幂函数解析
专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性
【知识回顾】
一、简单的幂函数
1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常
量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．
2．简单的幂函数的图像和性质
函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x
－1在同一平面
直角坐标系中的图像如图所示：
二、函数的奇偶性
1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，
有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。
2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。
【典例应用】
考点1 幂函数的概念
例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.
①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-
【答案】①
【解析】
【分析】
由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项
【详解】
根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数
①中，3x 的系数不为1；
①中，=-3α的幂函数；
①中，3x 的系数不为1；
①中，3x 之后不能加常数项；
故答案为①
【点睛】
本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.
练习：已知幂函数2223(1)m
m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.
【解析】
【分析】
由幂函数的概念求解．
【详解】
2
223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.
当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.
故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.
【点睛】
本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
考点2 幂函数的图像
例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
① ① ① ①
A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=
B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=
C ．①2y x ；①3y x =；①1
2y x =；①1y x -=
D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D
【解析】
【分析】
利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.
【详解】
3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
练习：幂函数2
4m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．
【详解】
解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，
当0m =时，240m m -=，不合题意；
当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；
当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．
①m 的值为2．
故选C ．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值
例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）
A
B ．2±
C ．2
D ．2-
【答案】D
【解析】
【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.
【详解】
由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2
f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2
f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.
练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）
A ．-1
B ．2
C ．-1或2
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．
【详解】
解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，
则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩
，解得1m =-． 故选：A ．
【点睛】
本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．
考点4：函数奇偶性
例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .
(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．
练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．
【等级过关练】
1．幂函数()y f x =图象过点11
(,)42
，则[(9)]f f =（ ）
A B ．3 C ．13 D
2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭
f ，则m 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）
A ．21
x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =
4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2
5．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x
=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案
1．A
【解析】
【分析】
用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.
【详解】
设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11
(,)42
， 所以有11()
24α=，解得12
α=，所以12()y f x x ===
因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==
故选：A
【点睛】
本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.
2．C
【解析】
【分析】 先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭
f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】 因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭
f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.
经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.
故选：C
【点睛】
本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．B
【解析】
试题分析：根据幂函数n
x y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0 考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性； 4．B 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果． 【详解】 解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -, 则210m n -+++=，得1m n +=， 故选：B ． 【点睛】 本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大． 5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数. 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性的定义判断得解. 【详解】 解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称, 11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称, ()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数. (3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数. 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性 【知识回顾】 一、简单的幂函数 1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常 量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数． 2．简单的幂函数的图像和性质 函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1在同一平面 直角坐标系中的图像如图所示： 二、函数的奇偶性 1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ， 有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。 2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。 【典例应用】 考点1 幂函数的概念 例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）. ①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =- 【答案】① 【解析】 【分析】 由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项 【详解】 根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数 ①中，3x 的系数不为1； ①中，=-3α的幂函数； ①中，3x 的系数不为1； ①中，3x 之后不能加常数项； 故答案为① 【点睛】 本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题. 练习：已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠. 【解析】 【分析】 由幂函数的概念求解． 【详解】 2 223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-. 当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠. 故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠. 幂函数 1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数. 要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中 只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决. 2.幂函数在第一象限的图象： 幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)． (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称． (3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限． 3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示) (2)性质(如表) 4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O 幂函数题型及解析 1.（1）下列函数是幂函数的是________ y=x 2 ，y=（）x ，y=4x 2 ，y=x 5 +1，y=（x ﹣1）2 ，y=x ，y=a x （a ＞1） 分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2 和y=x ． 解：由幂函数的定义知，y=x 2 ，y=（）x ，y=4x 2 ，y=x 5 +1，y=（x ﹣1）2 ，y=x ，y=a x （a ＞1），七个函数中是幂函数的是y=x 2 和y=x ， （2）①y=x 2 +1； ②y=2x ； ③y= ； ④y=（x ﹣1）2； ⑤y=x 5； ⑥y=x x+1 分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可． 解：根据幂函数y=x α ，α∈R 的定义知， ①y=x 2 +1不是幂函数，②y=2x 不是幂函数，③y==x ﹣2是幂函数，④y=（x ﹣1）2不是幂函数，⑤y=x 5 是幂函数， ⑥y=x x+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤ 2.已知幂函数y=f （x ）的图象过点（9，）.（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （25）的值；（3）若f （a ）=b （a ，b ＞0），则a 用b 可表示成什么？ 分析：（1）设出幂函数f （x ）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f （25）的值；（3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系． 解：（1）设幂函数f （x ）=x t ，∵图象过点（9，），∴；即32t =3﹣1 ，∴ ，∴ ； （2）∵f （x ）= ，∴f （25）=25= = =；（3）∵f （a ）=a=b ，∴a ＝b ，∴a ﹣1 =b 2 ，∴a= ． 3.比较下列各组中两个值的大小 ；（3）3 2 ) 2.1(--，3 2) 25.1(--；（4）（）与41 )6 5 (-； （5）；（6）（），（）；（723 ；（8）（），（） 分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得． 解：（1）∵幂函数y=53 x 在（0，+∞）单调递增，∴535.1＜5 37.1；（2）∵幂函数y=x 在（0，+∞）单调递增，∴＞；（3））∵幂函数y=3 2-x 在（﹣∞，0）单调递增，∴3 2) 2.1(--＞3 2) 25.1(--；（4）∵0＜＜，∴（） ＜41 )6 5(-；（5）＜；（6）（）＞（）；（72＞3 ；（8）（）＜（） 4.若函数y=（m 2 +2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，求m 的值 ②已知幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣ 3，当x ∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数 分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m 的值即可 解：①∵函数y=（m 2+2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2 +2m-2=1且m ＞0；解得m=1 ②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣ 3，∴m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x ∈（0，+∞）时y 为减函数，∴当m=2时，m 2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，幂函数为y=x 0，不满足题意；综上幂函数y=x -3 5.幂函数y=（m 2﹣3m+3）x m 是偶函数，求m 的值 分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可． 解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，即m 2 ﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x 是奇函数，不满足条件．当 m=2时，y=x 2 是偶函数，满足条件，即m=2 高中数学幂函数知识点总结（一） 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 高一数学幂函数试题答案及解析 1.对于幂函数f(x)=，若0＜x 1＜x 2 ，则，的大小关系是( ) A．＞B．＜ C．=D．无法确定 【答案】A 【解析】可以根据幂函数f(x)＝在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有＞，由此可得结论． 【考点】函数的性质的应用. 2.下列说法正确的是（） A．幂函数的图象恒过点 B．指数函数的图象恒过点 C．对数函数的图象恒在轴右侧 D．幂函数的图象恒在轴上方 【答案】C 【解析】幂函数的图象恒过点，A错；指数函数的图象恒过点，B错；幂函数的图象恒在轴上方，反例，D错. 【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图像、性质. 3.若幂函数在上是增函数，则=_________． 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，由幂函数的定义可知，，解得或，当时，，在上是增函数，符合题意；当时，，在上是减函数，不符合题意，所以． 【考点】本题考查的知识点是幂函数的定义及其性质． 4.已知A有限集合，，若的子集个数分别为，且，则 __． 【答案】2 【解析】不妨设集合A中的元素个数为，则集合B中的元素个数有,所以，，因此，故所求的值为2. 【考点】1.集合的元素个数；2.整数幂的运算. 5.下列幂函数中过点，的偶函数是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】对于幂函数，当是偶数时，它是偶函数，排除A和D；当时，幂函数不通过原点，排除C. 【考点】幂函数的性质 6.已知幂函数为实常数）的图象过点(2，)，则= . 【答案】4 【解析】因为幂函数为实常数）的图象过点(2，)， 所以，所以 【考点】本小题主要考查幂函数的定义和求解. 点评：幂函数是形式定义，的系数为1，经常用这条性质解题. 7.已知幂函数在增函数，则的取值范围 . 【答案】(0,10) 【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到 lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。 【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。同时对数真数大于零是易忽略点。 8.已知幂函数的图象过点 【答案】9 【解析】令幂函数解析式为y=x a，又幂函数的图象过点（2，4）， ∴4=22=2a，∴a=2，∴幂函数的解析式为y=x2，所以9，故填写9. 【考点】本试题主要考查了幂函数解析式的求解。 点评：解决该试题的关键是由题意，已知幂函数的图象过点（2，4），可先用待定系数法设出其解析式，将点的坐标代入求得幂函数的解析式。 9.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的图像和性质可知，在第一象限内，幂指数大于零递增，幂指数小于零递减可知，图像中的幂函数依次是，选D 10.设，则（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】解：因为指数函数的性质可知， 3.3 幂函数 新课标要求 通过具体实例，结合231 ,,,,y x y y x y x y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象 如图． 2．五个幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 1 2 y x = y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称． 5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 名师导学知识点1 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1 x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是 两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22 m x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪ ⎧ m ＝1，n ＝32. 所以m ＝－3或1，n ＝32. 【变式训练1-1】给出下列函数: ①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2. 其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C . 高三数学幂函数试题答案及解析 1.若，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此 的解集为. 【考点】幂函数的性质. 2.对于函数f(x)若存在x 0∈R，f(x )＝x 成立，则称x 为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋ b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点； (2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； (3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于 直线y＝kx＋对称，求b的最小值． 【答案】（1）－1和3. （2）(0,1) （3）－ 【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3， f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3， ∴函数f(x)的不动点为－1和3. (2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根， 需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ 1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0 幂函数 •冥函数的定义： 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。 幂函数的解析式： y=xα 幂函数的图像： •幂函数图像的性质： 所有幂函数在(0，+∞)上都有定义． ①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； ②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减; ③当O 若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。 ②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则 为非奇非偶函数． 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >〕 负分数指数幂的意义是：m n a -= 〔0a >，m 、n N ∈，且1n >〕 1、 幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． y 0n < 幂函数根本性质 〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕； 〔2〕α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 〔3〕α＜0时，幂函数的图象在区间〔0，+∞〕上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进展讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的根本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横〞，即α＞0〔α≠1〕时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 2、 幂函数的应用 例1、 幂函数n m y x =〔m 、n N ∈，且m 、n 互质〕的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 〔 〕 O * y O * y O * y 高一数学知识点之幂函数的定义与性质 高一数学知识点之幂函数的定义与性质 定义： 形如=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量， 指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必 须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的`定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函 数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数 的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次 根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是 偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=-， 则x=1/（x^），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0， +∞）。因此可以看到x所受到的限制于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<；0和x>；0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数。 对幂函数讲解与例题解析 幂函数是一类常见的数学函数，其形式为 $f(x)=x^a$，其中$a$ 是实数，$x$ 是自变量。本文将对幂函数进行讲解并提供一些例题解析。 幂函数的定义与性质 幂函数的定义如上所述，它具有以下一些性质： 1. 当 $a>0$ 时，幂函数是递增函数，即随着 $x$ 的增大，函数值也会增大。 2. 当 $a<0$ 时，幂函数是递减函数，即随着 $x$ 的增大，函数值会减小。 3. 当 $a=0$ 时，幂函数为常数函数，即对任意的 $x$，函数值都保持不变。 4. 幂函数的图像会随着 $a$ 的不同而发生形状上的变化。当$a>1$ 时，图像呈现出向上开口的形状；当 $0 例题3 已知函数 $h(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$，求 $h(2)$ 的值。 解析：将 $x=2$ 代入 $h(x)$ 的表达式中，得到 $h(2)=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$。因此，$h(2)$ 的值为$\frac{1}{9}$。 以上是对幂函数的讲解与例题解析，希望能够帮助你更好地理解和应用幂函数。 高中幂函数解析式的求法 高中数学中，幂函数是一类常见的函数，其解析式一般为形如f(x) = ax^n 的形式，其中 a 和 n 分别是函数的系数和指数。 要求一个幂函数的解析式，可以通过以下几种方法来实现： 1. 已知特定点 如果已知幂函数通过某些特定点，可以利用这些信息来求解解析式。例如，如果已知幂函数过点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们可以得到以下方程组： y1 = a * x1^n y2 = a * x2^n 通过求解这个方程组，我们可以确定 a 和 n 的值，从而得到幂函数的解析式。 2. 已知函数图像 如果已知幂函数的图像或者部分图像，我们可以根据图像的性质来求解解析式。 例如，如果已知幂函数经过原点 (0, 0) 并且曲线在 x 轴的非负区间递增或递减，那么可以确定 a 的符号是正数或者负数。进一步地，如果我们知道曲线在某个点处的斜率，就可以确定 a 的值。 3. 利用导数 幂函数的导数形式为 f'(x) = a * n * x^(n-1)。 如果已知幂函数的导数，我们可以根据导数的形式来确定 a 和n 的值。 例如，如果已知幂函数的导数形式为 f'(x) = 3x^2，那么可以得到以下方程： 3x^2 = a * n * x^(n-1) 通过求解这个方程，可以确定 a 和 n 的值。 4. 求导数次数不同的点 如果已知幂函数通过不同导数次数的点，可以根据这些信息来求解解析式。 例如，如果已知幂函数经过点 (1, 2)，并且一阶导数在点 (2, 3) 处为 4，那么可以得到以下方程组： 2 = a * 1^n 3 = a * 2^(n-1) * (n-1) 4 = a * 2^(n-1) 通过求解这个方程组，可以确定 a 和 n 的值。 以上是求解高中幂函数解析式的几种常见方法，根据具体题目的条件，选择合适的方法来求解即可。 幂函数解析式的求法 对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下： 一、利用幂函数的定义 例１ 已知函数是幂函数，求此函数的解析式． 解：∵是幂函数， ∴y 可以写成如下形式（是常数）． ∴，解得． 当时，有（2为常数），（－1为常数）． ∴函数的解析式为或． 评注：幂函数（x 为自变量，是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m 后要注意检验幂指数是否为常数． 二、利用幂函数的图象 例２ 若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式． 分析：对于幂函数（是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数≤0． 解：∵函数是幂函数，且图象不经过原点， ∴，且． ∴或6． ∴函数解析式为或． 例３ 已知幂函数（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称．求 函数的解析式． 解：∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴，解得． 22 21 (1)m m y m m x --=--22 21(1)m m y m m x --=--y x α =α2 11m m --=121 2m m =-=，1212m m =-=，211212m m --=2 22211m m --=-1y x -=2 y x =y x α =α2 9 ()(919)a f x a a x -=-+y x α=αα2 9 ()(919)a f x a a x -=-+2 9191a a -+=90a -≤3a =6 ()f x x -=3 ()f x x -=21 ()m f x x -=21 ()m f x x -=2 10m -≤11m -≤≤ 高一数学幂函数试题答案及解析 1. (1)化简； (2)已知且，求的值. 【答案】(1)1; (2) 【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值． 试题解析： 原式. (2)．又因为，所以故 知：． 【考点】根式与分数指数幂的运算． 2.若上述函数是幂函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个 【答案】C 【解析】形如的函数，是幂函数。所以幂函数有，共两个，故选C。 【考点】本题主要考查幂函数的概念。 点评：简单题，形如的函数，是幂函数。 3.当时，幂函数为减函数，则实数( ) A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D． 【答案】A 【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。 【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。 点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。 4.已知幂函数在增函数，则的取值范围 . 【答案】(0,10) 【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到 lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。 【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。同时对数真数大于零是易忽略点。 5.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定 【答案】A 【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点， 所以，解得，所以在第一象限单调递减. 因为，所以，所以. 【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增. 6.若函数是幂函数，则的值为（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】函数是幂函数，则即。 7.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的图像和性质可知，在第一象限内，幂指数大于零递增，幂指数小于零递减可知，图像中的幂函数依次是，选D 8.已知函数的图像过点（2，），则= ． 【答案】3 【解析】解：因为幂函数过点（2，），所以求解得到 3.3 幂函数 【典例精讲】 考点一 幂函数的判断 【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数2 1y x =，2 2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】因为2 21y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数； 01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数 函数1y =不是幂函数.故选：B . 【一隅三反 】 1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3 y = D ．3(2)y x -=- 【答案】A 【解析】幂函数是y x α =，α∈R ，显然331y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3y =，3 (2) y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ． 2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是 （ ） A ．2 2y x = B ．3 y x x =+ C ．3x y = D ．1 2 y x = 【答案】D 【解析】形如y x α =的函数称为幂函数，据此只有12 y x =才符合幂函数的定义，故选择D. 考点二 幂函数的三要素 【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数()a f x k x =⋅的图象过点1,22⎛ ⎝⎭ ， 则k a +=______. 【答案】1.5 【解析】因为函数()a f x k x =⋅是幂函数，所以1k =，又因为幂函数的图象过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以 0.5 11222a ⎛⎫ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5 【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数4 5y x =的定义域是_____，值域是_____； （2）函数4 5 y x -=的定义域是____，值域是_____； 一题多变，发散思维 从近几年高考命题来看，关于函数的概念、函数的性质和函数图像的考查，呈现综合化趋势，即不单纯考查某一知识点，而是多点考查．如函数的定义域与不等式解法结合；函数的单调性、奇偶性与方程或不等式综合考查；函数的图象与函数的性质综合考查等等．作为幂函数考查的知识点主要有以下几种情况： 1．幂函数的定义：幂函数的解析式，由幂函数概念求参数． 2．幂函数的定义域、值域问题． 3．幂函数的图象：图象的判断及其应用，过定点问题． 4．幂函数的单调性：判断幂函数及其复合函数的单调性问题，由单调性求参数问题，求不等式，比较大小，综合应用问题． 5．幂函数的奇偶性问题． 例题 母题：已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-- 类型：幂函数中幂函数的定义、求单调区间、解不等式、解方程、根据零点求参数取值范围、求最值、由最值求参量取值等问题 【方法解读】1．幂函数的定义：幕函数的解析式，由幂函数概念求参数． 2．幂函数的走义域、值域问题． 3．幂函数的图象：图象的判断及其应用、过定点问题． 4．幂函数的单调性：判断幂函数及其复合函数的单调性问题，由单调性求参数问题，求不等式，比较大小，综合应用问题． 5．幂函数的奇偶性问题． （变式1幂函数的定义）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=--为偶函数，求m 的值； （变式2求单调区间）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=--为偶函数，求()f x 的单调区间； （变式3解不等式）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=--为偶函数，若 (1)(12)f a f a +≤-，求a 的取值范围； （变式4解方程）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=--为偶函数，求方程 §3.3 幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，1 2，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． 知识点一 幂函数的概念 思考 y ＝1 x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？ 答案 底数为x ，指数为常数． 梳理 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象如 图． 2．五个幂函数的性质 知识点三 一般幂函数的图象特征 一般幂函数特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称． (5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 1．y ＝－1 x 是幂函数．( × ) 2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ ) 3．y ＝32 x 与y ＝64 x 定义域相同．( × ) 4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ ) 类型一 幂函数的概念 例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)xm 2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ m ＝－3或1，n ＝3 2 ， 所以m ＝－3或1，n ＝3 2 . 反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭ ⎫ x 24 都不是幂函数． 跟踪训练1 在函数y ＝1 x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2，所以是幂函数； y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； 3.3 幂函数（精讲）思维导图 常见考法 考点一 幂函数的概念 【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）在函数21 y x =，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）．（2021·福建高一期末）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则m =（ ） A ．0 B ．1 C ．0或2 D ．1或2 【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）因为221 y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数； 01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B . （2）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数， 则11m -=，解得：0m =或2m =， 当0m =时，()f x x =符合题意， 当2m =时3()f x x =符合题意， 所以0m =或2，故选：C 【一隅三反】 1．（2021·陕西高一期末）已知函数()()()2 21 1 n n f x n n x n Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___. 【答案】8 【解析】由于函数()()()2 21 1 n n f x n n x n Z -+=--∈为幂函数，则211n n --=，即220n n --=， n Z ∈，解得1n =-或2，所以，()3 f x x =， 因此，()3 228f ==. 故答案为：8.幂函数解析
幂函数知识点
幂函数题型及解析
高中数学幂函数知识点总结
高一数学幂函数试题答案及解析
【学案与检测】高中数学-幂函数(解析版)-高中数学考点精讲精练
高三数学幂函数试题答案及解析
幂函数图像的性质定义_幂函数的解析式_幂函数的单调性和奇偶性
幂函数的图像性质和应用
高一数学知识点之幂函数的定义与性质
对幂函数讲解与例题解析
高中幂函数解析式的求法
人教版数学高一 素材 幂函数解析式的求法
高一数学幂函数试题答案及解析
幂函数(精讲)(解析版)
专题十四 幂函数(含答案解析)
幂函数
3-3 幂函数(精讲)(解析版)