离散时间傅里叶变换.

第3章 离散时间傅里叶变换

在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质

3.1.1 非周期序列傅里叶变换

1．定义

一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：

正变换： ∑∞

-∞

=ω-ω

=

=n n

j j e

n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)

反变换： ?

π

π

-ωωω-ωπ

=

=d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)

记为：

)()(ω?→←j F

e X n x

当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得

ωω=--=--==

=

ω-ω-ωω-ω-ωω-ω

-ω-ω-=ω-∞

-∞

=ω

∑∑

2

1sin 3sin )()

(11)()(2

521

212133365

6j j j j j j j j j n

j n n

j n j e

e e e e e e e e e

e

n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：

图3-1

离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。即：

∞<∑

∞

-∞

=)(n x n （3-1-3）

反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质

从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的取值(当序列的z 变换在单位圆上收敛时)，即：

∑∞

-∞

=ω-=ω

=

=ωn n

j e z j e n x z X e X j )()()(

?

=-π=

1

||1)(21

)(z n dz z z X j

n x ?

ππ

-ωωωπ

=

d e e X n j j )(21

因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z 变换得到。正因如此，下面所述的性质，读者可仿z 变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。

1. 线性

设)()]([11ω=j e X n x DTFT ，)()]([22ω=j e X n x DTFT ，则：

)()()]()([2121ωω+=+j j e bX e aX n bx n ax DTFT (3-1-4)

2．移位

设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：

)()]([00ωω-=-j n j e X e n n x DTFT (3-1-5)

证明：00

()[()]()j j n

n X e DTFT x n n x n n e

ωω∞

-=-∞

=-=

-∑

00

()()()

j n

n j n j n n j n j x n n e

n n n x n e e e X e ωωωωω∞

-=-∞

∞

'--=-∞

-'=

-=-'=

=∑∑

3．频移性

设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：

)()]([)(00ω-ωω=j n j e X n x e DTFT (3-1-6)

4．对称性

为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对

称序列与共轭反对称序列。

若序列)(n x e 满足下式：

)()(n x n x e e -=*

(3-1-7)

则称序列)(n x e 为共轭对称序列。对实序列而言，有)()(n x n x e e -=，即序列)(n x e 为偶对称序列。

若序列)(n x o 满足下式：

)()(n x n x o o --=* (3-1-8)

则称序列)(n x o 为共轭反对称序列。对实序列而言，有)()(n x n x o o --=，即序列)(n x o 为奇对称序列。

因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 可由任意一个序列)(n x 按下构成

)]()([2

1)(n x n x n x e -+=* (3-1-9) )]()([2

1)(n x n x n x o --=* (3-1-10)

也就是说，对任意一个序列)(n x 都可以用共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 之和来表示，即：

)()()(n x n x n x o e += (3-1-11)

同类可定义傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量和共轭反对称分量：

)()()(ωωω+=j o j e j e X e X e X (3-1-12)

)]()([21

)(ω-*ωω+=

j j j e e X e X e X (3-1-13) )]()([2

1)(ω-*ωω-=j j j o e X e X e X (3-1-14)

其中)(ωj e e X 称为傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量，满足)()(ω-*ω=j e j e e X e X ；)(ωj o e X 称为共轭反对称分

量，满足)()(ω-*

ω-=j o

j o e X e X 。式(3-1-12)表示序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。

与序列的情况相同，若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭对称，即)()(ω-ω=j j e X e X ，则称为频率的偶函数。若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭反对称，即)()(ω-ω-=j j e X e X ，则称为频率的奇函数。

若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(n x 有如下性质： (1) 序列)(n x 的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即

)()]}({Re[ω=j e e X n x DTFT (3-1-15)

(2) 序列)(n x 的虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即

)()]}(Im[{ω=j o e X n x j DTFT (3-1-16)

(3) 序列)(n x 的共轭对称分量)(n x e 和共轭反对称分量)(n x o 的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和j 乘以虚部，即

)]([)]([ω=j e e e X R n x DTFT (3-1-17) )]([)]([ω=j m o e X jI n x DTFT (3-1-18)

(4) 若)(n x 是实序列，则其傅里叶变换)(ωj e X 满足共轭对称性，即

)()(ω-*ω=j j e X e X (3-1-19)

也就是说：

)]([)]([ω-ω=j e j e e X R e X R (3-1-20)

)](Im[)](Im[ω-ω-=j j e X e X (3-1-21)

由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数。 (5) 序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 的极坐标表示形式为：

)]

(arg[)()(ω

ωω=j e

X j j j e e X e X (3-1-22)

对实序列)(n x ，有：

)()(ω-ω=j j e X e X (3-1-23)

)](arg[)](arg[ω-ω-=j j e X e X (3-1-24)

也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是ω的偶函数，而相角是ω的奇函数。

5．时域卷积定理

若)()()(n h n x n y *=，则有：

)()()(jw jw jw e H e X e Y = (3-1-25)

证明：由卷积和定义有∑∞

-∞

=-=

=m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(，等式两边作傅里叶变换得：

∑∑

∞

-∞=ω-∞∞-ω

???

?????-=n n

j m j e

m n h m x e Y )()()( 令m n k -=，则上式可改写为：∑∑∞-∞=∞

-∞

=ω-ω-ω

=

k m m

j k j j e e

m x k h e Y )()()(

)()()()(ωω∞

-∞

=ω-∞-∞

=ω-==

∑∑j j m m

j k k

j e H e X e

m x e k h

6．频域卷积定理 若)()()(n h n x n y ?=，则

)()(21

)(ωωω*π

=

j j j e H e X e Y ?

π

π

-θ-ωθθπ

=d e H e X j j )()(21)( （3-1-26）

7．帕塞瓦尔（Parseval ）定理

ωπ

=

?

∑

π

π

-ω∞

-∞

=d e X n x j n 2

2

)(21)( (3-1-27)

表3-1 综合了DTFT 的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。 表3-1序列的傅里叶变换的性质

[例3-2] 若)(n x 的傅里叶变换为)(ωj e X ，求下面序列的傅里叶变换：

(1))(n kx (k 为常数) (2))4(-n x (3))(n x *

(4)?????=为奇数

为偶数n n n x n g 0

)

2

()(

解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：

(1) )()(ω?→←

j F

e kX n kx

(2) )()4(4jw j F e X e n x ω-?→←

- (3) )()()()(ω-**

∞-∞=ω∞

-∞

=ω

-*

*=???

?

????=?→

←∑

∑j n jn n jn F

e X e n x e

n x n x (4) )()()2()(22''2''ω∞

-∞

=ω-=∞

ω-ω

===

∑

∑

j n n j n n n jn j e X e n x e n

x e G 令为偶数 表3-2 常用序列傅里叶变换

[例3-3] 若序列)(n h 是实因果序列，其傅里叶变换的实部为ω+=ωcos 1)(j R e H 。求序列)(n h 及其傅里叶变换)(ωj e H 。

解：利用三角函数关系得：ω-ωω++=ω+=j j j R e e e H 2

1211cos 1)( 由序列傅里变换的定义有：∑∞

-∞

=ω-ω

=

=n n

j e

e j R e

n h n h DTFT e H )()]([)(。比较两式可得：

2/1)1(=-e h ，1)0(=e h ，2/1)1(=e h

由于)(n h 是实因果序列，因此，)()(*n h n h =，当0

?????===????????

??>=<=其它

011

01

0)(20)

(00)(n n n n h n n h n n h e

e 所以，2

cos

21)()(2

ω

=+==ω-ω

-ω

-∞

-∞

=ω

∑

j

j jn n j e

e

e

n h e H 。

3.1.3 序列傅里叶变换、z 变换和拉氏变换的关系

1．拉普拉斯变换与z 变换的关系

首先研究序列的z 变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换之间的关系。设连续时间信号为)(t x a ，经理想抽样后的抽样信号为)(?t x

a ，它们的拉普拉斯变换分别为 ?

∞

∞--=

dt e t x s X st a a )()( (3-1-28) ?

∞

∞

--=dt e t x

s X st a a

)(?)(? (3-1-29) 由于)()()(?nT t nT x t x

a n a -δ=∑

∞

-∞

=代入可得：

∑??∑∞

-∞=∞

∞

--∞

∞-∞

-∞=--δ=

-δ=n st

a

n st

a a

dt

e

nT t nT x dt

e

nT t nT x s X )()()()()(?

利用)(t δ函数的筛选性?

==-δ0

)()()(0t t t f dt t t t f ，上式可改写为：

∑∞

-∞

=-=n snT

a

a

e

nT x s X )()(? (3-1-30)

由于抽样序列)()(nT x n x a =的z 变换为:

n n z n x z X -∞

-∞

=∑

=

)()( (3-1-31)

因此，比较式(3-1-30)与式(3-1-31)可得出结论：当sT e z =时，抽样序列的z 变换就等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换。

)()()

(s X e X z X a sT e z sT

=== (3-1-32)

该式表明了这两种变换之间的关系，是由复变量s 平面到z 平面的映射，其映射关系为:

sT e z = (3-1-33)

z T

s ln 1

=

(3-1-34) 若设s 平面用直角坐标来表示:

Ω

+σ=j s (3-1-35)

而z 平面用极坐标表示:

ω=j re z (3-1-36)

将它们代入式(3-1-33)，可得：

T j T T j j e e e re ΩσΩ+σω==)( (3-1-37)

即：

T e r σ= T Ω=ω (3-1-38)

也就是说，z 的模r 对应于s 的实部σ，z 的相角ω对应于s 的虚部Ω，它们之间有如下对应关系： (1) r 与σ的关系：T e r σ=

当0=σ（s 平面的虚轴）时，1=r （z 平面单位园上）

当0<σ（s 的左半平面）时，1σ（s 的右半平面）时，1>r （z 平面单位园外部）

其映射关系如图3-2所示

图3-2 0>σ()0<σ映射成1>r (1

(2)ω与Ω的关系：T Ω=ω

当0=Ω（s 平面的实轴）时，0=ω（z 平面正实轴）

当0Ω=Ω（s 平面平行于实轴的直线）时，0Ω=ωT （z 平面始于原点幅角为T 0Ω=ω的辐射线）。 当Ω由T

π

-

增加至0时，ω由π-增加至0。 当Ω由0增加至

T

π

时，ω由0增加至π 其映射关系如图3-3所示。由此可见，Ω由T π

-增加至T

π时，对应ω由π-经0增加至π。即在z 平面上旋转一周。

综上所述，s 平面上宽度为

T π

2的水平带映射到整个z 平面。同样，每当Ω增加一个抽样角频率T

s π=Ω2，则ω的响应增加一个π2。即在z 平面重复旋转一周，如图3-3所示，因此，s 平面到z 平面的映射是多值映射。

从映射关系上可以看出，对时域信号抽样，则是在s 域沿Ωj 轴（s 平面的虚轴）的周期延拓。

)(1

)(s a n a jk s X T

s X Ω-=

∑

∞

-∞

= (3-1-39)

将此式代入式（3-1-32）可得连续时间信号)(t x a 的拉普拉斯变换)(s X a 与抽样序列)(n x 的z 变换)(z X 之间的关系

∑

∑

∞

-∞

=∞

-∞

==π

-=

Ω-=k a k s a e z k T

j

s X T jk s X T

z X sT

)2(1

)(1

)( (3-1-40) 2．连续信号)(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a 与序列)(n x 的z 变换)(z X 之间的关系

由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即Ω=j s ，映射到z 平面上是单位园T j e z Ω=，将其代入式（3-1-32）可得：

)2(1)()()

(k T

j

j X T

j X e

X z X a k a T

j e

z T

j π

-Ω=

Ω==∑

∞

-∞

=Ω=Ω （3-1-41） 这表明抽样序列在单位园上的z 变换，等于其理想抽样信号的傅里叶变换。

[例 3-4] 已知)2cos(2)(0t f t x a π=，其中Hz f 1000=，以采样频率Hz f s 400=对)(t x a 进行采样，得到采样信号)(?t x

a 和时域离散信号)(n x ，试求：(1)写出)(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(2)写出)(?t x a 和)(n x 的表达式；(3)写出)(?t x

a 和)(n x 的傅里叶变换。 解：(1)由连续信号傅里叶变换定义可得：

?

?

∞

∞

-Ω-∞

∞

-Ω-Ω=

=

Ωdt e

t dt e

t x j X t

j t

j a a )cos(2)()(0?

∞

∞

-Ω-Ω-Ω+=

dt e e e t j t j t j )(00

[])()(200Ω+Ωδ+Ω-Ωδπ=

(2) )()cos(2)()()(?0nT t nT nT t t x t x

n a n a -δΩ=

-δ=∑

∑

∞

-∞

=∞

-∞

=

∞<<∞-Ω=n nT n x )cos(2)(0

其中π=π=Ω200200f ，ms f T s

5.21

==

。 (3) 利用式(3-1-41)得∑∞

-∞

=Ω-Ω=Ωk s

a a jk j X T j X )(1)(? []∑

∞

-∞

=Ω-Ω+Ωδ+Ω-Ω-Ωδπ

=

k s s k k T )()(200

式中s rad f s s /8002π=π=Ω。由定义式得：

∑∑∑∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=ω-ω-ω∞

-∞

=ω-∞

-∞

=ω-∞

-∞=ω-ω

π-ω+ωδ+π-ω

-ωδπ

=+=

ω=

Ω=

=

k n n

j n j n

j n n

j n n

j n n

j j k k e e e

e

n e

nT e

n x e X )]

2()2([2][)cos(2)cos(2)()(00

00

式中rad T π=Ω=ω5.000。

3.1.4 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及性质

1．周期序列的离散傅里叶级数

从第一章已知，若离散时间序列)(n x 为周期序列，则一定满足：

)()(rN n x n x += (3-1-42)

其中N （正整数）为信号的周期，r 为任意整数。为了与非周期序列区分，在本书中，周期序列用)(~n x 表示。 周期序列不是绝对可和的，所以不能用傅里叶变换来表示。但是，与连续周期时间信号可以用傅里叶级数表示类似，周期序列)(~n x 也可以用离散傅里叶级数(DFS)来表示。

)](~

[)(~1

)(~

21

k X IDFS e k X N

n x kn N j N k ==π

-=∑

1,,1,0-=N n (3-1-43)

其中)(~

k X 为周期序列傅里叶级数的系数，也称为周期序列的频谱，其大小为：

)](~[)(~)(~

21

n x DFS e n x k X kn

N j N n ==

π

--=∑

1,,1,0-=N k (3-1-44)

式(3-1-43)和式(3-1-44)称为周期序列的傅里叶变换对。值得注意的是，对于周期为N 的周期序列)(~n x ，其离散傅里叶级数的谐波成份只有N 个是独立成分，这是与连续傅里叶级数不同之处(后者有无穷多个谐波成分)，基率为N /2π，k 次谐波序列为N

n

jk e

π2(1,,2,1-=N k )。其二，从式(3-1-44)可以看出，周期序列的

频谱)(~

k X 也是一个以N 为周期的周期序列，即

)(~)(~)(~)(~

1

21

)(2k X e n x e n x mN k X N n kn N j N n n

mN k N j ==

=

+∑

∑

-=π

--=+π

-

这表明时域周期序列的离散傅里叶级数在频域(即其系数)也是一个周期序列。

为了书写方便，通常令符号

N

j N e

W π

-=2 (3-1-45)

这样周期序列的傅里叶变换对可改写为：

正变换：

nk

N

N

n

W

n

x

n

x

DFS

k

X)

(~

)]

(~[

)

(

~1

∑-

=

=

=1

,

,1,0-

=N

k (3-1-46)

反变换：nk

N

N

k

W

k

X

N

k

X

IDFS

n

x-

-

=

∑

=

=)

(

~

1

)]

(

~

[

)

(~

1

1

,

,1,0-

=N

n (3-1-47) [例3-5]设)

(

)

(

5

n

R

n

x=，将)

(n

x以10

=

N为周期作周期延拓，得到周期信号)

(~n

x，如图3-4所示，求)

(~n

x的DFS。

图3-4周期序列图3-5序列的DFS变换幅度特性解：由定义式(3-1-46)得：kn

j

n

nk

n

e

n

x

W

n

x

n

x

DFS

k

X10

2

9

10

9

)

(~

)

(~

)]

(~[

)

(

~π

-

=

=

∑

∑=

=

=

)

(

(

1

1

1

1

10

10

10

2

2

2

5

5

5

5

4

10

2

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

n

kn

j

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

π

-

π

π

-

π

-

π

π

-

π

-

π

-

π

-

?

π

-

=

π

-

-

-

=

-

-

=

-

-

=

=∑）

k

k

e k

j

10

sin

2

sin

5

2

π

π

=π

-

其幅度特性如图3-5所示。

2．周期序列傅里叶级数的性质

由于)

(~n

x和)

(

~

k

X两者都具有周期性，在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列z变换表示所不具有的。因此，周期序列傅里叶级数的性质也有一些重要差别。

(1) 线性

设)

(

~

1

n

x和)

(

~

2

n

x皆是周期为N的周期序列，其傅里叶级数DFS分别为：

)]

(

~[

)

(

~

1

1

n

x

DFS

k

X=，)]

(

~[

)

(

~

2

2

n

x

DFS

k

X=(3-1-48) 则：

)

(

~

)

(

~

)]

(

~

)]

(

~

[

2

1

2

1

k

X

b

k

X

a

n

x b

n

x a

DFS+

=

+(3-1-49) 其中a、b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，其周期为N。

(2)移位

设)

(~n

x是周期为N的周期序列，则：

)(~)(~)]](~[2k X W k X e m n x DFS mk N mk N j -π

==+ (3-1-50)

(3)调制特性

设)(~n x 是周期为N 的周期序列，则：

)(~)]](~[m k X n x W DFS mn N += (3-1-51)

(4)周期卷积和

若 )(~

)(~

)(~

21k X k X k Y ?=，则

)](~)(~[)](~[)(~21k X k X IDFS k Y IDFS n y ==

)(~)(~)(~)(~121

211

m n x m x m n x m x N m N m -=

-=

∑

∑

-=-= (3-1-52)

式(3-1-52)是一个卷积和公式。它与非周期序列的线性卷积和不同，在这里)(~1m x 和)(~2m n x -(或)(~2m x 和)(~1

m n x -)都是变量为m 的周期序列，故它们的乘积也是周期序列，其周期为N ，另外其求和在一个周期内

进行，即从0=m 到1-=N m ，因此上式卷积和称为周期卷积和，表示为：

)(~*)(~)(~*)(~)(~2121n x n x n x n x n y == (3-1-53)

该性质表明，时域周期序列的卷积和对应着频域周期序列的积。

[例3-6] 两个周期(N ＝6)序列)(~1

n x 和)(~2

n x 如图3-6(a 、b)所示，求它们的周期卷积和)(~

n y 解：求解过程见图3-6，其求解过程与线性卷积和的求解过程类似，由翻褶、移位、相乘、求和四个步骤完成，但又有本质上的不同。其一，移位只移1-N 次；其二，相乘、求和运算在0到N -1=5区间内进行。

首先将)(~2m x 进行翻褶形成)0(~2m x -，如图3-6(c)所示，然后分别将)0(~2m x -右移51,4,3,2,1=-N 位形成如图3-6(d 、e 、f)所示。从图中可以看出，在移位过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间。

然后，将所移位形成周期序列)(~2

m n x -(51,,1,0=-=N n )分别与)(~1

m x 对应点相乘并求和，如图

3-6(g)所示，运算在0=m 到N -1=5区间内进行，从而求得)(n y (1,,1,0-=N n )在一个周期内的所有点对应的值。

最后，将所得结果周期N 延拓，就得到所求的整个周期序列)(~n y ，如图3-6(h)所示。 (5)周期序列相乘 如果)(~)(~)(~21n x n x n y ?=，则

[]∑∑

-=-=-=

-=

=1

121

21)(~

)(~

1)(~)(~1

)(~)(~N l N l l k X l X

N

l k X l X N

n y DFS k Y (3-1-54)

该式表明，时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。

3.2离散傅里叶变换(DFT)

经过上一节的讨论，我们知道，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它与有限长序列有着本质的联系。这一节我们将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT ），并介绍离散傅里叶变换的性质及离散时间傅里叶变换(DTFT)与离散傅里叶变换(DFT)之间的关系。

图3-6 两周期（N ＝6）序列卷积和的求解过程

3.2.1有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)及性质

1．有限长序列与周期序列的关系

设)(n x 为有限长序列，长度为N ，即)(n x 只在1,,0-=N n 有值，其它n 时，0)(=n x 。因此，可以把)(n x 看成周期为N 的周期序列)(~n x 的一个周期，即取一个周期。

(),

01()0,

x n n N x n n

≤≤-?=?

?其它 (3-2-1) 或利用前面介绍的矩形序列)(n R N 表示成：

)()(~)(n R n x n x N = (3-2-2)

把)(~n x 看成有限长序列)(n x 以N 为周期的周期延拓，即表示为：

()()r x n x n rN ∞

=-∞

=

+∑

(3-2-3)

这个关系可以用图3-7表示。通常我们把)(~n x 的第一个周期1,,1,0-=N n 定义为“主值区间”，称)(n x 为)(~n x 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称)(~n x 为)(n x 的周期延拓。显然，对于不同的r 值， )(rN n x +之间并不重叠。

图3-7 序列周期延拓及主值区间

为了书写方便，我们将式(3-2-3)可写为

N n x n x ))(()(~=

(3-2-4)

其中N N ))((表示数学上“n 对N 取余数”，或称为“n 对N 取模值”。令 mN n n +=0，(100-≤≤N n ，m 为整数)，则有0

))((n n N

=。例如，)(~n x 是周期为8=N 的序列，则有)0())8(()8(~8

x x x ==，

)1())8119(()9(~8x x x =?+==，)4())8144(()4(~8x x x =?-=-=-。

2．有限长序列的离散傅里叶变换

由于傅里叶级数)(~

k X 是频域的周期序列，因此，同样可以看成是有限长序列)(k X 的周期性延拓；而有限长序列)(k X 也可以看成是周期序列)(~

k X 的主值序列，即：

N k X k X ))(()(~

= (3-2-6)

)()(~

)(k R k X k X N = (3-2-7)

我们再回顾一下周期序列的傅里叶变换对：

nk

N

N n W n x n x DFS k X )(~

)](~[)(~

1

∑-==

= 1,,1,0-=N k (3-2-8)

nk N N k W k X N

k X IDFS n x --=∑

=

=)(~1)](~[)(~10

1,,1,0-=N n (3-2-9)

显然，以上两式的求和只限定在0=n 到1-=N n 及0=k 到1-=N k 的主值区间进行，故完全适用于主值序列)(n x 和)(k X ，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的定义： 正变换： ∑-==

=1

)()]([)(N n nk N

W

n x n x DFS k X 1,,1,0-=N k (3-2-10)

反变换： ∑-=-=

=1

)(1

)]([)(N k nk N

W

k X N

k X IDFS n x 1,,1,0-=N n (3-2-11)

称式(3-2-10)和式(3-2-11)为有限长序列的离散傅里叶变换对。

此外，应该注意的是，在使用离散傅里叶变换对时，我们所处理的有限长序列都是作为周期序列的一

个周期来表示的，而()

k k mN N N W W +=，()k k mN N N W W --+=，即离散傅里叶变换隐含有周期性。

[例3-7] 已知4()()x n R n =，求)(n x 的8点和16点的DFT 。 解：当8N =时

27

3

2

2

2

8

8

00

4

8

8

8

1()()1j

k

j

k

j

k

j k

j kn

nk

j

k

j

k

j

k j

k

n n e e e e X k x n W

e

e

e

e

e

πππππππππ-------==--===

=

?

--∑∑

38

sin()

2sin()

8

j k

k e

k πππ

-= 7,,1,0 =k

当16N =时

215

3

2

4

4

4

16

160

8

16

16

16

1()()1j

k

j

k

j

k

j

k

j kn nk

j

k

j

k

j

k j

k

n n e e e e X k x n W e

e

e

e

e

πππππ

ππππ-------==--===

=

?

--∑∑

316

sin()4sin()16

j

k k e

k πππ

-= 15,,1,0 =k [例3-8] 已知()()x n n =δ，求)(n x 的N 点DFT 。 解：1

1

000

()()()1N N nk nk N

N N n n X k x n W

n W W --======∑∑δ 1,,1,0-=N k

3．离散傅里叶变换(DFT)的性质

由离散傅里叶变换的定义可知，离散傅里叶变换(DFT)的性质本质上与周期序列离散傅里叶级数(DFS)是一致的。为讨论方便，我们假设以下序列都是N 点有限长序列，且设

)()]([11k X n x DFT = )()]([22k X n x DFT =

(1)线性

设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，则

1212[()()]()()DFT ax n bx n aX k bX k +=+ (3-2-12)

式中a 、b 为任意常数。该式可根据DFT 定义直接证明，留给读者自己去做。

需要注意的是，若两序列的长度不相时，例如长度分别为1N 和2N ，这时式(3-2-12)的N 点DFT 的N 必须取1N 、2N 中最大者，12max[]N N N =，。比如，12N N <，则2N N =，序列)(1n x 需补上21N N -个零值点后，

再作2N 点DFT ，这时1()X k 和2()X k 的大小分别为：

212

2

2

2

211

1110

()()()()()N N j

nk N kn N N N n n X k x n W R k x n e

R k π---====∑∑

222

2

2

2

211

2220

()()()()()N N j

nk N kn N N N n n X k x n W R k x n e

R k π---====∑∑ (3-2-13)

(2) 序列的圆周移位性

所谓序列的圆周移位是指将有限长N 的()x n 进行周期延拓，得到周期序列()(())N x n x n =，再将()x n 移位得到()(())N x n m x n m +=+，然后，对移位后的序列(())N x n m +取主值序列(0n =到1N -)，得到圆周移位后的序列(())()N N x n m R n +。因此，有限长序列()x n 圆周移位后得到的序列仍然是一个具有相同长度的序列。

若设()y n 是()x n 的圆周移位，即

()(())()N N y n x n m R n =+ (3-2-14)

则

()[()]()mk N Y k DFT y n W X k -== (3-2-15)

这表明，有限长序列的圆周移位，在离散频域中只引入一个和频率成正比的线性相移2j

km km N

N

W e

-=π，而

对频谱的幅度没有影响。 （3）圆周卷积和

设有限长序列1()x n 和2()x n ，长度分别为1N 和2N ，12max[]N N N =，，1()x n 和2()x n 的N 点DFT 分别为：

11[()]()DFT x n X k = 22[()]()DFT x n X k = (3-2-16)

若

12()()()Y k X k X k =? (3-2-17)

则

()[()]y n IDFT Y k =

1

120()(())()N N N m x m x n m R n -=??=-????

∑ 1210()(())()N N N m x m x n m R n -=??=-????

∑ (3-2-18) 通常，称式(3-2-18)所表示的运算为1()x n 与2()x n 的N 点圆周卷积(或循环卷积)，记为1()

x n 2()x n ，即

)

()(1n x n y =)(2n x (3-2-19)

下面先证明式（3-2-18），再说明其计算方法。 证明：对式（3-2-18）两边进行DFT ，则 ()[()]Y k DFT y n =

1

1

1200()(())()N N kn N N N n m x m x n m R n W --==??=-??

??

∑∑

11

1200()(())N N kn N N m n x m x n m W --==??=-????

∑∑ (3-2-20) 令n m n '-=，则

1

1()120()()

(())N N m k n m N N m n m

Y k x m x n W ---'+'==-'=∑∑

11120

()(())N N m km

kn N

N N m n m

x m W

x n W ---''==-'=∑∑

由于上式中的求和项2(())kn N N x n W ''是以N 为周期的，对其在任一个周期上求和的结果不变。所以上式可改写为：

1

1

1200

()()()N N km kn N

N m n Y k x m W

x n W --''=='=?∑∑

12()()X k X k = 证毕

圆周卷积过程如图3-8所示，圆周卷积过程中，求和变量为m ，n 为变参量。先将2()x m 周期化，形成2(())N x m ，再翻褶形成2(())N x m -，取主值序列得到2(())()N N x m R m -，通常称之为2()x m 的圆周翻褶。对2()

x m 的圆周翻褶序列循环移位n ，形成2(())()N N x n m R m -，当0,1,,1n N =-时，

分别将1()x m 与2(())()N N x n m R m -相乘，并对m 在0,1,

,1N -区间上求和，便得到1()x n 与2()x n 的圆周卷积()x n 。

图3-8 两个有限长序列(N =7)的圆周卷积和

在圆周卷积过程中，要求对2()x m 圆周翻褶，循环移位，因此，两个长度为N 的序列的循环卷积长度仍为N 。

由于

)()()()()]([)(1221k X k X k X k X n y DFT k Y ?=?== (3-2-21)

所以

)

()(1n x n y =)(2n x ＝)

(2n x )(1n x (3-2-22)

即圆周卷积亦满足交换律。

利用时域与频域的对称性，可以证明，如果

12()()()y n x n x n =? 则

[]11201()()()(())()N N N l Y k DFT y n X l X k l R k N -=??

==-????

∑=)

(11k X N )(2k X (3-2-23) 或 []12101()()()(())()N N N l Y k DFT y n X l X K l R k N -=??

==-????

∑＝)

(12k X N )(1k X (3-2-24)

式(3-2-23)和式(3-2-24)表明，时域序列相乘，乘积的DFT 等于各个DFT 的圆周卷积再乘以1/N 。

（4）圆周相关性质

无论是在模拟信号处理还是数字信号处理中，线性相关是一个十分重要的概念。所谓相关是指两个确定信号或两个随机信号之间的相似性。

对于序列)(n x 和)(n y ，线性相关定义为：

()()()xy n r m x n y n m ∞

*

=-∞

=

-∑

(3-2-25)

或

()()()()()xy n n r m x n y n m x n m y n ∞

∞

**

=-∞

=-∞

=

-=

+∑

∑ (3-2-26)

从定义可以得出，相关函数不满足交换律xy yx r r ≠。另外，在相关函数()xy r m 中的延时m 是由(3-2-25)式中信号()x n 的时间n 减去信号()y n m *-的时间()n m -得到的，即()m n n m =--，所以，通常()x n 与()y n m +的相似程度是和()x n 与()y n m -的相似程度不同的，即()()xy xy r m r m -≠。

当信号()x n 与自身相关时，称()xx r m 为()x n 的自相关函数

()()()()()()xx xx

n n r m x n x n m x n x n m r

m ∞∞

*

*

*

=-∞

=-∞

=

-=+=-∑∑ (3-2-27)

从式（3-2-25）可以看出，相关的求解与卷积和的求解是相似的，它包括了平移、相乘与相加三个步骤，只是没有“翻褶”这一步骤。对式(3-2-25)取z 变换，可得相关函数的z 变换为： ()()()()m

m

xy xy

m m n R z r

m z

x n y n m z

∞

∞

∞

-*

-=-∞

=-∞=-∞

=

=

-∑∑∑

()

()()()()m

m n n m n m x n y n m z

x n y m z

∞∞

∞∞

*

-*

-=-∞

=-∞=-∞

=-∞

=

-=

∑∑∑∑

()()n

m

n m x n z y m z

∞

∞

-*

=-∞

=-∞

=

∑∑

*1()X z Y z *??

= ???

(3-2-28)

代入j z e =ω，可得其频谱为

()()()j j j xy R e X e Y e *=ωωω (3-2-29)

可以看出，只有当()j X e ω和()j Y e ω都不为零时，()j xy R e ω才不为零，这就说明，相关函数只包含两个信号所共有的频率成分。

若 ()()y n x n =，则有：

2

()()j j xx R e X e =ωω (3-2-30)

圆周相关定理：若两有限长序列()x n 与()y n 圆周相关，即

1

0()()(())()N xy N N n r m y n x n m R m -*==+∑

1

()(())()N N N n x n y n m R m -*==-∑ (3-2-31)

则相关序列()xy r n 的DFT 与两序列()x n 与()y n 的DFT 满足

()()()xy R k X k Y k *= (3-2-32)

当()x n 与()y n 为实序列时，则有：

1

1

()()(())()()(())()N N xy N N N N n n r m y n x n m R m x n y n m R m --===+=-∑∑ (3-2-33)

（5）共轭对称性

前面我们已经详细讨论了序列傅里叶变换的对称性，那里的对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。DFT 也有类似的对称性，但这里所涉及到的序列()x n 及其离散傅里叶变换()X k 均为有限长序列，且定义区间为0n =到1N -，所以这里的对称性是关于/2N 点的对称性。

■

设()x n *为()x n 的共轭复序列，则

()(())()(())()N N N N DFT x n X k R k X N k R k ***

??=-=-??

()X N k *=- 01k N ≤≤- (3-2-34)

且 ()(0)X N X =

证明：1

100()()()()()N N nk

nk N

N N N n n DFT x n x n W R k x n W R k *

--*

*

-==????==????

??

∑∑

=(())()N N X k R k *

-1()0()()N N k n N

N n x n W R k *

--=??=????

∑

(())()()N N X N k R k X N k **=-=- 01k N ≤≤- 这里利用了221j

nN nN

j n N

N

W

e

e --===ππ，因为()X k 的隐含周期性，故有()(0)X N X =。

用同样的方法也可以证明

■

()()DFT x N n X k **

??-=??

(3-2-35) 与3.1节讨论类似，引入序列的两个基本概念―圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量。设有限长序列()x n 的长度为N 点，则它的圆周共轭对称分量()ep x n 和圆周共轭反对称分量()op x n 分别定义为：

1

()(())(())()2

ep N N N x n x n x N n R n *??=+-?? (3-2-36) 1()(())(())()2

op N N N x n x n x N n R n *??=

--?? (3-2-37) 因此，任何有限长序列()x n 都可以表示成其圆周共轭对称分量()ep x n 和圆周共轭反对称分量()op x n 之和，即

()()()

01ep op x n x n x n n N =+≤≤- (3-2-38)

可以证明圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT 满足：

■ []()Re ()ep DFT x n X k ??=?? (3-2-39)

■

[]()()op DFT x n jIm X k ??=?? (3-2-40)

证明： ()1()(())())()2ep N N N DFT x n DFT x n x N n R n *

????=+-??????

[]11

(())()(())()22

N N N N DFT x n R n DFT x N n R n *??=+-?? 利用式(3-2-35)，可得

[]1

()()()Re ()2ep DFT x n X k X K X k *

????=+=????

则式(3-2-39)得证。同理可证式(3-2-40)。

■

[]{}1

Re ()()()()2

ep DFT x n X k X k X N k *

??==+-?? (3-2-41) ■

[]{}1Im ()()()()2

op DFT j x n X k X k X N k *??==--?? (3-2-42)

式中[]1

Re ()()()2x n x n x n *

??=+??和[]1Im ()()()2

j x n x n x n *??=

-??分别表示有限长序列()x n 的实部及虚部。

傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.wendangku.net/doc/1813015940.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人

离散时间傅里叶变换.

第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1

离散傅里叶变换的分析与研究

XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日

离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析

The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis

连续时间信号傅里叶变换及调制定理

乐山师范学院学生实验报告 实验课程名称： matlab 与信号系统实验 实验日期：2014年 月 日 姓名 学号 同组人 班级 系（院） 专业 级 班 指导老师 一、实验项目名称 连续时间信号傅里叶变换及调制定理 二、实验目的 1．学会用MA TLAB 求符号运算法的傅立叶正反变换； 2. 理解调制对信号频谱的影响 三、实验主要仪器设备仪器、器材、软件等 PC 机与matlab 软件 四、实验原理 见指导书 五、实验内容、步骤 1.求信号)()(t e t f t ε-=的频谱函数，并分别作出原函数与频谱函数的波形。 2.求信号2 )1(2)(ωω ωj j F += 的原函数，并分别作出原函数与频谱函数的波形。 3.设信号)100sin()(t t f π=，载波)(t y 为频率为400Hz 的余弦信号。试用MATLAB 实现调幅信号)(t y ，并观察)(t y 的频谱和)(t f 的频谱，以及两者在频域上的关系。 4.设),10cos( )()(),1()1()(1t t f t f t u t u t f π=--+=，试用MATLAB 画出)(),(1t f t f 的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。 六、实验记录（数据、现象、报表、软件、图象等） 1、 syms t w; f=exp(-1*t).*heaviside(t); y=fourier(f);

y=simplify(y); subplot(121); ezplot(f,[-3,3]); subplot(122); ezplot(w,y,[-2,2]); -2 02 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t exp(-t) heaviside(t) -2 -1 01 2 -3-2 -101 2 34 x y x = w, y = 1/(1+i w) 2、 syms t w ; ft=ifourier((2*w/(1+i*w)^2),t); y=ifourier(ft); y=simplify(y); subplot(121); ezplot(real(ft)); subplot(122); ezplot(imag(ft)); -5 05 -1 -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 t i exp(-t) heaviside(t) (t-1)-i conj(exp(-t) heaviside(t) (t-1))0 2 4 6 -0.6 -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3 t -1/2 i (2 i exp(-t) heaviside(t) (t-1)+2 i conj(exp(-t) heaviside(t) (t-1)))

离散傅里叶变换应用举例

x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')

N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')

n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

连续时间傅里叶变换

2 奇偶信号的FS: (i) 偶信号的FS: 2 a n f (t)cosn T] T 1 Fn 弘 1tdt ； bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt c n d n a n (ii ) jbn an 2 2 偶的周期信号的 奇信号的FS: F n ( Fn 实, 偶对称)；n FS 系数只有直流项和余弦项。 2 T f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11 1 Fn F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)； a a n 0 ； b n b n 2jFn 第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝 为T i ,角频率为 ,2 f ,—。 Ti (3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS: (i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1 (ii) 系数计算公式： (a) 直流分量： ao f (t)dt T 1 T 1 (b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N T1 T 1 2 (c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N T1 T 1 (iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。 (V) 合并同频率的正余弦项得： n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi) 傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS: (i) 展开式：f (t) Fne jn 1t n (ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t dt, n Z T] T 1 (iii) 系数之间的关系： (iv) Fn 关于 n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v) 正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。 对可积 丁 f(t)dt 。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集 {1,cosn *,sinn 1t ：n N}或复指数函数集 {e jn 术:n Z},函数周期

傅里叶变换的应用.

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

离散傅里叶变换(DFT)试题

第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域 的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π 2 （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域 数字序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值 实际位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。

基于Labview的快速傅里叶变换的实现

一、概述 FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。DFT对于X（K）的每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-2）次相加，对于N个k值，共需N*N乘和N（4N-2）次实数相加。改进DFT算法，减小它的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。虽然它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原冈是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算。在这里利用LabVIEW来实现快速傅立叶变化。LabVIEW是一种程序开发环境，类似于BASIC开发环境；但LabVIEW与其它计算机语言相比，有一个特别重要的不同点：其它计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码行；而LabVIEW使用图形化编程语言G编写程序，产生.的程序是框图的形式。像C或BASIC一样，LabVIEW也是通用的编程系统，有一个可完成任何编程任务的庞大的函数库。LabVIEW的函数库包括数据采集、GPIB、串口控制、数据分析、数据显示及数据存储等。LabVIEW也有传统的程序调试工具，如设置断点、以动画方式显示数据及其通过程序(子V1)的结果、单步执行等，便于程序的调试。 二、方案论证 1：单一频率正弦信号的FFT 采用Labview的信号产生模板提供的常用的信号发生器，从中找到正弦信号发生器，使其产生一个正弦信号。将此正弦信号输入到实数FFT.vi中的X端进行快速傅里叶变换处理，使时域信号转换为频域信号。然后经过复数至极坐标转换后将其显示出来。其结构如图1所示。 图1 单一频率正弦信号的FFT结构图

实验2 离散时间傅里叶变换

电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：

1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：

傅里叶变换及其在图像处理中的应用

傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞

数字信号处理基于MATLAB的离散傅里叶变换的仿真

数字信号处理设计报告书 课题名称 应用MATLAB 对信号进行频谱分析及 滤波 姓 名 何 晨 学 号 20076089 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师 刘鑫淼 2010年 6 月27日 ※※※※※※※※※ ※※ ※ ※ ※※ ※※ ※※※※※ ※※ 2007级数字信号处理 课程设计

应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波 20076089 何晨 一、设计目的

要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 二、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 三、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N 有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： X(k)=DFT[x(n)]= kn N W N n n x ∑ - = 1 ) ( ,k=0,1,...,N-1 N j e N Wπ2- = 逆变换：x(n) =IDFT[X(k)]= kn N W k X N n N - ∑ - = 1 ) ( 1 ,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 四、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号

MATLAB离散傅里叶变换及应用资料

MATLAB 离散傅里叶变换及应用 一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、 序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。 程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)');

subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、 序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，

离散傅里叶变换的分析与研究 开题报告

本科学生毕业论文（设计）开题报告题目离散傅里叶变换的分析与研究 姓名XX 专业电子信息工程 学号XXXXXXXXXX 学院物理与电子信息学院 指导教师XXX 淮北师范大学教务处制

一、本课题研究现状及可行性分析 离散傅里叶变换,其实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更为重要的是，离散傅里叶变换有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。所以说，离散傅立叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 离散傅里叶变换在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。 目前，我们已具备有关的大量参考文献和基本的原始程序，对本论文的开展不存在根本性的问题，我们的研究方法是可行的。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题： 线性卷积与循环卷积之间的关系，及对信号的频谱分析。并在MA TLAB环境下的编程实现。 解决思路： 在理解和掌握线性卷积，循环卷积以及信号频谱分析的基础上，用MA TLAB语言编写线性卷积，循环卷积以及频谱分析的设计程序，最后通过仿真结果验证理论的正确性。 三、论文纲要 1 绪论 1.1 DFT的定义 1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 2 DFT的基本性质 2.1 线性性质 2.2 循环卷积性质 2.3循环卷积定理 3 DFT的应用 3.1 用DFT计算线性卷积 3.2 用DFT对信号进行谱分析 3.3 用DFT进行谱分析的误差问题

MATLAB的离散傅里叶变换的仿真

应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波 设计目的 要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 一、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 二、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： N?1?2?kn)(nx j?W W NN e?0?n N X(k)=DFT[x(n)]=,k=0,1,...,N-1N?11?kn?)(WXk N N0?n x(n) =IDFT[X(k)]= 逆变换：,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 三、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f*t); figure(1); subplot(211); plot(t,x);%作正弦信号的时域波形 axis([0,0.1,-1,1]); title('正弦信号时域波形'); z=square(50*t); subplot(212) plot(t,z) axis([0,1,-2,2]); title('方波信号时域波形');grid;

傅里叶变换公式

连续时间周期信号傅里叶级数：?= T dt t x T a )(1 ??--= = T t T jk T t jk k dt e t x T dt e t x T a π ω2)(1 )(1 离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑= - =-= = N n n N jk N n n jkw k e n x N e n x N a /21 1 0π 连续时间非周期信号的傅里叶变换：()? ∞∞ --=dt e t x jw X jwt )( 连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ? ∞ ∞ -=π 21 )( 连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =??? ? ? ? -=k k k w a jw X T 22)(πδπ 连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ? ∞ ∞ --=0221 )( πδπ 离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞ -∞ =-= n n j e n x e X ωω j ][)( 离散时间非周期信号傅里叶反变换：? = π 2d e )(e π 21][ωωωn j j X n x 离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =-= k k k a X )(π2)e (0 j ωωδω 离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωω ωδωd e n n j ?--=π 20 πl)2(π2π 21][x 拉普拉斯变换：()dt e t s X st -∞ ∞ -? =)(x 拉普拉斯反变换：()()s j 21 t x j j d e s X st ?∞ +∞ -= σσ π Z 变换：∑∞ -∞ =-=n n z n x X ][)z ( Z 反变换： ??-== z z z X r z X n x n n d )(πj 21d )e ()(π21][1j π2ωω

实验离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换

实验二离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换 一．实验目的 1.深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义，与连续傅里叶变换之间的关系； 2.深刻理解序列频谱的性质（连续的、周期的等）； 3.能用MATLAB编程实现序列的DTFT，并能显示频谱幅频、相频曲线； 4.深刻理解DFT的定义、DFT谱的物理意义、DFT与DTFT之间的关系； 5.能用MATLAB编程实现有限长序列的DFT； 6.熟悉循环卷积的过程，能用MA TLAB编程实现循环卷积运算。 二．实验原理 1.离散时间信号的频谱和图示化 2.离散傅里叶变换的定义和图示化 三．实验结果 w=[0:2:500]*pi*2/500; h=(1+0.9*exp(-j*w))./(1-0.9*exp(-j*w)); magh=abs(h); plot(w/pi,magh);grid;xlabel('f');ylabel('|H(w)|'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=exp(j*2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk');

n=[0:127]; m=[0:127]; x=cos(2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127];m=[0,127]; x=sin(n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk');