北京大学数学分析答案
北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x x
x x x x f sin sin 1sin )(22--=
，试求)(sup lim x f x +∞
→和)(inf lim x f x +∞
→.
解
:
22sin 1
()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x
-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的
222
2
22sin 1sin .sin sin ,sin 11
x x x x x x x x x x x x x -≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以
令2,2
x k k π
π=+
→+∞这么一个子列得到.
2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()
sin sin x x x x x x
f x f x x x x x
→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以
令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到
2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续.
证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微
12,(,),
x x a b ?∈对于由
,
Lagrange 中值定理存在
12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.
这
显
然
就
是
12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛
(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的
1
2()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上
连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.
显然此
1
21
2
1()(1)(0,1).().
2(1)
f x x f x x -'=-=
-在上是可微的而
12
1()(0,1).2(1)
f x x -'=
-在上是无界的
3．设)1(sin )(2
2
+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
(2)求)0()
(n f
。)3,2,1( =n
解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有
211
()cos[2(1)].cos .22
f x x x Maclaurin =
-+再由的展开式有 αβ
≠.
又
由
于
()f x 是偶函数，所以其展开式形式应该为：
242012()n n f x k k x k x k x =+++++
比较系
数有：
00
k =，接下来，若
p 为奇数，则由
2221112(1)()(1)2(2)!
k k
k i x f x k ∞+=+=-∑中2p
x 项系数为：
21212211222(1)112(1)2(2)!2(2)!!p k k k k k p
p p k k C k k k p p +++∞+∞++==????
--????==????
-????????
∑∑ ，此时令
1
221,.2
p k p t k t --=-?=+
有1
121
122
21
2(1)2
(1)2(1)sin 2
2!
(21)!2!
p p p
t t p
p t k p t p ---++∞
=---=
=
-∑
。 同理可得：p 为偶数时，12
22(1)cos 2
2!
p p
p k p +-=
。综合得：
1
12
2211()
212(2)!(1)
sin 2!(0)(2)!2(2)!cos 2!(0)(0)01,2,3p p p p p n p p p p f k p p p p f f p ---+-??-→???
?==????→???
?==??=??????
p 2
为奇数（-1）为偶数
其中
4．试作出定义在2R 中的一个函数),(y x f ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）),(y x f 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续
解： 22
22
0(,)00xy x y x y f x y x y ?→+>?+=??→==?
。显然这个函数在 0xy ≠ 的时候，有偏导
数存在
2222222222
()
(,)()()(,)()y x x x y f x y x y y y x f x y x y ?
-=?+??
-?=?+?
，而对于0xy =的时候，有(,)0
(,)0y x
f x y f x y =??
=? ，此式在原
点也成立。
对于任意方向极限，有2200cos sin lim (cos ,sin )lim cos sin f ρρραα
ραραααρ
→→==。显然沿任意方向趋于原点。
此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向αβ≠趋向原点。不妨设
π
αβ∈，（0，），显然4
有不同的极限
cos sin cos sin ααββ与。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。
5．计算?
L
ds x 2
.其中L 是球面12
22=++z y x 与平面0=++z y x 的交线。
解：首先，曲线L 是球面12
22=++z y x 与平面0=++z y x 的交线。因为平面
0=++z y x 过原点，球面1222=++z y x 中心为原点。
所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有
222L
L
L
x ds y ds z ds ==?
??。
因此有
2L
x ds ?
=
222
1()3L x y z ds ++?=13L ds
?=23
π。 6．设函数列)}({x f n 满足下列条件：（1）n ?，)(x f n 在],[b a 连续且有)()(1x f x f n n +≤（],[b a x ∈）
（2）)}({x f n 点点收敛于],[b a 上的连续函数)(x s
证明：)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x s
证法1：首先，因为对任意[]000,,()()n x a b f x S x ∈→有。且有010()()n n f x f x +≤，所以
k n ?，对于任意k n n >，有000()()3
n S x f x ε
≤-<
。
又因为()()n f x S x 与在0x 点连续。所以可以找到00x δ>，当
[]00,,x x x x a b δ-<∈且 时。有0()()3
k k n n f x f x ε
-<
，以及
0()()3
S x S x ε
-< 同时成立。因此，当k n n >，[]00,,x x x x a b δ-<∈且 时，
有
0000()()()()()()()()()()k k k k n n n n n S x f x S x f x S x S x S x f x f x f x ε-≤-≤-+-+-<。
如此，令000{:}x x x x x δ?=-<，所以有开区间族 []00{:,}x x a b ?∈ 覆盖了
[],a b 区间。
而()S x 在闭区间[],a b 上连续。由Heine-Borel 定理，从开区间族
[]00{:,}x x a b ?∈中可以选出有限个1
2
3
,,,
k x x x x ????，
使 []1
,i k x i a b =?
?。由i x ?的选法。可由相应i x δ与i k n ，当[],i
x x a b ∈?，且
i k n n >时，有()()n S x f x ε-<。
取max{:1}i k N n i k =≤≤，当n N >时，且[],x a b ∈，有()()n S x f x ε-< 成立。所以{()}n f x 在[],a b 上一致收敛于()S x 。 证毕。
证法2：反证法.设存在某00ε>，对于任意n ，有一n x ，使得0()()n n n f x S x ε-≥．又{}n x 有界，由Bolzano-Weierstrass 定理，所以其必存在
收敛子列{}k n x 收敛于
[]
,a b 中某值0x ．因为对任意
[]000,,()()n x a b f x S x ∈→有。
且有
010()()n n f x f x +≤，所以p
k n ?，当
p
k k n n >时，有
0000()()()()3
k k p
n n S x f x S x f x ε-≤-<
．
设某1p p
k k n n >，由()S x 与1
()k p n f x 连续性．存在一0δ，当
[]00,,x x x a b δ-<∈且时
有1
1
00()()()()3
3
k k p p n n S x S x f x f x εε-<
-<
以及同时成立．显然，又因为
0{}k n x x →．所以存在K 值，1p K k > ．
当k K n n >时， 00k n x x δ-<成立．最后，当k K n n >时，有
1
1
1
1
0000()()()()()()()()()()
k k k k k k k k k k k p p p p n n n n n n n n n n n S x f x S x f x S x S x S x f x f x f x -≤-≤-+-+-＜0ε．这与假设矛盾．
所以在[],a b 上，)}({x f n 是一致收敛于)(x s ．证毕．
北大数学系本科课程
基础和专业基础必修课1301301数学分析(Ⅰ) 1301301 数学分析1301301 数学分析(Ⅲ) 1301302 高等代数(Ⅰ) 1301302 高等代数1301303 解析几何1301304 常微分方程1301305 近世代数1301306 复变函数1301307 微分几何1301308 拓扑学1301309 实变函数1301310 概率统计1301311 数学模型1301312 泛函分析1301313 偏微分方程 专业限定选修课1301401 整体微分几何1301402 计算方法1301403 运筹学1301404 组合学1301405 初等数学教学研究1301406 微分流形1301407 计算机应用(Ⅰ) 1301408 多复变变函数引论 专业任意选修课1301501图论1301502 模糊数学1301503 中学数学竞赛1301504 数学史1301505 数学软件1301506 计算代数1301507 初等数论1301508 交换代数1301509 偏微分方程数值计算1301510 数学方法论1301511 数学学习论1301512 模糊控制与模糊决策
1301513 矩阵论 1301514 微分方程定性及分岔理论基 础 1301515 代数几何 1301516 李群与李代数 1301517 控制论 另外一个版本： 北大数学科学学院本科生课程 课程号 00130011 课程名数学分析(一) 课程号 00130012 课程名数学分析(二) 课程号 00130013 课程名数学分析(三) 课程号 00130031 课程名高等代数(上) 课程号 00130032 课程名高等代数(下) 课程号 00130051 课程名解析几何 课程号 00130061 课程名解析几何习题课 课程号 00130072 课程名初等数论 课程号 00130081 课程名常微分方程 课程号 00130091 课程名计算机原理与算法语言 课程号 0013010. 课程名计算机实习 课程号 00130110 课程名复变函数 课程号 00130120 课程名微分几何学 课程号 00130130 课程名抽象代数(A) 课程号 00130140 课程名实变函数论 课程号 00130150 课程名偏微分方程 课程号 00130161 课程名拓朴学(一) 课程号 00130162 课程名拓朴学(二) 课程号 00130170 课程名泛函分析
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
北大数学分析实数理论参考资料
实数理论 §1.1 从自然数到有理数 实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？ 有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11?A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表． 在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为： Z =~ },:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′?∈n n n :),({ =?=?=22110，这就是作为整数的0. 用表示 k ∈+k n n )k n ,:,({
2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学
2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
北京大学数学分析考研试题及解答复习进程
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞， （m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页
北京大学数学分析考研试题及解答
1 2 判断无穷积分 1 解 根据不等式|sinu sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin x sin x 从而 (s in (叱)叱)dx 绝对收敛，因而收敛, 1 x x sin x 再根据1〒dx 是条件收敛的， 丄 sin x sin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( ) ) x x x x sin x 可知积分 sin( )dx 收 敛，且易知是是条件收敛的。 1 x 2 x 例5339设巳(x) 1 x 2! n x ，X m 是P ?m 1(x) 0的实 根, n! 求证：x m 0，且 lim x m m N ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ； 又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一， X m 0。 任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X m n 因为若m 时，Rm1(x) 0的根，X m 不趋向于 则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k X 。， ( X 。 为某有限数M )； 0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。 K K (1)n 例、设a n ln(1 右)，讨论级数 a n 的收敛性。 n P n 2 1 .3 . u| |u | ,| u | 6 2 1, 1 sin , 3 1 1 “ r 1 1 3 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m 当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x) 0,所以F 2m 1(X ) 0的根X m 存在, (2) ，(m )。 sin(Sin x )dx 的收敛性。 x ) ；
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 第一讲 整体与部分1 姚正安 数学分析的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如区间上函数的连续、可微性）, 所以在数学分析的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明和计算, 本讲着重探讨这方面的证明方法. §1.1 子序列问题 在数列的收敛与发散中常常用子序列的敛散性来进行讨论, 也就是用部分序列的性质来探讨整体序列的性质. 问题1.1.1 数列n x 收敛的充要条件是n x 2、12+n x 收敛到同一极限. 【分析】此问题实际上是探讨整体序列n x 与两个部分序列n x 2、12+n x 之间的收敛关系. 【证明】必要性 设x x n n =∞ →lim ,则任给0>ε,找得到正整数N,当N n >时,有 ε<-||x x n .此时对2N,当2n>2N 时也有ε<-||2x x n ,亦即x x n n =∞ →2lim .同理可证 x x n n =+∞ →12lim . 充分性 设x x x n n n n ==+∞ →∞ →122lim lim ,则对任给0>ε,找得到正整数N 1,当n>N 1, 时,有 ε<-||2x x n ① 同时可找到正整数N 2,当n>N 2时,有 ε<-+||12x x n ② 从而取N=max{2N 1,2N 2+1},当n>N 时,n 为偶数,则满足①,n 为奇数,则满足②,即当n>N 时,有 ε<-||x x n ,亦即 x x n n =∞ →lim . 问题1.1.2 设∑=--= n k k k n u x 1 1 ) 1( 且k u 满足： （1）;121 ≥≥≥≥≥+k k u u u u （2）.0lim =∞ →k k u 则n n x ∞ →lim 存在. 北京大学数学科学学院考研参考书目汇总 考试科目编号： 01 数学分析 02 高等代数 03 解析几何 04 实变函数 05 复变函数 06 泛函分析 07 常微分方程 08 偏微分方程 09 微分几何 10 抽象代数 11 拓扑学 12 概率论 13 数理统计 14 数值分析 15 数值代数 16 信号处理 17 离散数学 18 数据结构与算法 01 数学分析（ 150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（ 100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。 04 实变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。 05 复变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（ 50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 2011年北京大学研究生入学考试 数学分析试题解答 SCIbird 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。 证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。 不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。 任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ?∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。 记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=： 采用反证法。假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=?+?，使得在U 上满足()f x c <，特 别地1 2 ()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=. 评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。 实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。 北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x x x x x x f sin sin 1sin )(22--= ，试求)(sup lim x f x +∞ →和)(inf lim x f x +∞ →. 解:22 sin 1 ()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x -=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222 2 22sin 1sin .sin sin ,sin 11 x x x x x x x x x x x x x -≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以 令2,2 x k k π π=+ →+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf () sin sin x x x x x x f x f x x x x x →+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以 令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到 2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续. 证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微 12,(,), x x a b ?∈对于由 , Lagrange 中值定理存在 1 2 1 2 12 1 (,) ,( )()( x x f x f x f x ξξ'∈-=- ≤-使得. 这 显 然 就 是 12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的 1 2()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上 连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续. 显然此 1 212 1 ()( 1) (0,1) . 2(1 ) f x x f x x -'=-=-在上是可微的而1 2 1()(0,1).2(1) f x x -'= -在上是无界的 判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π-≤≤， 得到 33sin sin 1sin 11|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞→+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞=∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2n n a ∞=∑发散； 由 20011ln(1)1lim lim 2x x x x x x x →→--++=011lim 21x x →=+ 12=， 得221ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小）， 北京大学数学学院 2017?2018学年第一学期数学分析期中考试 请在答卷上填写院系,姓名与学号 1.(共24分,每题6分).运用已知极限,极限性质,函数性质等解答下述问题,简要写出求解过程. (1)求lim x →0 (1?tan 2x )1x .(2)求lim n →+∞n √(3)设x →0时,x p 为5x 2?4x 2的同阶无穷小量,求p =? (4)设f (x )∈C [0,1],求lim n →+∞1n n ∑k =1(?1)k ?1f (k n ).2.(共16分)(1)(6分)用ε?N 语言证明lim n →+∞n √n =1.(2)(10分)证明e =lim n →+∞1+11!+12!+···+1n ! 3.(14分)f (x )=x 2在(0,+∞)上是否一致连续? f (x )=x 2sin 1x 2在(0,+∞)上是否一致连续?简述理由. 4.(共14分)(1)(6分)设f (x )∈C (?∞,+∞),{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞ x n )?给出证明或反例.(2)(8分)设f (x )∈C (?∞,+∞),且单调上升,{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )= f (lim n →+∞ )?给出证明或反例. 5.(12分)设f (x )∈C [a,b ]且f ([a,b ])?[a,b ],证明恒存在c ∈[a,b ]满足f (c )=c .若将条件f (x )∈C [a,b ]改为f (x )在[a,b ]上单调上升,证明结论仍成立. 6.(10分)设序列{a n }n ≥1满足 0≤a m +n ≤a m +a n +1m +1n ,?m ≥1,?n ≥1,问lim n →+∞a n n 是否恒存在?证明你的结论或给出反例. 7.(10分)设函数f (x )定义于区间(a,b )且对?x 1,x 2∈(a,b )及?λ∈(0,1)满足 f [λx 1+(1?λ)x 2]≥λf (x 1)+(1?λ)f (x 2) 问f (x )是否在区间(a,b )上恒连续?证明你的结论或给出反例. 考试科目:数学分析整理人:匣与桔 QQ :1433918251第1页共1页 北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研参考书、历年真题、 复试分数线 一、课程介绍 又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。 数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。 微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。 二、北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研复试分数线 根据教育部有关制订分数线的要求，我校按照统考生、联考生等不同类型分别确定复试基本分数线。考生能否进入复试以各院系所规定的各项单科成绩和总成绩确定的复试名单为准。我校将按照德、智、体全面衡量，择优录取，保证质量，宁缺毋滥的精神和公开、公正、公平的原则进行复试与录取工作。 一、复试基本分数线： （1）、统考： 考试科目 政治外语数学专业课总分备注 学科门类 哲学(01)50509090360 经济学(02)55559090370 2015年北京大学702数学基础全套资料 点击蓝色字体查看原文 按住Ctrl+H搜索所需科目 本专业课考试科目的全套资料主要包括： 1．历年真题 本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。 ·北京大学2010年数学分析考研真题 ·北京大学2009年数学分析考研真题 ·北京大学2008年数学分析考研真题 ·北京大学2007年数学分析考研真题 ·北京大学2006年数学分析考研真题 ·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案） ·北京大学1996—2001年数学分析考研真题 注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。 2．指定教材配套资料 北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。 ·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版） ·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版） ·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著) ·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版） 3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义） 本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。具体包括： ·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址）·《数学分析》教学课件（上册） 4．兄弟院校考研真题详解 本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学 员复习备考。所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括： ·中山大学数学分析与高等代数考研真题：201120102009200820062005 2004 2003 ·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：20052004 ·华东师范大学数学分析考研真题：201020092008（含答案）2007（含答案） 20062005（含答案）2004 2003（含答案）20022001（含答案）2000（含答案）199919981997 ·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006200520042003200220012000 ·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：20072006 ·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011200620052004 整理：夺魁考研网 5．其他相关精品资料 ·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页） 1 1 2 2 x 例 5.3.39 设 P n (x) 1 x 2! n x ，X m 是P 2m 1( x) 0的实根, n! 求证：x m 0，且 lim x m 。 m 证明(1)任意m N *，当x 0时，有P 2m 1(x) 0 ； 又 P 2m 1 (x) P 2m (x) 0，Em1(X )严格递增， 所以根唯一， X m 0。 任意 x ( ,0)， lim F >(x) e x 0，所以 P 2m1(x)的根 X m n 因为若m 时，F 2m 1(x) 0的根，X m 不趋向于 则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k X 。， ( X 。 为某有限数X ) M )； 0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。 K K (1)n 例、设a n ln(1 占)，讨论级数 a n 的收敛性。 n P n 2 解显然当p 0时，级数 a n 发散; n 2 判断无穷积分 1 .3 . u| |u | ,| u | 6 2 1, 1 sin , 3 1 1 “ r 1 1 3 ， x L 1， 6 X 6 X 解 根据不等式 |sin u sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin( sin x )dx 的收敛 性。 x (sin (叱)^^)dx 绝对收敛，因而收敛, x x ) ； 从而“ 1 再根据 1 竺^dx 是条件收敛的， x 丄 sin x sin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( ) ) x x x x 可知积分 sin ( sinx )dx 收敛，且易知是是条件收敛 的。 x 当x 0且x 充分大时，有P 2m 1(x) 0,所以P 2m 1(X ) 0的根X m 存在, (2) ，(m )。北京大学数学分析讲义
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