高二数学平面向量数量积2
平面向量数量积
第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
平面向量数量积教学反思
平面向量数量积教学反思 一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。 二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会： （1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。 （2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。 （3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。 以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积 一、平面向量数量积的含义 1. 平面向量数量积的运算 1.已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求. 2.△ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________ 3.在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则________ 2.夹角问题 1.已知|a |=4,|b|=3, a ·b=6，求a 与b 夹角 2.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与的夹角为____ 3.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为_____ 4.若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 5.已知向量、不共线，且||||=，则+与-的夹角为 __________ 6.在ABC ?中=，= ，=，则下列推导正确的是__ _ ① 若0
平面向量的数量积
平面向量的数量积 一．选择题： 1.在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．3 2 - C ．32 D ．23 2.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 3．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ） A ． 6π B ．3π C ．32π D ．65π 4、若向量a =),sin ,(cos θθb =(1，－1)，则|2a b -|的取值范围是( ) (A)]22,22[+ - (B)]2,0[ (C)]2,0[ (D)[1,3] 5.（选）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向 量 1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ） A ．ππ 63 ， B ． 2ππ36 ， C ．ππ36， D ．ππ33 ， 二．填空题： 1、如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆 上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动 点，则()PA PB PC +?的最小值是__________． 2．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。 3.（选）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 。 三．解答题； 1． △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =(2sinB ，2-cos2B)， 2(2sin (),1)42 B n π=+ ,m ⊥n , (I) 求角B 的大小； O P C B A 第13题图
2020版高考数学大一轮复习-第3节平面向量的数量积及其应用讲义(理)(含解析)新人教A版
第3节 平面向量的数量积及其应用 考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角. (2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 2 1＋y 2 1. (3)夹角：cos θ＝ a · b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21·x 22＋y 2 2 . (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)?|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 2 1＋y 2 1·x 2 2＋y 2 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律). (2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [微点提醒] 1.两个向量a ，b 的夹角为锐角?a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角?a ·b <0
平面向量的数量积及其应用
06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．
高三高考平面向量题型总结经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,c b b a == 则c a = ；③ ,//,//c b b a c a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）PM QP MN NQ +++ （2）)()()(MB PM AB CQ BC BP +++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.-=-= （终点向量减始点向量）
(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案)
平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF → ＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB → 的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB → ＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________.
题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD → 等于( ) A.－3 2a 2 B.－34a 2 C.3 4 a 2 D.3 2 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝????? x ，x ≥y ，y ，x 数学2019年高考平面向量的数量积专题测 试（附答案） 平面向量用小写加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，下面的是数学2019年高考平面向量的数量积专题测试，请考生及时练习。 一、填空题 1.(2019泰州质检)在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=________. [解析] 由平行四边形法则，|+|=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形. 由||=2，ABC=60， [答案] 2.(2019湖南高考改编)已知a，b是单位向量，ab=0.若向量c满足 |c-a-b|=1，则|c|的最大值为________. [解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1. 又ab=0，ab，|a+b|=. |c-a-b|2=c2-2c(a+b)+2ab+a2+b2=1. c2-2c(a+b)+1=0.2c(a+b)=c2+1. c2+1=2|c||a+b|cos (是c与a+b的夹角). c2+1=2|c|cos 2|c|.c2-2|c|+10. -1+1.|c|的最大值为+1. [答案] +1 二、解答题 3.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围. [解] 由已知得e=4，e=1，e1e2=21cos 60=1. (2te1+7e2)(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1e2+7te=2t2+15t+7. 欲使夹角为钝角，需2t2+15t+70，得-7 设2te1+7e2=(e1+te2)(0)， 2t2=7.t=-，此时=-. 即t=-时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为. 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌 《平面向量的数量积及运算律》 一教材分析 1 教材地位及其作用 本节选自普通高中课程标准实验教科书《数学》必修第4册第二章第5节第一课时，两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习，具有承上启下的作用。 2 教学目标 根据课程标准,教材内容，学生认知水平，确定 知识目标：理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和运算律。 能力目标：通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯。 情感目标：让学生在类比、观察、探究、发现中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度。 3 教学重点与难点 根据以上对教材、教学目标的分析，确定如下教学重点和难点： 重点：平面向量数量积定义及运算律的理解 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用。 二教法分析 本节课主要采用引导发现法，通过物理情景中功的概念抽象出向量数量 积的定义，再引导学生探究其几何意义和运算律，与讲授法，讨论法，练习法等相结合 三学法分析 本节课在学法上，主要采用类比法，通过物理情景中功的概念来理解向量数量积的物理意义，进而理解其几何意义。再通过实数的运算律类比发现向量数量积的运算律，同时结合例题讲解和练习巩固。 四教学过程分析 1 问题情景 如图所示，一个力F作用于一个物体，使该物体发生了位移S，如何计算这个力所做的功． 设计意图：通过物理实例引出向量数量积的定义，为以后理解向量数量积打下基础。 2 建立模型 （1）引导学生从“功”的模型中得到如下概念： 已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cos θ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影． 规定0与任一向量的数量积为０． 由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数． 说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝π/2时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起 6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲） 考法一 数量积的坐标运算 【例1】（1）（2020·全国高一）向量()2,3a =-，()2,1b =，则a b ?=（ ） A ．1 B ．1- C ．7 D ．0 （2）（2020·全国高一）已知向量(1,3)a =，(b =-，则a 与b 的夹角是（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π （3）（2020·全国）已知()2,1a =，()11 b =-,，则a 在b 上的投影的数量为（ ） A ． 2 B ． C ．5 - D （4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b m =+，若a b ⊥，则m 等于（ ） A ．7- B ．5 C ．5 2 - D ． 12 （5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量()2,1a =-，()1,b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围______. 【一隅三反】 1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量()()2112a b =-=-， ，，，则() 2a b a +?=（ ） A ．1 B ．1- C ．6- D ．6 2．（2020·广东高一期末）向量()1,2a =-，()2,1b =，则（ ） A ．//a b B ．a b ⊥ C ．a 与b 的夹角为60° D ．a 与b 的夹角为30 3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量(0,23),(1,3)a b ==，则向量a 在b 上的投影为（ ） A ．3 B C ． D ．3- 4．（2020·北京高一期末）已知向量()4,2a =，()1,b m =-，若a b ⊥，那么m 的值为（ ） A ． 1 2 B ．12 - C ．2 D ．2- 5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60?，则a 在b 方向上的投影为（ ） A B ． 72 C ．27 D 6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量()2,1a =-，()1,1b =，则向量a b +与a b -的夹角的余弦值为（ ） A B ．C D ． 7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量()1,2a =，()4,2b =，c ma b =+（m R ∈），且 c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 考法二 巧建坐标解数量积 【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC 中，AD 为边BC 上的高，P 为线段AD 上的动 《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排： 2课时 五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景 平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π） 平面向量的数量积及应用 。规定00a ?=；向量的投影：θ=|| a b a ?∈R，2 2 2 2 a b =-)2a b a a b b ±=±?+2 2 2a a b b =±?+； C ()(a b λ?a c b c ?±?()c a b =?±。 ④向量的夹角：cos θ=cos ,a b a b a b ?<>= ?= 2221y x x x ?++同方向时，θ=00 ，当且仅当与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。的夹角为90则称与b 垂直，记作两个非零向量垂直的充要条件：a ?a ·b ＝O ?0212=+y y x ，平面向量 (1) 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6, 3)， 所以(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝30. 即18＋3x ＝30，解得x ＝4. (2)法一：∵AC ＝AP ＋PC ＝AP ＋PD ＋DC ＝AP ＋PD ＋AB ＝AP ＋PD ＋AP ＋PB ＝2AP ＋PD ＋PB ，又由AP ⊥BD 得AP ⊥PD 且AP ⊥PB ， ∴AP ·PD ＝0，且AP ·PB ＝0于是AP ·AC ＝AP ·(2AP ＋PD ＋PB )＝2AP 2 ＝2|AP |2 ＝18. 法二：AP ·AC ＝AP ·(AB ＋AD ) ＝AP ·(AB ＋AB ＋BD ) ＝2AP ·AB ＋AP ·BD ＝2|AP |·|AB AP ，AB ＝2×|AP |·|AB |·|AP ||AB | ＝2×|AP |2 ＝2×32 ＝18. (1)C (2) 18 由题悟法 平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b |·cos θ求解； (2)已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． 以题试法 1．(1)(2012·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R .若BQ ·CP ＝－2，则λ＝( ) A.1 3 B.23 C.4 3 D ．2 解析：选B 由题意可知BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，且AB ·AC ＝0，故BQ ·CP ＝－(1－λ) AC 2 －λAB 2 ＝－2.又 |AB |＝1，|AC |＝2，代入上式解得λ＝23 . 平面向量数量积的物理背景及其含义 【课型】：新授课 【课时】：第一课时 一、教材分析 本节内容选自人教A版高中数学必修四第二章第二节2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。本节内容先通过物理中“功”的例子抽象出平面向量数量积的概念，了解它的物理背景，再在此基础上探究学习数量积的几何含义、性质与运算律。平面向量的数量积是继学习了向量的线性运算后的又一重要运算，在数学、物理等学科中都有广泛的应用。它既是对平面向量的深入学习与拓展，也为后续物理应用的学习、立体几何问题的解决等提供了新的思路，起着重要的承上启下的衔接作用。在平面向量数量积概念中，既有长度又有角度，既有数又有形，是代数、几何与三角的最佳结合点，也很好的体现了数形结合的数学思想方法。 二、学情分析 本节课的授课对象是高一学生，从知识起点看，在学习本节内容前，学生已经学习了向量的概念及其线性运算，学习了功等简单的物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法；从能力上看，学生具备了一定程度的分析问题与解决问题的能力，也形成了一定的逻辑思维；从情感上看，高一的学生对未知有探求的渴望，有学习新知的渴望。但在学习本节内容时，之前向量线性运算的知识会造成学生对数量积这个概念的理解上的偏差，干扰学生对数量积概念的理解，另外，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个不同性质的向量经过数量积运算后，结果却不是向量，这给学生的学习带来了困难。 三、重难点 重点：平面向量数量积的概念； 难点：平面向量数量积的定义与几何意义的理解。 四、三维目标 （一）知识与技能 说出平面向量数量积的概念； 知道平面向量数量积的物理背景； 描述平面向量数量积与向量的投影的关系； （二）过程与方法 通过把功这个式子推广到一般形式来学习数量积概念的过程，学习从特殊到一半的数学学习方法； 通过进一步根据图式理解概念，巩固数形结合的数学思想方法。 （三）情感、态度与价值观 通过生活中的物理问题引出数量积的概念，体会数学与生活与其他学科密切相关； 通过解答新的运算与线性运算之间的区别，感受探索的乐趣，体验到成功解决疑问的快乐。 五、 教学过程 （一） 创设情境，导入新课 情景：某天老师的小车在路上抛锚了，看到前方有一修车厂，需要将车子推到修车厂门口才可以修理，老师用力F 拉动汽车产生的位移为s ，假设F 是恒力。 问题：老师做了多少功？ 【学生活动】学生在物理知识的基础上，很容易得到:?cos Fs W =。 【师生活动】教师引导学生从数学的角度看这个式子，W 是数量，F 和s 都是向量，而从物理的角度看这个式子，其中F 和s 是力向量和位移向量的大小，所以可以将该式改成：cos W s F θ→ →= 。 问题：功的计算是一种向量间的运算，那是向量的线性运算么？ 【教师活动】教师带领学生回顾之前学习的向量的线性运算。 【学生活动】学生很容易得到功的计算不属于向量的线性运算。 问题：将向量的线性运算与功的计算进行比较，请学生找两者的区别。 结论：有两个不同点： ① 加、减法运算都是两个同性质的向量进行运算，数乘是实数与一个向量的运算，而功的运算是两个不同性质的向量—力和位移的运算； 第31讲：平面向量的数量积 一、课程标准 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→ ＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向； 当θ＝π 2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ； 当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ是a 与b 的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影． (2)a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a . (2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 5．平面向量数量积的性质 设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ?a·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a·b |≤|a||b|. 6．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则 (1)|a |＝x 21＋y 2 1； (2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (3)a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 22＋y 2 2 . 三、自主热身、归纳总结 1、已知直角坐标平面内，OA →＝(－1，8)，OB →＝(－4，1)，OC → ＝(1，3)，则△ABC 是________．( ) A . 直角三角形 B . 等腰三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形 2、已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π 3 ，则b ·(2a －b )等于( ) A.2 B.－1 C.－6 D.－18 3、已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.????79，73 B ．????－73，－7 9 C.????73，79 D.????－79 ，－73 第3讲 平面向量的数量积及应用举例 一、知识梳理 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角． (2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°． [注意] 当a 与b 同向时，θ＝0°；a 与b 反向时，θ＝180°；a 与b 垂直时，θ＝90°. 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b |·cos_θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b 投影 |a |cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos_θ叫做向量b 在a 方向上的投影 几何意义 数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积 [注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a . (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a |＝a·a |a|＝x 21＋y 2 1 夹角 cos θ＝a·b |a||b| cos θ＝ x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 22 a ⊥ b 的充要条件 a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 (1)两向量a 与b 为锐角?a ·b ＞0且a 与b 不共线． (2)两向量a 与b 为钝角?a ·b ＜0且a 与b 不共线． (3)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 一．课题：平面向量的数量积 二．教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的 充要条件和向量数量积的简单运用． 三．教学重点：平面向量数量积及其应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．平面向量数量积的概念； 2．平面向量数量积的性质：22||a a =r r 、cos ,|||| a b a b a b ?<>=r r r r r r ； 3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥??=r r r r ． （二）主要方法： 1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2．垂直的充要条件的应用； 3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性； 4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决． （三）基础训练： 1.下列命题中是正确的有 ①设向量a r 与b r 不共线，若()()0a b a b +?-=r r r r ，则||||a b =r r ； ②||||||a b a b ?=?r r r r ； ③a b a c ?=?r r r r ，则b c =r r ； ④若()a b c ⊥-r r r ，则 a b a c ?=?r r r r 2．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =?=? （ ） ()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 ()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 ()C 甲是乙的充要条件 ()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-r r ，如果向量a xb +r r 与b r 垂直，则x 的值为 （ ） () A 3 23 () B 233 () C 2 () D 25 - 4．平面向量,a b r r 中，已知(4,3),||1a b =-=r r ，且5a b ?=r r ，则向量b =r ___ __ ____. 5．已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为600 ，则a +b 在a 上的投影为 。 6．设向量,a b r r 满足||||1,|32|3a b a b ==-=r r r r ，则|3|a b +=r r 。 7．已知向量,a b r r 的方向相同，且||3,||7a b ==r r ，则|2|a b -=r r ___ ____。 8．已知向量a ρ和b ρ的夹角是120°，且2||=a ρ ，5||=b ρ，则a b a ρρρ?-)2(= 。 （四）例题分析：数学高考平面向量的数量积专题测试(附答案)
最新平面向量的数量积说课稿
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示(精讲)(原卷版)
《平面向量的数量积》教学设计及反思
宿松2017届高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案
《平面向量数量积》
第31讲 平面向量的数量积(原卷版)
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
高三数学第一轮复习 第35课时—平面向量的数量积教案