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波利亚怎样解题实例分析

怎样解题

一、熟悉问题

1、未知是什么？

2、已知是什么？

3、你能复述它吗？

二、寻找解题方法

1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？

2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？

3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

若不能解题，可考虑：

1、已知条件都用上了吗？

2、能不能得到一个比较特殊的情况？

三、书写过程

1、你能按步骤写出你的分析过程吗？

2、你所写的步骤都正确吗？

四、总结与回顾

1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？

2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

3、解题过程能简化吗？

例1、

已知：如图，在△ABC中，AB=AC

求证：∠B=∠C

分析：

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：∠B=∠C

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：在三角形ABC中，AB=AC

问题3、以前做过类似的题吗？

答：似乎没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

答：似乎不能。

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

答：1、未知是求∠B=∠C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察∠B、∠C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将∠B、∠C分别处于两个三角形中，可在A点引下一条线与BC相交。

2、新问题出现了：如何证明⊿ABD≌⊿ACD？答：已知中含有AB=AC，从图中可得AD=AD，尚缺少一个条件。

3、新问题：加入什么条件就可以了？答：∠BAD=∠CAD，可利用角边角进行判定。或BD=CD，可利用边边边进行判定。或AD⊥BC，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。

4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。

到此，此题可解。

问题8、如何书写过程？

答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。

问题9、解题过程能简化吗？

答：尚无更简化方法。

问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。

例2、求二次函数y=-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标。

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：二次函数图象的顶点坐标。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：二次函数解析式y=-3x 2-6x+5

问题3、以前做过类似的题吗？

答：做过。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：能直接运用公式（—a

b 2，a b a

c 442 ）求解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。

例3、已知：如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点，求AD取值范围。

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：求AD的取值范围。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点

问题3、以前做过类似的题吗？

答：没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：条件中两条边的边长分别是AB、AC，所属三角形为△ABC，而所求AD 边长所属是△ACD或△ADC。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

答：已知中的边长为AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD 边联合到一个三角形中。考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长AD 至E，使AD=AE，则可出现△ACD≌△EBD，可得AC=BE，则2

问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。

2、当条件分散时，可向定理集中。

例4、已知：如图，△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，ED∥BC，求证：DE=BE+CD

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：线段DE的长等于EF与FD的和。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：角平分线BF和CF，平行线DE平行于BC。

问题3、以前做过类似的题吗？

答：没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：角分线定理，平行线性质。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

答：根据角平分线性质，可得∠CBF=∠EBF，根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB，进而可得∠EFB=∠CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。根椐对称原则可得CD=FD。进而此题可解。

问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。

2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。

例6、已知x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值。问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：代数式m2+2mn+n2的值。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根。

问题3、以前做过类似的题吗？

答：没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：不能直接运用公式求解。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：不能。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

答：根据方程根的含义可知12+1×m+ n = 0，进而可得m+n=0。

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

答：根据因式分解的公式可将未知变形为m2+2mn+n2=（m+n）2，即若知m+n的值可得未知。到此，此题可解。

例7、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的

3，求∠NMP的度数。

中点，∠BDC=700，cos∠ABD=

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：求∠NMP的度数。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

3。答：AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的中点，∠BDC=700，cos∠ABD=

问题3、以前做过类似的题吗？

答：没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

3可知∠ABD=300；进而可答：1、由中位线定理可知，AB=2MP；cos∠ABD=

得∠MPD=300；

2、由中位线定理可知DC=2NP；由∠BDC=700，可知∠BPN=700；进而可得∠NPD=1100；进而可得∠MPN=1400；

3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP=NP；进而可知MP=NP；进而可得∠PMN=∠PNM。

综合以上因素，可得∠NMP=∠MNP=200。

到此，此题可解。

问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。

2、有中位线，可寻找相等的线段。

例8、如图所示：已知∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C，求∠ACB的度数。

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：求∠ACB 的度数

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：∠xOy ＝900，点A ，B 分别在射线Ox ，Oy 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线交于C

问题3、以前做过类似的题吗？

答：似乎没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出此题。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：∠ABO 的外角的度数与∠BAO 是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：∠ABO 的外角∠ABE 在度数上等于（900+∠OAB ），则外角的一半∠EDB 应等于2

1（900+∠OAB ），而∠ABO 应等于（900-∠OAB ），则∠ABC 应等于二者之和： ∠ABC=2

1（900+∠OAB ）+（900-∠OAB ）=（1350-21∠OAB ）。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

答：1、未知是求∠ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800—∠CBA—∠BAC的度数。

1∠OAB）2、根据以上所得，则有∠ACB=1800—∠CBA—∠BAC=1800—（1350-

1∠OAB=450。原题得解。即无论A、B如何运动，只要角平线不改，∠ACB —

永远等于450。

问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：

例9、如图，△ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD。求证：DB=DE。

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：求证：DB=DE 。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：△ABC 为正三角形，BD 是中线，CE=CD 。

问题3、以前做过类似的题吗？

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：等腰三角形性质和判定。不能直接用定理证明。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：根据已知中△ABC 为正三角形，BD 是中线可得∠DBC=

21∠ABC=21∠ACB 。。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据已知中CE=CD ，可得∠CED=∠CDE 。

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

答：1、未知是求证DB=DE ，如何能出现？

答：在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要∠DBC=∠CDE 即可；

2、新问题：与此相关联的角有那些？

答：与∠DBC 相关联的角是∠ACB ，而∠ACB 又是△DCE 的外角，这

似乎可行；

3、有新进展吗？

答：由三角形外角定理可得∠CED=

1∠ACB ，进而可得∠DBC=∠CDE 。原题得证。

问题8、如何书写过程？

问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。

问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

答：1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。

2、在同一三角形中有等边就有等角。

例10．AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF。

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：AD垂直平分EF

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：AD 是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高

问题3、以前做过类似的题吗？

答：做过。解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？

答：角平分线定理。垂直平分线定理。不能直接用定理解出此题。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

答：AD 是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，联和可得DE=DF。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

答：似乎不能。

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

答：未知是求AD垂直平分EF，在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理，只要能证明DE=DF即可。

原题得证。

例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子，遗嘱上说，老大应比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗，问他们各分了多少？

问题1、未知是什么？你能复述它吗？

答：求兄弟三人各分多少钱。

问题2、已知是什么？你能复述它吗？

答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗。

问题3、你能表示出所有的量吗？

答：可设小儿子得x克朗，则有以下量出现：

小儿子：x克朗

二儿子：（x+100）克朗

大儿子：[（x+100）+200]克朗

总钱数：1600克朗

问题4、你能用不同的式子表示出同一个量吗？

答：1、小儿子钱数+二儿子钱数+大儿子钱数=总钱数

2、小儿子钱数+二儿子钱数=总钱数-大儿子钱数

3、小儿子钱数=总钱数-大儿子钱数-大儿子钱数-二儿子钱数

4、3×小儿子钱数=总钱数-100-（100+200）

5、3×大儿子钱数=总钱数+100+（100+200）

原题得解。

问题5、从中可以借鉴那些经验？

答：分量和等于总量。

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

波利亚解题四步骤

波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

第一，弄清问题? 未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？第二，拟定计划? 找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念第三，实现计划? 实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的第四，回顾反思? 你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来你能不能把这结果或方法用于其它的问题？下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2 (x＋π12)，g(x)＝1＋12 sin2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．第一步：弄清问题。已知条件是什么如本题中，已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝ Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π 6 )]，h(x) ＝12sin(2x＋π3)＋32

波利亚_数学解题表(精) 2

乔治．波利亚的数学＂解题表＂学习法Ｇ．波利亚，是美籍匈牙利数学家，教育家．他十分重视解题在数学学习中的重要作用，数十年如一日对解题方法进行研究，凝聚成一张＂解题表＂（如有条件，参见乔治．波利亚的原著）．这张表提供了一套解决数学问题的一般方法与模式，为解决问题指明了方向，并揭示了解题中的思维过程和思维方法．悉心体会这张表中层层递进的各个问题，相信会对我们的数学学习有所启迪．一．弄清问题．１，已知是什么？未知是什么？２，条件是什么？结论是什么？３，画个草图，引入适当的符号．二，拟定计划．１，见过这道题或与之类似的题吗？２，能联想起有关的定理或公式吗？３，再看看未知条件！４，换一个方式来叙述这道题．５，回到定义看看！！６，先解决一个特例试试．７，这个问题的一般形式是什么？８，你能解决问题的一部分吗？９，你用了全部条件吗？三，实行计划．１，实现你的解题计划并检验每一步．２，证明你的每一步都是正确的．四，回顾反思．１，检查结果并检验其正确性．２，换一个方法做做这道题．３，尝试把你的结果和方法用到其他问题上去．这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。你的解题习惯和这个“解题表”一样吗？如果你觉得自己常常不会思考——“不知道怎么想”，请你参考“一.3.”和“二.3.4.5.6.8.9.”；如果你常常做错题——“会做，但未做对”，请你参考“三.四.”。悉心体会并把握表中各层的要领，相信对你的数学学习会起到很大的帮助作用。在这里提醒两点，一是一定要画图，并标上符号和数字，二是一定要重视回顾反思这一步，只有这一步才能从题海中解放出来，才能做到：虽然只做了有限的题目，但能够解无限的问题．

波利亚怎样解题表

波利亚怎样解题表集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么已知是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来拟定计划第二，找出已知数与未知数你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理

波利亚解题实例

用波利亚的解题方法解题在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43 cos cos ,10===a b B A c p 为 ABC V 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。【分析】：第一步：理解题意。本题的条件是(i)c=10,(ii),43 cos cos ==a b B A (iii)P 是ABC V 内切圆上的动点，所求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。由此可得，这是一道关于图形的最值问题。第二步：拟订计划．设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题：第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。于是原问题可分列为两个较为简单的问题： ① a ，b ，c 为ABC V 的三边，且c=10，,43 cos cos ==a b B A ，试确定△ABC 的形状及其大小。 ② 确定的ABC V 的内切圆上有一动点P ，试求PA 2+PB 2+PC 2的最小值与最大值。对①小题，ABC V 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。第三步：实现计划：由,cos cos a b B A =用正弦定理做代换，得,sin sin cos cos A B B A = 即B B A A cos sin cos sin ?=?或A B 2sin 2sin =，因为,34 cos cos =B A 知B A ≠，且B A ,是三角形内角，所以,22B A -=π即,2π =+A B 所以ABC V 是直角三角形. 再由c=10，43 =a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC V 中，有,2,2=+=+r r c b a

波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C

分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

波利亚的怎样解题表

波利亚的怎样解题表１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１怎样解题”表的呈现弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

波利亚的怎样解题表

波利亚的怎样解题表怎样解题第一步：弄清条件第一：你必需弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来。怎样解题第二步：拟定计划第二：找出书籍数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。表中列出了了若干辅助问题，在遇到困境时你可以逐一把这些问题搜索一遍，每个问题的解决都可能是朝向胜利的关键一步！你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与些有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？

你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使尊长未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？怎样解题第三步：实现计划第三：实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？怎样解题第四步：回顾第四：验算所得到的解验算所得到的解。你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？现在你能不能一下了看出它来？你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？若条件或结论做些改变，又将如何解决？

波利亚怎样解题表

波利亚的怎样解题表 1 乔治波利亚乔治波利亚（George Polya , 1887?1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱?由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他 93岁高龄时，还被I CME （国际数学教育大会）聘为名誉主席. 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容. 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年卜《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及解题理论”、解题教学”教师培训”三个领域?波利亚对数学解题理论的建设主要是通过怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在解题讲习班”中对教师现身说法?他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的万能方法”而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用. 他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效.尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（195年 2 月 2 日）. 2 怎样解题表波利亚是围绕怎样解题”、怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对问题解决”研究兴趣集中在启发法上?波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的怎样解题表”正是一部启发法小词典” 2.1 怎样解题”表的呈现弄清问题拟定计划第一，你必须弄清问题

波利亚的怎样解题表(修改版)

波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．

波利亚解题方法

题目： 1 ,,,,,, 2 , 6 ABC A B C a b c a B C b π == = 设的内角的对边分别为若则求. 第一，弄清问题问题1：你要求解的是什么？要求解的是ABC 的一条边b的长度。问题2：你有些什么？一方面是题目条件中给出的3个已知量,sin,. a B C 另一方面是已学过的正弦定理和余弦定理, 将边和角联系起来。第二，拟定计划问题3：怎样求得b? 由正弦定理可得 sin sin a B b A =，题目已知,sin a B，只需求出A ∠的度数即可求得b，于是将求边b的长度转化为求A ∠的度数。问题4：怎样求得A ∠的度数? 根据三角形内角和等于180°，可得180 A B C ∠+∠+∠=?，所以180 A B C ∠=?-∠-∠，题目已知C ∠的度数，因此只要求得B ∠的度数即可。问题5：怎样求得B ∠的度数。题目已知 15 sin,0. 266 B B B ππ =<<∠= ，求得第三，实现计划

15sin ,0,.266 2.63 1sin sin , 1.2sin B B B C A B C a B A b A πππππ=<<∠==∠=-∠-∠=====因为所以又因为所以所以所以第四，回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。再作检验，将过程中求得的未知量以及题目的已知量代到正弦定理或者余弦定理中，检验未知量的正确性。（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（13,sin ,26a B C π===），同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：正弦定理，余弦定理，正弦定理变形公式，余弦定理变形公式，三角形内角和等于180°，将求边问题转化为求角问题的经验积累等不下6条信息)，并相应地将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合。这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)。（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件。为了求b ，只需求A ∠的度数。（求边转化为求角）为了求A ∠的度数，只需求B ∠的度数。为了求B ∠的度数，只需根据15sin ,026 B B π=<<这两个已知条件即可求得。（利用三角函数关系）这个过程显示了分析与综合的关系：“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划。” （4）在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在已知三角形一边长，一角度数以及一角的正弦值的启引下，激活了记忆网络中正

波利亚的解题过程

波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠A OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 （1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。 (二)通过探求解题方法,培养学生拟定解题计划的习惯

从波利亚怎样解题

从波利亚《怎样解题》谈数学学习的习惯培养沈斌摘要：运用波利亚的“怎样解题”表来指导数学教学，揭示解题过程的思维训练全貌, 暴露数学学习核心问题的本质，以增进教学效果，同时, 在解题的过程中，也使学生的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高解题能力，而且养成有益的思维习惯，进而形成了良好的数学学习习惯，而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。关键词：怎样解题表职业中学学习习惯正文：一、中等职业学校学生学习现状当前的职校数学教学面临着一种困境，学生生源质量差且参差不齐，经常听到有教师怨言：“这些学生怎么教呵！”学生基础比较差这是事实，是不是学生智质差？不是，学生也聪明，活泼好动，究其原因是职业中学学生大多,数学学习习惯不好，学习被动等，他们不懂得怎样去思考问题, 怎样将己知未知联系起来, 甚至搞不清已知是什么,总之他们不会学习或者说解题不知从何入手。对于教师而言，面对着一个班级里有许多学习目的不明确、学习习惯不好、基础不扎实的学生，如何上好课的确是一大难题，如果沿用传统的课堂教学目标和模式，其结果只能造成师生互怨。二、波利亚《怎样解题》的启示美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。波利亚把他本人数十年的教学与科研经验集中具体地表现在他的”怎样解题”表上。在这张表中, 他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见, 提出的方式也十分灵活, 有时用建议的口气, 有时则用引导性问题的办法, 尽量顺乎自然, 使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上了, 这就是他们自己所要说的话。波利亚说: “教师最重要的任务之一是帮助学生”。“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤”。波利亚的《怎样解题》教学思想使我受到启示，在课堂教学中尝试“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤，使学生逐步养成了良好的数学学习习惯。三、在职校数学教学中应用《怎样解题》思想培养学生学习习惯 (一) 通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前

波利亚《怎样解题》读后感

《怎样解题》读书笔记 “学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治?波利亚，这本著作就是《怎样解题》。波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步

波利亚的解题过程

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A． (1)求证：BC与⊙O相切． (2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长． (一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。讲解第一步、弄清问题： 1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。 2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 3．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A 4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长? 答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义? 答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

波利亚的解题理论

波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？” 要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表200多篇论文和许多专著。他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。著名数学家范。德。瓦尔登 1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会学生思考”，意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应

波利亚解题心得体会

波利亚解题心得体会一道题，自己总也想不出解法，而老师却能给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?” 有人听到“数学”就会头痛，为什么又会有人热衷于解题呢？在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望，当我们绞尽脑汁想的题突然被我们解答出来，那种心情只有真正经历过的人才懂。不管是我们自己或者我们去帮助别人，我们不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是“头痛医头，脚痛医脚”，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。这也就是波利亚要告诉我们的。波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”，即未知

量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？“拟定计划”，找出已知数据与未知量之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。“实现计划”和“回顾”，我自己认为回顾在解题中是很重要的一个步骤，很多同学却不以为然，你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？回顾能让我们更加理解这一类题目的解题方法。解答其实也是一种创造，当找到一个方法解决了一道题目，我们同时也应该思考“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”有时我们要举一反三，改造一道题目。基本的方法有：普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。大二的时候修了初等数论这一门课程，它主要研究整数最基本的性质，是一门基础课程，蕴含了丰富的数学思想方法（整体化、转化、构造、反证），上这门课时，老师讲的都能听懂，课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论，却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳，纵使心中方法无数，下笔也只能低头苦思。“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。”

波利亚, 怎样解题表

波利亚对数学解题的过程进行了深入的研究，认为整个解题过程分为四个阶段，即：弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾，并给出了具有启发性的“怎样解题”表弄清问题拟定计划实现计划回顾

弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开，你能否把它写下来？拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或者相似未知数的熟悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或者数据，或者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要概念？实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚看出这一步骤的正确性？你能否证明这一步骤的正确性？回顾反思你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能将这一结果或方法用于其他问题？作者简介：乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解

波利亚数学解题表精完整版

波利亚数学解题表精 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

乔治．波利亚的数学＂解题表＂学习法Ｇ．波利亚，是美籍匈牙利数学家，教育家．他十分重视解题在数学学习中的重要作用，数十年如一日对解题方法进行研究，凝聚成一张＂解题表＂（如有条件，参见乔治．波利亚的原着）．这张表提供了一套解决数学问题的一般方法与模式，为解决问题指明了方向，并揭示了解题中的思维过程和思维方法．悉心体会这张表中层层递进的各个问题，相信会对我们的数学学习有所启迪．一．弄清问题．１，已知是什么未知是什么２，条件是什么结论是什么３，画个草图，引入适当的符号．二，拟定计划．１，见过这道题或与之类似的题吗２，能联想起有关的定理或公式吗３，再看看未知条件！４，换一个方式来叙述这道题．５，回到定义看看！！６，先解决一个特例试试．７，这个问题的一般形式是什么８，你能解决问题的一部分吗９，你用了全部条件吗三，实行计划．１，实现你的解题计划并检验每一步．２，证明你的每一步都是正确的．四，回顾．１，检查结果并检验其正确性．２，换一个方法做做这道题．３，尝试把你的结果和方法用到其他问题上去．这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。你的解题习惯和这个“解题表”一样吗？如果你觉得自己常常不会思考——“不知道怎么想”，请你参考“一.3.”和“二.3.4 如果你常常做错题——“会做，但未做对”，请你参考“三.四.”。悉心体会并把握表中各层的要领，相信对同学们的数学学习会起到很大的帮助作用。在这里提醒两点，一是一定要画图，并标上符号和数字，二是一定要重视回顾这一步，只有这一步才能从题海中解放出来，才能做到：虽然只做了有限的题目，但能够解无

波利亚与《怎样解题表》

波利亚与《怎样解题表》 1、乔治·波利亚乔治·波利亚(1887—1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME （国际数学教育大会）聘为名誉主席。作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容。作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域，波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（1952年2月2日）． 2、怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。 2．1 “怎样解题”表的呈现第四，验算所得到的解．实现你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的? 拟订计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它? 你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念? 第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划第三，实行你的计划回顾你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题? 弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?需要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来? 第一，你必须弄清问题