北大数学分析实数理论参考资料
实数理论
§1.1 从自然数到有理数
实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？
有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11?A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表．
在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为：
Z =~
},:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′?∈n n n :),({ =?=?=22110，这就是作为整数的0. 用表示
k ∈+k n n )k n ,:,({
N }，即 =?+=?+=2)2(1)1(k k k ，用1?表示∈+n n n :)1,({N }，即=?=?211 =?32．
在集合{Z ，}中，考虑一个关系∈q p q p ,:),(0≠q ~：),(q p ~),(q p ′′当且仅当，它也是一个等价关系，有理数Q 现在定义为：
q p q p ′=′Q =~}0,:),{(,≠∈q q p q p Z ．
在Q 中我们可以定义加法，减法，乘法，除法，还可证明加减法互为逆运算，乘除法互为逆运算等性质，在Q 中我们用q p ，且1),(=q p , 表示其中一个有理数，比如用21表示．
)2,(n n 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q 的定义．
在2500年前，毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成，而原子有一个固定长度，比如假定单位线段由个原子组成，被测量的线段由个原子组成，则线段之长为：q p q p ，即有理数可以度量一切长度．但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时，对角线长不能由有理数表示，希伯斯因此受到迫害．但后来发现有很多长度不能用有理数表示，比如简单地取正方形边长为1，由勾股定理，它的对角线长度的平方应为2，我们记之为2，如果它是有理数，就应该有：
n
m =2， 1),(=n m ， 0≠n ． 两边平方，得，因为，都是整数，表明中含2因子，即m 中含2因子，设，则，同样推理表明中也含因子，与222m n =m n 2m p m 2=2
22p n =n 21),(=n m 矛盾，所以2不是有理数．这表明只有有理数是不够的，必须引入新的数，即无理数，它们合在一起称为实数．
§1.2 实数的定义（戴德金分割）
定义实数有不同的方法，戴德金分割是一个比较标准的方法．直观地看，有理数Q 在实轴上没有填满，还有很多“孔隙”，戴德金分割就是在数轴上割一刀，把现有的有理数Q 分成两部分，如果这一刀恰好砍在某个有理数上，这一分割对应的就是这个有理数，如果没
碰到任何有理数，这个分割就定义出一个无理数．
定义1 将有理数全体组成的集合分成A ，B 两类，使满足以下性质：
1） A 与B 都至少包含一个有理数（不空）；
2） 任一有理数，或属于A ，或属于B （不漏）；
3） A 中任一数均小于a B 中任一数b ，即A a ∈，b a B b
； 4） A 中没有最大的数，即A a ∈，A a ∈′?，使a a ′<．则称A ，B 为有理数的一个分划，A 称为分划的下类，B 称为分划的上类，记作．
)|(B A 定义中4）不同于1）—3），它是非实质性的，只是为了推理的方便．定义中4）用到有理数的稠密性（即两个有理数之间必有一有理数），如A 有最大数，将此数放入B ，则它是B 的最小数，这时A 就无最大数；若A 还有最大数，根据有理数的稠密性，A 的最大数与B 的最小数之间必有一有理数，这个有理数被漏掉了，这与分划的定义矛盾．
注意定义没有用到有理数的极限，只用到有理数性质和集合概念．由分划的定义知，若为下类的任一数，则小于a 的任何有理数也属于下类；b 为上类中的任一数，则大于b 的任何有理数也属于上类．
a 下面用Q 记有理数的集合．
例1 ；
},1|{Q ∈<=x x x A ．
},1|{Q ∈≥=x x x B 容易看出A 、B 构成有理数的一个分划，这时上类B 有最小数1．
例2 ； },200|{2
Q ∈<>≤=x x x x x A 且或 ． },20|{2
Q ∈>>=x x x x B 且显然A 、B 不空、不乱，因为没有有理数平方等于2，所以不漏，下面证A 无最大数．
设，，要证存在有理数，使
0≥a 22r 2)(2<+r a ．
即要证 ，或 ．
2222<++r ar a 2222a r ar ?<+当1≤r 时，只要，也就只要2
22a r ar ?<+1222
+? 22,1min{02 +?<+． 当时，属于0 这就证明了0a A 无最大数．因此是有理数的一个分划． B A |这个分划中，上类B 无最小数．事实上，设B b ∈，即且，要证存在有理0>b 22>b 数，使，且，即 0>r 0>?r b 2)(2 >?r b ， 或 ． 2222>+?r br b 2222? ??b b ，根据有理数的稠密性，知存在有理数r 使得b b r 2202?<<，又由b b b ?r b 2)(2>?r b B 中找到了比b 更小的有理数，所以r b ?B 无最小数． 可见，有理数的分划可以分为两类，第一类型是上类B 有最小数，我们称这类分划为有理分划；第二类型是上类B 无最小数，我们称这类分划为无理分划．显然，任一有理分划与其上类的最小有理数对应，反之任一有理数b ，总可确定一有理分划： },|{Q ∈<=x b x x A ； },|{Q ∈≥=x b x x B ． 这样，有理数可以与有理分划建立一一对应，我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”．于是有如下定义． 定义2 有理数的任一无理分划称为无理数． 为了一致起见，称有理数的任一有理分划为有理数．有理数和无理数统称为实数． §1.3 实数的性质 为了研究实数的性质，我们回顾有理数的一些熟知性质，如有理数是全序域，所谓全序域，简单地说就是可以比较大小，而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算．有理数集是稠密的，即对任意有理数、b a )(b a <，总存在有理数c ，使得．由稠密性虽得不出有理数连续地分布在数轴上，但却是密密麻麻地分布在数轴上．另外，有理数满足阿基米德原理，即对任意有理数b ，必存在自然数，使得． b c a <<0>>a n b na > 1 实数的运算 我们用 ,,,z y x 表示实数，即表示有理数的分划，用表示有理数．用记号R 表示实数的集合，记号Q 表示有理数的集合．为了书写方便，用表示实数 ,,,c b a x A x 的下类， 表示实数x B x 的上类，表示去掉最小数的集合． 0x B x B 定义1 设有实数x 、， y （1）若集合，则称y x A A =y x =； （2）若集合，，则称y x A A ≠y x A A ?x 小于y ，或y 大于x ，记作y x <或x y >． 当x 、为有理分划时，这定义与把y x 、看成有理数的相等和大小关系是一致的． y 与有理数0对应的有理分划仍记为，若，称00>x x 为正实数；若，称0 设实数y x <，由定义存在有理数，使1q y A q ∈1，x A q ?1．再由无最大数，所以存在有理数，，使 y A 2q 3q 321q q q <<， y i A q ∈， x i A q ? )3,2(=i ． 有理数产生的有理分划记作，容易看出2q z y z x <<，即实数集是稠密的． 为了定义加法，我们需要下面引理． 引理1 设x 、y 为实数，令},|{2121y x A a A a a a A ∈∈+=，A B ?=Q ．则是有理数的分划． )|(B A 证明：A 、B 满足分划不漏的条件是显然的，集合A 无最大元素也是明显的．只要证满足分划的不空和不乱条件即可． 先证A 、B 不空． A 不空是显然的，证B 不空． 因集合，不空，，，只要证． x B y B x B b ∈?1y B b ∈2B b b ∈+21假设不然，即，由A b b ∈+21A 的定义，x A a ∈?1，y A a ∈2，使，而由分划2121a a b b +=+x 、不乱条件得，y 11b a <22b a <，即得2121b b a a +<+．故矛盾，所以． B b b ∈+21再证不乱．设，，要证A a ∈B b ∈b a <． 假设不然，，由b a ≥A 的定义，x A a ∈?1，y A a ∈2，使得b a a a ≥+=21，因此，由分划12a b a ?≥y 的不乱，得y A a b ∈?1，于是A a b a b ∈?+=)(11，故矛盾．所以． b a <因此是有理数的分划． )|(B A 定义2 在引理1条件下，称实数为实数)|(B A x 与y 的和，记作y x +． 当x 、为有理分划时，和也为有理分划，且和的定义与把y x 、看成有理数时和的定义是一致的． y 由上看出，这种证明没有什么困难，所以，下面我们只叙述定义，而略去证明． 要定义减法只要定义负数即成． 负数的定义 给定实数x ，令，}|{0x B a a A ∈?== B A ?Q ，则是有理数 的分划，我们称为实数)|(B A )|(B A x 的负数，记作x ?． 由负数定义，容易证明下面性质： （1）若，则有； 0 （3）； x x =??)(（4）)()()(y x y x ?+?=+?． 为了定义乘法，我们先要定义绝对值． 设0≠x ， 称x 与x ?中的正实数为x 的绝对值，记作，规定||x 0|0|=，于是 ?? ???=.0,0,00,||x x x x x x 当当当；； 乘法的定义 设有实数，，令 0>x 0>y },0|{}00|{2121Q ∈≤∈<∈ =B A ?Q ． 则是有理数的分划，我们称实数是实数)|(B A )|(B A x 与y 的积，记作y x ?． 对于一般的情形，我们定义： ?? ???==???=?).00(0)(|),||(|)(|,|||y x y x y x y x y x y x 或异号同号，；、；、 显然，有 ． ||||||y x y x ?=?要定义除法，只要定义倒数． 倒数的定义 设，令 0>x },0|{}1| {0Q ∈≤∈=a a a B a a A x ∪， =B A ?Q ． 则是有理数的分划，我们称实数是实数的倒数，记作或 )|(B A )|(B A 1?x x 1． 当时，定义，或 0 |11x x ?=． 总之我们用有理数的加法和负数，来定义分划的加法和负数；对正实数情形，用有理数的乘法和倒数，来定义分划的乘法和倒数，对一般的实数乘法和倒数，又化到正实数情形． 2 实数集是域 要证集合R 是域，即要对上面定义的加法和乘法运算，满足下列性质： （1）交换律：∈?y x ,R ， x y y x +=+， x y y x ?=?； （2）结合律：∈?z y x ,,R ，)()(z y x z y x ++=++，)()(z y x z y x ??=??； （3）R ， ， ∈?x x x =+0x x =?1； （4）R ， ， ； ∈?x 0)(=?+x x )0(11≠=??x x x （5）分配律： z x y x z y x ?+?=+?)(． 其中，记号1表示由有理数1所确定的有理分划． 前三条性质证明比较简单；第四条性质的证明，用到有理数的阿基米德原理；第五条性质证明较烦琐．我们不打算讨论这些性质的证明，只以第四条加法为例，给出证明的示范． 证明0)(=?+x x 的困难，在于每一个负有理数，能否看成集合中的元素，与集合 中的元素相加而得，或能否看成集合中的元素，减去集合中的元素而得，为此我 们需要下面引理． x A x A ?x A 0x B 引理2 给定实数x ，有理数?0>ε，则x A a ∈?，，使0x B b ∈ε=?a b ． 证明：由分划的不空性，x A a ∈?0，x B b ∈0，根据阿基米德原理，?自然数，使得n 00a b n ?>ε，考察数： ，0a ε+0a ，ε20+a ，， εn a +0)(0b >． 在这有限个数中，总存在一个位于x 下类中最大的数，记作 x A k a a ∈+=ε0 )(n k < ． 若ε)1(0++=k a b 不是上类的最小数，、b 即为所求．若是上类的最小数，取 a b ε)21(0++=k a a ， ε)2 3(0++=k a b 即成． 证，即要证0)(=?+x x 0)(A A x x =?+． 设，即，)(x x A a ?+∈21a a a +=x A a ∈1，x A a ?∈2．由负数定义知， x x B B a ?∈?02 所以，得，即12a a >?021<=+a a a 0A a ∈，因此． 0)(A A x x ??+反之，若，有，根据引理2，存在0A a ∈0>?a x A a ∈1，，且， 由负数定义，01x B b ∈a a b ?=?11x A b ?∈?1，再由加法定义，知 )(1111)(x x A b a b a a ?+∈?+=?=， 因此 ． )(0x x A A ?+?合起来得，即)(0x x A A ?+=)(0x x ?+=． 3 实数集是全序域 实数集是全序域，是指实数集R ，对前面所定义的“小于”关系，满足下面四条性质： 1） ，R ，下列三式有且仅有一个成立：x ?∈y y x =，y x <，x y <； 2） 若y x <，，则z y 3） 若y x <，R ，则∈z z y z x +<+； 4） 若y x <，，则0>z z y z x ? 证明 1） 若下类，由定义知y x A A =y x =，其它两式不成立； 若，则或，或不是这样．若是前者，则y x A A ≠y x A A ?y x <，其它两式不成立；若是后者，必有，而，由此得．这时必有．因x A a ∈'y A a ?′y B a ∈′x y A A ?y A a ∈?有a a ′<，推出，所以，即x A a ∈x y A A ?x y <． 2） 由条件得，；，y x A A ?y x A A ≠z y A A ?z y A A ≠，因此，，即z x A A ?z x A A ≠z x <． 3） 由y x <， 推出，使，而c ?y A c ∈x A c ?，因而x B c ∈．由无最大数，推出y A c ′?，使．令 y A c c ∈′<0>=?′εc c ．由引理2，z a A ?∈，z b B ∈，且c c a b ?′==?ε．于是，z y A a c +∈+′z x B c a c b +∈′+=+，所以z y z x +<+． 4）因，根据分划的乘法定义，知0)(>?+x y 0)]([>?+?x y z ，由分配律 ， 利用0)(>??+?x z y z 0)(=?+x x ，可得)()(x z x z ??=??，所以0)]([>??+?x z y z ， 即得 z y z x ? 4 实数集的连通性 将有理数用直线上的点表示时，发现直线上还留有许许多多“孔隙”．我们用无理数来填充这些“孔隙”，现在问题是这些“孔隙”是否被填满了，如果被填满了，对实数作分划时，就不可能产生新的“数”，否则类似于有理数分划产生无理数一样，对实数分划还可得出新的“数”．事实上，戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言，给出有理数是不连通的、实数是连通的定义，经反复研究，发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言，对有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类也可以无最小数，所以按定义有理数是不连通的；而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类必有最小数，所以按定义实数是连通的．下面我们严格的说明这一点． 定义3 把实数集R 分成两个子集X 、Y ，使满足： 1） X 、Y 至少包含一个实数（不空） ； 2） 每一实数或属于X ，或属于Y （不漏）； 3） 任一属于X 的实数，小于任一属于Y 的实数（不乱）； 4） X 中无最大数（用到实数稠密性）． 则称X 、Y 为实数的一个分划，记作，)|(Y X X 称分划的下类，Y 称分划的上类． 戴德金定理（连通性） 设为一实数分化，则Y 必有最小数． )|(Y X 证明 首先我们定义一实数．令 },|{X x A a a A x ∈∈=； =B Q A ?． 则是一有理数的分划，为此要证它满足分划的四个条件． )|(B A ⅰ）A 的不空是显然的．证B 不空．由不空，Y Y y ∈?，又y B b ∈?，有理数b 一定属于B ．若不然，有，由A b ∈A 的定义，X x ∈?，x A b ∈，由关于实数的“小于关系”的定义，知x y <，这与分划不乱矛盾，所以)|(Y X B b ∈． ⅱ） A 、B 满足不漏条件是显然的； ⅲ） 证满足不乱条件．设，A a ∈B b ∈，要证b a <． 假设不然，，由a b ≤A 定义，X x ∈?，x A a ∈，更有x A b ∈，因此，这与矛盾，所以． A b ∈ B b ∈b a <ⅳ） A 无最大数也是明显的． 既然是一有理数的分划，所以它为一实数，记作)|(B A )|(B A z =． 其次证．假若不然，由X z ?X 无最大数，X x ∈?，x z <，根据小于定义，有理数，使，?c x A c ∈B B c z =∈．由A 的定义，A c ∈，可是B c ∈，故矛盾，所以． X z ?最后证且是Y 的最小数．因不漏，所以Y z ∈)|(Y X Y z ∈．假设不是Y 的最小数，z Y y ∈?，z y <，?有理数，使c A A c z =∈，y B c ∈． 由，A c ∈X x ∈?，，再由x A c ∈y B c ∈及小于定义，知x y <，这与不乱矛盾，所以是Y 的最小数． 证毕． )|(Y X z 至此，我们证明了实数集是全序域，且是连通集．我们称连通的全序域为实数空间，仍用记号R 表示．这里我们用R 不能分解成两个不空、不漏、不交的开区间来定义R 的连通性，这定义只对R 适用．对一般空间，需要有开集的概念， 我们用空间不能分解成两个不空、不漏、不交的开集来定义连通性．在这个定义下，实数集R 也是连通的． 5 实数的表示 给定实数，若由实数我们能确定一个记号，又由记号返回去去确定实数，那么这个记号就可以作为实数的一种表示． )|(B A x =由阿基米德原理，?整数M 、N 分别属于A 、B ，A M ∈，B N ∈．由M 逐次加1， 必能求得两个相邻整数， ，0c 10+c A c ∈0，c B ∈+10．可以是正数、负数或零．用，，，，分，间隔为十等分，必有一个是属于下类的最大数，设 0c 10?c 20?c 90?c 0c 10+c A c c ∈?10， B c c ∈+?10 110． 其中为中某一数字． 1c 9,1,,0 继续分下去，在确定了数码之后，可确定，使 121n-c ,,c ,c n c A c c .c c n ∈ 210， B c c c c n n ∈+10 1.210 ， 其中为中某一数字i c 9,1,,0 )21(n ,,,i =，由此可得一记号 n c c c c 210.， 称为无限小数，它是实数的一种表示． 当k k c c c 10 1.10+ 是上类的最小数时，容易看出)(9k n c n >=；又中一定有无限个数字不为零，否则下类中就有最大数． n c 反之，任给一有无限个不为零的无限小数，总可找到一个实数n c n c c c c 210.x ，刚好被它所表示．为此考察有理数 n n c c c c a 210.=， n n n c c c b 10 1.10+= ， 显然 ，n n b a <） ，， 21(=n ． 现在定义有理数的一个分划：把一切大于的有理数归为上类n a B ，把一切余下的有理数归为下类A ，则是一个有理分划．显然)|(B A A a n ∈，?自然数，当时，有， 当时，有m m n ≥m n n b b a ≤ 由的任意性，所以m B b n ∈） ，， 21(=n ．这说明A 、B 不空．满足不漏条件是显然的．再证满足不乱条件：设，A a ∈B b ∈，由A 、B 定义，n ?，使．否则大于一切，应属于n a a ≤a n a a B ，矛盾．再由b 大于一切，即得n a b a a n <≤． 由无穷多个不为零，所以n c A 无最大数．这样我们得到实数)|(B A x =．因，，所以是A a n ∈B b n ∈ n c c c c 210.x 的无穷小数表示． 还可证明，当实数y x ≠时，这种表示式也不相同．假设x 、y 有相同的无限小数表示：且设 n c c c c 210.y x <，则?有理数，使c y A c ∈，x B c ∈． 由集合无最大数，，y A c ′?y A c c ∈′<，x B c ∈′，记号，意义同上，因，由得，又因及n a n b x n A a ∈x B c ∈c a n ??′c c n ，更有，矛盾．这矛盾是由 于假设1)(10>?′c c n x 、有相同的无限小数表示引起的，所以y y x ≠时，有不同的表示式． 上面我们建立了实数与无限小数之间的一一对应关系，现在我们称无限小数为实数，这样，我们又回到了对以前实数的认识． 习题 1．求证：?自然数，n )2(+n n 是无理数． 2．求证：为无理数． 10cos 3．设 )(21+∞→→+++n a n a a a n ， 求证： 0lim =+∞→n a n n ． 4．设（为有限或无限）．求证： a x n n =+∞ →lim a a n x x x n n =++++∞→ 21lim ． 5．设．求证： a a a n n n =?++∞ →)(lim 1a n a n n =+∞→lim ． 6．设序列且)(+∞→→n a x n ),2,1(0 =>n x n ．求证：调和平均序列 )(11121+∞→→+++=n a x x x n y n n ． 7．设且．求证： 0>n a a a n n =+∞ →lim a a a a n n n =+∞→ 21lim ． 8．设数列{}满足如下条件： {}n n y x ,（1）{严格递增； }n y （2）+∞=+∞ →n n y lim ； （3）a y y x x n n n n n =??+++∞→11lim ． 求证：a y x n n n =+∞→lim ． 9．求证1ln 12 11lim =++++∞ →n n n 10．求证13 221lim 2 3=++++∞→n n n 11．设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为)(x f ],[b a M 和．求证：必存在区间)(M m m <],[βα，满足条件： （1）m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα； （2）M x f m <<)(，当),(βα∈x ． 基础和专业基础必修课1301301数学分析(Ⅰ) 1301301 数学分析1301301 数学分析(Ⅲ) 1301302 高等代数(Ⅰ) 1301302 高等代数1301303 解析几何1301304 常微分方程1301305 近世代数1301306 复变函数1301307 微分几何1301308 拓扑学1301309 实变函数1301310 概率统计1301311 数学模型1301312 泛函分析1301313 偏微分方程 专业限定选修课1301401 整体微分几何1301402 计算方法1301403 运筹学1301404 组合学1301405 初等数学教学研究1301406 微分流形1301407 计算机应用(Ⅰ) 1301408 多复变变函数引论 专业任意选修课1301501图论1301502 模糊数学1301503 中学数学竞赛1301504 数学史1301505 数学软件1301506 计算代数1301507 初等数论1301508 交换代数1301509 偏微分方程数值计算1301510 数学方法论1301511 数学学习论1301512 模糊控制与模糊决策 1301513 矩阵论 1301514 微分方程定性及分岔理论基 础 1301515 代数几何 1301516 李群与李代数 1301517 控制论 另外一个版本： 北大数学科学学院本科生课程 课程号 00130011 课程名数学分析(一) 课程号 00130012 课程名数学分析(二) 课程号 00130013 课程名数学分析(三) 课程号 00130031 课程名高等代数(上) 课程号 00130032 课程名高等代数(下) 课程号 00130051 课程名解析几何 课程号 00130061 课程名解析几何习题课 课程号 00130072 课程名初等数论 课程号 00130081 课程名常微分方程 课程号 00130091 课程名计算机原理与算法语言 课程号 0013010. 课程名计算机实习 课程号 00130110 课程名复变函数 课程号 00130120 课程名微分几何学 课程号 00130130 课程名抽象代数(A) 课程号 00130140 课程名实变函数论 课程号 00130150 课程名偏微分方程 课程号 00130161 课程名拓朴学(一) 课程号 00130162 课程名拓朴学(二) 课程号 00130170 课程名泛函分析 判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 实数理论 §1.1 从自然数到有理数 实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？ 有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11?A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表． 在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为： Z =~ },:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′?∈n n n :),({ =?=?=22110，这就是作为整数的0. 用表示 k ∈+k n n )k n ,:,({ 2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 北京大学数学分析考研试题及解答 判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞， （m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页 1 2 判断无穷积分 1 解 根据不等式|sinu sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin x sin x 从而 (s in (叱)叱)dx 绝对收敛，因而收敛, 1 x x sin x 再根据1〒dx 是条件收敛的， 丄 sin x sin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( ) ) x x x x sin x 可知积分 sin( )dx 收 敛，且易知是是条件收敛的。 1 x 2 x 例5339设巳(x) 1 x 2! n x ，X m 是P ?m 1(x) 0的实 根, n! 求证：x m 0，且 lim x m m N ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ； 又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一， X m 0。 任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X m n 因为若m 时，Rm1(x) 0的根，X m 不趋向于 则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k X 。， ( X 。 为某有限数M )； 0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。 K K (1)n 例、设a n ln(1 右)，讨论级数 a n 的收敛性。 n P n 2 1 .3 . u| |u | ,| u | 6 2 1, 1 sin , 3 1 1 “ r 1 1 3 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m 当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x) 0,所以F 2m 1(X ) 0的根X m 存在, (2) ，(m )。 sin(Sin x )dx 的收敛性。 x ) ； 考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 第一讲 整体与部分1 姚正安 数学分析的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如区间上函数的连续、可微性）, 所以在数学分析的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明和计算, 本讲着重探讨这方面的证明方法. §1.1 子序列问题 在数列的收敛与发散中常常用子序列的敛散性来进行讨论, 也就是用部分序列的性质来探讨整体序列的性质. 问题1.1.1 数列n x 收敛的充要条件是n x 2、12+n x 收敛到同一极限. 【分析】此问题实际上是探讨整体序列n x 与两个部分序列n x 2、12+n x 之间的收敛关系. 【证明】必要性 设x x n n =∞ →lim ,则任给0>ε,找得到正整数N,当N n >时,有 ε<-||x x n .此时对2N,当2n>2N 时也有ε<-||2x x n ,亦即x x n n =∞ →2lim .同理可证 x x n n =+∞ →12lim . 充分性 设x x x n n n n ==+∞ →∞ →122lim lim ,则对任给0>ε,找得到正整数N 1,当n>N 1, 时,有 ε<-||2x x n ① 同时可找到正整数N 2,当n>N 2时,有 ε<-+||12x x n ② 从而取N=max{2N 1,2N 2+1},当n>N 时,n 为偶数,则满足①,n 为奇数,则满足②,即当n>N 时,有 ε<-||x x n ,亦即 x x n n =∞ →lim . 问题1.1.2 设∑=--= n k k k n u x 1 1 ) 1( 且k u 满足： （1）;121 ≥≥≥≥≥+k k u u u u （2）.0lim =∞ →k k u 则n n x ∞ →lim 存在. 北京大学数学科学学院考研参考书目汇总 考试科目编号： 01 数学分析 02 高等代数 03 解析几何 04 实变函数 05 复变函数 06 泛函分析 07 常微分方程 08 偏微分方程 09 微分几何 10 抽象代数 11 拓扑学 12 概率论 13 数理统计 14 数值分析 15 数值代数 16 信号处理 17 离散数学 18 数据结构与算法 01 数学分析（ 150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（ 100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。 04 实变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。 05 复变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（ 50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 2011年北京大学研究生入学考试 数学分析试题解答 SCIbird 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。 证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。 不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。 任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ?∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。 记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=： 采用反证法。假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=?+?，使得在U 上满足()f x c <，特 别地1 2 ()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=. 评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。 实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。 北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x x x x x x f sin sin 1sin )(22--= ，试求)(sup lim x f x +∞ →和)(inf lim x f x +∞ →. 解:22 sin 1 ()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x -=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222 2 22sin 1sin .sin sin ,sin 11 x x x x x x x x x x x x x -≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以 令2,2 x k k π π=+ →+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf () sin sin x x x x x x f x f x x x x x →+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以 令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到 2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续. 证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微 12,(,), x x a b ?∈对于由 , Lagrange 中值定理存在 1 2 1 2 12 1 (,) ,( )()( x x f x f x f x ξξ'∈-=- ≤-使得. 这 显 然 就 是 12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的 1 2()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上 连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续. 显然此 1 212 1 ()( 1) (0,1) . 2(1 ) f x x f x x -'=-=-在上是可微的而1 2 1()(0,1).2(1) f x x -'= -在上是无界的 判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π-≤≤， 得到 33sin sin 1sin 11|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞→+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞=∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2n n a ∞=∑发散； 由 20011ln(1)1lim lim 2x x x x x x x →→--++=011lim 21x x →=+ 12=， 得221ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小）， 北京大学数学学院 2017?2018学年第一学期数学分析期中考试 请在答卷上填写院系,姓名与学号 1.(共24分,每题6分).运用已知极限,极限性质,函数性质等解答下述问题,简要写出求解过程. (1)求lim x →0 (1?tan 2x )1x .(2)求lim n →+∞n √(3)设x →0时,x p 为5x 2?4x 2的同阶无穷小量,求p =? (4)设f (x )∈C [0,1],求lim n →+∞1n n ∑k =1(?1)k ?1f (k n ).2.(共16分)(1)(6分)用ε?N 语言证明lim n →+∞n √n =1.(2)(10分)证明e =lim n →+∞1+11!+12!+···+1n ! 3.(14分)f (x )=x 2在(0,+∞)上是否一致连续? f (x )=x 2sin 1x 2在(0,+∞)上是否一致连续?简述理由. 4.(共14分)(1)(6分)设f (x )∈C (?∞,+∞),{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞ x n )?给出证明或反例.(2)(8分)设f (x )∈C (?∞,+∞),且单调上升,{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )= f (lim n →+∞ )?给出证明或反例. 5.(12分)设f (x )∈C [a,b ]且f ([a,b ])?[a,b ],证明恒存在c ∈[a,b ]满足f (c )=c .若将条件f (x )∈C [a,b ]改为f (x )在[a,b ]上单调上升,证明结论仍成立. 6.(10分)设序列{a n }n ≥1满足 0≤a m +n ≤a m +a n +1m +1n ,?m ≥1,?n ≥1,问lim n →+∞a n n 是否恒存在?证明你的结论或给出反例. 7.(10分)设函数f (x )定义于区间(a,b )且对?x 1,x 2∈(a,b )及?λ∈(0,1)满足 f [λx 1+(1?λ)x 2]≥λf (x 1)+(1?λ)f (x 2) 问f (x )是否在区间(a,b )上恒连续?证明你的结论或给出反例. 考试科目:数学分析整理人:匣与桔 QQ :1433918251第1页共1页 北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研参考书、历年真题、 复试分数线 一、课程介绍 又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。 数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。 微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。 二、北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研复试分数线 根据教育部有关制订分数线的要求，我校按照统考生、联考生等不同类型分别确定复试基本分数线。考生能否进入复试以各院系所规定的各项单科成绩和总成绩确定的复试名单为准。我校将按照德、智、体全面衡量，择优录取，保证质量，宁缺毋滥的精神和公开、公正、公平的原则进行复试与录取工作。 一、复试基本分数线： （1）、统考： 考试科目 政治外语数学专业课总分备注 学科门类 哲学(01)50509090360 经济学(02)55559090370 2015年北京大学702数学基础全套资料 点击蓝色字体查看原文 按住Ctrl+H搜索所需科目 本专业课考试科目的全套资料主要包括： 1．历年真题 本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。 ·北京大学2010年数学分析考研真题 ·北京大学2009年数学分析考研真题 ·北京大学2008年数学分析考研真题 ·北京大学2007年数学分析考研真题 ·北京大学2006年数学分析考研真题 ·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案） ·北京大学1996—2001年数学分析考研真题 注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。 2．指定教材配套资料 北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。 ·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版） ·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版） ·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著) ·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版） 3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义） 本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。具体包括： ·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址）·《数学分析》教学课件（上册） 4．兄弟院校考研真题详解 本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学 员复习备考。所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括： ·中山大学数学分析与高等代数考研真题：201120102009200820062005 2004 2003 ·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：20052004 ·华东师范大学数学分析考研真题：201020092008（含答案）2007（含答案） 20062005（含答案）2004 2003（含答案）20022001（含答案）2000（含答案）199919981997 ·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006200520042003200220012000 ·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：20072006 ·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011200620052004 整理：夺魁考研网 5．其他相关精品资料 ·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页） 1 1 2 2 x 例 5.3.39 设 P n (x) 1 x 2! n x ，X m 是P 2m 1( x) 0的实根, n! 求证：x m 0，且 lim x m 。 m 证明(1)任意m N *，当x 0时，有P 2m 1(x) 0 ； 又 P 2m 1 (x) P 2m (x) 0，Em1(X )严格递增， 所以根唯一， X m 0。 任意 x ( ,0)， lim F >(x) e x 0，所以 P 2m1(x)的根 X m n 因为若m 时，F 2m 1(x) 0的根，X m 不趋向于 则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k X 。， ( X 。 为某有限数X ) M )； 0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。 K K (1)n 例、设a n ln(1 占)，讨论级数 a n 的收敛性。 n P n 2 解显然当p 0时，级数 a n 发散; n 2 判断无穷积分 1 .3 . u| |u | ,| u | 6 2 1, 1 sin , 3 1 1 “ r 1 1 3 ， x L 1， 6 X 6 X 解 根据不等式 |sin u sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin( sin x )dx 的收敛 性。 x (sin (叱)^^)dx 绝对收敛，因而收敛, x x ) ； 从而“ 1 再根据 1 竺^dx 是条件收敛的， x 丄 sin x sin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( ) ) x x x x 可知积分 sin ( sinx )dx 收敛，且易知是是条件收敛 的。 x 当x 0且x 充分大时，有P 2m 1(x) 0,所以P 2m 1(X ) 0的根X m 存在, (2) ，(m )。北大数学系本科课程
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