第12章 薄板的小挠度弯曲问题

第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点

薄板的基本概念

薄板的位移与应变分量

薄板广义力

薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化

薄板的莱维解

矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设

薄板应力

广义位移与薄板的平衡

薄板的典型边界条件

薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解

一、内容介绍

薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。

根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。

对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。

二、重点

1、基尔霍夫假设；

2、薄板的应力、广义力和广义位移；

3、薄板小

挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。

§12.1 薄板的基本概念和基本假设

学习要点:

本节讨论薄板的基本概念和基本假设。

薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。

薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。

根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。

学习思路：

1、薄板基本概念；

2、基尔霍夫假设

1、薄板基本概念

薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板

薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。

薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。

设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；

如果δ/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤δ/b≤1/5，称为薄板。厚板属于弹性力学空间问题，而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。

如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时，属于平面应力问题讨论。

如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷，则板主要变形为弯曲变形。中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。

对于薄板，仍然有相当的弯曲刚度，如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题；如果超过这个界限，属于大变形问题。本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。

2、基尔霍夫假设

薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。设中面为xy平面，则

1、变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线，而且长度不变。这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示

根据这一假设，εz＝γzx＝γzy＝0。

2、垂直于中面方向的应力分量σz，τzx，τzy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计，但是对于维持平衡是必要的，这相当于梁的弯曲无挤压应力假设。

3、薄板弯曲时，中面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移，即

u z=0=0，v z=0=0，w=w(x, y)

根据这一假设，板的中面将没有变形发生。板的中面位移函数w(x, y)称为挠度函数。

根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析，实践证明是完全正确的。

根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。

因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。

§12.2 薄板小挠度弯曲问题的基本方程

学习要点:

根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。因此，薄板的小挠度弯曲问题求解采用位移解法。

本节的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。

分析中应该注意，根据基本假设，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是忽略不计的。但是应该注意这些应力分量对于平衡的影响必须考虑。

通过分析可以得到薄板问题的广义力和对应的广义位移。根据单元体的平衡，可以得到关于广义力和广义位移的关系式。然后将其描述为挠度函数表达的薄板基本方程。

学习思路：

1、位移与应变分量；

2、应力分量；

3、广义力；

4、广义位移与平衡

关系；5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程。

1、薄板位移和应变分量

根据薄板弯曲的第一个假设，则几何方程为

根据几何方程的第3式，则，从而w=w(x，y)。薄板厚度方向的位移与z 坐标无关，可以应用板的中面位移表达板的挠度。根据几何方程的5，6式，有

对z积分，可得

注意到第3个假设，u z=0=0, v z=0=0，因此f(x，y)= g(x，y)=0，所以

上述分析将位移分量通过挠度函数w(x, y)表示。根据几何方程可以得到挠度函数表达的应变分量。有

上式表明，薄板的弯曲应变是沿厚度线性分布的，在板的中面为零，上下板面处达到极值。

2、薄板的应力分量

根据基尔霍夫假设，本构方程简化为

代入应变表达式

有

薄板小挠度弯曲问题的正应力

和切应力

沿厚度也是线性分布的。

基本假设中的εz＝γzx＝γzy＝0，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是不计的。应该注意的问题是，这些应力分量相对于其它应力分量产生的变形可以不计，但是对于平衡的影响必须考虑。这里必须放弃物理方程中关于的εz＝γzx＝γzy＝0的结论，而要求σ z ＝-ν (σx+σy) ≠0；τzx≠τzy≠0。

由于不计τxz，τyz，所以γxz＝γyz＝0，根据几何方程，当然必须放弃物理方程中关于的γxz和γyz的部分，即要γxz＝γyz＝0，而τxz，τyz又不等于0。

3、广义力

对于矩形薄板，采用图示坐标系。如果从薄板中选取一个微小单元体δd x d y，单元体在Oxy平面的投影为矩形abcd，单元体上部有横向载荷q d x d y，底面为自由表面。其中外法线与x轴平行的的侧面有应力分量σx，τxz，τxy，根据公式

可以知道，应力分量σx，τxz，τxy均以中面为对称面而反对称分布。这些应力分量将分别组成合成弯矩M x，扭矩M y和横向剪力F S x，如图所示

如果用M x，M y和F S x分别单位长度的弯矩，扭矩和横向剪力。则

同理，讨论外法线与x轴平行的的侧面，有

下面设法将上述内力用挠度函数w(x, y)表示。将应力表达式

代入上述内力分量表达式，有

其中

同理

上述内力M x，M y，M yy和F S x和F S y称为广义力。分别作用于单元体的侧面边界如图所示。

4、广义位移与平衡关系

上述广义力对应的广义应变为

x是薄板中面在与Oxz平面平行的平面内的曲率，曲率取负号是由于挠曲面

凸面向下为正曲率，而对应的挠度函数的二阶导数为负值。k xy称为中面对

于x，y轴的扭率。

利用广义应变，可以将广义力表示为

考虑单元体的平衡

则

如果讨论，即绕x轴的力矩之和等于零。考虑单元体内力对于角点的力矩平衡，有

整理并且略去高阶小量，有

5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程

同理，根据，有

根据，可以得到

简化并且略去高阶小量，有

将公式代入上式，并且注意到M xy=M yx，有

将挠度函数w(x, y)代入上式，则

或者写作

其中号为拉普拉斯算符。公式就是薄板小挠度

弯曲问题的基本方程。

从而，问题归结为在满足边界条件的基础上求解基本方程，确定挠度函数；

然后根据公式计算广义力弯矩和扭矩；再根据公式

确定薄板应力分量。

§12.3 薄板边界条件

学习要点:

薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。由于薄板基本方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。

薄板弯曲问题的典型边界条件形式可以分为几何边界条件、面力边界条件和混合边界条件。分别对应薄板的固定边界、自由边界和简支边界约束。

由于薄板弯曲问题应用位移解法，因此，本节对于不同的边界约束，推导边界条件的挠度函数表达形式。

应该注意的自由边界条件，由于自由边界属于面力边界，因此转换为位移边界条件时并不是完全独立的，必须作进一步的简化，特别是两个自由边界角点的约束变换。

学习思路：

1、典型边界条件形式；

2、自由边界条件。

1、典型边界条件形式

薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。由于方程

为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。

薄板弯曲问题的典型边界条件形式为

1、几何边界条件：就是在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角，t 为边界切线方向。

2、面力边界条件：在边界给定横向剪力和弯矩。

3、混合边界条件。在边界同时给出广义力和广义位移。

以下讨论常见的边界支承形式和对应的边界条件：

一、固定边界

对于固定边界，如图所示

显然有边界挠度和转角均为零的几何条件。因此，在x=0边界，有

二、简支边界

薄板在简支边界，不能有挠度，但是可以有微小的转动。因此边界条件为挠度为零和弯矩为零，属于混合边界条件。在x=0边界，有

由于，同时在边界x=0，有。所以边界条

件可以写作

三、自由边界

对于自由边界

在x=0边界，有

上式给出了3个面力边界条件，进一步分析可以证明，这3个面力边界条件并不是独立的。其中扭矩可以用等效剪力来表示。

作用在x=a边界上长度为d y的微单元体上的扭矩可以用两个大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。显然这种代换是静力等效的

根据圣维南原理，代换的影响仅仅是局部的。因此，代换后，两个微小单元之间

增加一个集度为的剪力。因此边界x=a自由边界，总的分布剪力为

因此，边界条件可以改写作

应该指出，如果相邻的两个边界都是自由边界，则扭矩用上述剪力等效替代时，在两个边界的角点将会出现没有抵消的集中剪力F SR，如果边界角点受到支承，这个集中剪力就是支座对于薄板的角点的集中反力，如图所示

对于悬空的角点，由于边界角点B处于自由状态，因此有

根据公式，有

如果在角点有支座，而且挠度被阻止发生，有

此时，支座反力可以根据公式计算。

§12.4 矩形薄板的经典解法

学习要点:

本节以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。

问题求解的方法比较多，本节介绍分离变量法。这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。

求解的方法是根据薄板变形，首先将挠度函数写作坐标x和y的函数乘积形式。然后将挠度函数分解为基本方程的特解和齐次方程解两部份，分别应用边界

条件确定。

学习思路：

1、边界条件与挠度函数形式；

2、挠度函数的分解；

3、基本方

程的齐次解和特解；4、薄板的挠度和最大挠度。

1、边界条件与挠度函数形式

下面以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。设矩形薄板边长分别为a和b，受均匀分布横向载荷q(x，y)作用，如图所示

薄板的边界条件为

因此，问题的求解归结为在满足上述边界条件求解基本方程

薄板弯曲问题求解的方法比较多，以下介绍应用最广泛的分离变量法。这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。对于直角坐标，最为方便的是莱维（）解。设

其中Y m(y)是坐标y的函数。

由于x=0和x=a为简支边界，因此上述挠度函数是满足简支边界条件的。问题是如何使得挠度函数的每一项都满足的边界条件。

2、挠度函数的分解

由于问题的基本方程是非齐次的偏微分方程，为简化分析，设

w=w1+w2

其中w1和w2分别为基本方程的齐次解和特解。因此

由于w1为基本方程的齐次解，与载荷无关，而w1+w2必须满足全部边界条件，因此将w1取为级数形式。并且考虑其对称性，应该取奇数，即

由于上式对于所有的x均成立，所以

方程的通解形式为

由于薄板弯曲关于x坐标轴是对称的，所以Y m(y)只能是y的偶函数。所以

C m=

D m=0

因此

由于对称性条件的应用，在的两个边界上，原为4个边界条件，现在只需满足2个。

3、基本方程的齐次解和特解

弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K

第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §6.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （6-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称 为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力

挠度计算

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).

第12章 薄板的小挠度弯曲问题

第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设

学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；

第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一） 概念和假定 薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。 荷载 纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。 横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。 中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。 薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设） （1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由?w /?z = 0得到 w = w (x , y ) 板厚度内各点具有相同的挠度。 放弃物理方程：)]([1 y x z z E σσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0 （2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=??+??x w z u ，x w z u ??-=?? 0=??+??y w z v ，y w z v ??-=?? x

放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+= ，yz yz E τμγ) 1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。 只有三个物理方程 )(1 y x x E μσσε-= )(1 x y y E μσσε-= xy xy E τμγ) 1(2+= 与平面应力问题相同。 （3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。 弹性曲面微分方程 按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由 x w z u ??-=??，y w z v ??-=?? 积分得到：),(1y x f z x w u +??- =，),(2y x f z y w v +??-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ??- =，z y w v ??-= 则： z x w x u x 22??-=??=ε，z y w y v y 22??-=??=ε，z y x w x v y u xy ???-=??+??=22γ 将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示 ??? ? ????+??--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ

工程力学习题库-弯曲变形

第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max

3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：() ''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。

挠度计算公式

挠度计算公式 挠度计划公式简支梁在百般荷载作用下跨中最大挠度计划公 式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计划公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载准绳值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个齐集荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计划公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距安排两个十分的齐集荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计划公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距安排三个十分的齐集荷载下的最大挠度,其计划公式:

Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对付工程用机关钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受齐集荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计划公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载准绳值(kn/m). ;p 为各个齐集荷载准绳值之和(kn). 你可以凭据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 实行反算，看能餍足的上部荷载要求！

简支梁挠度计算公式

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 210000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).

弯曲变形的强度条件和强度计算

弯曲变形的强度条件和强度计算 当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。 图1 平面弯曲 一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩 梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。 为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。 图2 剪力的正负 图3 弯矩的正负 例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：（ 1 ）求支反力 = ∑C M：0 3 10 12 6= ? - - ? Ay F，kN 7 = Ay F = ∑Y：0 10= - +By Ay F F，kN 3 = By F （2）列内力方程 剪力： ? ? ? < < - < < = 6 3 kN 3 3 kN 7 ) ( S x x x F 弯矩： ? ? ? ≤ ≤ ≤ ≤ ? - ? - = 6 3 3 m kN ) 6(3 m kN 12 7 ) ( x x x x x M （3）作剪力图和弯矩图 二、梁弯曲时的正应力 在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。 图4 梁弯曲时的正应力分布图 即有y I x M z ) ( = σ（1）

第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)

第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §5.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （5-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注 意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中

圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

第四节平板应力分析平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 t/b≤1/5时(薄板) w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力

载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线w的挠度。只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 分析模型

材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式

材料力学得基本计算公式外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力与荷载集度之间得关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力得计算公式 (杆件横截面 轴力F N,横截面面积A,拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上得正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线得方位角为正) 4.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d１) 5.纵向线应变与横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律 8.受多个力作用得杆件纵向变形计算公式？ 9.承受轴向分布力或变截面得杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆得强度计算公式 11.许用应力, 脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )

15.拉压弹性模量E、泊松比与切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心得极惯性矩(a)实心圆 (ｂ)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离r ) 18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数 ,(a)实心圆? (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤Ｒ０/10 ,R0为圆管得平 均半径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩Ｔ、杆长l、扭转刚度GＨｐ得 关系式 22.同一材料制成得圆轴各段内得扭矩不同或各段得 直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴得刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上得应力 计算公式, 27.平面应力状态下斜截面应力得一般公式 , 28.平面应力状态得三个主应力 , , 29.主平面方位得计算公式

扰度计算公式(全)

扰度计算公式(全) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = ^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = ^3/(384EI).

式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn). 你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 进行反算，看能满足的上部荷载要求！ 机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。它用以计算零件、构 件的抗弯强度和抗扭强度（见强度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件 下截面上的最大应力。根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T 的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。σ和τ的数值为√(C+W)√(RD↑2) 式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图和附表）。一般截面系数的符号为W，单位为毫米3 。根据公式可知，截面的抗弯和抗扭强度与相应的截面系数成正比。

结构力学简支梁跨中挠度计算公式

简支梁跨中最大挠度计算公式 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.

I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn). 你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 进行反算，看能满足的上部荷载要求！

挠度定义

挠度 挠度定义：结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。 应用学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 挠度（德语 Durchbiegung，法语la flèche）——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用y表示。简言之就是指梁、桁架等受弯构件在荷载作用下的最大变形，通常指竖向方向y轴的,就是构件的竖向变形。 挠曲线——如图，平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵对称面内的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。 挠度与荷载大小、构件截面尺寸以及构件的材料物理性能有关。 挠度——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠 度，用 y表示。 转角——弯曲变形时横截面相对其原来的位置转过的角度称为转角，用θ表示。 挠曲线方程——挠度和转角的值都是随截面位置而变的。在讨论弯曲变形问题时，通常选取坐标轴x向右为正，坐标轴y向上为正。选定坐标轴之后，梁各横截面处的挠度y将是横截面位置坐标x的函数，其表达式称为梁的挠曲线方程，即 y = f ( x ) 。 显然，挠曲线方程在截面x处的值，即等于该截面处的挠度。 根据微积分知识，挠曲线的斜率为 因工程实际中梁的转角θ之值十分微小，可近似认为 可见，挠曲线在截面位置坐标x处的斜率，或挠度y对坐标x的一阶导数，等于该截面的转角。 关于挠度和转角正负符号的规定：在如图6-1选定的坐标系中，向上的挠度为正，逆时针转向的转角为正。

挠度的检测方法 传统的桥梁挠度测量大都采用百分表或位移计直接测量，目前在我国桥梁维护、旧桥安全评估或新桥验收中仍广泛应用。该方法的优点是设备简单，可以进行多点检测，直接得到各测点的挠度数值，测量结果稳定可靠。但是直接测量方法存在很多不足，该方法需要在各个测点拉钢丝或者搭设架子，所以桥下有水时无法进行直接测量；对跨线桥，由于受铁路或公路行车限界的影响，该方法也无法使用；跨越峡谷等的高桥也无法采用直接方法进行测量；另外采用直接方法进行挠度测量，无论布设还是撤消仪表，都比较繁杂耗时较长。

弯管力矩计算公式

第二节管材弯曲 一、材弯曲变形及最小弯曲半径 二、管材截面形状畸变及其防止 三、弯曲力矩的计算 管材弯曲工艺是随着汽车、摩托车、自行车、石油化工等行业的兴起而发展起来的，管材弯曲常用的方法按弯曲方式可分为绕弯、推弯、压弯和滚弯；按弯曲加热与否可分为冷弯和热弯；按弯曲时有无填料(或芯棒)又可分为有芯弯管和无芯弯管。 图6—19、图6—20、图6—21和图6—22分别为绕弯、推弯、压弯及滚弯装置的模具示意图。

图6—19在弯管机上有芯弯管 1—压块2—芯棒3—夹持块4—弯曲模胎5—防皱块6—管坯

图6—20 型模式冷推弯管装置 图6—21 V 形管件压弯模 1—压柱 2—导向套 3—管坯 4—弯曲型模 1—凸模 2—管坯 3—摆动凹模

图6—22三辊弯管原理 1—轴2、4、6—辊轮3—主动轴5—钢管 一、材弯曲变形及最小弯曲半径 管材弯曲时，变形区的外侧材料受切向拉伸而伸长，内侧材料受到切向压缩而缩短，由于切向应

力θσ及应变θε沿着管材断面的分布是连续的，可设想为与板材弯曲相似，外侧的拉伸区过渡到内侧的压缩区，在其交界处存在着中性层，为简化分析和计算，通常认为中性层与管材断面的中心层重合，它在断面中的位置可用曲率半径ρ表示(图6—23)。 管材的弯曲变形程度，取决于相对弯曲半径D R 和相对厚度D t (R 为管材断面中心层曲率半径，D 为管材外径，t 为管材壁厚)的数值大小，D R 和D t 值越小，表示弯曲变形程度越大(即D R 和D t 过小)，弯曲中性层的外侧管壁会产生过度变薄，甚至导致破裂；最内侧管壁将增厚，甚至失稳起皱。同时，随着变形程度的增加，断面畸变(扁化)也愈加严重。因此，为保证管材的成形质量，必须控制变形程度在许可的范围内。管材弯曲的允许变形程度，称为弯曲成形极限。管材的弯曲成形极限不仅取决于材料的力学性能及弯曲方法，而且还应考虑管件的使用要求。 对于一般用途的弯曲件，只要求管材弯曲变形区外侧断面上离中性层最远的位置所产生的最大伸长应变m ax ε不致超过材料塑性所允许的极限值作为定义成形极限的条件。即以管件弯曲变形区外侧的外表层保证不裂的情况下，能弯成零件的内侧的极限弯曲半径min r ，作为管件弯曲的成形极限。min r 与材料力学性能、管件结构尺寸、弯曲加工方法等因素有关。

05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式(供参考)

05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.wendangku.net/doc/2218217274.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9) 1 * 问题的提出 在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。 如，梁 弯曲强度条件：[]σσ≤=W M max max ；剪切强度条件：[]τρτρ≤?= b I S F z Q * max ,max 刚度条件：挠度 ?? ? ???≤l y l y max ；转角[]??≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数， 即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律

8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材 料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）

18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0/10 ，R0为圆管的平均半 径）扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关 系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,

27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力 , 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律

挠度计算公式

挠度计算公式 默认分类 2009-08-20 12:46 阅读2447 评论1 字号：大中小 简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.

I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn). 你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 进行反算，看能满足的上部荷载要求！

惯性矩及弯曲变形公式

截面惯性矩及用曲率表示的梁的弯曲变形公式推导 一、定义 截面惯性矩是一个几何量，是一个截面参数，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。 任意截面如图所示，其面积为A，在坐标为(y，z)的任一点处， 取微面积dA，则下述面积分 I z=?A y2dA I y=?A z2dA 分别称为截面对z轴和对y轴 的惯性矩。 二、梁的弯曲变形公式推导 为什么要这样定义惯性矩，这个截面参数有什么意义呢？ 为了说明这个问题，我们举个实例来加以说明。 梁在承载力和作用下，是怎么发生弯曲的呢？ 如图所示，一小段梁的纯弯曲状 态。梁弯曲时部分“纤维”伸长，比如 图中(a)中的直线ab变为(b)中的弧线 a’b’；部分“纤维”缩短，比如图中(a) 中的直线cd变为(b)中的弧线c’d’；由 伸长区到缩短区，其间必存在一长度不 变的过渡层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。

用横截面1-1与2-2从梁中切取长度为dx的微段，并沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立y轴与z 轴，如图所示。梁弯曲后，纵坐标 为y的直线ab变为弧线a’。设 截面1-1与2-2间的相对转角为 dθ，中性层O1O2的曲率半径为ρ， 则ab的变形量为 a’b’-ab =a’b’-dx =(ρ+y)dθ-ρdθ ab的正应变为ε=(a’b’-ab)/(dx)=((ρ+y)dθ-ρdθ)/(ρdθ)=y/ρ由于距中性层相同距离的各“纤维”的变形相同，所以，上述应变ε即代纵坐标为y的任一“纤维”的正应变。 各“纤维”处于单向受力状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，即可应用胡克定律，由此得横截面上纵坐标为y处的正应力为σ σ=Ey/ρ(E为材料的弹性模量) 可见，σ与y成正比，如上图中(c)， 即正应力沿截面高度线性变化，而中性轴 上各点处的正应力则为零。 如右图所示，横截面上各点处的法向 微内力σdA组成一空间平行力系，横梁面