江苏省2016届高三数学专题复习 专题三 数列 文

专题三 数 列

真题体验·引领卷

一、填空题

1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．

2．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2

(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2

k )处的切线与x 轴交点的横坐标为

a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．

3．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝________．

4．(2014·天津高考改编)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若

S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝________．

5．(2013·新课标全国卷Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m

＋1

＝3，则m ＝________．

6．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．

7．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．

8．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．

9．(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *

)，则数列????

??1a n 前10项

的和为________．

10．(2013·江苏高考)在正项等比数列{a n }中，a 5＝1

2

，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋

a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．

二、解答题

11．(2014·江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．

(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *

)，证明：{a n }是“H 数列”；

(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d ＜0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *

)成立．

12．(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝

nS n n 2

＋c

，n ∈N *

，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2

S k (k ，n ∈N *

)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.

13．(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；

(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 2

2，a 3

3，a 4

4依次构成等比数列？并说明理由； (3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n

1，a n ＋k

2，a n ＋2k

3，a n ＋3k

4

依次构成等比数列？并说明理

由．

专题三 数 列 经典模拟·演练卷

一、填空题

1．(2015·南通模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 3＋a 15＝10，则a 5的值为________． 2．(2015·济南模拟)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则

a 11＋a 12＋a 13＝________．

3．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *

)，且满足a 4a 6＝14，a 7

＝1

8

，则S 4＝________． 4．(2015·衡水中学调研)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则

a 10－a 12

a 6－a 8

＝________． 5．(2015·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＝3

4，a 4＋a 5＝6，则S 6＝

________．

6．(2015·潍坊调研)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10

10

＝2，

则S 2 015的值为________．

7．(2015·南昌二模)已知数列{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n

.若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 的值为________．

8．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *

)，则S 6＝________．

9．(2015·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________．

10．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4

n

的最小值为________．

二、解答题

11．(2015·衡水点睛大联考)若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2

n ＝S 2n －1，n ∈N *

.数列{b n }满足b n ＝1

a n ·a n ＋1

，T n 为数列{b n }的前n 项和．

(1)求a n 和T n ；

(2)是否存在正整数m 、n (1

12．(2015·苏北四市调研)如果无穷数列{a n }满足下列条件：①

a n ＋a n ＋2

2

≤a n ＋1；②存在实

数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N *

，那么我们称数列{a n }为Ω数列．

(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n

，且是Ω数列，求M 的取值范围；

(2)设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝7

4，证明：数列{S n }是Ω

数列；

(3)设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.

13．(2014·泰州期末)设数列{a n }的前n 项积为T n ，已知对?n ，m ∈N *

，当n ＞m 时，总有T n T m

＝T n －m ·q (n －m )m

(q ＞0是常数)．

(1)求证：数列{a n }是等比数列；

(2)设正整数k ，m ，n (k ＜m ＜n )成等差数列，试比较T n ·T k 和(T m )2

的大小，并说明理由； (3)探究：命题p ：“对?n ，m ∈N *

，当n ＞m 时，总有T n T m

＝T n －m ·q

(n －m )m

(q ＞0是常数)”是命

题t ：“数列{a n }是公比为q (q ＞0)的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

专题三 数 列 专题过关·提升卷

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是数列“{a n }为递增数列”的________条件． 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝________．

4．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2

－10x ＋9＝0的两个根，则S 6＝________．

5．(2015·广州调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln

a 2＋…＋ln a 20＝________．

6．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为

T n ，若log 2T 2m －1＝9，则m ＝________．

7．各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝5S 2，a 2＝2且S k ＝31，则正整数k 的值为________．

8．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且满足S n

T n ＝3n ＋24n －5，则a 5

b 5

＝________．

9．(2015·太原诊断)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1

＋a (n ∈N *

)，则实数a 的值为

________．

10．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝3，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n

，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人． 11．(2015·长沙模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n

－n .若按如图所示的流程图进行运算，则输出n 的值为________．

12．(2015·衡水点睛联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋? ????13n (n ≥2，且n ∈N *

)，

则数列{a n }的通项公式为________．

13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋1＝2a 6，且S 7＝S 10，则使得S n 取得最小值时，

n 的值为________．

14．(2015·郑州质检)设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若??

?

?

?

?

1a n ＋a n ＋1是等差数列，则? ????1a 2＋1a 3＋? ??

??1a 3＋1a 4＋…＋? ????1a 2 013＋1a 2 014＋? ??

?

?1a 2 014＋1a 2 015＝________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7＝77，且

a 1，a 3，a 11成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

16．(本小题满分14分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{a n }满足：a n >0，a 1＝5，S n 为其前n 项和，且20S 1，S 3，7S 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2，求数列????

??

1b n 的前n 项和T n .

17．(本小题满分14分)(2015·济宁模拟)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋13

2

，其中S n 为数列

{b n }的前n 项和．

(1)求证：数列?

?????b n －12是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；

(2)如果对任意n ∈N *

，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．

18．(本小题满分16分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝1－2S n ；将函数y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }． (1)求{b n }与{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n ·b n (n ∈N *

)，T n 为数列{c n }的前n 项和．若a 2

－2a >4T n 恒成立，试求实数a 的取值范围．

19．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n

＋1

＝

a n ＋

b n a 2n ＋b 2

n

，n ∈N *

.

(1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列??????

????? ????b n a n 2是等差数列； (2)设b n ＋1＝2·b n

a n

，n ∈N *

，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．

20．(本小题满分16分)(2015·南京、盐城模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *

)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *

)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k . ①求p 的值及对应的数列{d k }．

②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．

专题三 数 列 真题体验·引领卷

1．4 [因为a 8＝a 2q 6

，a 6＝a 2q 4

，a 4＝a 2q 2

，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6

＝a 2q 4

＋2a 2q 2

，消去

a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.]

2．21 [在点(a k ，a 2

k )处的切线方程为：y －a 2

k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k

2，所以

a k ＋1＝a k

2，故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×? ??

??12n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1

＝21.]

3．42 [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21. 得3(1＋q 2

＋q 4

)＝21.解得q 2

＝2或q 2

＝－3(舍)． 于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2

(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.]

4．－12

[∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 2

2＝S 1·S 4，又S n 为公差为－1的等差数列的前n 项

和．从而(a 1＋a 1－1)2

＝a 1? ??

??4a 1－12×4×3，解得a 1＝－12.]

5．5 [由题设，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3.因为数列{a n }为等差数列．所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1.由S m ＝m （a 1＋a m ）

2

＝0，得m (a 1＋2)＝0，则a 1＝－2.又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝

2，解得m ＝5.]

6．6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是以公比q ＝2，首项a 1＝2的等比数列．则S n ＝2（1－2n

）

1－2＝126，解得n ＝6.]

7．3

n －1

[由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列．所以4S 2＝3S 1＋S 3，即3(S 2－S 1)＝S 3－S 2.∴3a 2＝

a 3，则等比数列{a n }的公比q ＝3.故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝3n －1.]

8．－1

n

[由题意，得S 1＝a 1＝－1.∵a n ＋1＝S n S n ＋1，

∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，则S n ≠0， 从而

1

S n ＋1－1

S n

＝－1，

故数列????

??1S n 是以1

S 1

＝－1为首项，－1为公差的等差数列，

因此1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n

.]

9.20

11 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）

2，

令b n ＝1

a n

，

故b n ＝

2n （n ＋1）＝2????

??1

n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10

＝2??????1－12＋12－1

3＋…＋110－111＝2011.]

10．12 [由已知条件得12q ＋12q 2

＝3，

即q 2

＋q －6＝0，

解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)，

a n ＝a 5q n －5＝1

2×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132

(2n －1)， a 1a 2…a n ＝2－52－42－3

…2n －6

＝2

n 2－11n 2

，

由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可知2

n －5

－2－5

>2

n （n －11）

2

，由2

n －5

－2－5

>2

n （n －11）

2

，可求得n 的最大

值为12，而当n ＝13时，28

－2－5

<213

，所以n 的最大值为12.] 11．(1)证明 由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2

n ＋1

－2n ＝2n

.于是对任意的正整数n ，

总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n

＝a m .所以{a n }是“H 数列”．

(2)解 由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d ＜0，所以m －2＜0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）

2是小于2的整数，n ∈N *

，于是对任意的正整数n ，

总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）

2

，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d

的值为－1.

(3)证明 设等差数列{a n }的公差为d ，

则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *

)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *

)． 下证{b n }是“H ”“数列”，设{b n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝

n （n ＋1）

2

a 1(n ∈N *)，于是对任意的正整数n ，

总存在正整数m ＝

n （n ＋1）

2

；使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．

同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *

)成立． 12．解 由题设，S n ＝na ＋

n （n －1）

2

d .

(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2

2＝b 1b 4，即? ??

??a ＋d 22＝

a ?

??

??a ＋3

2d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .

因此，对于所有的m ∈N *

，有S m ＝m 2

a .

从而对于所有的k ，n ∈N *

，有S nk ＝(nk )2

a ＝n 2k 2

a ＝n 2

S k . (2)证明 设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即

nS n

n 2

＋c

＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *

，

代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有?

????d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2

＋cd 1n ＝

c (

d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12

d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)

在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得

A ＋

B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，

从而有????

?7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③

由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋1

2

d ＝0，cd 1＝0.

若d 1＝0，则由d 1－1

2d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.

又cd 1＝0，所以c ＝0.

13．(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d

(n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，

2a 4依次构成等比数列． (2)解 不存在，理由如下：

令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)． 假设存在a 1，d ，使得a 1，a 2

2，a 3

3，a 4

4依次构成等比数列， 则a 4

＝(a －d )(a ＋d )3

，且(a ＋d )6

＝a 2

(a ＋2d )4

.

令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4? ????－12＜t ＜1，t ≠0，

化简得t 3

＋2t 2

－2＝0(*)，且t 2

＝t ＋1. 将t 2

＝t ＋1代入(*)式，

t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，

则t ＝－14

.

显然t ＝－1

4不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．

因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 2

2，a 3

3，a 4

4依次构成等比数列． (3)解 不存在，理由如下：

假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n

1，a n ＋k

2，a n ＋2k

3，a n ＋3k

4

依次构成等比数列，

则a n

1(a 1＋2d )n ＋2k

＝(a 1＋d )

2(n ＋k )

，

且(a 1＋d )

n ＋k

(a 1＋3d )n ＋3k

＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．

分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）

1

及a 2（n ＋2k ）

1，

并令t ＝d a 1? ????t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k

＝(1＋t )

2(n ＋k )

，

且(1＋t )

n ＋k

(1＋3t )

n ＋3k

＝(1＋2t )2(n ＋2k )．

将上述两个等式两边取对数，

得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，

且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )． 化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]． 再将这两式相除，化简得

ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)． 令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－ 3ln(1＋2t )ln(1＋t )， 则g ′(t )＝

2[（1＋3t ）2

ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2

ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2

ln （1＋t ）]

（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.

令φ(t )＝(1＋3t )2

ln(1＋3t )－3(1＋2t )2

ln(1＋2t )＋ 3(1＋t )2

ln(1＋t )，

则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋ (1＋t )ln(1＋t )]．

令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12

（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.

由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，

知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在? ??

??－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立． 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n

1，a n ＋k

2，a n ＋2k

3

，a n ＋3k

4

依次构成等比数列．

经典模拟·演练卷

1．2 [设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＋a 15＝2a 8，∴2a 8＋3a 3＝10，

∴2(a 5＋3d )＋3(a 5－2d )＝10，∴5a 5＝10，∴a 5＝2.] 2．105 [设数列{a n }的公差为d ，依题设知d >0，则a 3>a 1， ∵a 1＋a 2＋a 3＝15，则3a 2＝15，a 2＝5，

从而?

????a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.解之得a 1＝2，a 3＝8.

所以公差d ＝

a 3－a 1

2

＝3.

故a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋90＝105.] 3．15 [设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，a n >0. 由于a 4a 6＝14，a 7＝18，

则a 3＝

a 4a 6a 7＝2，q 4

＝a 7a 3＝116，所以q ＝12. 于是a 1＝a 3q

2＝8.

故S 4＝a 1（1－q 4

）1－q ＝8? ???

?1－1161－1

2

＝15.]

4．4 [设等比数列{a n }的公比为q .由于a 3＝a 1q 2

＝2. ∴a 4a 6＝a 21q 8

＝(a 1q 2)2

·q 4

＝4q 4

＝16.则q 4

＝4，

故a 10－a 12a 6－a 8＝q 4（a 6－a 8）a 6－a 8

＝q 4＝4.] 5.634 [∵a 1＋a 2＝3

4

，a 4＋a 5＝6， q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，从而q ＝2，可求a 1＝14

.

故S 6＝14（1－26

）1－2＝63

4

.]

6．－2 015 [设数列{a n }的公差为d ，则S n

n

＝a 1＋n －1

2

d .

由

S 1212－

S 10

10＝2，得?

????a 1＋11d 2－? ????a 1＋9d 2＝2. 所以d ＝2，

因此S 2 015＝2 015a 1＋2 015×2 014

2

d ＝－2 015.]

7．29 [由等差数列的性质，a 9＝a 3＋6d .∴17＝5＋6d ，得d ＝2， 因此a m ＝a 3＋2(m －3)＝2m －1. 又数列{b n }的前n 项和S n ＝3n

， ∴b 1＝S 1＝3，b 4＝S 4－S 3＝34

－33

＝54.

由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，则m ＝29.] 8．45

[由a 1＝1，a 2＝3a 1，得a 2＝3， 又a n ＋1＝3S n ，知a n ＝3S n －1(n ≥2)，

∴a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)．

因此a n ＝?

????1 （n ＝1），

3·4n －2

（n ≥2）， 故S 6＝1＋3（1－45

）1－4＝45

.]

9．2

n －1

[根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，

由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1， 所以q >1且a 1＝

1

q －1

， ∴a 3＝a 1q 2

＝q 2

q －1＝（q －1）2

＋2（q －1）＋1

q －1

＝q －1＋

1

q －1

＋2≥2（q －1）·

1

q －1

＋2＝4， 当且仅当q ＝2时取得等号，

因此a n ＝a 1q n －1

＝q n －1q －1

＝2n －1

.]

10.32 [由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2

－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 2

1，即a 212

m ＋n －2

＝16a 2

1，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )·? ????1m ＋4n ＝16? ????4m n ＋n m ＋5≥

16

? ?

???24m n ·n m ＋5＝3

2

，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.]

11．解 (1)∵a 2

n ＝S 2n －1(n ∈N *

)，a n ≠0. 令n ＝1，得a 1＝1；令n ＝2，得a 2＝3， ∴等差数列{a n }的公差d ＝2.

从而a n ＝2n －1，b n ＝12? ????12n －1－12n ＋1，

于是T n ＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1

＝

n

2n ＋1

. (2)假设存在正整数m ，n (1

则? ????m 2m ＋12

＝13·n 2n ＋1

，可得3n ＝－2m 2

＋4m ＋1m 2>0， ∴－2m 2

＋4m ＋1>0，解得1－

62

2

， 由于m ∈N *，m >1，得m ＝2，此时n ＝12.

故存在正整数m ，n ，当且仅当m ＝2，n ＝12时，满足T 1，T m ，T n 成等比数列．

12．(1)解 ∵b n ＋1－b n ＝5－2n

，∴当n ≥3，b n ＋1－b n ＜0，故数列{b n }单调递减；当n ＝1，2时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3，则数列{b n }中的最大项是b 3＝7，所以M ≥7.

(2)证明 ∵{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝7

4

，设其公比为q

＞0，∴c 3q 2＋c 3q ＋c 3＝74.整理得6q 2

－q －1＝0，解得q ＝12，q ＝－13

(舍去)．∴c 1＝1，c n ＝

12

n －1

，S n ＝2－12n －1＜2，对任意的n ∈N *

，有S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2＜2－12

n ＝S n ＋1，且S n ＜2，故

{S n }是Ω数列．

(3)证明 假设存在正整数k 使得d k ＞d k ＋1成立，有数列{d n }的各项均为正整数，可得d k ≥d k

＋1

＋1，即d k ＋1≤d k －1.因为

d k ＋d k ＋2

2

≤d k ＋1，所以d k ＋2≤2d k ＋1－d k ≤2(d k －1)－d k ＝d k －2，由

d k ＋2≤2d k ＋1－d k 及d k ＞d k ＋1得d k ＋2＜2d k ＋1－d k ＋1＝d k ＋1，故d k ＋2≤d k ＋1－1.因为d k ＋1＋d k ＋3

2

≤d k ＋

2

，所以d k ＋3≤2d k ＋2－d k ＋1≤2(d k ＋1－1)－d k ＋1＝d k ＋1－2≤d k －3，由此类推，可得d k ＋m ≤d k －

m (m ∈N *)．又存在M ，使d k ≤M ，∴m ＞M ，使d k ＋m ＜0，这与数列{d n }的各项均为正数矛盾，

所以假设不成立，即对任意n ∈N *

，都有d k ≤d k ＋1成立． 13．(1)证明 设m ＝1，则有T n

T 1

＝T n －1·q

n －1

，因为T i ≠0(i ∈N *

)，所以有

T n T n －1

＝a 1·q n －1

，即a n ＝a 1·q n －1，所以当n ≥2时

a n

a n －1

＝q ，所以数列{a n }是等比数列． (2)解 当q ＝1时，a n ＝a 1(n ∈N *

)，所以T n ＝a n 1，所以T n ·T k ＝a n 1·a k 1＝a n ＋k 1＝a 2m 1＝T 2

m ，当q ≠1时，a n ＝a 1·q

n －1

，T n ＝a 1·a 2…a n ＝a n 1·q

1＋2＋…＋(n －1)

＝a n

1·q

n （n －1）

2

，

所以T n ·T k ＝a n

1·q n （n －1）

2

·a k

1·q k （k －1）

2

＝a n ＋k

1·q

n 2－n ＋k 2

－k

2

，T 2

m ＝a 2m

1·q

m (m －1)．

因为n ＋k ＝2m 且k

＜m ＜n ，所以a n ＋k

1＝a 2m 1

，

n 2＋k 2－n －k 2

＝n 2＋k 2

2－m ＞? ??

??n ＋k 22

－m ＝m 2－m ，所以若q ＞1，则

T m ·T k ＞T 2m ；若q ＜1，则T m ·T k ＜T 2

m .

(3)解 由(1)知，充分性成立；必要性：若数列{a n }成等比数列，则a n ＝a 1·q n －1

，所以当

q ≠1时，T n ＝a n

1·q

n （n －1）

2

，

则T n T m

＝

所以，“对?n ，m ∈N *

，当n ＞m 时总有T n T m

＝T n －m ·q

(n －m )m

成立；同理可证当q ＝1时也成

立．所以命题p 是命题t 的充要条件．

专题过关·提升卷

1．5 [设数列的首项为a 1，由等差数列与中位数定义，则a 1＋2 015＝2×1 010，∴a 1＝5.] 2．既不充分也不必要 [当a 1<0，q >1时，数列{a n }是递减数列．当{a n }为递增数列时，

a 1<0，00，q >1.因此，“q >1”是{a n }为递增数列的既不充分也不必要条件．]

3．16 [设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，因为a 5＝8，S 3＝6，

所以?

????a 1＋4d ＝8，3a 1＋3d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.

所以a 9＝a 1＋8d ＝8×2＝16.]

4．364 [因为a 1，a 3是方程x 2

－10x ＋9＝0的两个根，所以?

????a 1＋a 3＝10，a 1·a 3＝9，又{a n }是递增数

列，

所以a 1＝1，a 3＝9，所以q ＝3，S 6＝1－3

6

1－3＝364.]

5．50 [∵a 10a 11＋a 9a 12＝2a 1a 20＝2e 5

， ∴a 1·a 20＝e 5

，

则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝ln(a 1·a 20)10

＝ln e 50

＝50.] 6．5 [由等比数列的性质，a m ＋1·a m －1＝a 2

m ， ∴a 2

m ＝2a m (a m ≠0)，从而a m ＝2， 因此T 2m －1＝a 1·a 2·a 3·…·a 2m －1＝a 2m －1

m ＝2

2m －1

，

所以log 2T 2m －1＝log 22

2m －1

＝2m －1＝9，则m ＝5.]

7．5 [由S 4＝5S 2，得a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)， ∴q 2

(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，由于a 1＋a 2≠0，则q ＝2. 又a 2＝2a 1＝2.知a 1＝1.

∴S k ＝1·（1－2k

）1－2

＝31，解得k ＝5.]

8.2931 [a 5b 5＝9a 59b 5＝9（a 1＋a 9）

29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝3×9＋24×9－5＝29

31

.] 9．－3 [由S n ＝3

n ＋1

＋a ，则S n －1＝3n

＋a .

∴a n ＝S n －S n －1＝2·3n

(n ≥2，n ∈N *

)． ∵a 1＝S 1＝9＋a ， 又数列{a n }为等比数列，

因此a 1应满足a n ＝2·3n

，即a 1＝6. 所以9＋a ＝6，∴a ＝－3.]

10．285 [由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n

，知，

当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.

所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 29为常数列；a 2，a 4，a 6，…，a 30是公差为2的等差数列．又a 1＝3，a 2＝2， 因此S 30＝15×3＋

a 2＋a 30

2×15＝45＋2＋30

2

×15＝285.]

11．11 [由程序框图，及a n ＝2n

－n .

∴S n ＝(21

－1)＋(22

－2)＋(23

－3)＋…＋(2n

－n ) ＝(2＋22

＋23＋ (2)

)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(2n

－1)－

n （n ＋1）

2

，

由S n >2 015，得2

n ＋1

－

n （n ＋1）

2

>2 017，

由n ∈N *

，知n ≥11.∴输出n 的值为11.] 12．a n ＝n ＋2

3n [由a n ＝13a n －1＋? ??

??13n ，

得3n

a n ＝3

n －1

a n －1＋1(n ≥2)．

∴数列{3n

a n }是以3为首项，公差为1的等差数列． 因此3n

a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋2

3

.]

13．8或9 [设等差数列{a n }的公差为d . 由S 10＝S 7，得a 8＋a 9＋a 10＝0，知a 9＝0， 又2a 6＝a 2＋a 10＝a 2＋1，得a 10＝1，

∴公差d ＝a 10－a 9＝1>0，数列{a n }单调递增．所以，当n ≤8时，a n <0，当n ≥10时，a n >0， 因此{a n }的前8项或前9项和最小．]

14．4 026 [因为??

?

?

??1a n ＋a n ＋1是等差数列，则1a 1＋a 2＋1a 3＋a 4＝2

a 2＋a 3，

又{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列， ∴

11＋q ＋1q 2＋q 3

＝2·1

q ＋q 2

?q ＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为1的常数列，则a n ＝1.

故? ????1a 2＋1a 3＋? ??

??1a 3＋1a 4＋…＋? ??

??1a 2 014＋1a 2 015＝4 026.] 15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由S 7＝7a 4＝77，得a 4＝11， ∴a 1＋3d ＝11，①

因为a 1，a 3，a 11成等比数列，

所以a 2

3＝a 1a 11，整理得2d 2

＝3a 1d ，又因d ≠0. 所以2d ＝3a 1②

联立①，②解得a 1＝2，d ＝3. 所以{a n }的通项公式a n ＝3n －1. (2)因为b n ＝2a n ， 所以b n ＝2

3n －1

＝12

·8n

， 所以数列{b n }是以4为首项，8为公比的等比数列， 由等比数列前n 项和公式得， T n ＝4（1－8n ）1－8＝23n ＋2

－47

.

16．解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵20S 1，S 3，7S 2成等差数列，∴2S 3＝20S 1＋7S 2. 则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2

)＝20a 1＋7(a 1＋a 1q )． 化简得2q 2

－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－52.

由q >0.舍去q ＝－5

2

.

所以数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1

＝5n

.

(2)由(1)知，a 2n ＋2＝5

2n ＋2

，则log 5a 2n ＋2＝2n ＋2.

因此b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2 ＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)． ∴1b n

＝

1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1

n ＋2

，

∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n

＝? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ??

??1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）

. 17．解 (1)对于任意n ∈N *

，S n ＋b n ＝

n ＋13

2

①

S n ＋1＋b n ＋1＝

（n ＋1）＋13

2

②

②－①得b n ＋1＝12b n ＋1

4，

所以b n ＋1－12＝12?

?

???b n －12

又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝7

2

.

所以数列?

?????b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为1

2的等比数列，

∴b n －12＝3×? ????12n －1，即b n ＝3×? ??

??12n －1＋12.

(2)因为b n ＝3×? ??

?

?12n －1＋1

2

， 所以S n ＝3? ????1＋12＋122＋…＋12n －1＋n 2＝3? ???

?1－12n 1－12

＋n 2＝6? ????1－12n ＋n

2

.

因为不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *

恒成立，

设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2（n ＋1）－72n ＋1

－2n －72n ＝9－2n

2n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，{c n }为单调递减数列， 当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，{c n }为单调递增数列， 116＝c 4

恒成立，k ≥332.

18．解 (1)由b n ＝1－2S n ，令n ＝1， 则b 1＝1－2S 1＝1－2b 1，∴b 1＝1

3

.

又当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1，

∴b n －b n －1＝(1－2S n )－(1－2S n －1)＝－2b n . 因此3b n ＝b n －1(n ≥2，n ∈N *

)，

∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比为q ＝1

3的等比数列．

所以b n ＝b 1q

n －1

＝1

3

n . 令y ＝sin πx ＝0，x ∈(0，＋∞)，得πx ＝n π(n ∈N *

)，

∴x ＝n (n ∈N *

)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列．于是数列{a n }的通项公式a n ＝n . (2)由(1)知，c n ＝a n ·b n ＝n

3n ，

则T n ＝13＋232＋333＋…＋n 3n ①

所以13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3

n ＋1②

由①－②，得23T n ＝13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12? ????1－13－n 3n ＋1，于是T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n <34，

要使a 2

－2a >4T n 恒成立，

则a 2

－2a ≥3.解之得a ≥3或a ≤－1，

所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

19．(1)证明 由题设知a n ＋1＝

a n ＋

b n

a 2n ＋

b 2

n

＝1＋

b n

a n

1＋? ??

??

b n a

n 2＝

b n ＋1

1＋? ??

??

b n a

n 2

，所以b n ＋1

a n ＋1＝

1＋? ????b n a n 2，从而? ????b n ＋1a n ＋12

－? ????b n a n 2

＝1(n ∈N *)，所以数列?

?????????? ????b n a n 2是以1为公差的等差数列．

(2)解 因为a n ＞0，b n ＞0，所以（a n ＋b n ）2

2≤a 2n ＋b 2n ＜(a n ＋b n )2

，从而1＜a n ＋1＝a n ＋b n a 2n ＋b 2n ≤

2.(*)

设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0知q ＞0.下证q ＝1. 若q ＞1，则a 1＝a 2

q

＜a 2≤2，故当n ＞log q

2

a 1

时，a n ＋1＝a 1q n

＞2，与(*)矛盾；

若0＜q ＜1，则a 1＝a 2q

＞a 2＞1，故当n ＞log q 1a 1

时，a n ＋1＝a 1q n

＜1，与(*)矛盾．

高中数学专题强化训练含解析 (7)

一、选择题 1．函数f (x )＝1 2x 2－ln x 的最小值为( ) A 。1 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：选A 。因为f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1 x ,且x >0。 令f ′(x )>0,得x >1；令f ′(x )<0,得0

江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题

徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合A B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ▲ ． 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ． 6．若函数4()2x x a f x x -=?为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 7．不等式2 2 21x x --<的解集为 ▲ ． 8．若双曲线22 2142 x y a a - =-的离心率为3，则实数a 的值为 ▲ ． 9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ▲ ． 10．函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f ++ + 的值为 ▲ ． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 S ←0 For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S （第4题）

上海高三数学专题复习训练：矩阵

矩阵 一、单选题 1．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111:0L a x b y c ++=，22220L a x b y c ++=：，那么 “ 11 22 0a b a b =”是“两直线1L 、2L 平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．若矩阵12a b -?? ? ??是线性方程组321 x y x y -=??-=?的系数矩阵，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=- 3．已知实数0,a >0b >，且2ab =，则行列式 11 a b -的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是 C ．最大值是2 D ．最大值是4．已知向量,OA AB u u u r u u u r ，O 是坐标原点，若AB k OA =u u u r u u u r ，且AB u u u r 方向是沿OA u u u r 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA u u u r 经过一次(,)k θ变换得到AB u u u r ，现有向量(1,1)OA =u u u r 经过一次()11,k θ变换后得 到1AA u u u r ，1AA u u u r 经过一次()22,k θ变换后得到12A A u u u u r ，…，如此下去，21n n A A --u u u u u u u u r 经过一次(),n n k θ变换后得到1n n A A -u u u u u u r ，设1(,)n n A A x y -=u u u u u u r ，11 2 n n θ-=，1 cos n n k θ= ，则y x -等于（ ） A ．121 12sin 22111 sin1sin sin sin 222n n --????-?? ???????L B ．121 12sin 22111 cos1cos cos cos 222n n --????-?? ???????L C ．121 12cos 22111 sin1sin sin sin 222 n n --????-?? ???????L D ．121 12cos 22111 cos1cos cos cos 222 n n --????-?? ???????L 二、填空题 5．线性方程组25 38 x y x y -=?? +=?的增广矩阵为_________．

江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案

江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案 江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案 江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案 一.知识梳理 1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b) 二.课堂练习 1.已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为 A.0B.1C.2D.3 2.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是 A.B.C.D. 3.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 A.B.C.D. 4.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足：，则的取值范围是 A.B.C.D. 5.函数的零点个数为． 6.若方程有两个不同的实数解，则b的取值范围是_____． 7.设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是______．

8.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是． 9.已知函数，且曲线在处的切线经过点． 求实数的值； 若函数，试判断函数的零点个数并证明． 10.已知函数． 求函数在上的零点之和； 证明：在上只有1个极值点． 三.例题选讲 [例1]已知函数是自然对数的底数 求的单调递减区间； 若函数，证明在上只有两个零点．参考数据： [参考]解：，定义域为R． 由得， 解得Z 的单调递减区间为Z 证明：， 令 ， 当时，当时，． 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， ，， 使得，， 且当或时，

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案

江苏省2020届高三第三次调研测试 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =， ，则U A = ▲ ． 2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ． 5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ?-=?---的解集为 ▲ ． 7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b -=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4 ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在 的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在() 2 ππ，上交点的横坐标为α， 则sin 2α的值为 ▲ ． 11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ． 12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则 离墙 ▲ m 时，视角θ最大． 13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1 g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()() f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ． （第3 题） F （第11题） A （第12题）

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题：导数及其应用

江苏省2015年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a x b ax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ． 2、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。 3、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ 4、（南京市2014届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对 任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2 a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ 6、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ 7、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11 -x e 的解是 ． 8、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且 ()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ . 9、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）函数12ln y x x =+的单调减区间为__________ 10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在1x =处的切线方程为 ▲ . 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．

数学高考复习基本初等函数专题强化练习(附答案)

数学2019届高考复习基本初等函数专题强化练 习（附答案） 初等函数包括代数函数和超越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。 1.(文)(2019江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=() A. -1 B.-2 C.1 D.2 [答案] A [解析] f(-1)=2-(-1)=2， f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=. (理)(2019新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函数. 由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C. 2.(2019哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是() A. B.

C. D. [答案] B [解析] 设f(x)=x，则-=(-2)，=-3， f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=. 3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 [答案] C [解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数， y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C. [点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取 值范围;依据单调性比较数的大小等. (理)已知实数a、b，则2a2b是log2alog2b的()

江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题

南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸． 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________． 2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________． 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________． 6．若实数x ，y 满足?????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则y x 的取值范围为▲________． 7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）． S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S (第3题图) (第4题图)

2015年上海市高考数学试卷解析

2015年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则 Α∩?UΒ=． 2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣ c2=． 4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=． 5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程 为． 10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编19：函数的极值与导数

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编19：函数的极值与导数 一、填空题 1 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数()2(1)ln f x f x x '=-,则()f x 的极大 值为________. 【答案】2ln 22- 2 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x =,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______. 【答案】21(,] e e -∞+ 3 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）对于三次函数 32()f x ax bx cx d =+++,定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数.若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数32()26322013sin(1)g x x x x x =-+++-, 则 (2011)(2010)(2012)g g g -+-+++…(2013)g 的值为_______________. 【答案】4025 二、解答题 4 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知函数 ()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减,在区间 []2,1上单调递增. (1)求实数a 的值; (2)若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解,求实数m 的取值范围; (3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,求实数p 的取值范围. 【答案】解:(1)由 ()2 101'=?=a f 经检验符合 ;(不写检验扣1分) (2)()()()()211'-+--=x x x x f 易知函数在()()()()↓+∞↑↓-↑-∞-,22,11,1,1, 所以,函数有极大值()()382,1251-=-=-f f ,有极小值()12 371-=f , 结合图像可知:?? ? ??--∈38,1237m ; (3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,则必须有 ()()???=+>+无解有解10p x f p x f ,即()[]()???+=>+的值域内 不在p x f y p x f 10max

2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案

专题强化训练(十九) 解析几何 1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1 3 ，左、右焦点分别 为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝4 3 (O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N . 解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2， 所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝8 3， 又e ＝c a ＝13 ，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2 ＝8， 故所求椭圆C 的方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3. 由? ?? ?? x ＝－3，y ＝kx ＋m 得? ?? ?? x ＝－3，y ＝－3k ＋m ，由? ?? ?? x ＝3， y ＝kx ＋m ， 得? ?? ?? x ＝3，y ＝3k ＋m ，所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N → ＝(4,3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2 . 联立????? x 29＋y 2 8 ＝1，y ＝kx ＋m 得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2 －72＝0. 因为直线l 与椭圆C 相切， 所以Δ＝(18km )2 －4(9k 2 ＋8)(9m 2 －72)＝0， 化简得m 2 ＝9k 2 ＋8.

2020届江苏常州高三模拟考试试卷 数学 含答案

2020届高三模拟考试试卷(五) 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2020．1 参考公式： 锥体的体积公式V ＝1 3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝ 1 n (x i －x －)2，其中x －＝ 1n x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． (第3题) 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________． 2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________． 4. 函数y ＝2x －1的定义域是________． 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________． 7. 已知函数f(x)＝???1 x －1，x ≤0， －x 23 ，x ＞0， 则f(f(8))＝________． 8. 函数y ＝3sin(2x ＋π 3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________． 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________．

10. 已知cos （π 2 －α） cos α ＝2，则tan 2α＝________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________． 12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________． 14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD → － AB → |恒成立，则cos ∠ABC ＝________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33 . (1) 若A ＝π 3 ，求sin C 的值； (2) 若b ＝2，求c 的值． 16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证： (1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.

上海市2016届高考数学一轮复习专题突破训练平面向量理

上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练 平面向量 一、填空、选择题 1、（2015年上海高考）在锐角三角形 A BC 中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于 E ，DF⊥AC 于F ，则 ? = ﹣ ． 2、（2014年上海高考）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， (1,2,,8)i P i =L 是上底面上其余的八个点，则(1 , 2, , 8)i AB AP i ?=u u u r u u u r K 的不同值的个数为 （ ） P 2 P 5 P 6P 7 P 8 P 4 P 3 P 1 B A (A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 8. 3、（2013年上海高考）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量 分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若,m M 分别 为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M << 4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） F E D （A ）0AE FC ?=u u u r u u u r （B ）0AE DF ?>u u u r u u u r

高三数学模拟题强化训练

高三数学模拟题强化训练（一） 1．〖2019·云川贵百校联考〗某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量/度 120 140 160 180 200 户数 2 3 5 8 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( ) A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 2．〖2019·武昌调研〗某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图所示，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为( ) A ． 1169 B ．367 C ．6 D ．30 3．〖2019·浙江温州八校联考〗如图所示的是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为( ) A ．12.5 B ．13 C ．13.5 D ．14 4．〖2019·河北邢台摸底〗样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A ．105 B ．305 C ． 2 D ．2 5．〖2019·河北承德实验中学期中〗已知甲、乙两组数据如图中茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则m n ＝( ) A ．38 B ．13 C ．29 D ．1 6．〖2019·河北石家庄模拟〗已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( ) A ．甲命中个数的极差是29 B ．乙命中个数的众数是21 C ．甲的命中率比乙高 D ．甲命中个数的中位数是25 7．〖2019·南昌调研〗从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图．

2019年江苏高三数学模拟试题含答案

2019年高三数学模拟试题 1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B = ． 【答案】{0,7} 2. 已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ?= ． 【答案】 3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】8 4. 阅读下列程序，输出的结果为 ． 【答案】22 5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号 盒子中各有1个球的概率为 ． 【答案】2 9 6．已知实数x ，y 满足1 32 y x x x y ≤-?? ≤??+≥? ，则y x 的取值范围是 ． 【答案】]3 2,31[- 7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =， 3AD =， 点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为 ． 【答案】4 8.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________ 14 B

答案： 3 2 9.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =， cos cos A b C c B -=，则 122 b c -的最大值是 答案：10.已知圆C 的方程为22 (1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交 圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或7 11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是 11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平 面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为3 2 =-ABC N V 。其中是真命题的个数是 答案：1 12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '。当0x ≥时，不等式 ()()1 xf x f x '+>。若对x ?∈R ，不等式 ()()--x x x e f e axf ax e ax >恒成立，则正整数a 的最大值是 答案：0a e << 【解析】因为()()1xf x f x '+>，即()()10xf x f x '+->， 令()()1F x x f x =-????，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又因为()f x 是在R 上的偶函数，所以()F x 是在R 上的奇函数， 所以()F x 是在R 上的单调递增函数， 又因为()()--x x x e f e axf ax e ax >，可化为()()11x x e f e ax f ax ??->-?????? ， 即()()x F e F ax >，又因为()F x 是在R 上的单调递增函数， 所以-0x e ax >恒成立，令()-x g x e ax =，则()-x g x e a '=， 所以()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）

江苏省高考高三数学一轮复习专题专题4_不等式

专题四不等式 江苏省苏州实验中学徐贻林 【课标要求】 1课程目标 (1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系. For pers onal use only in study and research; not for commercial use (2) —元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法. (3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题： 能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决(一般的最优整数解问题不作要求). a F (a> 0, b> 0):掌握基本不等式Ta b < a (a> 0, (4) 基本不等式Tab < 2 2 b > 0)；能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题) ；能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题) . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 2.复习要求 (1)不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨. (2)求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解.复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程. For pers onal use only in study and research; not for commercial use (3)不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具. 刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一 次不等式组. (4)线性规划是优化模型之一?教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词.简单的线性规划问题指约束条件不超过四个(x> 0也看作一个约束条件)的线性目标函数的最大(小)值问题?实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求.