固体理论讲义二-声子
1． 晶格动力学
本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动
-晶格振动
晶体的元胞数为N ，原子质量为M ，原子的位置： )()(t u R t X l l l +=
)(t u l 则代表此原子的位移。
晶格振动的总动能 z y x u u M T l
l l ,,2
1
,==
?
?
∑αα
α
α
总势能为 ...)',(2
1
)(',',0+Φ+
Φ+
Φ=Φ∑∑∑
β
α
α
β
αβα
α
αl l l l l l u u l l u l
),'()',(0)(0
'20
0l l u u l l u l l l l βαβ
ααβ
α
αΦ=????
?
???Φ
?=Φ=????
???Φ
?=ΦΦ的势能。
为常数，是平衡位置时
由于晶体的平移对称性 )'()'()',(l l l l l l -Φ=-Φ=Φβααβαβ
)'(l l -Φαβ代表
l ’元胞中原子沿β方向移动单位距离时对l 元胞中原子作用力
沿α方向的分量，称为力常数 ∑=-Φ'
0)'(l l l αβ
因为当整体作刚性运动（即每个原子均作ααv u l =）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即
)'()'()('''
=?
??
???-Φ-=-Φ-=?Φ?-
=∑∑∑ββαββ
β
αβα
αv l l u l l u
l F l l l
------------------------- 略去Φ展开的三次方
∑∑
∑
?
=-Φ+
=
?Φ+=α
α
αβ
β
ααβα
α
α,,''
,)'(2
121l l
l l l l l l l u M p u u l l p p M
T H
由正则方程
可得系统的运动方程 ββ
αβα',')'(l l l u l l u M -Φ-=∑??
利用平移对称性及布洛赫定理 α
α0u e u l
R ik l ?=
对于确定的k ，运动方程的解表现出下列特征： （1） 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。 （2） 有特定的相位关系，按l
ik R e
?变化
---------
令α
α
k U u =0对应于用波矢k 标记的特解 z y x U k D U k k ,,,)(=-=∑??
βαβ
β
αβα
∑?-Φ≡
l
R ik l
e
l M
k D )(1)(αβαβ-------3?3动力学矩阵，为实的厄米矩阵。
其对角化方程为 αββ
αβωk k e e k D 2)(=∑
ω为振动频率，由久期方程 0||)(||det 2=-αβαβδωk D 可求出3个本征频率和本征向量 ），，（321;)(==σωωσ
σk e k
σ
k e 满足正交性和完备性条件 t
i k k e e U ωαα-~
结合以上方程可知： ]
[1~
t R k i k l l e
e N
u ωα
α
-?
代表波矢为k 、偏振为σ、频率为)(k σω的格波解。
根据正格矢与倒格矢之间的关系可得 )()(k D K k D n αβαβ=+ 动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ 内讨论即可。 ------------------
由于有N 个不同的k ，而每个k 又对应3个本征值，因此有3N 个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N 维空间函数组。
晶格振动的一般解： l
R ik k k k l
e
Q e NM
u ?∑
=σα
σσ
α
,1
系数σk Q （包括t
k i e )(σ
ω
-因子）在固体物理学中称为简正坐标；
σ
k e 代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。
-------------
对于具有r 个原子的复式晶格，本征频率 )
3,..,2,1()
(r k ==σωωσ
l
R ik k k k s
l e
Q s e NM
s u ?∑
=
σσσ
)(1)(,
以上是晶格动力学的基本原理。
2.格波的特性
1. )(k σω的共性
i ）格波的本征频率是倒点阵的周期函数 )()(n K k k +=σσωω ii ）)(k σω具有点阵所属点群的全部对称性 )()(k k αωωσσ=
iii ）存在一个普遍的关系式 )()(k k -=σσωω 它是时间反演对称性的结果。 2.声学模与光学模
声学模：色散曲线具有k=0时，ωσ=0特征的格波称为声学模。 光学模：反之，当k=0时0≠σω的格波解称为光学模。 可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模 因为：
∑
?-Φ≡
l
R ik l
e
l M
k D )(1)(αβαβ
0)(1)0(=Φ≡
=∑l
l M
k D αβαβ
在复式晶格中，同时存在声学模和光学模
对于元胞中有r 个原子的复式晶格有本征方程 )()'(',',2s e s e s s k D k s k αββαβω∑=?
??
?
?? 其中s,s ’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。 格波频率由下式决定： 0||',||det '2
=-???
? ??ss s s k D δδωαβαβ
l
R ik l
s s e
s s l M
M s s k D ?-???
? ??Φ=
???
?
??∑
',1','
αβαβ 0
'2
)'()(','???? ????Φ
?≡???? ??-Φs u s u s s l l l l βααβ
同样，复式晶格的刚性位移不产生应力
∑=???
? ??-Φ'
,'0','s l s s l l αβ
将αβD 0时的=k 代入本征方程可得
)
3,...,2,1()'(','1
)()(''
,',2
r M s e s s l l M M s e s s l s
s =???
???
?????? ??-Φ=
???
?????ΓΓΓ∑σωβ
σβαβ
ασσ
如果某确定的σ的解在长波限满足条件
r s s M s e M s e s s
,...,1',)'()('
==
ΓΓα
σα
σ----------同向运动
则本征方程变为
声学模,0)(0',')(1
)()(2
','2
=Γ=???
?
??-Φ????
???
?=
???????
?Γ∑∑
ΓΓσαββ
βσασσωωs s l l M s e M M s e s l s s
s
由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动 每个k 值有3个独立的σ解属于声学模。
在一般情况下0)(≠Γσω，即其它（3r-3）个σ解属于格波的光学模 如果（s=1，2），当'σσ≠时Γ点的实极化矢量满足正交关系：
()0)2()2()1()1()2()1()2()
1(''''=+=?
??
?
??ΓΓΓΓΓΓΓΓσσσσσσσ
σ
e e e e e e e e
设σ为声学模，由于对声学模有
2
1
)2()1(M e M e σσΓΓ=
代入上式可得
[
]
0)2()1()1('2'11
=+
?
ΓΓΓσσσe M e M M e
由于3个声学模解的极化向量)3,2,1()
(=Γσσs e 彼此正交。
因此，光学模满足条件
)2()1()2()1(21'2'1=+-=ΓΓl l u M u M e M e M σσ
因此，光学模代表元胞的质心不动，元胞内原子的相对运动。 3. 格波频率的计算
（i ）∑线（包含Γ、M 点）
横向声学模：极化矢量e 与传播方向垂直； 纵向声学模：极化矢量e 与传播方向平行；
（ii ）?线（包含Γ、X 点） 存在横向声学模和纵向声学模 （iii ）Z 线（包含X 、M 点） 既非横波，也非纵波。
3. 简正坐标
在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加表示
l
R ik k k k l e
e Q NM
u ?∑
=
σσσ
,1
其中σk Q 是复简正坐标，由于l u 为实量，则l l u u =*；那么σσσσk k k k Q e Q e --=* 若约定极化矢量满足关系式 σσk k e e -= 则复简正坐标 σσk k Q Q -=* 对于动能
?
?
?
?
-?
??
?∑∑∑∑∑∑=
?=
?=?=σ
σ
σ
σσσσ
σσσσσσσσδk k k k k k k k k
k k k k k k k l
l
l Q Q e e Q Q e e Q Q
u u M
T ,*','
*'
,'''',','
'2
1
)
(2
1)(212
1
晶格振动的势能
A
e
N
Q Q u l l u l
R k k i k k k k
l l l l
l
∑∑∑∑∑?-=-Φ=?Φ)'('
'','
,*',,'
1
2
1
)'(2
1
σσσσβ
αβ
αβα
其中
)
'()()'()'(12
''''
''')
(''k e e e
k D e e e
l l M
e A k k k k
k l
R R ik k l l σα
σα
α
σββ
σαβα
α
σβ
βσαβαα
σ
ω∑∑∑∑
∑
∑
==
?
?????-Φ=-?-
那么 σσ
σ
σωk k k Q Q k ∑=
?Φ,*
2
)(2
1
晶格振动的哈密顿可简化为 ∑
?
?????+=
?
?σ
σσσσσω,*2*)(2
1k k k k k Q Q k Q Q H H 在简正坐标中表示为3N 个独立项之和； 利用拉氏函数?Φ-=T L
可求出Q k σ的共轭动量 ??
=??=
*σ
σ
σk k k Q
Q L
P ∑
?
?????+=
σ
σσσσσω,*2*)(2
1k k k k k Q Q k P P H 根据正则方程 σ
σk k Q H P ??-
=?
可求出简正坐标满足方程 02=+??
σσσωk k k Q Q 与简谐振子的运动方程在形式上相同。 利用傅里叶变换
∑∑?-?-?=
?=α
α
α
σ
σ
σ,)(1)(l R ik l k l
R ik l k
k l
l
e
u e
NM
e
u e N
M Q
∑∑
?-?-?=
?=α
α
ασ
σσ,)(1)(1l R ik l k l
R ik l k k l
l
e
p e
NM
e p e NM
P
显然简正坐标σk Q 和其共轭动量σk P 均为集体坐标。
4.声子
晶格振动必须用量子力学处理
其量子化条件为共轭量βαl l u p ,满足对易关系
)
,,,(0
],[],[],['''
'''z y x p p u u i
p u u p u p l l l l ll l l l l l l ====-≡βαδδβ
α
β
α
αβα
ββαβα
（一次量子化）
那么容易求得简正坐标的对易律：
i
e
N
e e i e u p e e N
Q P l
l l l R k k i l
k k R k R k i l l k l l k k k ===?-?-?∑
∑
∑∑
)'('''('''',,''1)
(],)[(1],['α
σα
α
σβ
αβσβ
αασσσ）
0],[],[''''==σσσσk k k k P P Q Q
由于（P ，Q ）为复共轭量，因此，H 哈米顿中
))((2
1*
2*σσσσσωk k k k Q Q k P P +并不对应量子力学中频率为)(k σω的简谐振子哈密顿量
)(2
12
2
2
q p ω+，因为（p ，q ）为实量。
晶格振动的哈密顿可进一步写成： ∑
?
?????+=
--σ
σσσσσω,2
)(2
1k k k k k Q Q k P P H 为了消除H 中k 和-k 的交叉项，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符
)
)
((2)()
)((2)(k i P Q k a k i P Q k a k k k k k k σσ
σσσσσσσσωωωω+
=
-=-+
-
（二次量子化）
经计算可得哈密顿 ∑∑=??
?
?
?+
=
+σ
σ
σ
σσ
σω,,)(21k k k k
k
H
k a a H
对易关系为
],[],[],['
'''''''===+++
σσ
σσσσσσδδk k k k kk k k a
a
a a a a
（玻色对易关系）
其时间依赖关系可利用海森堡运动方程
t
k iw k k k k k e
a a a k i a H i a )()0()(],[σσσ
σσσω-?
=-==
位移矢量可表示为
{
}
{
}
∑
∑
+?
??
? ??=
+?
??
? ??=
-??-+
?σ
ωσσσσ
σσσσσωω,]
)([(2
/1,2
/1.
.)0()(2)(2k t k R k k k k R ik k R ik k k l c h e
a e k NM e
a e
a e k NM u l l
l
h.c.代表厄米共轭项，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表频率)(k σω、偏振σk e 沿k 方向传播的格波，它所对应的哈密顿量是σk H 。
定态薛定谔方程
)
(21k a a H H k k k k k k k σσσσ
σ
σσσω?ε? ??? ?
?+≡=+
其中 进一步可得 σ
σσσσσσσσ?ε?ωε?ωk k k k k k k k a a k '
)](2
1[)(≡-=+
暂时略去（k ，σ） ?ε?ω'=+a a 下面讨论上面算符方程的基态和激发态 （i ）基态
设基态为0?，有能量'o ε，采用狄拉克（Dirac ）算符
>>=+
0|0|'
0εωa a
将算符a 作用上式两边 >>=+>=++0|0|)1(0|'0a a a a a aa εωω
得到另一个态>0|a 满足 )0|)(()0|('0>-=>+a a a a ωεω
当0>ω时它比|0>具有更低的能量，显然与原假设矛盾，所以基态必须满足条件
00|>=a 上式即二次量子化表象中的基态定义
由于00|>=+a a ，于是基态能为
ω
εε 2
10
0'
0=
=
它相当于振子的零点能。 （ii ）激发态
)0|()0|(>=>+
+
+
a a a a ωω
>+
0|a 称为激发一个格波量子ω 的状态，称为第一激发态。
{
}{
}>
=>+++
0|)(0|)(n
n
a n a a a ωω
>+
0|)
(n
a
代表激发n 个格波量子的状态，叫做第n 激发态，用>n |表示
>>=+
0|)(|n
n a c n 其中
c n 由归一化条件决定。
,....)
3,2,1(||''
==>
>=+
n n n n a a n
n ω
εεω
格波能量总是以ω 一份份地激发，这个量子称为声子
激发了n 个声子的ω格波能量为 与谐振子的能量一致。
（iii ）递推关系
>
->=
>++>=+
1||1|1|n n n a n n n a
+a 是声子的产生算符，a 是声子的消灭算符；
a a n +
=^
有特性 >>=>=+n n n a a n n |||^
其本征值为n ，代表声子数，因此，^
n 称为声子数算符。 另外 >>=
+0|)(!
1|n
a n n
恢复脚标（k ，σ），那么 ∑
+
=
+
σ
σσσω,)()2
1(k k k k a a H
代表3N 种不同的（k ，σ）的无互作用声子系统，而能量为∑
+
=σ
σσω,)2
1)((k k n k E
------------
子系统---------------
T=0K 时，声子数为0，称为声子真空。
声子并不是真实的粒子，不能脱离固体，可以产生和消灭，有相互作用时声子数不守恒。
5．长波方法（一）——声学模
* 在多数问题中，长波长的声子起重要作用，为此，有必要讨论晶格动力学理论的长波极限（k →0）情况。
* 由于声频支代表同一元胞中诸原子（基元）的质心运动，因此，复式晶格中的声学模也可当简单晶格处理。
* 对长波长的晶格振动，晶体结构的原子性对问题影响不大，可用连续介质近似 引入一个在空间缓变的位移场)(r u ：代表r 点附近小体元的位移；当l R r =（简
记)l r =时，u 就是l 元胞中质心的运动
l
r l l l l l
r l l r r u R R r u u r u u ==??-+
==∑
|)()()(|)(''μ
α
μ
μ
α
αα
α
定义密度：Ω
=
M ρ
求和与积分的变换：?∑=Ω(...)...τd l
过渡到连续介质近似
对于晶格振动的动能：
代表动能密度。
其中2
22
2
|)(|2
1)()
(|)(|21|
)(|2
1|
|2
1r u r F r F d r u d l r u u M T l
l l
l ?
??
?
==
?
?
?
???==Ω==
??∑
∑ρτρτρ
对于势能项
??∑∑
∑∑∑=
????=
???
??Ω=
--Φ--=?Φ==)
(2
1|)(|)
(2
1)
()'()(4
1
;;','
,'
r d r u
r u
C d r r u r r u C u u l l u u l
r l r l
l l l l l l τφτν
β
μα
μν
αβμν
αβ
ν
β
μα
μν
αβμν
αβ
β
ββααβαα
其中：
νμαβμναβ)())('(21''
'
;l l l l l R R R R
l l C ---ΦΩ
-
≡∑--弹性系数
ν
β
μα
μν
αβμν
αβφr u
r u
C r ????=
∑
;2
1)(--- 形变能密度
考虑求解弹性问题，首先应考虑对称性
最简单而又最常用的模型是把晶体看作弹性各向同性体，这时弹性能与取向无关。
由于位移场)(r u 只可能有u u u ?????及,三种一阶导数；
因此能保持上述旋转不变性的二次函数只可能是: 222||||,)(u u u ?????及
而u ??代表晶体旋转，而不是应变，这一项不会出现在弹性能中。 弹性各向同性体的形变能密度应具有下列简单形式
∑
∑
????+
????=?+??=μ
αμ
α
μα
β
αβ
β
αα
φ,,2
2
2
12
1|
|21)(2
1)(r u
r u
B r u
r u
A u
B u A r
A ，
B 与弹性系数的关系 μναββναμμναβδδδδB A
C +=, 长波仅是得动力学矩阵
∑∑∑∑
∑=Φ=?
?
????+?-?-Φ=Φ≡?-ν
μν
μμν
αβ
ν
μνμαβμν
αβαβαβρ
,;2
1
)(21...)(211)(1)(1)(k k C k k l l l M R k R ik l M e
l M
k D l l
l l l
R ik l
求得长波情况下的本征方程 β
β
ν
μνμμν
αβ
α
ρωk
k e k k C e ∑∑=
,;2
对于弹性各向同性体
α
ββ
βααρωk k k e Bk e k k A e 2
2
+=∑
其矢量形式为 k k k e Bk k e k A e →
→→→→+?=2
2
)(ρω
可以看出，它有一个纵波（k e k →→//），两个横波（k e k →
→⊥）解
ρ
ωρω/,
/)(,B c k c B A c k c T T T L L L =
=+==
由于求本征方程时，已假定晶格波)](exp[t r k i ω-?的形式解
作下列对应： α
αμ
μωu e r ik t
i k →??→
??→
-;
;
由此可得弹性波方程（从本征方程） ν
μβ
β
ν
μμν
αβ
α
ρr r u
C u ???=
∑∑??
2,;
当各向同性时 ),,,(2
22z y x r u B r r u
A u =??+???=∑
∑
??
βαρβ
α
β
β
αβ
β
α
经变化可求得矢量表示式 )()(2
222u c c u c u T L T ???-+?=??
这就是人们熟知的弹性波方程。 ----------- 引入简正坐标
∑
∑?-?=
=
σ
σσσ
σσρρ,,)(1
)(k r
ik k k k r
ik k
k
e
P e V
r p e
Q e V r u
可得： ∑
?
?????+=
--σ
σσσσσω,2
)(2
1k k k k k Q Q k P P H 引入产生消灭算符
∑
+
=
+
σ
σσσω,)()2
1(k k k k a a H --有一个纵波和两个横波。
)()(2)(,r
ik k k r
ik k k e
a e
a V
k e r u ?-+?∑
+=
σσ
σσσ
ρω
位移场的变化与体积变化有关
∑
∑
?-+
??-+?-=-?=??=?k
r
ik kL r
ik kL L k r
ik k r
ik k k e
a e a k V
k i e
a e
a k e V
k i u r )
()(2)
)(()(2)(,ρωρωσ
σσσσ
因此，只有纵波导致体积变化，LA 声子对电子的互作用比TA 声子更重要。
6．长波方法（二）——光学模
在离子晶体中长波光学模代表元胞内正、负离子的反向运动，它伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。 以下为黄昆的长波方法:
设每个元胞只含有两个电荷量相等、符号相反的离子，基于连续介质模型： 由于在长波限各正负离子的相对位移)(-+-u u 几乎一样，因此用一个矢量W 描述
光频振动：
-
+
-+-++=
Ω=
-≡M
M
M M M u u W ,M )(2
/1ρρ
其中
光频支振动的动能密度 ?
?
=
W
W T 2
1
位能密度由两部分组成 极化弹性φφφ+=
其中
??-=?=E
P W
W 极化弹性φγφ112
1
(这里P 代表晶体的极化强度，E 为宏观电场；显然正、负离子的相对位移导致极化并产生内场，这个场又反过来作用于离子影响它们运动，并且还使离子上电子相对于核位移产生电子极化) ? 方程一： E W P 2212γγ+=
第一项为离子位移极化，第二项与离子上电子的极化有关。 由此可得：
)
2
12
1
()
2
1(2212112212E E E W W W E E E W ?-
?-?=?+
?-=γγγφγγφ极化
其中)(ji ij ij γγγ=是待定系数。 拉氏密度φ-=T L
W 的共轭量：?
?
=??W W
L
因此哈密顿：)2
12
1(2
1221211E E E W W W W W H ?-
?-?+=
?
?γγγ
利用正则方程：W
H P ??-
=?
可导出光学模的运动方程
方程二： E W W 1211γγ+-=??
其中第一项代表弹性恢复力，是短程作用；第二项是极化所产生宏观内场对离子运动的作用力，它概括了长程作用。 ---------------
长波方法的优点是用宏观内场代替对离子间的长程库仑力求和 ------------------
利用黄昆方程可求出离子晶体中光学模横纵波的频率，并且诸系数可由常用的宏观测量值决定（高低频介电常数）。 1.介电常数
考虑W P E 、、的平面波解，当0=k 时，
t
i t i t
i e
W W e
P P e E E ωωω---===000
代入黄昆方程一二
E
W P E W W 221212112
γγγγω+=+-=-
消去W 后可得 E P ?
?
????-+=2112
12
22ωγγγ 根据：E P E D επ=+=4
可求出ε与ω的关系式 ?
?
????-++=2112
12
2241)(ωγγγπωε )(ωε称为介电函数。 介电函数在11202γωω==时有极点。
高频介电常数：22
41πγ
ε+=∝
于是求得诸系数：π
εγωπεεγωγ4142202
/1012
2
11-=
??
?
??-==∝∝
?
2. 横波及纵波振动方程
在各向同性介质中，光学模可划分为纵波部分与横波部分，相应的矢量：
,
0,
0,0,0,0,=??=??+==??=??+==??=??+=L T L T L T L T L T L T P P P P P E E E E E W W W W W
黄昆方程二写为：)(12)(11)(L T L T L T E W W γγ+-=??
当不存在外磁场时，0
1=??-
=??t
B c E T ，又由于0=??T E ，因此0=T E
横振动方程变为： 2
0112
20ωγωω===+??
T T T T W W
横波的频率与介电函数的极点频率0ω相等。
对于纵波，考虑到离子晶格中平均电荷密度为零，故
0)4(=+??=??L L P E D π，又由于0)4(=+??L L P E π；所以 04=+L L P E π
代入黄昆方程一，可得 L L W E 22
12414πγ
πγ
+-
=
将上式代入黄昆方程二，可得纵波振动方程
22
2121122
4140
πγ
πγ
γωω++
==+??
L
L L L W W
---------
这是著名的LST (Lyddane-Sachs-Teller)关系。 介电函数可进一步写为 2
222
)(ω
ωωωεωε--=∝
T L
由于∝>εε0，因此T L ωω>；L ω为介电函数的零点频率，L ω为极点频率。 当L T ωωω<<时，0)(<ωε；这时电磁波只能在晶体边界上反射，而不能在介质中传播。
固体理论讲义1-周期性结构
第一章 周期性结构 1． 正格矢与倒格矢 晶体的第一重要特征是原子（离子、分子）的周期性排列 ------可用周期性点阵表示 点阵中任一格点的位置由正格矢决定： 332211→ →→→++=a l a l a l R l l 1, l 2, l 3是整数，a 1, a 2, a 3为点阵的基矢（或基平移）。 元胞：点阵的最小重复单元 1．由a 1, a 2, a 3组成的平行六面体被称为初基元胞。 2．每个元胞中平均只包含一个格点。 3．元胞和基矢的选择并非唯一。 元胞的体积：)(321→ → → ??=Ωa a a 魏格纳-赛茨元胞（W-S 元胞） 它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面所围成的多面体，其中只包含一个结点。 它能更明显地反映点阵的对称性。 它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。
倒格矢 由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。 倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的： )3,2,1,((0 )(22=?? ?≠===?→ → j i j i j i b a ij i i ） π πδ 可求出： ) (2)(2) (2213132321→→→→→→→ →→ ?Ω =?Ω =?Ω=a a b a a b a a b πππ 在倒点阵中任一格点的位置矢： → →→→++=332211b n b n b n K n （n i 为整数） 称为倒格矢。 元胞的体积： )(321* → → → ??=Ωb b b 布里渊区： 相应的W-S 元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可由另一点加上一个倒格矢的平移达到。 当它的中心为原点时，W-S 元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ 表示，又称简约区 倒点阵与正点阵的关系 m l n R K i i i l n πππ22) 2(*3 ==?=ΩΩ∑→ → m 为整数 BZ 具有晶格点阵点群的全部对称性。
固体理论讲义二-声子
1． 晶格动力学 本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动 -晶格振动 晶体的元胞数为N ，原子质量为M ，原子的位置： )()(t u R t X l l l += )(t u l 则代表此原子的位移。 晶格振动的总动能 z y x u u M T l l l ,,2 1 ,== ? ? ∑αα α α 总势能为 ...)',(2 1 )(',',0+Φ+ Φ+ Φ=Φ∑∑∑ β α α β αβα α αl l l l l l u u l l u l ),'()',(0)(0 '20 0l l u u l l u l l l l βαβ ααβ α αΦ=???? ? ???Φ ?=Φ=???? ???Φ ?=ΦΦ的势能。 为常数，是平衡位置时 由于晶体的平移对称性 )'()'()',(l l l l l l -Φ=-Φ=Φβααβαβ )'(l l -Φαβ代表 l ’元胞中原子沿β方向移动单位距离时对l 元胞中原子作用力 沿α方向的分量，称为力常数 ∑=-Φ' 0)'(l l l αβ 因为当整体作刚性运动（即每个原子均作ααv u l =）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即 )'()'()(''' =? ?? ???-Φ-=-Φ-=?Φ?- =∑∑∑ββαββ β αβα αv l l u l l u l F l l l ------------------------- 略去Φ展开的三次方
∑∑ ∑ ? =-Φ+ = ?Φ+=α α αβ β ααβα α α,,'' ,)'(2 121l l l l l l l l l u M p u u l l p p M T H 由正则方程 可得系统的运动方程 ββ αβα',')'(l l l u l l u M -Φ-=∑?? 利用平移对称性及布洛赫定理 α α0u e u l R ik l ?= 对于确定的k ，运动方程的解表现出下列特征： （1） 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。 （2） 有特定的相位关系，按l ik R e ?变化 --------- 令α α k U u =0对应于用波矢k 标记的特解 z y x U k D U k k ,,,)(=-=∑?? βαβ β αβα ∑?-Φ≡ l R ik l e l M k D )(1)(αβαβ-------3?3动力学矩阵，为实的厄米矩阵。 其对角化方程为 αββ αβωk k e e k D 2)(=∑ ω为振动频率，由久期方程 0||)(||det 2=-αβαβδωk D 可求出3个本征频率和本征向量 ），，（321;)(==σωωσ σk e k σ k e 满足正交性和完备性条件 t i k k e e U ωαα-~ 结合以上方程可知： ] [1~ t R k i k l l e e N u ωα α -?
03讲义固体废物的破碎与细磨
第三学习单元第三学习单元（6 课时）：固体废物的破碎和细磨3.1 固体废物的破碎，破碎、机械强度、机械能破碎方法 3.2 固体废物的细磨，细磨的原理与方法、细磨设备 3.3 固体废物的低温破碎 本学习单元的重点和难点： 固体废物的破碎方法及设备 固体废物低温破碎的原理及方法 3.1固体废物的破碎 3.1.1导言 1、为什么要学习本单元？ 让大家了解破碎的定义与目的、固体废物的机械强度的概念和破碎方法、破碎方法的选择、破碎产物的特性表示法、细磨原理和方法。 2、本单元学习内容 破碎的定义、目的，机械强度的概念、机械能破碎方法、破碎方法的选择，破碎比、破碎段、破碎流程、破碎产物的特性表示法，破碎机械、细磨的概念、原理和方法，低温破碎、湿式破碎。
3、学习目标 掌握破碎的定义与机械强度的概念，了解破碎机的类型和特点；掌握固体废物破碎的基础理论；了解固体废物破碎的基本方法。 3.1.2破碎的基础理论 1、破碎的定义 通过外力克服固废破坏物体点间内聚力使大块分裂为小块即破碎，进一步分裂为细粉即磨碎。 2、破碎的目的和意义 有利于三化处理。固体废物经破碎之后，尺寸减小，粒度均匀，有助于固体废物的焚烧、堆肥和资源化利用处理；固体废物经破碎之后，体积减小，容重和密实性增加，便于运输、压缩、贮存和高密度填埋及土地还原利用等；固体废物经破碎之后，有助于不同组分单体分选与回收利用。 3、固体废物的机械强度和破碎方法 （1）机械强度的概念 固体废物的机械强度是指固体废物抗破碎的阻力。通常用静载下测定的抗压强度、抗拉强度、抗剪强度和抗弯强度来表示。 抗压强度>抗剪强度>抗弯强度>抗拉强度。 抗压强度>250MPa坚硬固体废物； 40-250MPa中硬固体废物； <40MPa软固体废物。
固体能带理论综述
半导体物理学 ——固体能带理论综述 班级：材料物理081401 姓名：薛健 学号：200814020122
固体能带理论综述 摘要:本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论,包络函数,近自由电子近似 一、引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 二、布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）
物理学院学术型硕士研究生培养方案
物理学院学术型硕士研究生培养方案 目录 物理学一级学科硕士研究生培养方案 (1) 材料物理与化学二级学科硕士研究生培养方案 (7) 课程与教学论（物理）二级学科硕士研究生培养方案 (12)
物理学一级学科硕士研究生培养方案 （0702） 一、学科简介 物理学是研究物质结构、相互作用及运动规律的基础学科。通过对物质微观结构及力学、热学、光学、电学、磁学等性能进行设计、表征、分析，达到对物质基本运动规律的认识，从而实现认识客观世界及其规律，并利用规律改变世界、造福人类的目的。经过多年的发展，物理学形成了理论物理、粒子物理与原子核物理、原子与分子物理、等离子体物理、凝聚态物理、声学、光学、无线电物理等学科方向，这些学科方向相互依存，相互促进，共同协调发展。 吉林师范大学物理学科始建于1958年，1985年开始与吉林大学等学校联合培养硕士研究生；凝聚态物理二级学科2000年获硕士学位授权，2001年被确定为吉林省重点学科，2003年被确定为吉林省重点资助学科，2006年被确定为吉林省“十一五”期间重点学科；物理学一级学科2010年获硕士学位授权，2011年确定为吉林省“十二五”期间优势特色重点学科，2014年被确定为吉林省高等学校“重中之重”建设学科。物理学科在纳米功能材料、半导体光电子学及器件、凝聚态物质理论、界面物理等研究领域取得了重要研究成果。本学科现拥有吉林省高端科技创新平台建设项目1个，教育部重点实验室1个，吉林省高校重点实验室1个，吉林省科技创新中心1个，教育部创新团队（培育）1个。本学科现有教职工62人，其中，教授12人、副教授18人。教师队伍中有“新世纪百千万人才工程”国家级人选1人、中国科学院“百人计划”人选1人、国务院政府特殊津贴获得者2人、教育部“新世纪优秀人才”3人、吉林省高级专家2人、吉林省拔尖创新人才4人、吉林省有突出贡献的中青年专业技术人才2人、“长白山学者”特聘教授1人、“长白山学者”讲座教授1人。本学科广泛开展学术交流,先后有9人在国外高校访学或攻读博士学位，聘请中科院院士等10余位国内外著名学者为兼职教授，多次组织召开国际、国内学术会议。 二、培养目标 培养具有宽广的自然科学知识和扎实的物理学专业知识，具有良好的社会责任感和事业心，具有较强的创新意识和学术素养，具有提出、分析和解决问题的能力，能独立从事科学研究工作，胜任从事物理学及相关专业的教学、研究、管理和服务工作的高层次专门人才。 具体要求： 1.较好地掌握马克思主义基本原理，培养社会主义核心价值观，热爱祖国，遵纪守法，具有良好的道德品质和敬业精神。 2.系统掌握本学科、本专业的基础理论和专门知识，熟悉本专业有关研究方向的国内外研究现状、前沿和发展趋势；具有从事理论物理、粒子物理与原子核物理、原子与分子物理、凝聚态物理、光学、无线电物理等领域的教学、科研或相关管理工作的能力。 3.掌握一门外国语，能熟练阅读外文文献，能用外语进行学术交流和论文写作。 4.具有实验室工作的基本技能及科技管理的能力。
固体理论讲义1-周期性结构
第一章 周期性结构 1． 正格矢与倒格矢 晶体的第一重要特征是原子（离子、分子）的周期性排列 ------可用周期性点阵表示 点阵中任一格点的位置由正格矢决定： 332211→ →→→++=a l a l a l R l l 1, l 2, l 3是整数，a 1, a 2, a 3为点阵的基矢（或基平移）。 元胞：点阵的最小重复单元 1．由a 1, a 2, a 3组成的平行六面体被称为初基元胞。 2．每个元胞中平均只包含一个格点。 3．元胞和基矢的选择并非唯一。 元胞的体积：)(321→ → → ??=Ωa a a 魏格纳-赛茨元胞（W-S 元胞） 它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面所围成的多面体，其中只包含一个结点。 它能更明显地反映点阵的对称性。 它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。
倒格矢 由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。 倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的： )3,2,1,((0 )(22=?? ?≠===?→ → j i j i j i b a ij i i ） π πδ 可求出： ) (2)(2) (2213132321→→→→→→→ →→ ?Ω =?Ω =?Ω=a a b a a b a a b πππ 在倒点阵中任一格点的位置矢： → →→→++=332211b n b n b n K n （n i 为整数） 称为倒格矢。 元胞的体积： )(321* → → → ??=Ωb b b 布里渊区： 相应的W-S 元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可由另一点加上一个倒格矢的平移达到。 当它的中心为原点时，W-S 元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ 表示，又称简约区 倒点阵与正点阵的关系 m l n R K i i i l n πππ22) 2(*3 ==?=ΩΩ∑→ → m 为整数 BZ 具有晶格点阵点群的全部对称性。
固体理论习题
固体理论习题 1. 通过群伦中不等价不可约表示的矩阵元的正交性定理 * ()()()()i j ij R j g D R D R n αγβδαβγδ δδδ=∑ 证明: ' exp[(')]n n k k R i k k R N δ→→→→→ --?=∑ 2. 通过群伦中特征标正交定理 → =?→ → ∑n R nn n j i n i h g R X R X ' ') ()()()(* δ 证明'.')](exp[nn Z B k n n N R R k i δ=-?-∑∈→ → → → 3. 设)(→ r f 为正点阵的周期函数，证明当→k 不等于倒格矢→ K 时 0)(3=→ →?? r d e r f r k i 4. 试用平面波展开，论证Bloch 函数 ),(),(→ →→→→+=r K k r k n n ψψ 其中→ k 为简约波矢，→ K 为倒格矢，n 为带指标。 5. 证明：3 * )2(π=ΩΩ 其中Ω为原胞体积； )(* → → → ??=Ωk j i b b b ，i ，j ，k 循环。 6. 带电粒子在与磁场作用方向z B 垂直的xy 平面中的运动是否具有时间反演不变性。（例如设t=0时刻的初始速度是沿x 方向的：x v v 00=） 7. Determine the density of states g(E)dE , the Fermi energy E F ,and the mean energy
)0(=t E for: (i) Three-dimensional electron gas ； (ii) Two-dimensional electron gas ； (iii) One-dimensional electron gas. 设一维紧束缚电子的色散关系近似为 )//(cos 10a k a ka E E E ππ≤≤-+=， 试论证其态密度为 2/12021])([21 )(---= E E E E G π 8. 设简立方晶格中三维紧密舒服能带的色散关心可以近似为： )c o s c o s (c o s )(10a k a k a k E E k E z y x ++-=- 讨论van Hove 奇点在Brillouin 区的出现位置及其相应的解析性质，并验证Morse 制约关系。 9. 在某正交化平面波的讨论中，设心态函数可用1s 态近似 r s j j e r u r u k λπλφ-→ →→=≡≡2/131)/()()()( 试计算“正交化系数”)(→ k j μ： r d e r u k k k r k i s j j 31)(1)()(→ →?→ → →→?Ω = =φμ 10. 试计算 x d x e x k i 3 ? → ?→ → （提示 x x k i 3 ? → → ?=x d x e e x x k i 30 lim ? → -?→→ → →?ηη）
物理学专业硕士研究生培养方案
物理学专业硕士研究生培养方案 （2017级研究生开始使用） 一、专业学科、学制、学习方式 一级学科：物理学（代码：0702 ） 二级学科：凝聚态物理（代码：070205 ） 理论物理（代码：070201 ） 学制：三年学习方式：全日制 二、本学科情况介绍： 物理学是研究物质的结构、相互作用和运动规律以及它们的各种实际应用的科学。它是自然科学的基础，是近代科学技术的主要源泉。物理学是基础学科也是发展最快的学科之一，是与产业联系最密切的理学学科。物理学科是广州大学最早建立重点学科之一，属广州市人才培养的重要基地，1996年获二级学科硕士授予权，已经培养了50多名硕士，许多人已成为重要学术和技术骨干。经过多年的努力，学科已经形成了若干个稳定的研究方向。理论物理专业的研究方向有：受限小量子系统、磁性与强关联多电子系统的理论研究。凝聚态物理专业的研究方向有：半导体纳米结构中的电子性质研究、信息光电子研究方向、信息功能材料与计算机辅助设计.学科的研究特色是与国际该领域的研究接轨，所有的成果都将在国内外权威刊物上发表，绝大部分论文被《SCI》所收录，有相当部分论文被国内外同行引用。近年来学科承担了国家自然科学基金10项，广东省自然科学基金重点项目1项，广东省自然科学基金和计划项目20多项。2000年3月以来获省部级奖励6项，其中教育部科学技术二等奖1项，广东省科学技术一等奖1项，三等奖3项，2005年以来本学科获得国家发明专利5项。本学科除取得一些科学成果外，还取得了一些社会效益。学科已经培养硕士研究生50多人，毕业生全部就业，且有多名毕业生在山西大学、安徽大学、中山大学、华南师范大学等211工程学校及新加坡科技学院从事教学科研工作。有些研究生的毕业论文发表在“Phys. Rev. B”,“J. Appl. Phys.”,“J. Phys.: Condens. Matter”,“Eur. Phys. J”等国际权威刊物上，毕业生中有多人分别考上北京大学、上海交大、中国科学院、南京大学、中山大学、北京理工大学和华中科技大学等学校博士研究生，8人被评为“南粤优秀研究生”。 三、培养目标 培养热爱社会主义，拥护中国共产党，遵纪守法，品行优良，作风朴实，学风严谨，富于创新精神，善于开拓进取，在物理领域掌握坚实的基础理论和系统的专门知识，能比较熟练地阅读本专业的外文资料，具备初步的外语写作和听说能力，具有较强的计算机应用能力和材料物理实验研究能力，了解本学科领域的前沿研究问题，且具有新的见解，具有从事物理科学研究工作或独立担负专门技术工作的能力，积极为社会主义建设事业服务，身心健康的高级专门人才。 四、培养方式 本专业硕士学位获得者应： 1. 具有严谨的学风和良好的科学道德； 2. 能够通过所有规定课程的考试或考查，并修满规定的学分； 3．完成规定的社会实践学习工作； 4．发表一篇学术论文（或被接受发表）； 5．完成学位论文的写作，并按时参加论文的答辩。 具体参照《广州大学硕士研究生培养工作暂行规定》执行