(2)f (x) 为非奇非偶函数 x 1 x 1 奇函数；(4) f (x) (x 1). \ x 1 (7) f (x) .1 x 2 . x 2 1 既是奇函数又是偶函数 (8) f (x) a,a 0 为非奇非偶函数 常用结论： (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . ⑶.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 一?分段函数奇偶性的判断 1 2 —x 2 1 (x 0) 例1.判断函数的奇偶性： g(x) 2 1 2 —X 2 1 (x 0) 2 解：当x >0时，一x v 0,于是 1 2 1 2 g( x) -( x)2 1 (-x 2 1) g(x) 2 2 当x v 0时，一x > 0，于是 1 2 1 2 1 2 g( x) ( x) 1 x 1 ( x 1) g(x) 2 2 2 综上可知， g(x)是奇函数. 2 (1)f (x) x x [ 1,2] 3 (3) f (x) x x (5)f(x) =x+ 丄； x 奇函数；(6) f (x) ■, 1 x 2 2 |x 2| 奇函数
高一函数的奇偶性知识要点、例题讲解(数学)
函数的奇偶性（一） 一、课题引入 幂函数(1) f (x )=x 3 (x ∈R )，(2) f (x )=x 2 (x ∈R )的图像特点、单调区间，并列下表 函数 f (x )=x 3 f (x )=x 2 定义域 (－∞，+∞)关于原点对称 (－∞，+∞)关于原点对称 函数值 f (－x )=－f (x ) f (－x )= f (x ) 对称性 图像关于原点对称 图像关于y 轴对称 单调性 在原点两侧单调性相同 在原点两侧单调性相反 图 像 前者曰“奇函数”、后者曰“偶函数”． 二、知识讲解 1．奇函数和偶函数的概念 设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 关于原点对称． (1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数． (2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数． 定义还可以表达为： (1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )+f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做奇函数． (2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )－f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做偶函数． 第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数() x x y -+=1lg 2 的奇偶性． 这种形式能使学生从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f (x )+f (－x )=0的解集为D ；另一方面，若方程f (x )+f (－x )=0的解集D 关于原点对称，则函数 y =f (x )在D 上是奇函数．对偶函数也可以得出类似的结论． 2．奇函数和偶函数的图像特征
6、幂函数与函数的奇偶性
简单的幂函数与函数的奇偶性 一、简单的幂函数 1．幂函数的定义 如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示： 从图中可以观察得到： 例1.下列函数中是幂函数的是() ①y＝1 x3；②y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2； ⑦y＝x2＋x；⑧y＝1. A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦ 例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式． 【名师指津】
1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x . 2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值． 例3.点(2，2)与点? ???－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )? 变式练习 1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ????12，2. (1)求实数α的值； (2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性． 二、函数的奇偶性 1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。 2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。 3、奇偶性 当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 ． 例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数的图像一定过原点．( ) (2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( ) (3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( ) 例5. 判断下列函数的奇偶性：
函数概念及性质、幂函数(2)寒假作业-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
函数概念及性质、幂函数(2) 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x ，都有________________，那么 函数f(x)就叫做偶函数 关于____________对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x ，都有________________，那么 函数f(x)就叫做奇函数 关于__________对称 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法：常用结论： ①奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶；奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶． ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的 和的形式．记偶函数g(x)＝12[f(x)＋f(－x)]，奇函数h(x)＝1 2 [f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)． ③复合函数y ＝f[g(x)]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇． ④若奇函数y ＝f(x)在x ＝0处有意义，则有f(0)＝0；偶函数y ＝f(x)必满足f(x)＝f(|x|)． 2．抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 3．已知函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； (2)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象． (3)求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (4)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a(a>0)．
幂函数的增减性和奇偶性
幂函数的增减性和奇偶性 幂函数是高中数学中常见的函数类型，它具有一定的性质和规律。 其中，增减性和奇偶性是幂函数的两个重要特征。本文将详细介绍幂 函数的增减性和奇偶性，并分析其应用和意义。 一、幂函数的增减性 幂函数的一般形式为：f(x) = ax^k，其中a≠0，k是实数。根据系数 a和指数k的不同取值，幂函数可以具有不同的增减性。 1. 当a>0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递增。即随 着自变量x的增大，函数值f(x)也随之增大。例如，当a=2，k=2时， f(x) = 2x^2就是一个典型的上升的二次函数。 2. 当a<0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递减。即随 着自变量x的增大，函数值f(x)反而减小。例如，当a=-3，k=3时，f(x) = -3x^3就是一个典型的下降的三次函数。 3. 当k<0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上并不具有单调性。而是 随着自变量x的取值增大或减小而出现正负交替的变化。例如，当a=4，k=-2时，f(x) = 4/x^2就是一个典型的具有正负交替的双曲线函数。 总结起来，幂函数的增减性取决于系数a和指数k的正负以及奇偶性。当a>0且k为偶数时，函数单调递增；当a>0且k为奇数时，函数单调递减；当a<0且k为奇数时，函数单调递增；当a<0且k为偶数时，函数单调递减。
二、幂函数的奇偶性 幂函数的奇偶性可以通过考察指数k的奇偶性来判断。 1. 当k为偶数时，幂函数f(x) = ax^k是一个偶函数。即对于任意实 数x，都有f(-x) = f(x)。例如，f(x) = x^4是一个关于y轴对称的四次函数，无论x取正值还是负值，函数值都相同。 2. 当k为奇数时，幂函数f(x) = ax^k是一个奇函数。即对于任意实 数x，都有f(-x) = -f(x)。例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的三次 函数，当x取正值和负值时，函数值的相反数。 幂函数的奇偶性判断和增减性分析有时会结合使用，可以更全面地 了解函数的性质。 三、幂函数的应用和意义 幂函数是数学模型中常见的一类函数，具有广泛的应用和研究意义。 1. 在物理学中，幂函数常用于描述各种物理量之间的关系。例如， 力与位移的关系、电阻与电流的关系、光强与距离的关系等，都可以 通过幂函数来表达和解释。 2. 在经济学和金融学中，幂函数经常用于建模和预测市场价格、收 益率、利润等变量的变化规律。通过确定幂函数的增减性和奇偶性， 可以指导决策者做出相应的经济政策和投资策略。
高三数学函数的奇偶性试题
高三数学函数的奇偶性试题 1.设是定义在上的奇函数，当时，，则的图像与圆 的公共点的个数是（） A．个B．个C．个D．个 【答案】B 【解析】根据奇函数的定义，可知x＜0时，f（x）＝x－1直接检验可得x＞0是与圆有一个公共点，x＜0时没有公共点，但注意到奇函数中f（0）＝0恰好在圆周上，所以两者有两个公共点.选B 【考点】函数的奇偶性，图像的公共点 2.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f（x）＝3x，则f（log 9 4）的值为（）A．－2B．C．D．2 【答案】B 【解析】根据对数性质，f（log 94）＝f（log 3 2） 因为f（x）是奇函数，于是f（log 32）＝－f（－log 3 2）＝－f（log 3 ），且log 3 <0 故f（log 94）＝－f（log 3 ）＝－ 【考点】函数的奇偶性，分段函数 3.已知奇函数f (x)和偶函数g(x)分别满足，，若存在实数a，使得成立，则实数b的取值范围是 A．(-1,1)B．C．D． 【答案】C， 【解析】由f (x)的解析式知，当0≤＜1时，f (x)=是增函数，其值域为[0,1]，当≥1时，f (x)=是减函数，值域为（0,1]，故当≥0时，值域为[0,1]，因为f (x)是奇函数，根据奇函数的对 称性知，当≤0时，值域为[-1,0]，所以f (x)的最小值为-1， 由存在实数a，使得成立知，＞=-1，① 当≥0时，，解得， 因为g(x)是偶函数，由偶函数的对称性知，当b≤0时，不等式的解为， 所以实数b的取值范围是，故选C． 【考点】函数奇偶性，指数函数与幂函数图像性质，含参数不等式成立问题 4.已知，.现有下列命题： ①；②；③.其中的所有正确命题的序号是（） A．①②③B．②③C．①③D．①② 【答案】A 【解析】对①，，成立；
【学案与检测】高中数学-幂函数(解析版)-高中数学考点精讲精练
3.3 幂函数 新课标要求 通过具体实例，结合231 ,,,,y x y y x y x y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象 如图． 2．五个幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 1 2 y x = y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称． 5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 名师导学知识点1 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1 x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是 两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22 m x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪ ⎧ m ＝1，n ＝32. 所以m ＝－3或1，n ＝32. 【变式训练1-1】给出下列函数: ①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2. 其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .
高中数学《幂函数》题型战法试题及答案
第二章 函数 2.6.1幂函数（题型战法） 知识梳理 一 幂函数的概念 一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 二 幂函数的图像与性质 （1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示 （2）五个常见幂函数的性质： 函数 性质 y ＝x 12 y x = y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -= 定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞， [)0+∞， R ()(),00,-∞+∞ 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R 上增 [)0+∞， 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R 上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像， 并且图像都过点()1,1. （2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞， 上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞， 上是减函数 题型战法 题型战法一 幂函数的概念
典例1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．21y x =- C ．3y x = D ．2x y = 变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．3 1 y x = D ．2x y = 变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4- 变式1-3．已知幂函数()2 22 33m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．1 B ．2 C ．-2 D ．1或2 变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1 (2 ，则k α+等于（ ） A ．1 2 B ．1 C ．32 D ．2 题型战法二 幂函数的图像 典例2．函数y =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）
幂函数的增减性与奇偶性
幂函数的增减性与奇偶性 幂数学函数是数学中的重要概念之一，而其中的一种常见函数类型 为幂函数。幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a为常数，n为幂数。本文将探讨幂函数的增减性与奇偶性两个重要属性。 一、幂函数的增减性 幂函数的增减性描述了幂函数在定义域内的函数值随自变量增加或 减小而变化的趋势。当幂函数的幂数为正时，函数呈现单调递增或单 调递减的特点，具体取决于幂数的奇偶性。 1. 幂数为正偶数 当幂数n为正偶数时，幂函数呈现出单调递增的趋势。这是因为当 x为正数时，不论a是正还是负，x的n次方都为正，所以当x增加时，函数值y也会随之增加；同理，当x为负数时，由于负数的偶次幂依 然为正数，所以x减小时，函数值y也会减小。 2. 幂数为正奇数 当幂数n为正奇数时，幂函数同样也呈现出单调递增的趋势。但与 幂数为正偶数的情况不同，当n为奇数时，若a为正数，则x取任意正负值时，y都为正数，所以函数整体呈现单调递增的特点；若a为负数，则x取正数时，y为负数；而当x取负数时，y则为正数。所以，当幂 数n为正奇数时，函数的增减性也取决于常数a的正负性。 3. 幂数为负数
当幂数n为负数时，幂函数则呈现出单调递减的趋势。这是因为当x是正数时，不论a是正还是负，x的n次方都为小于1的正数，所以当x增加时，函数值y则会减小；同理，当x是负数时，由于负数的负次幂依然是小于1的正数，所以x减小时，函数值y也会增加。 二、幂函数的奇偶性 幂函数的奇偶性描述了幂函数图像关于y轴或者原点对称的特点，取决于幂数的奇偶性。 1. 幂数为偶数 当幂数n为偶数时，函数的图像关于y轴对称。这是因为当x取正值时，幂函数的函数值与x取相反数时的函数值相等，即满足关于y 轴对称的特点。 2. 幂数为奇数 当幂数n为奇数时，函数的图像关于原点对称。这是因为当x取正值时，幂函数的函数值与x取相反数时的函数值互为相反数，即满足关于原点对称的特点。 结论： 幂函数的增减性与奇偶性是幂函数在数轴上的两个重要特征。幂函数的增减性取决于幂数n的奇偶性以及常数a的正负性；幂函数的奇偶性取决于幂数n的奇偶性。通过对幂函数的增减性与奇偶性的分析，可以更好地理解和利用幂函数在应用问题中的性质和特点。
根据幂函数的奇偶性知识点及题型归纳总结
根据幂函数的奇偶性知识点及题型归纳总 结 幂函数是数学中一类特殊的函数形式，由于其具有一定的特征，我们可以根据幂函数的奇偶性来推导其性质和解题方法。以下是根 据幂函数的奇偶性知识点和题型的归纳总结： 1. 幂函数的定义 幂函数形式为 f(x) = x^n，其中 x 是自变量，n 是常数。n 的值 可以是正整数、零、负整数和分数。当 n = 0 时，幂函数化简为 f(x) = 1。 2. 幂函数的奇偶性 根据 n 的奇偶性，幂函数可以分为以下两种情况： - 当 n 为偶数时，幂函数是偶函数。例如，f(x) = x^2 是一个典 型的偶函数，具有关于 y 轴对称的特点。 - 当 n 为奇数时，幂函数是奇函数。例如，f(x) = x^3 是一个典 型的奇函数，具有关于原点对称的特点。 3. 幂函数的图像特点
通过奇偶性的分析，可以得到幂函数的一些图像特点： - 当 n 为正数时，幂函数的图像在第一象限和第四象限上单调递增，且经过原点。 - 当 n 为负数时，幂函数的图像在第一象限和第四象限上单调递减，且经过原点。 - 当 n 为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第四象限上都是非负值，且存在最小值。 - 当 n 为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第四象限上分别为正值和负值，且不存在最小值。 4. 幂函数的题型归纳 在解题过程中，根据幂函数的奇偶性可以采取以下策略： - 当需要求幂函数在某个点的值时，可以利用奇偶性进行简化计算。对于偶函数，f(a) = f(-a)，而对于奇函数，f(a) = -f(-a)。 - 当需要求幂函数的零点时，注意奇数指数的幂函数在原点处有一个零点。 - 当需要画幂函数的图像时，可以根据奇偶性和幂函数的图像特点来确定函数的增减性、极值以及图像的走向。
新教材高中数学4函数的奇偶性与简单的幂函数4-2简单幂函数的图象和性质课后习题北师大版必修第一册
4.2 简单幂函数的图象和性质 A级必备知识基础练 1.函数y=3xα-2的图象过定点() A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-1,-1) 2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是() A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2 C.f(x)=x3 D.f(x)=x 1 2 3.(多选题)下列说法错误的是() A.幂函数的图象不经过第四象限 B.y=x0的图象是一条直线 C.若函数y=1 x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y y<1 2 D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2} 4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是() A.(0,1) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 5.幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则() A.-1 B.n<-1,0 B 级关键能力提升练 9.(多选题)已知函数f (x )=x α 的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( ) A.函数f (x )为增函数 B.函数f (x )为偶函数 C.若x>1,则f (x )>1 D.若0 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 A 级必备知识基础练 1.(多选题)下列函数是奇函数的有( ) A.y=x(x -1) x -1 B.y=-3x C.y=x-2x D.y=πx 3-35x 2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f (x )在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f (x )在区间[1,2]上 ( ) A.单调递增,且有最小值f (1) B.单调递增,且有最大值f (1) C.单调递减,且有最小值f (2) D.单调递减,且有最大值f (2) 3.若函数f (x )=(k-2)x 2+(k-1)x+3是偶函数,则f (x )的单调递减区间是 . 4.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有 f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2 <0,则f (3),f (-2),f (1)的大小关系为 . 5.若函数f (x )={2x 2+7x -4,x >0,g(x),x <0 为奇函数,则f (g (-1))= . 6.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (-2)=10,则f (2)= . 7.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出在区间[-5,0]上的图象; (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合. 8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值. 9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件: ①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数; ③f(1-a)+f(1-a2)<0. 求实数a的取值范围. 函数奇偶性、幂函数及二次函数专项训练 一、选择题 1．函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上单调递增，则b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b>0 D ．b<0 答案：A 2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D 3．已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，0) 解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7， ∴0.71.3＜1.30.7，∴m ＞0. 答案：A 4．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下 列函数中与f (x )的单调性不同的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0. D ．y ＝⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ e x ，x ≥0，e －x ，x <0. 解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函 数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0， x 3＋1，x ＜0. 在(－2,0)上为增函数，y ＝ ⎩ ⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥0，e －x ，x ＜0.在(－2,0)上为减函数． 答案：C 5. 已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12 答案：B 6． 已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题13 幂函数 题型一 幂函数的定义域和值域 1．函数()() 1 234 21x x y += -的定义域为__________． 【答案】[)2,1- 【解析】函数解析式为()() 12 34 21y x x = = -+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩ ，解得2 1x . 因此，函数()() 1 23 4 21x x y += -的定义域为[)2,1-. 故答案为：[)2,1-. 2．讨论函数23 y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性． 【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数． 【解析】函数23y x == R =，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增. 3．已知幂函数()()21* m m f x x x N +=∈. (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过 点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析: （1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则： () f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增． （2）由题意可得：()1 2 2m m -+= 求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去）， 则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312 a ≤＜． 4．已知幂函数f (x )=(m -1)22 -42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k . （1）求实数m 的值； （2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）m =0；（2）[0，1]. 【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2. 当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去. 高一数学函数的奇偶性试题 1.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】A为偶函数，在上单调递减；B为奇函数，单调递增；C为偶函数，上不单调；D为偶函数，在上单调递增. 【考点】函数的奇偶性、单调性. 2.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则 ________. 【答案】 【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故. 【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式. 3.设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,, 若对一切 成立,则的取值范围为________. 【答案】 【解析】当时，因为是定义在上的奇函数，所以 ，当且仅当即时取“=”。又是定义在上的奇函数，所以。要使对一切成立，只需时恒成立。所以或或，所以 【考点】(1)奇函数（2）基本不等式（3）恒成问题 4.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。 （Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之； （Ⅱ）解关于的不等式：； （Ⅲ）设集合,.，若集合有且 仅有一个元素，求证: 。 【答案】（Ⅰ）函数为R上的奇函数,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析 【解析】（Ⅰ）抽象函数奇偶性的证明，先令，再令可求得出函数为奇函数,（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上为奇函数，则利用单调性及与-1的 关系可解得；（Ⅲ）先对进行化简，再利用两方程有唯一解求证. 试题解析：（Ⅰ）令, 令,, 函数为R上的奇函数. （4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 又函数是单调递增函数, 故（8分） （Ⅲ） ,又有且仅有一个元素,即方程组有唯一解, 即仅有一个实根, ,即（13分） 【考点】抽象函数求奇偶性,不等关系,交集定义,函数与方程. 5.函数为区间上的单调增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数为区间上的单调增函数，所以有 【考点】1、分段函数，2、函数的单调性. 6.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则 的大小关系是（） A．＞＞B．＞＞ C．＜＜D．＜＜ 【答案】A 【解析】因为，偶函数的定义域为R，当时，是增函数，所以=，=，而2<3<π，所以，即＞＞，故选A。 【考点】本题主要考查函数的奇偶性、单调性。 点评：简单题，比较函数值的大小，一般利用函数的单调性，即在函数的某一单调区间，完成大 小比较。 7.定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（）A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，+∞） C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3） 【答案】A 【解析】定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，所以函数在（－∞，0）也减函数， 且f(3)= ，所以结合函数图象的大致形态得到的解集为 （－3，0）∪（0，3），选A。 【考点】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，简单不等式解法，函数的图象。 点评：小综合题，利用数形结合思想，结合函数的图象，确定不等式的解集。 8.函数。 （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若,证明函数在（2，+）单调增； （3）对任意的，恒成立，求的范围。 【答案】（1）函数为奇函数。 (2) 即。函数在单增；（3）。 【解析】（1）该函数为奇函数。…………..1分 第二章 函数 2.6.2 幂函数（针对练习） 针对练习 针对练习一 幂函数的概念 1．给出下列函数： ①31y x = ；①32y x =-；①42y x x =+；①y =①()21y x =-；①0.3x y =，其中是幂函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A ．13 y x = B ．13x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C ．23 y x = D ．23x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 3．下列函数是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -=C ．32y x = D ．32y x =- 4．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（ ） A ．13y x = B ．3y x = C ．1 2y x = D ．2y x 5．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（ ） A ．32 B ．3 C ．1 2 D ．4 针对练习二 幂函数的图像 6．下列四个图像中，函数3 4y x =的图像是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取1 2，2，2-，12 -这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（ ） A ．2，1 2，12 -，2- B ．2-，12 -，1 2，2 C ．12 -，2，2-，1 2 D ．2，1 2，2-，12 - 8．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ） A ．3y x = B ．2y x C ．y x = D ．y = 9．若幂函数()m n f x x = (m ，n ①N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ） A ．m ，n 是奇数，且 m n <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n >1 10．下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1，3，1 2时，幂函数y ＝xα是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝xα在其整个定义域上是减函数 针对练习三 幂函数的定义域 11．函数()1 2ln 1 x f x x x =-+的定义域 高一数学函数的奇偶性试题答案及解析 1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．是偶函数B．是奇函数 C．是偶函数D．是奇函数 【答案】A 【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案． ∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数， 则|g（x）|也为偶函数， 则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件； f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件； |f（x）|也为偶函数， 则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定 故选A 【考点】函数奇偶性的判断 2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即 ，，可解得. 故选A. 【考点】函数的奇偶性. 3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ). A．B． C．D． 【解析】 图1图2 如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为 在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B. 【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想. 4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ． 【答案】2014 【解析】由函数为偶函数，且得 从而，故应填入2014． 【考点】函数的奇偶性． 5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 . 【答案】 【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义. 【考点】奇函数定义及特殊值法. 6.函数的图像大致是（） 【答案】A 【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数 的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A. 【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性. 7.已知，，则_ ____． 【答案】5 【解析】函数，，又为奇函数，所以 . 【考点】函数奇偶性. 8.已知是奇函数，且，则．新教材高中数学4函数的奇偶性与简单的幂函数4-1函数的奇偶性课后习题北师大版必修第一册
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