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2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题解析

2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b

< D ．若a b >，则33a b >

答案：D

代入特殊值可探究A,B,C 三个选项是否正确，通过作差法得

()2

21324a b a b a b b ??

??-=-++?? ???????，结合已知条件，即可判断33,a b 的大小关系.

解：

A ：例如当0,1,0,1a b c d ==-==-，,a b c d >>成立，但是ac bd >不成立，故A 错误.

B ：当0c

时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；

C ：当2,1a b =-=-时，0a b <<成立，但111

12a b

=>=-，故C 错误. D ：()()()2

3322

21324a b a b a ab b a b a b b ????-=-++=-++?? ???????

，因为a b >，

所以()0a b ->，又2

213024a b b ??

??++>?? ??????

?，所以330a b ->，即33a b >.

故选:D. 点评：

本题考查了不等式的性质，属于基础题.

2．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}

|230B x x x =--<，则A

B =（）

A ．{}1,0-

B ．{}0,1,2

C ．{}1,0,1-

D ．{}2,1,0--

答案：B

求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可. 解：

由B 中不等式变形得：()()310x x -+<，

解得：13x

，即()1,3B =-，

∵{}2,1,0,1,2,3A =--， ∴{}0,1,2A

B =，

故选：B . 点评：

此题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3．在ABC 中，若BC =sin 2sin C A =，则(AB = )

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：A

由sin 2sin C A =利用正弦定理可得2AB BC =，结合BC =

解：

利用正弦定理化简sin 2sin C A =，得：2AB BC =，

5BC =

AB ∴=A ．

点评：

本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

4．在数列{}n a 中，12a =，24a =，且1120(2)n n n a a a n +-++=≥，则4a =（） A ．22 B ．-22

C ．16

D ．-16

答案：C

由数列的递推关系，带入1a ，2a ，即可求出3a ，再将23,a a 带入，即可求出4a ．解：

令2n =，则32120a a a ++=，又12a =，24a =，所以310a =-；再令3n =，则

43220a a a ++=，所以416a =，故选C

点评：

本题考查数列的递推公式，对n 赋值，求解数列中的项，属于简单题． 5．在ABC ?中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ?是（） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；

C ．钝角三角形；

D ．直角三角形或钝角三角形

答案：B

分析：由()()sin cos cos sin A B B A B B -+-利用两角和的正弦公式，得到sin 1A =，可得2

A π

，从而可得结果.

详解：ABC ?中，若()()cos cos sin 1sin A B B A B B -+-≥，则()sin 1sin A B B A ??-+=≥??，

sin 1A ∴=，2

A π

，故三角形是直角三角形，故选B.

点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

6．若x ，y 满足32x x y y x ≤??

+≥??≤?

，

，，则x +2y 的最大值为

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

答案：D

试题分析：如图，画出可行域，

2z x y =+表示斜率为1

的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+?=，故选D.

【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z

y x b b =-

+，通过求直线的截距z b

的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()2

z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b

z x a

-，而本题属于截距形式. 7．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（） A ．2 B ．

C ．3

D ．

答案：A

由等差中项的性质可得5676a a a =+，又{}n a 为等比数列，所以456

1116a q a q a q =+，

化简整理可求出q 的值．解：

由题意知56723a a a =?+，又{}n a 为正项等比数列，所以456

1116a q a q a q =+，且

0q >，所以260q q +-=，

所以2q 或3q =-（舍），故选A

点评：

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．

8．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23

--，则不等式20x bx a --<的解集是（） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞?+∞ C ．11(,)32

D ．11(,)(,)32

-∞?+∞

答案：A

根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出,a b 的值，故不等式

20x bx a --<即为2560x x -+<，从而可求其解，从而得到正确的选项．

解：

∵不等式210ax bx --≥的解集是1123??

--??

，， ∴1123

x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，

∴1152361111

236b a a

???=-+-=- ?????????-=-?-= ?????，解得65a b =-??=?.

∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<，解得23x <<， ∴不等式的解集为()2,3. 故选：A . 点评：

本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标.本题属于基础题． 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（） A ．1y=x+x

B ．1πy=cosx+(0

．2D ．x

x 4

y=e +

－答案：D

试题分析：时，，故A 错；∵

，∴，

∴

中等号不成立，故B 错；∵

，

∴2

x +22x +2

≥中等号也取不到，故C 错；故选D.

【考点】基本不等式.

【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12

n n n a S n N n

++=∈，则n a =（） A ．()1

12n n -+

B ．2n n ?

C ．31n -

D ．123n n -?

答案：A

先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=?++，得到1n a n ??

??+??

是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 解：

解：∵()*12

n n n a S n N n

++=∈，∴

12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，

n n n a S n --=+，② ①－②有

21n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221

n n a a n n +=?++()2n ≥，另外，n =1时211132

61a S a =+==，故21232

a a =?，也符合上式，故1n a n ??

+??

是以112a =为首项，以2为公比的等比数列， ∴

121

n n

a n -=+，故()112n n a n -=+?. 故选：A. 点评：

本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.

11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为()

A ．1009

B ．1010

C ．1011

D ．1012

答案：C

对任意正整数n ，都有n k a a ≥，k a 为数列{}n a 中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前n 项和公式，即可得出结论. 解：

等差数列{}n a 中，1202010101021102020200()

1010()2

S a a a a =

=+>+

12021202111010100111011112021()

0,20210,02

a a S a a a a +>==<+<∴，

∴101010101011min 101100,||n a a a a a >>->=，，所以对任意正整数n ，都有n k a a ≥，

则k 的值为1011 故选：C. 点评：

本题考查等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.

12．在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则

tan 6

tan tan tan A B C A

+?的最小值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：B

根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故

tan 3tan A B =，

3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C A B ??

=+ ??+?

?，计算得到答案.

解：

由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，

即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.

2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.

由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=，整理得sin cos 3sin cos A B B A =.

易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠，cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=，且tan 0B >.

πA B C ++=，()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-

-?24tan 3tan 1

B =-，

tan 6

tan tan tan A B C A ∴+?()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ??=+ ???34≥?，

当且仅当tan B =时等号成立. 故选：B . 点评：

本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、填空题

13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 答案：5 解：试题分析：

1335,0,0,155x y xy x y y x

+=>>∴

+=，

()13133121334345555555x y x y x y y x y x ??∴+=++=++≥+= ???

，

当且仅当

31255x y

y x

=，即21x y ==时取等号．【考点】基本不等式

14．若不等式210x ax ++≥对一切10,2

x ??∈ ??

恒成立，则a 的最小值是__________．

答案：52

. 分离参数，将问题转化为求函数()1

f x x x

=--最大值的问题，则问题得解. 解：

不等式210x ax ++≥对一切10,2

x ??∈ ??

成立，

等价于1a x x ≥--对于一切10,2x ??

∈ ???

成立．设1

()f x x x

=--

，则max ()a f x ≥．因为函数()f x 在区间10,2

?? ???

上是增函数，

所以max 15()22f x f ??==- ?

，所以52a ≥-，所以a 的最小值为5

2-．故答案为：5

—2

. 点评：

本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.

15．在ABC 内角,,A B C 的对边,,a b c 满足22223a b c +=，则cos C 的最小值为______.

答案：

利用余弦定理结合基本不等式求解即可. 解：

根据题意，由2

23a b c +=得：22

a b c +=

由余弦定理得22

22222223cos 22663

a b a b a b c a b C ab ab ab ab ++-

+-+===≥= 当且仅当222a b =

，即b =时取等号

故答案为3

点评：

本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

()*11111n n n n N S S a +??-=∈ ???，且1

a =-，则2019

1S =_______.

答案：2020-

用11n n n a S S ++=-，代入已知等式，得11n n n n S S S S ++-=?，变形可得

111

1n n

S S +-=-，说明1n S ??

????

是等差数列，求其通项公式，可得20191S 的值. 解：

11n n n a S S ++=-，1111111n n n n n

S S a S S ++??∴

-== ?

-??，整理可得11n n n n S S S S ++-=?，则

111

111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即

111

1n n S S +-=-，所以，1n S ??

????

是以1-为公差的等差数列，又11112S a ==-， ()()()12111n

n n S ∴

=-+-?-=-+，则

20191

2020S =-. 故答案为：2020-. 【点评】

本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题. 三、解答题

17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. （1）求B 的大小．

（2

）若a =，5c =，求b . 答案：（1）π

B =

；（2

）b =（1）由正弦定理，可得sin 2sin sin A B A =，进而可求出sin B 和角B ；（2）利用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即可求出b . 解：

（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，因为sin 0A ≠，所以1sin 2

B =，又因为B 为锐角，所以π6

B =．（2

）由余弦定理，可得

2222cos 27252552457b a c ac B =+-=+-?=-=

，解得b =．点评：

本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}n b 的前n 项和n T .

答案：（1）22n a n =-；（2）21n

n T =-.

（1）求{}n a 的通项公式，可先由22a =，58a =求出公差首项，再出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，利用等比数列的通项公式可求首项1b 及公比q ，代入等比数列的前n 项和公式可求n T . 解：

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵22a =，58a =，

∴12a d +=，148a d +=解得10a =，2d =. ∴数列{}n a 的通项公式()1122n a a n d n =+-=-. （2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由（1）知22n a n =-，

11b =，223466b b a q q +==?+=，

∴1q ≠， ∴2q

或3q =-（舍去），

∴{}n b 的前n 项和12

2112

n n T -==--.

点评：

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n 项和的求解，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，*n N ∈. （1）求证：{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若22log n n b a =，求数列11n n b b +??

????

的前n 项和n T . 答案：（1）证明见解析，12n n

a ；（2）n T =

n +.

（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.

（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果. 解：

（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，① 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，② ①－②得：12n n a a -=. 由于0n a ≠，

当1n =时，11121a S a ==-，即11a =， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n

a .

（2）22log 21n n b a n ==-，

则：111111(21)(21)22121n n b

b n n n n +??

==- ?-+-+??

， ∴12231

111n n n T b b b b b b +=

++???+11111111112335212122121n n n n n ??????????=

-+-+???+-=-= ? ? ? ???-+++??????????

. 点评：

本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

20．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且3AD =，6CD =，2

cos 3

B =

（1）求ACD △的面积；（2）若6AB =，求BC 的长. 答案：（1）45（2）429+.

（1）根据2

cos 3

B =

，0B π<<，sin B ，再根据2D B ∠=∠，求得sin D ，然后结合3AD =，6CD =，由1

sin 2

ACD

S AD CD D ?=??求解. （2）由（1）求得cos D ，然后利用余弦定理求得AC ，设BC x =，结合6AB =，利

用余弦定理，由222

cos 2AB BC AC B AB BC

+-=?求解.

解：（1）

cos 3

B =

，0B π<<，

sin B ∴=

，又

2D B ∠=∠，

sin sin22sin cos D B B B ∴===

sin 36229

ACD S AD CD D ?∴=

??=???=. （2）由（1）得2

cos cos2cos sin 9

D B B B ==-=-

，

由余弦定理可得7AC ===，

设BC x =，

6AB =，

222222672

cos 2263

AB BC AC x B AB BC x +-+-===???∴，

整理得28130x x --=，

解得4x =+

4x =-（舍去）.

BC ∴的长为4.

点评：

本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北

方向的A 处建一仓库，设AB =y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB =AC +1，且∠ABC =60o ．

（1）求y 关于x 的函数解析式；

（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？

答案：（1）2412(1)x y x -=

-（x ＞1）；（2）7

x =时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低．试题分析：

(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式241

x y x -=-（，其定义域是(1,)+∞.

(2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km

时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.

试题解析：

（1）在BCF ?中,,30,CF x FBC CF BF =∠=?⊥,所以2BC x =.

在ABC ?中，,1,60AB y AC y ABC ==-∠=?，

由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-?∠，

即

222(1)(2)22cos 60y y x y x （-=+-???，所以241

x y x -=

-（. 由AB AC BC -<，得121,2x x >>.又因为241

022

x y x -=>-（，所以1x >.

所以函数241

x y x -=

-（的定义域是(1,)+∞. (2)

30(21)40y x =?-+.

因为241

x y x -=-（（1x >），所以24130(21)4022x M x x -=??-+-（

即2123

10(4-1)1x M x x -=?+-（）.

令

1,t x =-（则.于是

，

由基本不等式得

，

当且仅当

34t =（，即7

x （=时取等号. 答：当

km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价

为490万元.

22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1

n n S a n N *=-∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；

（2）令n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T ；

（3）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2

222n

b k a λλ-+>

成立的k 的范围. 答案：（1）2

2n n a -=，21n b n =-；（2）()13

2322

n n T n -=

+-；（3）(,22-∞. （1）由1n =求得112

a =

，当2n ≥时，通过122n n S a =-与111

22n n S a --=-作差，进而

整理可知数列{}n a 是首项为11

a =、公比为2的等比数列，通过将点()1,n n P

b b +代入

直线20x y -+=计算可知120n n b b +-+=，进而整理可求得数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用错位相减法可求得n T ；

（3）通过（1）及作商法计算可知数列2n n b a ??

????

为单调递减数列，进而问题转化为求

2λλ

的最小值，利用基本不等式计算即得结论.

解：

（1）对任意的n *∈N ，122

n n S a =-

当1n =时，111

22S a =-

，即112

a =；当2n ≥时，由122n n S a =-

可得111

n n S a --=-，两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，12n n a a -∴=，则1

n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为112a =，公比为2的等比数列，12

1222

n n n a --∴=?=. 又点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，120n n b b +∴-+=，12n n b b +∴-=，

又

11b =，所以，数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列，

()12121n b n n ∴=+-=-；

（2）

()()2*212n n n n c a b n n N -=?=-∈，

()21

113252212

n n T n -∴=?+?+?+???+-，

()()2212112325223221n n n T n n --=?+?+?+???+-+-，

两式相减得：()()2211

212222212

n n n T n ---=

++++???+-- ()()111112322212322122

n n n n n ----=+?--=-+--， ()13

2322

n n T n -=

+-；（3）由（1）知当1n ≥，22221

2n n n b n a --=，则()()()12212

212112122n n n n n b n a ++-++-+==， 1

222222212121

0221421n n n n n n

b a n n b n n a +-+++=?=?>--，令()212212

1212121

n n n x n n n -++=

==+

---，则数列{}n c 为单调递减数列，103n c c ∴<≤=，则1

2221213

14214n n n n

b a n b n a +++=?

≤<-，所以，数列2n n b a ??????

为单调递减数列，当1n ≥时，1

221n n b b a a ≤=，即2n n b a 最大值为1，

由2221k λλ-+>可得221k λλ<+，1

2k λλ

，

而当0λ>时，1

2λλ

≥=2

λ=

时取等号，k ∴<

因此，实数k 的取值范围是(,-∞. 【点评】

本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.