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立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练

1、如图，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；

(1)求证：MN//平面PAD

(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD

2（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P ABC

-中，,E F分别为,

AC BC的中点．

（1）求证：//

EF平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA PC

=，90

ABC

∠=?，

求证：平面PEF⊥平面PBC．

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点，

//EF AB ∴. ……………………2分

又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ，

∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分（2）PA PC =，E 为AC 的中点，

PE AC ∴⊥ ……………………6分又平面PAC ⊥平面ABC

PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分又因为F 为BC 的中点，

//EF AB ∴

090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分

EF PE E =

BC ∴⊥面PEF ……………………11分又BC ?面PBC

∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分

3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。（1）求证：BC 1//平面CA 1D ；

（2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点．

(1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ；

(3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

5．（本小题满分12分）

如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，

矩形⊥的中点．（1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；

6.如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面；

（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD

∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,

∴ FM ∥平面ECD ......5分（2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点， ∴ EN ⊥AD.

又∵面ADE ⊥面ABCD ，∴EN ⊥面ABCD. 作NP ⊥BD,连接EP ,则EP ⊥BD ，

∴∠EPN 即二面角E-BD-A 的平面角，

设AD=a,∵ABCD 为正方形，⊿ADE 为等腰三角形，∴EN=

a,NP=24 a.

∴tan ∠EPN=2 . ......10分

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为

x cm的内接圆柱.

(1)试用

x表示圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.

19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r

则有

=,即

∴2

)

π-

圆柱侧

.......5分

（2）由（1）知当3

)

x时，这个二次函数有最大值为π6

所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为

6cm

π......10分

8．（10分）

如图，在三棱锥P ABC

-中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o.

（1）证明：AB⊥PC；

（2）若4

PC=，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P ABC

-体积.

解：

（1）因为PAB

?是等边三角形，90

PAC PBC

∠=∠=?,

所以Rt PBC Rt PAC

???,可得AC BC

=。

如图，取AB中点D，连结PD,CD,

则PD AB

⊥,CD AB

⊥,

所以AB⊥平面PDC,

所以AB PC

⊥ ......5分

（2）作BE PC

⊥，垂足为E，连结AE．

因为

Rt PBC Rt PAC ???，

所以AE PC ⊥，AE BE =．

由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=?．因为Rt AEB Rt PEB ???，所以,,AEB PEB CEB ???都是等腰直角三角形。由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ?的面积2S =．因为PC ⊥平面AEB ，所以三角锥P ABC -的体积 18

V S PC =

??= ......10分 9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，

∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．

(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面PAC ；

(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

解析： (1)证明：如图，连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．

又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .

(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .

(3)如图，取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝1

2PO

＝1，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝1

2，

DO ＝

52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝15

＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45

10（本小题满分12分）

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，

3AC =，5AB =，4BC =，14AA =，点D 是AB

的中点．

（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；（II ）求证：1//AC 平面1CDB ；（III ）求三棱锥 11A B CD -的体积．

证明：（Ⅰ）在△ABC 中，∵3AC =，5AB =，4BC =，

∴△ABC 为直角三角形，∴AC BC ⊥， ……………1分

又∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥，1CC BC C ?=， ……………2分 ∴AC ⊥平面1BCC ，∴1AC BC ⊥． ……………4分（II ）设1B C 与1BC 交于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ， ……………5分则在△1ABC 中，1//DE AC ，又1DE CDB ?面， ……………7分 ∴1//AC 平面1B CD ． ……………8分

（III ）在△ABC 中，过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，∵平面11ABB A ⊥平面ABC ， ∴CF ⊥平面11ABB A ，而3412

AC BC CF AB ??=

==， ……………9分 ∵

1111A B CD C A DB V V --=， ……………10分

而

11111

541022

DA B S

A B AA =

=??=， ……………11分 ∴

11112

10835

A B CD V -=??=． ……………12分

11.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点

求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD.

12. （本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面

,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。

（I ）求证：//PA 平面EDB ；（II ）求证：PB ⊥平面EFD ；

（III ）求二面角P BC D --的大小。

13．（本小题满分12分）

如图，四棱锥ABCD

P-中，底面ABCD是边长为2的正方形，

=PD

（1）求二面角C

P-

-的度数

（2）若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ，故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图