流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)

在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。

在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。

这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。

Understood?

而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。

在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！

我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。

也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。

那么，哪种方法更能获得幸福呢？

描述流体运动的两种方法

描述流体运动的两种方法 (姓名：张旺龙 学号：308081183 专业：流体力学) 引言: 描述流体运动的两种方法――拉各朗日方法和欧拉方法 设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。拉各朗日方法，着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。 一 拉格朗日方法 现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻0t t =时，流体质点的坐标是（a,b,c ），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标(),,000x y z ，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。我们约定采用a,b,c 三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c 代表不同的质点。于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式： (),,,a b c t =r r （1） 其中r 是流体质点的失径。在直角坐标系中，有 (),,,x x a b c t = (),,,y y a b c t = (),,,z z a b c t = （2） 变数a,b,c,t 称为拉各朗日变数。在式（2）中，如果固定a,b,c 而令t 改变，则得某一流 体质点的运动规律。如果固定时间t 而令a,b,c 改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数r 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。 现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。假设由（1）式确定的函数具有二阶连续偏导数。速度和加速度是对于同一质点而言的单位时间内位移变化率及速度变化率，设 v ，v 分别表示速度矢量和加速度矢量，则 () ,,,r a b c t t ?= ?v （3） ()22 ,,,r a b c t t =??v （4） 既然对同一质点而言，a,b,c 不变，因此上式写的是对时间t 的偏导数。在直角坐标系中，速度和加速度的表达式是 (),,,x a b c t u t ?= ? (),,,y a b c t v t ?=? () ,,,z a b c t w t ?=? （5） 及

描述流体运动的两种方法

描述流体运动的两种方 法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

描述流体运动的两种方法 (姓名：张旺龙 学号：3 专业：流体力学) 引言: 描述流体运动的两种方法――拉各朗日方法和欧拉方法 设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。拉各朗日方法，着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。 一 拉格朗日方法 现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻0t t =时，流体质点的坐标是（a,b,c ），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标(),,000x y z ，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。我们约定采用a,b,c 三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c 代表不同的质点。于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式： (),,,a b c t =r r （1） 其中r 是流体质点的失径。在直角坐标系中，有 (),,,x x a b c t = (),,,y y a b c t = (),,,z z a b c t = （2） 变数a,b,c,t 称为拉各朗日变数。在式（2）中，如果固定a,b,c 而令t 改变，则得某一流体质点的运动规律。如果固定时间t 而令a,b,c 改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数r 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。 现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。假设由（1）式确定的函数具有二阶连续偏导数。速度和加速度是对于同一质点而言的单位时间内位移变化率及速度变化率，设v ，v 分别表示速度矢量和加速度矢量，则 (),,,r a b c t t ?=?v （3） () 22,,,r a b c t t =??v （4）

流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)

在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。 在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。 这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。 Understood? 而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。 在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！ 我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。 也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。 那么，哪种方法更能获得幸福呢？

描述流体运动的两种方法

描述流体运动的两种方法 (姓名：张旺龙学号：3 专业：流体力学) 引言: 描述流体运动的两种方法――拉各朗日方法和欧拉方法 设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。拉各朗日方法，着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。 一拉格朗日方法 现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻0 t t=时，流体质点的坐标是（a,b,c），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标() x y z，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。我们约定,, 000 采用a,b,c三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c代表不同的质点。于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式： () =r r（1）,,, a b c t 其中r是流体质点的失径。在直角坐标系中，有 () =() ,,, z z a b c t =（2） ,,, ,,, x x a b c t =() y y a b c t 变数a,b,c,t称为拉各朗日变数。在式（2）中，如果固定a,b,c而令t改变，则得某一流体质点的运动规律。如果固定时间t而令a,b,c改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数r的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。 现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。假设由（1）式确定的函数具有二阶

描述流体运动地两种方法

描述流体运动的两种方法 (：旺龙 学号：308081183 专业：流体力学) 引言: 描述流体运动的两种方法――拉各朗日方法和欧拉方法 设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。拉各朗日方法，着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。 一 拉格朗日方法 现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻0t t =时，流体质点的坐标是（a,b,c ），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标(),,000x y z ，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。我们约定采用a,b,c 三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c 代表不同的质点。于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式： (),,,a b c t =r r （1） 其中r 是流体质点的失径。在直角坐标系中，有 (),,,x x a b c t = (),,,y y a b c t = (),,,z z a b c t = （2） 变数a,b,c,t 称为拉各朗日变数。在式（2）中，如果固定a,b,c 而令t 改变，则得某一流体质点的运动规律。如果固定时间t 而令a,b,c 改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数r 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。 现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。假设由（1）式确定的函数具有二阶连续偏导数。速度和加速度是对于同一质点而言的单位时间位移变化率及速度变化率，设v ， v 分别表示速度矢量和加速度矢量，则 () ,,,r a b c t t ?= ?v （3） ()22 ,,,r a b c t t = ??v （4） 既然对同一质点而言，a,b,c 不变，因此上式写的是对时间t 的偏导数。在直角坐标系中，速度和加速度的表达式是 (),,,x a b c t u t ?= ? (),,,y a b c t v t ?=? () ,,,z a b c t w t ?=? （5） 及