第2章多自由度体系

工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应

1.复习模态分析理论 1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等） 系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H(ω)是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有： i ()()e d t H h t t ωω-∞ =? -∞ 1i () ( )e d 2π t h t H ωωω -∞ =?-∞ ()()e d 0 st H s h t t -∞ =? 1 i () ( )e d i 2πi st h t H s σωσ+∞=? -∞ 复频率响应的实部 2 1(/)R e [()]22 2 [1(/) ](2/)n H n n ωωωωω ξωω-= -+ 复频率响应的虚部 2/Im [()]22 2 [1(/)](2/) n H n n ξωω ωωω ξωω =- -+ 单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1 (w )2H k m w j k η=-+，对频响函数特征的描述 采用的几种表达式 1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线 2）相频图：相位与频率之间的关系曲线 3）实频图：实部与频率之间的关系曲线 4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线 5）矢端轨迹图（Nyquist 图） 1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式 频响函数的基本表达式：11111 ()22222100 H m k k m j k j j ωω ηωωηωη = = ?=? -+-+-Ω+ 频响函数的极坐标表达式：()|()|j H H e ?ωω=，w H （） —幅频特性， a rc ta n 21η?? ? -= ? ? ?-Ω? —相频特性。 频响函数的直角坐标表达式： ()()() R I H H jH ωωω=+， ()() 211()222 1R H k ωη -Ω= ? -Ω+—实频特性， () 1()22 2 1I H k η ωη -=? -Ω+—虚频特性 频响函数的矢量表达式：()()()R I H H ωωω=+H i j 1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征 幅频特性：1|()|0H k ωη = 固有频率：0D ωω= 阻尼比：00 B A ω ωω ηω ω -?== 相频特性

第五节 多自由度体系的水平地震作用

第五节 多自由度体系的水平地震作用 一、振型分解反应谱法 多质点弹性体系地震反应同单质点弹性体系一样，可以通过运动方程的建立和求解来实现。 假定建筑结构是线弹性的多自由度体系，利用振型分解和振型正交性原理，将求解n 个多自由度弹性体系的地震反应分析分解成n 个独立等效的单自由度体系的最大地震反应，分别利用标准反应谱，求得结构j 振型下，质点i 的F ，再按一般力学方法，求j 振型水平地震作用产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力和变形），最后，按一定法则将各振型的作用效应进行组合，（但应注意，这种振型间作用效应的组合，并非简单的求代数和。）便可确定多自由度体系在水平地震作用下产生的作用效应。由于各个振型在总的地震效应中的贡献总是以自振周期最长的基本振型（第一振型）为最大，高振型的贡献随振型阶数增高而迅速减小。实际上，即使体系的自由度再多，也只计算对结构反应起控制作用的前k 个振型就够了，一般需考虑的振型个数k=2—3，即取前2—3个振型的地震作用效应进行组合，就可以得到精度很高的近似值，从而大胆减少计算工作量。 1、振型的最大地震作用 第j 振型I 质点最大地震作用 i ji j j ji G X F γα= 式中： j α —— 相应于第j 振型自振周期T 的地震影响系数 j γ —— j 振型的振型参与系数 ∑∑===n i ji i n i ji i j X m X m 121γ ji X —— j 振型i 质点的水平相对位移——振型位移 i G —— 集中于i 质点的重力荷载代表值 上述方法繁琐，工作量大，计算不方便，因此工程中为了简化计算，在满足一定条件下，可采用近似的计算法，即底部剪力法。 2、振型组合 （1）SRSS （平方和开方法） ∑=2 j S S （2）CQC （完整二次项组合法） 二、底部剪力法 1、 适用条件： （1） 高度不超过40m ； （2） 以剪切变形为主（房屋高宽比小于4） （3） 质量和刚度沿高度分布比较均匀 （4） 近似于单质点体系

多自由度系统振动分析典型教案

第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动

●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)

两自由度系统的振动

5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x x t 试求系统对初始条件的响应。 解： 112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-?? =??-?? -??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++== ==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得 -mA 有 时，1020120, cos 5,sin 0,5,0 ().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得 ω有两个值 12p p = = 15522x =+ 25522x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。

解：设 1m 沿1x 方向移动1个单位，保持2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得： 212 2()0, m A k l m g =--=∑2212m g k l =- 11 12111212122 111211112()()()0 m B k k k l m m g m m m m m g k g k k g k l l l =-+-+=++= +-=++∑ 同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得： 22 222()()*0 m C k k l m g =--=∑， 22222m g k k l =+ ； 刚度矩阵为 11211222,,k k k k ??=????k ，质量距阵12,00,m m ??=?? ??m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F += 12,00,m m ?? ???? 12x x ??????+11211222,,k k k k ?? ????12x x ???? ??=F ； 综上解得： ???? ? ????=???? ??++-=-???? ??++++)()(2222212222122212212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g m x g l m g l m m k x m 利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ： ∑=0X ，0sin sin 1221111 =---k T T k θθ ∑=0Y ，0cos cos 1 2 2 1 1 =--g m T T θθ 对2 m ： ∑=0 X ， 0sin 2 2 21 =+θT k ∑=0 Y ， 0cos 2 2 2 =-g m T θ

newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应

用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应 用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应 一、Newmark -β法的基本原理 Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。 Newmark-β法假定： t u u u u t t t t t t ?ββ??]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1) 2]}{}){2 1 [(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ?γγ???+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +?t 时刻的速度不变，取为常数

)}{}({2 1 t t t u u ?++ 。研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。 由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ?+}{及t u }{，t u }{ ，t u }{ 表示的t t u ?+}{ ，t t u ?+}{ 表达式，即有 t t t t t t t u u t u u t u }){121 (}{1)}{}({1}{2 ----=++γ?γ?γ?? (1-3) t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}1()}{}({}{ ?γ β γβ?γβ??-+-+-=++ (1-4) 考虑t +?t 时刻的振动微分方程为： t t t t t t t t R u K u C u M ????++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +?t 的方程 t t t t R u K ??++=}{}]{[ (1-6) 式中 ][][1 ][][2 C t M t K K ?γβ?γ++ = )}{)12(}){1(}{]([)}){121 (}{1}{1]( [}{}{2 t t t t t t t t u t u u t C u u t u t M R R ?γ β γβ?γβγ?γ?γ?-+-++-+++=+ 求解式(2-146)可得t t u ?+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u ?+}{ 和t t u ?+}{ 。 由此，Newmark-β法的计算步骤如下： 1.初始计算： （1）形成刚度矩阵[K ]、质量矩阵[M ]和阻尼矩阵[C ]； （2）给定初始值0}{u ， 0}{u 和0}{u ； （3）选择积分步长?t 、参数β、γ，并计算积分常数 2 01t ?γα=，t ?γβ α=1，t ?γα12=，1213 -=γα， 14-= γβα，)2(25-=γ β ?αt ，)1(6β?α-=t ，t ?βα=7； （4）形成有效刚度矩阵][][][][10C M K K αα++=； 2.对每个时间步的计算：

0727第三章 两自由度系统振动(讲)

第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀

拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由

[整理]matlab二自由度系统振动.

利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑

块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：

单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同

单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同 刘十一050880，易坤涛050881，王超维050882，刘超050883 地壳板块在地幔热对流作用下发生缓慢漂移，由于板块之间的碰撞和积压，地壳内部的应力不断累积。当应力到达一定程度时，就会发生断裂，形成地震。我国处在环太平洋地震带和喜马拉雅地震带的交汇处，为地震多发国家。建筑抗震研究在我国有重要实际意义。 地震波分为体波和面波。体波在地球内部传播，分为横波（S ）和纵波（P ）两种。纵波为压缩波，传播速度与拉伸弹性模量有关，对地表建筑的作用主要是垂直方向。横波为剪切波，传播与剪切弹性模量有关，对地表建筑作用主要是水平方向。面波是在体表传播，由体波的折射、反射后形成的，对建筑影响既有水平方向，又有垂直方向。因此，建筑物受到的地震作用既有水平方向，又有竖直方向的。由于建筑在竖直方向刚度较大，而水平方向刚度较小，容易在水平方向发生震动的放大，所以主要考虑水平方向的震动响应。由于线弹性体震动可以叠加，只要考虑了一个方向的水平震动。 求地震作用时，通常将建筑物简化为单质点或多质点体系。 单质点体系，质点受到三个力的作用： 1. 惯性力：()I g f m x x ''''=-+ 2. 阻尼力：c f cx '=- 3. 恢复力：k f kx =- 4. 由质点受力平衡得：0I c k f f f ++= => g mx cx kx mx '''''++=- 其中m 、c 、k 、x g 、x 分别为质量，阻尼，体系刚度，地面位移和质点相对地面的位移。 令ω=2c m ωξ= 则上式子转化为 22g x x x x ωξω'''''++=- 加上初始条件（x(0)＝0，x ’(0)=0）可得到 ()01()()sin[()]t t g D D x t x e t d ξωτττωτω--''=--?；ω=D 其中ω为无阻尼体系自由振动频率,ξ称为阻尼比,一般工程结构中ξ值较小,在0.101~0.1,ωd 为有阻尼时体系自由振动圆频率,一般ω≈ωd. 将位移反应对时间求一阶和二阶导数,并且ξ值很小,可得体系地震速度反应和地震加速度反应： ()0 ()()cos[()]t t g D x t x e t d ξωτττωτ--'''=--? ()0()()()sin[()]t t g D g D x t x t x e t d ξωττωτωτ--''''''+=-? 单自由度体系再地震作用下的振动是最简单的情况，但是由于实际工程中建筑物质量是非集中的，非集中倒一点，也不会只有一个自由度。为了计算，同时要满足一定的精度要求，

第5章--两自由度系统的振动

第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统

5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比

两自由度系统习题课

1. 如右图系统受到力F 1(t)=0，F 2(t)=Fsin(wt)的 作用，试确定系统的稳态响应。 2. 图所示，弹簧质量系统在光滑水平面 上自由振动。试建立该振动系统的运动 方程，求出系统固有频率和相应的主振 型，并给出系统自由振动的通解。 3二自由度振动系统的运动方程为 ? ?????=????????????--+????????????)()(1899182001212121t f t f x x x x 其中：t 以秒为单位；x 以米为单位。已知系统的固有频率为ωn1,2=2.388,4.615 rad/s ， 对应的振型矩阵为[]?? ????-=366.0366.111u 。 4 二自由度振动系统的运动方程为 ??????=????????????--+????????????)()(1899182001212121t f t f x x x x 其中：t 以秒为单位；x 以米为单位。 求系统的固有固有频率和振型向量 m 2m

5． 写出系统的振动微分方程。（当摆处 于铅直位置时为静平衡位置，此时弹簧处 于自然长度，系统作微幅振动） 6. 图示为汽车的某理想化模型，车身简化 作一刚性杆，质量为m ，质心在C 点，车身对质心的转 动惯量为Jc 。支撑系统简化为两个弹簧，弹簧常数分别为 k 1k 和k 2。假定汽车在纸面内运动，包括（1）车身的垂 直运动x ；（2）车身绕其质心在纸面（纵向平面）内的旋 转运动，即点头运动。若k 1=k ，k 2=2k ；l 1=l 2=1,J 0=3 1ml 2。请列出车身振动时的运动微分方程。 7．如图，已知m 2＝2×m 1=m ，k 3=2k 1=2k 2=2k ，x 10=1.2,x 20=10x ＝20x ＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。 8．已知:???=][m ,激振力频率ω=3rad/s,9．一辆汽车重。试确定

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

10-6 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1. 主振型的正交性 正交的概念：两个向量，其中， ，称为正交；矢量的概念。 正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。 这里我们讨论主振型的正交性： 以两个自由度体系为例: 功的互等定理（Betti’s law） 即: 故有

上式可推广到一般情况 第一个正交关系为： 或 证明： 由特征方程有 将上式两边分别乘以得

对其中任一式转置并相减得 如果 同理也可推得 （也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。） 对k=L 时，我们定义 M k , K k分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。 由特征方程有: 即: 由此得: 这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。这个公式是单自由度体系频率公式的推广。 正交关系的利用：

判断主振型的形状是否正确； 在振型分解法中的应用。 例17-8讲解重点正交性的验算 2*. 主振型矩阵 如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即 这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为 根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y] 和[Y]T[K][Y] 都应是对角矩阵。下面证明： [Y]T[M][Y]=

上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……M n, 由正交关系知其余元素均为零，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。即 [Y]T[M][Y]= 对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。 同样可得 其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。

第六章多自由度体系地微振动

第六章多自由度体系的微振动 教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。 教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。 教学难点：简正坐标的物理意义。 §6.1 振动的分类和线形振动的概念 振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。 一：振动的分类 1.按能量的转换来划分. 自由振动——系统的能量E为常数，即能量守恒。 阻尼振动——系统的能量E逐渐转化为热能Q。 强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。 2.按体系的自由度划分. 单自由度振动——体系的自由度S=1。 有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。 3.按体系的动力学微分方程的种类划分. 线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。 非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。 4.本章研究的主要问题. 以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。 表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主

要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。 表6.1 二：有限多自由度线性振动 1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。 例如：单摆的运动微分方程为0=+θθsin l g ，方程为非线性的。但当θ很小时有θθ≈sin ， 方程变为线性方程0=+θθl g 。如果同时还存在有阻尼θβ -及强迫力)t (f ，则方程可写成 )t (f l g =++θθβθ ，仍为线性方程。 2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。 三：平衡位置及其分类. 1.平衡位置的定义及判定方法。 （1）定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当∞?→? t 时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。 （2）判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章4.2式），即 s ...,i ,q V i i 210==??，这可以做为保守体系平衡位置的判据。 2.平衡位置的分类及其判定方法. （1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类： ○1稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振动。

0727第三章-两自由度系统振动(讲)

1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P π2=，??? ??+=α2sin 2k P h k P A 2。 ()22 34mr a r k n +=ω 3()r R g n -=32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题

中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这

第5章--两自由度系统的振动

应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、 x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所 示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ???=+-=-+00212211dx cx x bx ax x (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统

第4章-多自由度系统的振动题解

习 题 4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。 解：由题3-10的结果 22121111)(l g m l g m m k k +++ =，2 221l g m k -=，2212l g m k - =，2 2222l g m k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M ??? ???=m m M 00；?? ?? ??????- - =l mg l mg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得 0322 =????? ??? ? ?-- - -=mp l mg l mg l mg mp l mg B 0242 2 2224 2 =+-∴l g m p l g m p m l g p ) 22(1-=∴ ，l g p )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ???? ? ? ? ???-=l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为 ??????-=112) 1(A ?? ????+=112)2(A 题4-1图

4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力 2111,k k ，由平衡条件得到， 222111a k b k k +=， a k k 221-= 设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为 ?? ? ???=????????????--++????????????? ?000031222222122 1x a k a k a k a k b k x m a m θθ&& && 由频率方程02=-M K p ，得 031 2 22222 212221=----+p m a k a k a k p a m a k b k 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。 解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， l l k l l k I 4 34343432 11111θθθ+-=&& 2 2434343432 2211122l l k l l k l l k I θθθθ--=&& 整理得到， 016 91692 2112111=-+θθθl k l k I && 题4-3图 题4-2图

第七节多自由度系统中的阻尼

第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材6.14） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）

因 [][][][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 { }{}{ }12 3111, 0,111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00 011 1000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??

两个自由度系统.

第2章 两个自由度系统 2.1 求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。 2.2确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。 2.3一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图2-13），杆的质量为m ，两弹簧的刚度分别为2K 和K 。 （1）写出用杆端铅直位移1u 和2u 表示的运动方程； （2）写出它的两个固有频率； （3）画出它的两个固有振型； 2.4确定图2-14所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。 2.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为m ，长为L ，悬线长为L/2，求该系统的固有频率和固有振型。 2.6两层楼用集中质量表示如图2-16所示的系统。其中2121m m = ；212 1 k k =；证明该系统的固有频率和固有振型为：1 ;2;2;2)2(2 ) 2(1)1(2)1(1 112111-====x x x x m k m k ωω 2.7如图2-17所示的系统，设激振力为简谐形式，求系统的稳态响应。 2.8在如图2-18所示的系统中，一水平力sin()F t ω作用于质量块M 上，求使M 不动的条件。

2.9在图2-19所示的系统中，轴的弯曲刚度为EJ ，圆盘质量为m ，它对其一条直径的转动惯量为I=mR 2/4，其中R=L/4。设轴在它的静平衡位置时是水平的，且忽略轴的质量。求系统的运动微分方程和固有频率。 2.10图2-20所示的是两自由度系统。其中)cos(1t P P Ω=，k=987,m=1，C=0.6284， 0628.0='C ,求系统的固有频率、振型和u 1的稳态响应。 2.11 减小受简谐激振励单自由度系统的振幅的方法之一，是在该系统上附加一个“可调吸 振器”，吸振器由弹簧-质量组成。这样原系统和吸振器就构成了一个两自由度系统，见图 2-21. （1）建立系统的运动方程； （2）设系统的稳定响应为 )cos()(),cos()(2211t U t u t U t u Ω=Ω=， 试证明 ,) ()()(12221ΩΩ-=ΩD p m k U )()(122Ω=ΩD p k U 其中 2 22221221))(()(k m k m k k D -Ω-Ω-+=Ω

第七节多自由度系统中的阻尼

第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）

因 [][] [][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 {}{}{}12 31112, 0,2111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? m 1 m 2m 3 k 3 k 1 2 x 1 x 3 k 2 k 4 c 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00011 21000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??