高数易混淆概念

概念区别：

1．无界与无穷大

无界是对任一M(无论多大),总存在x,使得f(x)>M,这里x任意，存在即可，不强调存在方式。

无穷大是对任一M(无论多大)，总存在x0,当x>x0时，f(x)>M(注，这里的无穷大时x趋近正无穷时，其他同理)，这里的存在有限制。

从定义，再结合图像，无穷算是无界的一种。但是无界不一定无穷

无界是一个区间而无穷是针对一个趋势，举个例子1/x,在(0,+∞)是无界而同是这个函数x趋近0是无穷而趋近无穷则是0

第二个例子xsinx,x趋近无穷满足无界的定义，是无界，但不是无穷，因为无论怎样取x0,x>x0总有函数等于0，也就是不存在这样的函数。也就是说对于一个无界的区间你如果有意识的话可以挑选一些数，有一定顺序组成一个新的函数的话完全可以成为无穷了。正如例子中你选π/2,5π/2,9π/2……是不是无穷？

这也涉及到一元函数的极限概念，考虑一下二元函数极限是x,y无论哪条路径都可以趋近某个值，其实一元函数也有个路径，不过这个路径指的是在x轴无论0，2，4，6……还是1，3，5……等等都是趋近同一值，这是想通之处了。而对于某一类的无界它也不过是挑取某个路径达到无穷。不能满足所有路径都是。

2．无穷小和零

无穷小是趋势，一定条件下的趋势，同是一个函数在不同条件下地位不同比如x趋近0时时无穷小x趋近1就是，0是无论那种情况都是趋近0，所以0是无穷小。但是无穷小和0不是等价的，这点把握到这里就可以了。

3．常见的几种点

驻点：导数为0的点，不仅有定义，而且导数必须存在且为0

极值点：相对点，相对于附近某一小临域，它是最大〔小〕的值，这里强调这个临域存在，临域不是区间；这样的点有一些性质，若可导则导数必为0，但导数为0不全是极值点(x^3)

但是这不是判断极值点的唯一条件，还要根据定义，这就属于不可导的点了(|x|的0点)，所以极值点穿插很多，多重考虑，别忘了必须有定义。

拐点：性质有点类似极值点只是要求不同，它是某一临域左右凸凹性改变，同理既要考虑二阶导数是0还有二阶导不存在的穿插，还要注意最基本，有定义

4．可积，原函数，变限积分

可积指定积分存在〔注意是定积分不包括反常积分广义积分〕，按几何意义，曲线与x轴面积〔这里也可以说是负面积〕存在。

原函数是函数，不是一个值，判定是否存在原函数，对它求导后导函数是该函数。

变限积分定积分下限为常数，上限是自变量，集合两者，把x确定为一个值它就是定积分，某种意义上它可以算是某个原函数，但是这是一般情况，总体来说它还是一个函数。

可积不一定有原函数〔一个值存在怎么断定一个趋近有函数呢，〕，有第一类间断点是没有原函数但是可以有定积分，可积。有原函数不一定可积〔1/x〕，它们之间关系颇为复杂，求一个定积分我们有能力的就是利用奇偶性或者间接利用原函数〔牛顿，来布尼次公式〕，一马归一马，注意区别。

而可积和变限积分联系挺大的，一般区间可积的话变限积分不仅存在而且连续，不深入讨论。

原函数和变限积分是最易混淆的，两者都是函数，求的过程容易觉得变限积分算是原函数的其中一个，一般函数可以这么以为，不过深入讨论，决不这么简单，对于存在原函数的上述结论正确，可是最大的区别就是有第一类间断点没有原函数，但是变限积分存在且连续，图形上理解就是有间断点，不影响面积存在性而且不影响连续性，这点可以证明。

5．一元与二元函数的可微，可导和连续

一元函数和二元函数在连续，可微，可导虽然从书上看性质不太一样但这决不违背定理，两个之间有莫大的关系。

一元函数和二元函数的连续都要求极限存在且等于函数值，不同就是因为不同元函数因为空间的分布不同决定了极限的趋近方式不同，因为一元只有x是一条轴，一根线，那么教材上强调的更多是左右趋近，其实另一角度看，正如概念区别1来说其实方式也有很多，因为别看只是一条轴它却有无穷多个点，极限是要求连续取的，可是为了区别，我们有时候会跳跃取。正如数列极限中2n,2n+1,只有同时取尽才保证极限存在，而二元函数分布于一个平面这就决定了方向的无穷性了，随意一个一元函数都可以决定一个方向y=x,y=x^2等等，作为一条曲线可以作为一条方向只要它过所确定的点即可，一元函数其实就是沿着(x,0)对二元函数的极限，这也就说明二元函数连续，那么在该点确定的一元函数也连续。举个例子f(x,y)在0,0连续，那么f(x,0)肯定在x=0连续，一般到特殊，但是反之却不可以，这也从一定程度说明证明二元函数不连续，可以选取不同y,x关系，极限不同则不连续。

可导，一元函数中有可导必连续，这是因为导数的定义

决定了极限只能是0/0型的极限，自变量趋近，函数必然趋近，可导必连续，可是二元函数却没有可导必连续，为什么呢？那是因为二元函数中的可导指的是偏导，偏导就说明是作为一元函数求导的，尽管它是二元的，既然作为一元函数求导，根据一元函数可导必连续概念，我们自然会有连续的概念，不过这里的连续不是说二元函数连续，而是它作为一元函数连续，什么意思呢？还是上面说的f(x,y)在0,0处对x偏导存在，说明f(x,0)在x为0处连续而不是f(x,y)在x,y=0,0连续，因为连续作用的单位不是整个二元函数，而二元函数中的某个小分支是一元函数，连续只作用到一个分支上了。

再说可微，因为一元和二元函数的可微定义是不一样的，一元函数定义可微和导数关系拉的很近，Δx将它们穿在一块，有着可微等价于可导的结论，这也是极限定义。而二元函数定义可微时则是将Δx,Δy同时定义在内，无穷小也与两者都相关，所以单从二元函数可导〔偏导〕不能得到可微，因为偏导只是和某个有关，既然涉及两个那么两个关系没那么大了，可微是更深层次考察函数，单从定义式我们就可以得到两个结论，1连续(x趋近x0,y趋近y0试试)，2可导〔另某个Δ为0再对照定义〕

从分析看，其实一元和二元差别之处就在于定义不同，研究范围不同，你如果把二元特殊为一元研究一元函数的性质它都有了。

6．定积分与面积

可能大家对它俩关系有了明确的界定，但是我还是想说下，对不太明白的人或许有点用。

从定义看定积分是Δx与f(xi)的乘积和，可能由于定积分是从面积引出来的大家或许有错觉，它就是面积，但从定义来Δx我们规定若为正那么f(x)不一定全部为正，这样也不是面积了，假如我们将面积也矢量话(注意，面积只能是正)，那么这里的定积分就是矢量面积和了，这只帮助理解。在研究定积分中会出现积分上下限颠倒，上面小于下边，这就更说明定积分不是面积了，只有积分上限大于下限，f(x)>0,才是真正意义的面积，所以给你一个题目求面积可不是单纯求定积分，需要你自己分段加符号。二重积分也天然不是体积，同理

7．定积分和二重积分

看上去区别很大的，从几何意义上讲，定积分是矢量面积(方便叙述用的)，二重积分是矢量体积(同理)。区别大家很容易看到，着重说联系。二重积分的累次积分中我们就看到了它与定积分的某种联系，两次积分，补充下，如果你掌握了定积分求法，那么二重积分你还要掌握的是积分区域的划分，保持清醒的是积分区域中x,y的关系不要应用到f(x,y)中，两者关系不大〔虽然我不学曲面积分，但我隐约明白去年积分区域和函数关系很大，注意区别〕在极坐标换元中易出错。

求法决定二重积分与定积分关系，二重积分写法有好多种，但你要明白求法是固定的∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy或∫(∫f(x,y)dy)dx,明白了吗？就是说二重积分是定积分特殊的一种，积分函数是个特别的函数，这样定积分常用的方法二重积分也可以用，尤其是分布积分法，不过用时注意一定要明白积分变量是哪个别混了，这效果和换积分次序差不多一样，不过你换必须不得主观变换上下限，这里避免主观，可以少出错。这个有什么用呢，当然是面对你积分积不出来时如e^(x^2)

8．二阶非齐次微分方程的两个类型(e^(rx)和sinwx+coswx)

注意，不多说，想说的是在求特解的时候不要弄混了，为了避免混淆，这样理解：不论那种形式都看作f(x)e^(rx)(acoswx+bsinwx)

r取0看是什么，x取0看又是什么，两个同时取零呢？

这样在找特征方程解对照时注意如果实根，把虚部看做0这样把实部和虚部同时对比两者同时符合则同，不符合则一般

9．二元函数中的两类求极值

第一类，不带条件求极值，判定方法：偏导都为0，再根据二阶偏导，A,B,C……判断

第二类，附带条件，注意此类求极值其实质仍为一元函数求导，不过有隐函数的性质，注意推导过程与第一类有很大的区别，比如偏导可以都不为0，做题不要混淆了。

10．等价，合同，相似

矩阵A,B等价指A经过初等变换变换可变为B,性质就是秩相同，当然没有要求矩阵必须是n阶的，可以m*n，还有就是向量组等价定义是甲向量组每个向量都可以用乙向量组向量线性表示，乙的也可以用甲的表示称为甲乙向量组等价。两个等价有区别有联系。首先，研究对象不同，前者是矩阵后者是向量组。然后性质不同，矩阵等价必须同型，都是m*n，向量组等价不一定向量个数相同，但维数相同。当然，也有联系，如果两个向量组等价而且向量个数相同，由这些向量组成的矩阵等价〔秩相等〕，但是如果两个矩阵等价，矩阵组成的列向量却不一定等价，除非某组由另一组线性表示〔利用合并向量组极大无关组〕

相似和合同都是针对n阶方阵而言，P^(-1)AP=B,P可

逆，A,B相似

P^TAP=B,P可逆，那么A,B合同。

易知，相似，合同必等价。

而相似和合同联系的核心公式则是P^(-1)=P^T，也就是实对称正交单位化那部分，他是联系的中心环节，所以相似不需要正交，而合同必须单位正交化了。理解下，这就是相似中为什么正交的原因，而相似必正交也来源于此。

容易出错的：

1．极限这一块容易出错的不少，洛必达判定条件，这是低级错误小心就是了，容易出错的是等价无穷小的代换，等价无穷小代换是有条件的，最少明白是等价无穷小，必须极限都趋近0，然后代换的量必须是整个式子的某一个因式，作为乘除代换，例：limx->0sin3x/x=3x/x

错误的有(sinx-x)/x^3=(x-x)/x^3=0;

[(sin2x/x)-x]/x=(2-x)/x

第二个虽然某种意义是乘除，但是相对整个式子还是加减

错误原因：如果你深知泰勒公式会明白，其实等价无穷小就是泰勒公式第一部分代换sinx=x-x^3/6……,作为一个因式有没有后者没关系，这点你可以从多项式求极限中看出来，次数最小的项决定，一旦放入加法中就必须注意了，某一项是极有可能约掉了正如错误例子，你带入试试，把后者省了结果完全不同。所以加减法中要用只能是泰勒公式，因为等价无穷小太简了，后来想了想，如果非要用等价代换，保证以下条件：代换后尽量分子分母不为0，而且代换出来的没运算前保证x次数大于分母的，当然这有些罗嗦了，总之，要注意。

在等价无穷小代换中注意以上规则后，能换就换例sinx*Inx x 趋近0

不要因为它在左边不敢换，否则很麻烦的。

2．参数方程求导时注意二阶求导一定在一阶基础上还要考虑x的再求导，容易疏漏。导函数求导过程中注意对谁求导，给个f(x)对y求导怎么办，f(x)对x求导乘以x对y求导不就行了。

3．导数定义的几个个条件

不确定导数存在前一定要注意导数中的定义条件：

1）自变量趋近方式，有左右趋近，必须全部满足，诸如1-cosx,x^2,在x趋近0或者e^x,x趋近负无穷等等都属于单侧极限

2）中心f(x0),在定义中必不可少，一旦丢掉可能不连续

举个例子f(2h)-f(h)/h存在在h趋近0，f(x)=x,f(0)=1

显然f(x)在0处不连续却满足极限式子，不过在版主证明贴里说过若连续给定，这个条件则可以掠掉。

3）趋近连续性，这是后来想的有些偏离了不过还是写下吧，来源于f(x)-f(x0)/(x-x0)=f'(ξ)

乍一看这个式子如果给定一个函数连续x趋近x0,ξ也趋近x0,如果可导，那么导数必连续？其实不然，因为ξ趋向x0可以不连续趋近结合极限定义当然f'不一定都连续了。

重点在前两条的把握。

4．积分中C，积分方程的隐含条件，广义积分中奇偶性的失效

5．多元函数微分中可微严格按定义判断，连续性的定义〔这里不光有原函数连续性还有偏导数连续性把握〕

6．二重积分里积分上下限确定尤其是换积分次序时注意一致性

7．变限积分中变量的把握，最外层来看自变量时上下限中的位置量，深入到内部后注意dt和f(t)的一致性，此时无论时x 还是y在定积分中看作常数

8．矩阵的性质

AA*=A*A=|A|E

(A*)^T=(A^T)*

|A*|=|A|^(n-1)

等几个例子中其推导不是只有可逆才成立，方阵天然满足这些性质，可以借助定义证明。

9．变量角色变换

函数中找自变量是个不容小视的问题，有时候难不在没有思路，而是你分不清。

函数中的自变量是很灵活的既可以是x又可以是a等等，同一式子不同过程选用不同变量得出不同结论。

而变限积分看上去与一般函数不大相同因为它变量不唯一，既含有积分变量又有函数变量，而相互之间的相互参杂更可能让你分不清〔例如∫(0,x)f(a-x)da〕，更可恶的是它还让你求导。

而其实冷静思考一下，慢慢理顺你就会豁然开朗，首先从整体看，例子中是个关于x的函数，只是这个变量位置让你奇怪，又在上限，又参杂，如果你刚明白∫(0,x)f(x)dx求导你可能顺着求那么不就成f(0)，仔细想想一个函数求积分函数再导怎么变成一个数了？虽然不无可能但不是每个函数都这样吧！

所以像这种混杂的，关键是变为独立的，如果你知道定积分有积分变量无关性你会利用换元将a-x看作一块，这时候x暂时定为常数，因为在内部，它的作用不能发挥，真正变量是a，别

忘记上下限了，换完后整体变量x只有在上限了，这时候f作用的只有一块了，接下来求导，你如果清楚它就是一个函数利用性质可以求导，当然，如果上下限都有变量而且都不单x这时候是符合函数的性质了，复合函数求导！给个例子∫(0,x)f(x^2-a^2)da应该会吧。

说到这里不妨想想极限和函数在一块，给个极限问你函数性质。

lim n->+∞ (1-x^n)/(1+x^n)

问你间断点，怎么考虑，

切记不要考虑太复杂，由外向内，一步一步来，考虑n趋近无穷，先找定x范围在这个范围极限是多少，这样很容易构造分段函数，列出函数式这就是考察你的目的。

有一点，大家不知道糊涂不糊涂，在判断二元函数是否偏导，例如(x-y)/(x+y)在0处求x偏导先把y=0带入为什么，是因为不带入就没法求吗？不是，既然对x求偏导自然你得知道关于x 到底怎样，实质也是确定x的一元函数，再求导罢了，所以这是正确步骤。

10．量变引起质变

limx->+∞∫(-x,x)f(x)dx=a

那么∫(-∞,+∞)f(x)dx=a？

当然是错误的，顺序不同，结果完全不同，第一个是对一个定积分求极限，第二个则是广义积分，广义积分好多性质都失效。洛必达失效：

洛必达法则可谓求极限中比较常用的方法，课本上的洛必达所要求的条件是0比0型，无穷比无穷型，上下在临域内可导就行了，我们一般做题目看到0比0或无穷比无穷很容易就会利用洛必达求极限，这个是一般思路，可是对于特别的函数会出现求导后，极限不存在的情况。

一个简单的例子：limx->∞,(x+sinx)/x

易知极限为1，但是若用洛必达则没有极限，这种例子有很多，当然“失效”类型也有很多，有的则是越导跃复杂的那种，这就要求我们不要盲目用洛必达，关于洛必达失效的应用主要说明下用完后极限不存在的那种。

从导数定义看，它当然是一个极限了，只是有点特殊：函数差与变量差的比值，这就决定了它有求极限的一般方法，当然也有自己特殊的意义

在求导中一般求导法则掌握后没什么大问题，而考察的就在于分段函数的导数了，虽然可导必连续，但连续不一定可导，研究某些点的导数开始有些意义了，分段有左右分段和中间分段两种。

无论是课本还是复习书上最基础的是用定义求导法了〔其实掌握这一方法足以〕，左导等于右导那么可导，可是我们总不甘心，这就产生另一个疑问，先求导再看极限行不行，对于大多数函数大家都会发现这是行的通的，这是为什么呢？仔细观察下，两种方法的区别，定义法是给你初始，让你判断是否有极限，而求导呢，就是在定义的基础上用的洛必达，只是进一步把方法限定了，清楚这个很关键，所以有个这样的结论：如果一个函数导函数左右极限存在那么此时，它们分别等于函数的左右导数，这是洛必达求极限的结果。

然而因为存在着洛必达失效，所以肯定会出现导数极限不存在但是却可导的例子

y=x^2*sin1/x,x不等于0;y=0,x=0

这是经典的例子，我在另一偏文章有详细分析，分析函数的导数间断点性质。

对这个函数0点你若不按定义来必然有不可导的结论，但是在0点是可导的，这就是洛必达失效的后果，它属于由于导数不连续而导致的失效。

对于一般小题目来说判断可导两者都可以的。

1 极限(1+f(x))^g(x)~f(x)g(x)

当f(x),g(x)都趋近0

2带有三角函数的和差化积的运用

3,∫(a,b) f(x)g(x)dx= f(ξ)∫(a,b)g(x)dx

4证明中，如果有出现三阶及三阶以上的，泰勒公式是不错的考虑。在运用中注意f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)……

第一，x和x0都是随意的，也就是可以互换，当然也可以是f(x0)=f(x)+f'(x)(x0-x)……

自然不确定量ξ也在不断变化。

而x和x0的选择至关重要，通常选取的是1，题目中已知的例如f(1),f(0)等等2，没有已知可以用f(x+t),f(x-t),特殊的是t=1

3，中间变量f((a+b)/2),尤其是碰到4倍还是8倍是1/4，还是1/8都是不错的选择

到底x和x0选择哪个就要看证明结论了，这就是从结论分析的方法。

4，直角坐标和极坐标的转化：转化方程x=rcosθ,y=rsinθ,r是点到圆心的距离，θ是这条线与极轴〔可以理解为x轴正半轴〕夹角，这点记住，因为二重积分换元可能遇到椭圆方程容易混淆，还有在确定上下积分限时候如果换元仍然依据转化方程确定r,θ的单位，即带入x,y方程即可

比如边界为x^2+y^2=2x

带入后r=2cosθ,简单吧

5高等数学中有一种是数形结合的方法，它可以加深对概念的理解程度，但是却不可完全依赖图形，因为数学图形是很广泛的，每个人都不可能穷尽对曲线的想象，所以解题完全依赖图形可能不全面，不能凭感觉。

高等数学部分易混淆概念及例题

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞ →∞ ==<则 解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11 ,1 n n x y n n == +，,n n x y n ，那么函数()f x 在X 上无界． 无穷大：设函数 ()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大）， 总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ< -<（或x X >） ，对应的函数值()f x 总满足不等式 ()f x M > 则称函数 ()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果 ()f x 在0x 某邻域内无界，则0 lim ()x x f x →=∞

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

高数易混淆概念

概念区别： 1．无界与无穷大 无界是对任一M(无论多大),总存在x,使得f(x)>M,这里x任意，存在即可，不强调存在方式。 无穷大是对任一M(无论多大)，总存在x0,当x>x0时，f(x)>M(注，这里的无穷大时x趋近正无穷时，其他同理)，这里的存在有限制。 从定义，再结合图像，无穷算是无界的一种。但是无界不一定无穷 无界是一个区间而无穷是针对一个趋势，举个例子1/x,在(0,+∞)是无界而同是这个函数x趋近0是无穷而趋近无穷则是0 第二个例子xsinx,x趋近无穷满足无界的定义，是无界，但不是无穷，因为无论怎样取x0,x>x0总有函数等于0，也就是不存在这样的函数。也就是说对于一个无界的区间你如果有意识的话可以挑选一些数，有一定顺序组成一个新的函数的话完全可以成为无穷了。正如例子中你选π/2,5π/2,9π/2……是不是无穷？ 这也涉及到一元函数的极限概念，考虑一下二元函数极限是x,y无论哪条路径都可以趋近某个值，其实一元函数也有个路径，不过这个路径指的是在x轴无论0，2，4，6……还是1，3，5……等等都是趋近同一值，这是想通之处了。而对于某一类的无界它也不过是挑取某个路径达到无穷。不能满足所有路径都是。 2．无穷小和零 无穷小是趋势，一定条件下的趋势，同是一个函数在不同条件下地位不同比如x趋近0时时无穷小x趋近1就是，0是无论那种情况都是趋近0，所以0是无穷小。但是无穷小和0不是等价的，这点把握到这里就可以了。 3．常见的几种点 驻点：导数为0的点，不仅有定义，而且导数必须存在且为0 极值点：相对点，相对于附近某一小临域，它是最大〔小〕的值，这里强调这个临域存在，临域不是区间；这样的点有一些性质，若可导则导数必为0，但导数为0不全是极值点(x^3) 但是这不是判断极值点的唯一条件，还要根据定义，这就属于不可导的点了(|x|的0点)，所以极值点穿插很多，多重考虑，别忘了必须有定义。 拐点：性质有点类似极值点只是要求不同，它是某一临域左右凸凹性改变，同理既要考虑二阶导数是0还有二阶导不存在的穿插，还要注意最基本，有定义 4．可积，原函数，变限积分 可积指定积分存在〔注意是定积分不包括反常积分广义积分〕，按几何意义，曲线与x轴面积〔这里也可以说是负面积〕存在。 原函数是函数，不是一个值，判定是否存在原函数，对它求导后导函数是该函数。 变限积分定积分下限为常数，上限是自变量，集合两者，把x确定为一个值它就是定积分，某种意义上它可以算是某个原函数，但是这是一般情况，总体来说它还是一个函数。 可积不一定有原函数〔一个值存在怎么断定一个趋近有函数呢，〕，有第一类间断点是没有原函数但是可以有定积分，可积。有原函数不一定可积〔1/x〕，它们之间关系颇为复杂，求一个定积分我们有能力的就是利用奇偶性或者间接利用原函数〔牛顿，来布尼次公式〕，一马归一马，注意区别。 而可积和变限积分联系挺大的，一般区间可积的话变限积分不仅存在而且连续，不深入讨论。 原函数和变限积分是最易混淆的，两者都是函数，求的过程容易觉得变限积分算是原函数的其中一个，一般函数可以这么以为，不过深入讨论，决不这么简单，对于存在原函数的上述结论正确，可是最大的区别就是有第一类间断点没有原函数，但是变限积分存在且连续，图形上理解就是有间断点，不影响面积存在性而且不影响连续性，这点可以证明。 5．一元与二元函数的可微，可导和连续 一元函数和二元函数在连续，可微，可导虽然从书上看性质不太一样但这决不违背定理，两个之间有莫大的关系。 一元函数和二元函数的连续都要求极限存在且等于函数值，不同就是因为不同元函数因为空间的分布不同决定了极限的趋近方式不同，因为一元只有x是一条轴，一根线，那么教材上强调的更多是左右趋近，其实另一角度看，正如概念区别1来说其实方式也有很多，因为别看只是一条轴它却有无穷多个点，极限是要求连续取的，可是为了区别，我们有时候会跳跃取。正如数列极限中2n,2n+1,只有同时取尽才保证极限存在，而二元函数分布于一个平面这就决定了方向的无穷性了，随意一个一元函数都可以决定一个方向y=x,y=x^2等等，作为一条曲线可以作为一条方向只要它过所确定的点即可，一元函数其实就是沿着(x,0)对二元函数的极限，这也就说明二元函数连续，那么在该点确定的一元函数也连续。举个例子f(x,y)在0,0连续，那么f(x,0)肯定在x=0连续，一般到特殊，但是反之却不可以，这也从一定程度说明证明二元函数不连续，可以选取不同y,x关系，极限不同则不连续。 可导，一元函数中有可导必连续，这是因为导数的定义

【小学数学】小学数学最易混淆的15个基础概念

小学数学最易混淆的15条基础概念 数学考试里有不少基础概念，似是而非，孩子们很容易因为混淆而没能答对题。今天小编搜集了小学数学最容易混淆的15条基础概念，家长让孩子看看都搞清楚了吗？ 最小的一位数是0还是1？ 这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。 于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。 ０不是最小的一位数。 为什么0也是自然数? 课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。 于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。 从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。 “0”作为自然数的“好处” 众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。 但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。 把“0”作为自然数，不会影响自然数的“运算功能” “0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。 所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。 什么是有效数字一无效数字？ 有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。

高中生物容易混淆的概念

高中生物容易混淆的概念 生物学科的概念有容量大、易混淆的特点，复习时可以将相近或相反的概念一组组甚至一串串地进行识记、辨别、区分和比较，这样不但容易记住，更重要的是记得准。鉴于篇幅原因，本篇只把概念一组组列出，同学们在复习时如果带着这些概念去看书和梳理知识，就可以大大提高复习的效率。下面列出的这些概念有大有小，如果你都能辨别和区分清楚的话，高考生物所需要的基础知识就已经掌握大半了。 １、生长、生殖、发育 ２、应激性、适应性 ３、脱氧核糖核酸、脱氧核糖核苷酸、核糖核酸、核糖核苷酸 ４、细胞质、细胞液 ５、染色质、染色体 ６、同源染色体、姐妹染色单体 ７、赤道板、细胞板 ８、纺锤丝、纺锤体、星射线 ９、有丝分裂、无丝分裂、减数分裂 10、分裂、分化 11、细胞衰老、细胞癌变 12、大量元素、微量元素、主要元素、基本元素、矿质元 素 13、转氨基作用、脱氨基作用 14、必需氨基酸、非必需氨基酸　15、有氧呼吸、无氧呼吸 16、自养型、异养型 17、需氧型、厌氧型 18、同化作用、异化作用 19、神经中枢、中枢神 经 20、体液调节、激素调节、神经调节 21、反射（条件反射、非条件反射） 22、感受器、效应器 23、突触、突触小体、突触小泡 24、先天性行为（趋性、非条件反射、本能） 25、后天性行为（印随、模仿、条件反射、推理、判断） 26、有性生殖、无性生殖　27、囊胚、胚囊 28、胚膜、羊膜 29、极体、极核 30、胚胎发育、胚后发育 31、复制、转录、逆转录、翻译 32、遗传信息、遗传密码 33、基因分离规律、基因自由组合规律 34、基因型、表现型 35、显性基因、隐性基因 36、纯合子、杂合子 37、杂交、测交、自交 38、常染色体、性染色体 39、XY型性别决定、ZW型性别决定 40、基因突变、基因重组　染色体变异　41、基因突变、人工诱变 42、突变、基因突变 43、地理隔离、生殖隔离 44、物种、种群 45、种群、群落 46、生态系统、生物圈 47、生态因素（生物因素、非生物因素） 48、寄生、共生、捕食、竞争 49、群落的水平结构和垂直结构 50、抵抗力稳定性、恢复力稳定性 51、生态系统的稳定性、生物圈的稳态　52、生长素、生长激素 53、水平衡、盐平衡、糖平衡 54、特异性免疫、非特异性免疫 55、体液免疫、细胞免疫 56、抗原、抗 体 57、淋巴因子、抗体 58、特异性免疫的三个阶段：感应阶段、反应阶段、效应阶段 59、免疫失调（过敏反应、自身免疫病、免疫缺陷病） 60、C3植物、C4植物 61、光合作用效率、光能利用率 62、自生固氮微生物、共生固氮微生物 63、固氮细菌、硝化细

小学数学16条易混淆概念解析

随着课程改革的不断深入，新课程理念已为越来越多的一线数学教师所接受。对处于微观知识层面的一些现实性“诘问”，诸如“最小的一位数是0还是1”、“为什么0也是自然数”、“最大的分数单位是多少”、“计算出勤率可不可以不乘100%”……等等，看似“细节”的问题，却是彰显数学教学“科学性”“严谨性”不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估和考试命题。特转录了困扰小学数学教师的16条“知识性诘问”，供同仁参考。 1、最小的一位数是0还是1 这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个， 即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。０不是最小的一位数。 ２、为什么0也是自然数 课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。 “0”作为自然数的“好处”。众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。 把“0”作为自然数，不会影响自然数的“运算功能”。“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还

高考地理易混淆的40个概念

高考地理易混淆的40个概念 易混概念一天体与天体系统 天体——宇宙中各种物质存在的形式，如恒星、行星、小行星、流星体、彗星、星云等都属于天体。 天体系统——运动着的天体之间相互吸引和相互绕转所构成不同等级，构成天体系统至少要有两个天体，如地月系、太阳系等。 区别——天体是独立的个体，天体系统是多个天体的集合。 易混概念二地球存在生命的条件与地球存在生命的原因 地球存在生命的条件——三大金锁链条件，液态水、适宜的温度和适合呼吸的大气。 地球存在生命的原因——是指形成三大条件的地球自身和宇宙条件，如日地距离适中、地球体积质量适中、八大行星各行其道等。 易混概念三光照与热量 光照——主要是指直接来自太阳辐射的能量。光照的多少主要取决于日照时数的多少，而影响日照时数的因素主要与昼夜长短、天气、海拔高度有关。通常太阳高度角越大，晴天多，日照时数越长，光照就越充足。一般在光照充足的地区，农作物光合作用强，单产高，比如新疆的长绒棉、青藏高原的青稞。 热量——是指某一地区在特定的气候条件下所能获得的热量，它是太阳辐射和地表、大气各种物理过程的综合结果。一个地区的热量主要取决于纬度位置和海拔高度。一般来说，纬度低，地面获得的太阳辐射能量多，热量高;纬度高，地面获得的太阳辐射能量少，热量低。热量状况最直观的描述就是温度。 区别——光照充足的地方，热量不一定丰富，例如青藏高原光照充足但热量不足。 易混概念四积温和无霜期 积温——我们知道，温度是影响农作物生长与发育的主要因素。由于大多数农作物只有在日平均气温稳定升到10 ℃以上时才能活跃生长，因此我们把日均温达到10 ℃以上的持续时期视为作物的活跃生长期。把作物生长期内，每天的日平均气温累加起来，得到的温度总和叫做积温。积温的多少决定了农作物的生长期的长短，能直接影响作物长势和生长季节。根据≥10 ℃积温的多少，我国自北向南可以分为五个温度带：寒温带、中温带、暖温带、亚热带和热带;积温越来越多，农作物的生长期也是越来越长。 无霜期——是指一地春天最后一次霜至秋季最早一次霜之间的天数。无霜期直接影响育苗移栽的时间，决定了播种的时节。在实际生产中，真正有危害的是霜冻，因此应该叫无霜冻期，即春季最后一次霜冻(终霜冻)至秋季第一次霜冻(初霜冻)之间的天数。 易混概念五恒星日与太阳日 恒星日——指地球以恒星作为参照物，地球上的某点顺地球自转方向连续两次对准恒星的时间间隔，是地球真正的周期，时间为23小时56分4秒。 太阳日——指地球以太阳作为参照物，地球上的某点顺地球自转方向连续两次对准恒星的时间间隔，是昼夜交替的周期，时间为24小时。谭老师地理工作室综合整理 易混概念六冬至日与近日点、夏至日与远日点 地球绕太阳运行的轨道(黄道)为近似正圆的椭圆轨道，太阳位于椭圆的两焦点之一。 近日点——每年1月初，地球离太阳最近，这个位置叫近日点。 远日点——7月初，地球距离太阳最远，这个位置叫远日点。

语文容易混淆的几个概念

语文容易混淆的几个概念 表达效果：简单一点说就是表达技巧（包括表达方式、表现手法、描写方法、修辞）的作用。 修辞方式与表达方式在初中语文中是经常提及的两个名词术语：它们之间区别很大。 （一）修辞方式：是指修饰文字词句，运用各种方法，使语言表达得准确、鲜明而生动有力，情感真挚、强烈而又引人入胜。初中课文常见的修辞方式有比喻、拟人、夸张、对偶、排比、反问、设问、对比、借代、反复、反语、引用、互文、婉曲、顶真、回环、通感等。（二）表达方式： 也叫表达方法，其内涵包括记叙、描写、说明、议论、抒情五个方面。 (1)记叙： 是写作中最基本记叙是写作中最基本记叙是写作中最基本记叙是写作中最基本、最常见的一种表达方式，它是作者对人物的经历和事件的发展变化过程以及场景、空间的转换所作的叙说和交代。在写事文章中应用较为广泛。 记叙文的写作手法如首尾照应、画龙点睛、巧用修辞、详略得当、叙议结合、正侧相映等；记叙文六要素：时间、地点、人物、事情的起因、经过、结果。记叙顺序：顺叙、倒叙、插叙。 (2)描写：是把描写对象的状貌、情态描绘出来(包括心理描写、语言

描写、动作描写、神态描写、外貌描写、环境描写）等，再现给读者的一种表达方式。它是记叙文，特别是文学创作中的主要表达方式之一。 在一般的抒情、议论、说明文中，有时也把它作为一种辅助手段。描写的手法运用得好，能逼真传神、生动形象，使读者如见其人、如闻其声、如临其境，从中受到强烈的艺术感染。 (3)抒情： 就是抒发和表现作者的感情。具体指以形式化的话语组织，象征性地表现个人内心情感的一类文学活动，它与叙事相对，具有主观性、个性化和诗意化等特征。 作为一种特殊的文学反映方式，抒情主要反映社会生活的精神方面，并通过在意识中对现实的审美改造，达到心灵的自由。抒情是个性与社会性的辩证统一，也是情感释放与情感构造、审美创造的辩证统一。它是抒情文体中的主要表达方式，在一般的文学作品和记叙文中，也常常把它作为重要的辅助表达手段。 (4)议论： 议论就是作者对某个议论对象发表见解，以表明自己的观点和态度。它的作用在于使文章鲜明、深刻，具有较强的哲理性和理论深度。在议论文中，它是主要表达方式；在一般记叙文、说明文或文学作品中，也常被当作辅助表达手段。 (5)说明：说明是用简明扼要的文字，把事物的形状、性质、特征、成因、关系、功用等解说清楚的表达方式。这种被解说的对象，有的

考研数学容易混淆的概念辨析归纳

考研数学容易混淆的概念辨析归纳

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高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例１：判断命题是否正确. 若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞ →∞ ==<则 解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如:11 ,1 n n x y n n ==+，,n n x y n ，那么函数()f x 在X 上

英语语言学 易混淆概念辨析

Phonological structure音系结构 Which sound units are used and how they are put together Phonological analysis 音系学分析 Take a word, replace one sound by another, and see whether a different meaning results. (minimal pairs Phonemic contrast The relation between 2 phonemes when they occur in the same environment and distinguish meaning Phonological rule 音系规则 a formal way of expressing a systematic phonologicalprocess or sound change in language. Assimilation Dissimilation 异化 A process where 2 identical or similar phonemes changes or displaces the other one Suprasegmental/Phonological features (syllable stress tone intonation Those aspects of speech that involve more than single sound segments Syllable structure 音节结构(divided into rhyme and onset Componential analysis A way in which the meaning of a word can be dissected into meaning components, called semantic features. Grammatical construction 语法结构 The process of internal organization of a grammatical unit ( IC analysis Syntactic construction 句法结构 (endo/exo-centric construction Syntactic function 句法功能 Shows the relationship between a linguistic form and other parts of the linguistic pattern in which it is used Grammatical rule By which the grammaticality of a sentence is governed Grammatical relations The structural and logical functional relations of constituents Syntactic relations positional/substitutability/co-occurrence

高中生物：易混淆概念汇总

高中生物：生物易混淆概念汇总 1、脂质与油脂 脂质是脂类物质的统称，包括油脂（C、H、O）、磷脂（C、H、O、N、P）、胆固醇（C、H、O）、植物蜡（C、H、O）等。 2、鲜重与干重 鲜重：细胞正常活性状态下的重量。一般含量最多的化合物是H2O，含量最多元素是O； 干重：细胞除去自由水后的重量，烘干后保持恒重后测定的重量。一般含量最多的化合物是蛋白质，而含 量最多的元素是C。 3、类囊体膜与叶绿体内膜 类囊体在叶绿体基质中，是单层膜围成的扁平小 囊，也称为囊状结构薄膜。沿叶绿体的长轴平行排 列，含有光合色素和电子传递链组分，“光能向活 跃的化学能的转化”在此上进行，因此类囊体膜亦 称光合膜。类囊体可增大叶绿体的膜面积，增大光 合作用率。与叶绿体内膜的区别见右图。 4、分裂与增殖 （1）细胞增殖是侧重结果，细胞分裂侧重过程。 （2）对于真核生物而言，绝大多数体细胞靠有丝 分裂来增殖；少数的体细胞（如蛙的红细胞）是靠 无丝分裂来增殖；精子和卵细胞是靠减数分裂来增 殖的。 例如：2002年上海高考题：精原细胞增殖的方式为： A有丝分裂B有丝分裂和减数分裂 （答案：A） 解析：精原细胞的增殖方式只能是有丝分裂，减数分裂增殖的是精子。 5、细胞液与细胞内液 细胞液特指植物细胞液泡内的液体；细胞内液是细胞内所有液体成分的总括，包括细胞质基质，核基质， 叶绿体等细胞器的基质以及液泡内的细胞液。 6、原生质体与原生质层 原生质层：指细胞膜、液泡膜和这两层膜之间的细胞质，可看作是一层选择透过性膜，这层膜将细胞液与 外界环境分隔开。原生质层为成熟的高等植物细胞及成熟的酵母菌等所具有。 原生质体：通常是指具细胞壁的细胞用酶解法除去壁后获得的结构。原生质体主要用于细胞工程的体细胞 杂交研究。如：植物细胞用纤维素酶和果胶酶处理可获得原生质体，细菌用溶菌酶处理可获得原生质体。

(整理)高等数学基本公式概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法 一．函数 1．函数定义域由以下几点确定 （１）0)(;) (1 ≠= x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。 （４）1 )(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集． （６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的． （１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2 ==等。 若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3) === ３． 将函数分解成几个简单函数的合成． 由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系． 二．极限与连续 1．主要概念和计算方法： （１）．A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 （２）．若0)(lim 0 =→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。 （3）．若)()(lim 00 x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。 即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点 若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。 若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。 （5）．重要公式：条件0)(lim =x ?（极限过程不限）

高中生物 易混淆概念总结工作总结

高中生物易混淆概念总结工作总结 高中生物易混淆概念总结工作总结高中生物易混淆概念总结1.脂质与油脂脂质是脂类物质的统称，包括油脂(C、H、O)、磷脂 (C、H、O、N、P)、胆固醇(C、H、O)、植物蜡(C、H、O)等。 2.鲜重与干重鲜重：细胞正常活性状态下的重量。一般含量 最多的化合物是H2O，含量最多元素是O;干重：细胞除去自由水 后的重量，烘干后保持恒重后测定的重量。一般含量最多的化合 物是蛋白质，而含量最多的元素是C。 3.类囊体膜与叶绿体内膜类囊体在叶绿体基质中，是单层膜 围成的扁平小囊，也称为囊状结构薄膜。沿叶绿体的长轴平行排列，含有光合色素和电子传递链组分，光能向活跃的化学能的转 化在此上进行，因此类囊体膜亦称光合膜。类囊体可增大叶绿体 的膜面积，增大光合作用率。与叶绿体内膜的区别见右图。 4.分裂与增殖(1)细胞增殖是侧重结果，细胞分裂侧重过程。 (2)对于真核生物而言，绝大多数体细胞靠有丝分裂来增殖; 少数的体细胞(如蛙的红细胞)是靠无丝分裂来增殖;精子和卵细胞是靠减数分裂来增殖的。 例如年上海高考题：精原细胞增殖的方式为：A有丝分裂B有丝分裂和减数分裂(答案：A)解析：精原细胞的增殖方式只能是有丝分裂，减数分裂增殖的是精子。

5.细胞液与细胞内液细胞液特指植物细胞液泡内的液体;细胞内液是细胞内所有液体成分的总括，包括细胞质基质，核基质，叶绿体等细胞器的基质以及液泡内的细胞液。 6.原生质体与原生质层原生质层：指细胞膜、液泡膜和这两层膜之间的细胞质，可看作是一层选择透过性膜，这层膜将细胞液与外界环境分隔开。原生质层为成熟的高等植物细胞及成熟的酵母菌等所具有。 原生质体：通常是指具细胞壁的细胞用酶解法除去壁后获得的结构。原生质体主要用于细胞工程的体细胞杂交研究。 如：植物细胞用纤维素酶和果胶酶处理可获得原生质体，细菌用溶菌酶处理可获得原生质体。需要指出的是：在用酶解法获取原生质体时，必须将细胞置于等渗溶液中操作，以防细胞失水皱缩或过分吸水胀破。 7.载体蛋白与通道蛋白载体蛋白和通道蛋白均属于膜转运蛋白，对被运输的物质都具有高度的特异性或选择性。通道蛋白只参与被动转运，在运输过程中不与被运输的物质结合，也不移动，如离子通道、水通道;载体蛋白参与的有主动转运和易化扩散，在运输过程中与相应的物质特异性结合(具有类似于酶和底物结合的饱和效应)，自身的构型会发生变化，并会移动。通道蛋白转运速率与物质浓度成比例，且比载体蛋白介导的转运速度更快(1000倍以上)。通道蛋白其结构和功能状态在细胞内外理化因子

高中数学易混淆的数学概念辨析

高中数学易混淆的数学概念辨析试卷 1. 已知线性方程组的增广矩阵为103210?? ??? ，则其对应的方程组为___________________. 2. 线性方程组21202x z x y y z -=-??+=??+=? 的系数矩阵是__________________． 3．设41:<≤x α，m x <:β，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 . 4. 若由命题A: “22031x x >-”能推出命题B: “x a >” ，则a 的取值范围是________． 5. 方程093 11421 2=-x x 的解集为_____________. 6. 从申请上海世博志愿者的2530人，随机抽取20人，测得他们的身高分别为（单位：cm ） 162， 153， 148， 154， 165， 168， 172， 171， 170， 150 151， 152， 160， 165， 164， 179， 149， 158， 159， 175 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在上海世博志愿者中任抽取一人身高在155.5cm —170.5cm 之间的概率为______________（用分数表示） 7. 把23322 b a b a －33311b a b a ＋42211b a b a 表示成一个三阶行列式为_________ 8．已知3=x 是函数x ax x f 2)1(log )(2-+=的零点，则=a ． 9．已知在ABC ?中，0 90,BAC ∠=点B 、C 的坐标分别为(4,2)、(2,8)，向量(3,2),d = 且d 与AC 边平行，则ABC ?的边AB 所在直线的点法向式方程是 ． 10. 已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=，若12l l ⊥，则直线2l 的一个方向向量为d = . 11．直线l 的一个法向量是()k ,1=，则下列说法正确的是 ( ) （A ）直线l 的斜率是k ； （B ）直线l 的一个方向量是()1,k -； （C ）直线l 的倾斜角是k 1arctan ； (D ）()k ,2=与()k ,1=不可能平行 12. 已知||||2,a b a b == 与的夹角为,3π则a b + 在a 上的投影为 ．

高等数学思想方法

高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法： (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 （2）极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。 （2）数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 （3）极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 （4）逻辑思维方法 在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法： 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。

政治常识易混淆概念简要辨析

政治常识易混淆概念简要辨析 1、国家政权组织形式国家结构形式 国家政权组织形式即政体，指统治阶级采取何种形式来组织自己的政权机关。当代国家政权组织形式有君主立宪制和民主共和制两大类。我国的政权组织形式是人民代表大会制，属于社会主义民主共和制。国家结构形式是指国家的整体和部分、中央与地方之间的相互关系。根据国家权力集中程度不同，当代国家结构形式右分为单一制和复合制两大类。复合制在当代主要是联邦制。我国的国家结构形式属于单一制。 2、特别行政区民族自治区 特别行政区是为解决香港、澳门、台湾问题，实现祖国统一而设立，指在统一的中华人民共和国的旗帜下，在香港、澳门和台湾设置的，保留原有的资本主义制度，并长期保持不变。民族自治区是我国民族区域自治政策的产物，为实现各民族平等、团结、共同繁荣而设立，包括新疆、西藏、内蒙古、广西、宁夏等五个少数民族聚居地区，实行的是社会主义制度。 3、权力权利 权力是一个政治概念，它有两层含义，一是政治上的强制力量，如国家权力，就是国家的强制力，象立法权、司法权、行政权等；二是职责范围内的支配和指挥权，如行使大会主席的权力。权利是一个法律概念，是相对于义务而言，指公民在政治、经济、文化各方面所享有的权力和利益，如公民依法享有选举权和被选举权。 4、公民人民 公民是指取得某国国籍，并根据该国法律规定享有权利和承担义务的人；公民是个与外国人相对应的法律概念、个体概念。人民是指一切对社会历史起推动作用的人们，其主要的、稳定的部分是劳动群众；人民是个与敌对分子、专政对象相对应的政治概念、群体概念，在我国现现阶段，人民是指全体社会主义劳动者、拥护祖国统一的爱国者和拥护社会主义的爱国者。 5、人民代表大会政治协商会议

巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/0b9140638.html, 巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念 作者：蔡鸣晶 来源：《职业教育研究》2012年第07期 摘要：对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。 关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质 中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02 概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。下面举例说明。 频率与概率 定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。 定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。 两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。