复合函数的单调性完全解析与练习(终审稿)
复合函数的单调性完全
解析与练习
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
课题：函数的单调性(二)
复合函数单调性
北京二十二中刘青
教学目标
1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.
2.会求复合函数的单调区间.
3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点
1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.
2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计
师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.
生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若AB ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.
(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)
(教师板书，可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0).
解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
2.反比例函数y=x k
(k ≠0).
解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.
3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).
解当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b
2，+∞)是它的单调增区间；
当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b
2，+∞)是它的单调减区间；
4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).
解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).
解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.
师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.
师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何
生：它在(－∞，+∞)上是增函数.
师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+
∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2
+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.
(板书)
引理1已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，
故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.
师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些. (教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)
引理2已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.
(板书)
师：你准备怎样记这些引理有规律吗
(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)
师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u 的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).
例1求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)
师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.
师：下面谁说一下自己的答案
生：这是由y=log 4u 与u=x 2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数y=log 4u 在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x 2－4x+3，当x ∈(－∞，2)时，它是减函数，当x ∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；
(2，+∞)为复合函数的单调增区间.
师：大家是否都同意他的结论还有没有不同的结论我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么
生：……
生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.
师：你说得很好，怎样才能做到这点呢
生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.
师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做
生：求定义域.
师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.
(板书)
u,u=x2－4x+3.由
解设y=log
4
u＞0,
u=x2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢
生：利用图象.
师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象可咱们并没学过画复合函数的图象啊这个问题你想如何解决
生：……
师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围或是求中间量u的取值范围
生：求x的取值范围.
师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.
(板书)
师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log
u为增函数，所以(－∞，1)是
4
u为增函数，所以，复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log
4
(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.
(板书)
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2(u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
由于y=log
u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的
4
单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.
(板书)
u=x 2
－4x+3=(x －2)2
－1,
x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2(u 增)
解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 师：下面咱们再看例2. (板书)
例2求下列复合函数的单调区间：
y=log 3
1(2x －x 2)
师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书) 解设y=log 3
1u,u=2x －x 2.由
u ＞0
u=2x －x 2
解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.
由于y=log 3
1u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数
u=2x －x 2的单调性正好相反.
易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2（复合函数定义域） x ≤1，(u 增)
解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2，(复合函数定义域) x ≥1，(u 减)
解得0≤x ＜2,所以0，1＝是原复合函数的单调增区间.
师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内. 师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写. (板书) 例3求y=2
67x x --的单调区间.
(几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法，以使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.)
解设y=u ,u=7－6x －x 2
,由 u ≥0,
u=7－6x －x 2
解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.
因为y=u 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.
易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。由 -7≤x ≤1,（复合函数定义域） x ≤-3,（u 增）
解得-7≤x ≤-3.所以-7，3是复合函数的单调增区间. 易知u=－x 2－6x+7=－(x+3)2+16在x ≥－3时单调减，由 －7≤x ≤1(复合函数定义域) x ≥－3，(u 减)
解得－3≤x ≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.
师：下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做.
(板书)
例4求y=1
22
)21(--x x 的单调区间.
(学生板书)
解设y=u
)21
(.由
u ∈R,
u=x 2－2x －1,
解得原复合函数的定义域为x ∈R.
因为y=u
)21(在定义域R 内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复
合函数的单调性相反.
易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由 x ∈R,(复合函数定义域) x ≤1，(u 减)
解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.
师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.
师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.
(作业均为补充题) 作业
求下列复合函数的单调区间.
1.y=log 3(x 2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)
2.y=log 21
(x 2
－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)
3.y=652
-+-x x ,(答：［2，25是单调增区间，］［25
，3］是单调减区间.)
4.y=x
17.0;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.) 5.y=2
32
x -;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)
6.y=3
)31(+x ,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)
7.y=x
2log
3
；(答：(0，+∞)为单调减区间.)
8.y=
)
4(1
log
2x x -π
；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.)
9.y=
4
26x x -；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.) 10.y=2
27x
x -；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)
课堂教学设计说明
1.复习提问简单函数的单调性.
2.复习提问复合函数的定义.
3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.
4.对于例1，教师要带着学生分析，着重突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以教师讲解为主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题，以学生独立完成为主.
5.小结，作业.
我为什么要采取这几个环节呢因为从以往的经验看，当要求学生求复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到，想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性，突出课堂的主体是学生，我把四道例题分了层次，第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路，由教师写出解题的全过程；第二题，思路由学生提供，格式还是再由教师写一遍，这样，既让学生有了获得新知识的快乐，又不必因对解题格式的不熟悉而烦恼；后两道例题是以中上等的学生自己独立解答为主的.每做完一道题，由教师简单地小结、修改，以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得上.
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复合函数单调性的判断
复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y =
7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。
函数的单调性·典型例题精析
2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范
围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一
复合函数的概念和性质
复合函数的概念和性质 一、知识点内容和要求： 理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间 二、教学过程设计 （一）复习函数的单调性 引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？ （二）新课 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地， 定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；
（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 解：① 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间； （2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）； （3）减区间，增区间；
复合函数的单调性完全解析与练习(终审稿)
复合函数的单调性完全 解析与练习 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
课题：函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若AB ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增区间； 当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，
在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；
复合函数的单调性例讲
复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲 山西忻州五寨一中 摄爱忠 高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题． ①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键． 复合函数定义： 1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ?，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函 数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间变量． 外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u = 复合函数的单调性：同增异减. 2. 若)(x g u = )(u f y = 则)]([x g f y = 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1： ◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0， ∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0 g(1)=2-a ·1>0 ，解得a<2，∴1
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？
解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.
(完整版)函数单调性奇偶性经典例题
函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 复合函数的单调性练习题 山东 王宪华 ._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y ._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y ._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y .______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y 的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-= . 3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --= 参考答案 ]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为 ]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为 )4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1() 2......(..................................................1),0(log . ]2,0[)2(log , 0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log ) 1........(..........2021, ]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=+?-=∴+-=∴>+-=>+-=∈?∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数 在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数 在且解 )1...(..................................................04, )(log )(6.2225.0≥+=?∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数 的值域为解 上是增函数 在且上是增函数， ，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈?∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f 0)31()31()2()3........(. (312) :)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log ) 31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--?--?-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数 与是 200)31()31(312 04) 3)(2)(1(22≤≤???????≥--?---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知 函数的单调性及典型习题 一、函数的单调性 1、定义： （1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1 时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2） 注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念： 1、定义的另一种表示方法 如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x 1 ) f (x2 )0 即 x1x2 y ，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。 x1x2 x x 判断题： ①已知 f (x)1 1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数． 因为 f ( x ②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数． ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数． ④ 因为函数 1 在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x) 1 f ( x)在 x x ( ,0)(0, ) 上是减函数. 通过判断题，强调几点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 ( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个 区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上 是增（或减）函数． 熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性． 1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 1 2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数 y ＝ f ( x) 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法 （ 1）定义法． （ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出． （ 3）图象法． 例 1、证明函数 f ( x) 1 ）是减函数． 在（ 0， + x 练习 1：证明函数 f ( x) x 在 0, 上是增函数． 1 1 x 例 2、设函数 f （x ）＝ x 2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明． 例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝ |x 2 ＋ 2x － 3| x 2 2x (2)y ＝ 1| 1 |x (3)y ＝ x 2 2x 3 课题：函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中 刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增 区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几 种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数. 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+ ∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考 虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时 (2)第一章函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ； (2) 作差: f(xj f(X2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定 号： 即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k 5.函数的单调性的应用： 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。 例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性. 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性. 复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数． 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 复合函数单调性 北京二十二中 刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解 当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不 妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数. 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上 的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单 调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理. (板书) 引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b. 因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢? 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.复合函数的单调性典型习题
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