数值分析典型例题
数值分析典型例题
例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711,
9.000024, 9.0000343
10?.
解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。
注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9
是1位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?，
23
10-?。
解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程*
s 的近似值s=800m ，所需时间*
s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。
解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t
s
s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从
而
05.00469.035
800
5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e
同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v
t
t v s e v s s v r r r -=??+??=
所以00205.035
05
.08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r
因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。
例4试建立积分20,,1,05
=+=n dx x x I n
n 的递推关系，并研究它的误差
传递。 解：151
--=
n n I n
I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。
但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可
知近似值之间的递推关系为
151
--=
n n I n
I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得
01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳
定。
（1） 可以改写为
n
I I n n 51
511+
-=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n
n e e ??
?
??-=-511
，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。
解：因为0)1()0( ]4,2[]11,2[)]4(),2([)(?=∈???x ；17 1)2(|)(|<≤'≤'??x ，由收 敛定理可知对任意的]4,2[0∈x ，迭代格式收敛 （2）x x x x ='-= )(,)3(2 1)(2 ??，当]4,2[∈x 时2|)(|≥'x ?，从而该迭代格式发散。 例7 用迭代法求方程01)1()(2=-+=x x x f 在0.4附近的根，精确到4位有效数字。 解：将方程改写成等价的形式2 ) 1(1 += x x ，于是有3 2)1(2 )(,)1(1)(+-='+= x x x x ??。17289.0|)4.0(|<='?，从而迭代格式 ,2,1,0) 1(1 2 1=+= +k x x k k 是局部收敛的，计算结果如下。 465552 .0,465602.0,,510204.0,4.0181710====x x x x 00005.0||1718=-x x ， 误差不超过4102 1 -?，从而近似解465552.018=x 具有4位有效数字。 例8 用列主元Gauss 消元法解线性方程组??? ??=++-=+-=+-6 215318153312321 321321x x x x x x x x x 解：方程组的增广矩阵为 ???????? ? ?--→???? ? ??---→????? ??----++?6411819611053710151 31861211533121513186121151318153312121312)32(181r r r r r r ????? ?? ? ? ? -→???????? ? ? --→?119611 32006411819611 01513185371 06411819611015131823r r ，通过回带过程得解为1,2,3123===x x x 。 例9 将方程组??? ??=++-=+-=+-6 215318153312321 321321x x x x x x x x x 的系数矩阵作LU 分解，并求方 程组的解。 解：增广矩阵为??? ? ? ??---6121151318153312，LU 的紧凑格式为 ? ?????? ? ??----163 166712 1215 27 2323153312，所以系数矩阵的LU 分解为 ? ???? ??? ? ?--???????? ?? -=3160027 230331216 712 10123001A ，等价的三角形方程组为?????? ??-=????? ?? ? ??????? ? ?--162151531600272303312321x x x ，解得1,2,3123===x x x 。 例10 假设矩阵??? ? ??--=2131A ，求21||||,||||,||||A A A ∞。 解：4}2|1||,3|1max {||||=+--+=∞A 54}2|3||,1|1max {||||1==+--+=A ??? ? ??--=13552A A T 的特征方程为 013 5 5 2 ||=--= -λλλA A I T ，其特征根为 2 221 15,22211521-=+= λλ 864.32 221 15)(||||2≈+= =A A A T ρ 例11讨论用Jacobi 迭代法求解线性方程组??? ??=+--=-+-=--10 52151023210321 321321x x x x x x x x x 的 收敛性，如果收敛，取初值0)0(3)0(2)0(1===x x x ，求) 3(3)3(2)3(1,,x x x 。 解：方程组的系数矩阵??? ?? ??------=52111021210A ，迭代矩阵 ???? ? ??=????? ??------????? ??-=+=-04.02.01.002.01.02.000211021202.01.01.0)(1 U L D B ，特征 方程,04.02.01.02 .01 .02.0,0||=------=-λλλλB I 即06.050503=--λλ，通过计算得其特征值为10 7 1,1071,2.0321-=+=-=λλλ，因此1||max <λ，从而迭代法是收敛的。 迭代格式为?????++=++=++=+++5)102(10/)152(10/)32() (2)(1)1(3 ) (3)(1) 1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，将初值带入计算可得 ,2,5.1,3.0)1(3)1(2)1(1===x x x ,66.2,76.1,8.0) 2(3)2(2)2(1===x x x 864.2,926.1,918.0)3(3)3(2)3(1===x x x 例12 讨论用Guass-Seidel 迭代法求解线性方程组??? ??=+--=-+-=--10 5215 1023210321 321321x x x x x x x x x 的收敛性，如果收敛，取初值0)0(3)0(2)0(1===x x x ，求) 3(3)3(2)3(1,,x x x 。 解：方程组的系数矩阵??? ? ? ??------=52111021210A ，迭代矩阵的特征方程 ,05211021 210||=------=-λ λ λ λλ λ λB I 即0)254500(2=--λλλ，通过计算得特征 值为500 1729 27,500172927,0321-= +==λλλ，因此1||max <λ，从而迭代法是收敛的。 迭代格式为?????++=++=++=++++++5)102(10/)152(10/)32()1(2)1(1)1(3) (3)1(1) 1(2) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，将初值带入计算可得 , 684.2,56.1,3.0) 1(3)1(2)1(1===x x x , 9539.2,9445.1,8804.0) 2(3)2(2)2(1===x x x 9938.2,9923.1,9843.0) 3(3)3(2)3(1===x x x 例13已知2 3 60sin ,2245sin ,5.030sin == =o o o ，用一次插值多项式、二次插值多项式近似sinx ，并用此近似求出o 50sin 。 解：取o 30和o 45作为节点作一次插值得2 2 30453021453045)(1?--+?--= x x x L 77614.02 2 304530502145304550)50(50sin 1≈?--+?--= ≈L o 取 o 45和 o 60作为节点作一次插值得 2 330456022453045)(~ 1?--+?--=x x x L 76008.02 3304560502245304550)50(~ 50sin 1=?--+?--==L o 。 取o 30、o 45和o 60为插值节点，作二次插值 2 3 )4560)(3060()45)(30(22)6045)(3045()60)(30(21)6030)(4530()60)(45()(2? ----+?----+?----=x x x x x x x L 76543.0)50(50sin 2≈≈L o 误差分析： 013190.0520)180 (2321|)50(50sin |21=????≤ -πL o 006595.0510)180(2321|)50(~ 50sin |21=????≤-πL o 000767.010520)180 (2361|)50(50sin |32=?????≤ -πL o 可以看出用o 45和o 60做线性插值的精度比用o 45和o 30做线性插值的精度高，因为o 50在o 45和o 60之间。 例14 已知节点上的函数值)2,1,0()(==j y x f j j 及11)(m x f ='，求一个次数不超过3的多项式)(3x P 使得)2,1,0()(3==j y x P j j ，且113)(m x P ='，并估计插值余项)()(3x P x f -，其中)2,1,0(=i x i 互不相同。 解：（1）求插值多项式∑==2 2)()(i i i x l y x P ，假设)()()(2 3x Q x l y x P i i i +=∑=， 其中))()(()(210x x x x x x A x Q ---=，由于113)(m x P ='，得到 ? ?????-----------= ))((2))(())((1 21012011 201021012101x x x x x x x y x x x x x x y m x x x x A ) )((12020 12 x x x x x x y ---- （2） 假设)()()(3x P x f x R -=，由于0x ，2x 是R(x)的一重零点， 1x 是二重零点，从而)())()(()(2210x x x x x x x k x R ---=， 显然)(t ?在插值区间内，作辅助函数 )())()(()()(2210x t x t x t x k t R t ----=?，显然)(t ?在插值区间内有5个零点，分别是0x ，1x ，1x ，2x ，x ，反复使用Rolle 定理可得0)()4(=ξ?，即0)(!4)()4(=-x k f ξ， )())((! 4) ()(2210)4(x x x x x x f x R ---=ξ。 例15 假设),,0(n i x i =互不相同，使用Lagrange 插值方法可以求出满足插值条件),,0()(n i y x P i i n ==的插值多项式)(x P n ，使用 Newton 插值方法可以求出满足插值条件 ),,0()(n i y x N i i n ==的多项式)(x N n ，问)()(x N x P n n ≡是否成 立？为什么？ 解：)()(x N x P n n ≡是成立的 假 设 满 足 插 值 条 件 的 多项 式 为0 111)(a x a x a x a x Q n n n n n ++++=-- ， 则 ?? ???? ?=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n n n n n n n y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 01111 0111 11100011 010 （1） 由于),,0(n i x i =互不相同，方程组（1）的系数行列式 01 11111 1 100≠= --- n n n n n n n n x x x x x x D ，从而方程组（1）只有唯一解，即满足插值条 件的多项式0111)(a x a x a x a x Q n n n n n ++++=-- 是唯一确定的，而)(x P n 和)(x N n 满足相同的插值条件，所以 )()(x N x P n n ≡ 例16 假设),,0()(n j x l j =是Lagrange 插值基函数，证明 n k x x l x k j n j k j ,,1,0,)(0 ==∑=。 证明：假设 )(,)()1(==+ξn k f x x f 则，则插值余项 0)())(()!1() ()()()(10)1(0 ≡---+=-=+=∑n n j n j k j x x x x x x n f x l x x f x R ξ，所以 n k x x l x k j n j k j ,,1,0,)(0 ==∑=。 例题 17 假设一试验中测得变量x 和y 的数据如下表，求一个代数多项式曲线，使其最好地拟合这组数据。 解：将所给数据在坐标系中描出，从图形上可以看出所给数据大致分布 在一条抛物线周围，因此假设拟合曲线为2cx bx a y ++=。 正 规方程组为?? ? ??=++=++=++1025253173017381147 30173815332381539c b a c b a c b a ，解得 267616.0,60585.3,4609.13=-==c b a ，因此拟合多项式为2267616.060585.34609.13x x y +-=。 例18用最小二乘法求超定方程组????? ????==-=+=+=-3 48 7120481212 1212121x x x x x x x x x 的近似解。 解：因为????? ??? ??=???????? ??--=38101,0417124812b A 有???? ??=192525137A A T ，??? ? ??-=872b A T ，故得正规方程组???-=+=+8192572 2513721 21x x x x ，解得4641.1,79272.021-==x x 是原方程组 的最小二乘解。 例19 证明Simpson 公式)]()2 (4)([6)(b f b a f a f a b f S +++-≈具有三次代数精度。 证明：Simpson 公式是插值型的，因而至少具有2次代数精度。 当3)(x x f =时，有 )(4 1)(44 3a b dx x f I b a -= =? 4 ])2 (4[6)(4 433 3a b b b a a a b f S -= +++-= 当4 )(x x f =时，有 )(51 )(554a b dx x f I b a -==? ) (])2 (4[6)(44 4f I b b a a a b f S ≠+++-= 所以Simpson 公式具有3次代数精度。 例20 考察求积公式)]1()0(2)1([2 1 )(1 1f f f dx x f ++-≈?-具有几次代数精 度。 解：当2211)(1 1====?-，右边时，左边dx x f 2211)(1 1 ====?-，右边时，左边dx x f 00)(1 1 ====?-，右边时，左边xdx x x f 右边，左边，右边时，左边≠====?-13 2 )(1 12 2 dx x x x f 。所以所给求积 公式具有1次代数精度。 例21 利用复合梯形法和Simpson 法计算积分dx x I ? +=1 0214 的近似值。 解: 该积分可以用牛顿-莱布尼兹公式计算1415926.314 102 ≈=+=?πdx x I k x )(k x f 0 4.00000000 1/8 3.93846154 1/4 3.76470588 3/8 3.50684932 1/2 3.20000000 5/8 2.87640449 3/4 2.56000000 7/8 2.26548673 1 2.00000000 )8/5()2/1()8/3()4/1()8/1([2)0({8 1 218f f f f f f T +++++?= )}1()]8/7()4/3(f f f +++ =3.13898850 14159250 .3)} 1()]4/3()2/1()4/1([2)]8/5()8/3()8/1([4)0({4 1 614=+++++++?= f f f f f f f f S 例22 用龙贝格算法计算积分?-=2 2 dx e I x 的近似值。 解：0183156380.1)]2()0([20 21=+-= f f T 8299444681 .0)1(2 2 2112=+=f T T 8806186339.0)]5.1()5.0([21 2124=++=f f T T 8817037912.0)]75.1()25.1()75.0()25.0([25.02148=++++=f f f f T T 8819862452 .0)]875.1()625.1()375.1()125.1()875.0()625.0()375.0()125.0([2 25.021816=+++ +++++=f f f f f f f f T T 使用龙贝格算法列表计算如下 区间等分数 k 2 k T 2 12-k S 22-k C 32-k R 1 1.018315638 2 0.8770372602 0.82999444676 4 0.8806186339 0.8818124252 0.8852702890 8 0.8817037912 0.8820655103 0.8820823826 0.8820317809 16 0.8819862452 0.8820803965 0.8820813889 0.8820813731 所以所求I 的近似值为0.8820814 例23 对于积分?-1 1)(dx x f ，构造插值型求积公式，要求其求积节点为 3 1,3 110= - =x x 。 解：假设 )3 1( )3 1()(101 1 f A f A dx x f +- ≈? -，则 131 3 13 1)(1 1 11 00=- --==? ?--dx x dx x l A ，13 13 13 1 )(111111=+ +==??--dx x dx x l A ，因而求积公式为)3 1( )3 1()(1 1 f f dx x f +- ≈?-。 例24 使用Euler 公式求解初值问题? ??=≤≤-='1)0(8 .102y x xy y ，步长h=0.1。 解:本题的Euler 求解格式为)2(1i i i i y x h y y -+=+，即i i i y x y )2.01(1-=+。计算结果列于下表 例25 用4阶龙格库塔方法求解列23中的初值问题，取步长h=0.2. 解：公式为?????? ?? ??? ++-=++-=++-=-=++++=+)2.0)(2.0(2) 1.0)(1.0(2)1.0)(1.0(22)22(6 2.0342 3 12143211 k y x k k y x k k y x k y x k k k k k y y i i i i i i i i i i ，计算结果如下表 例26 依据以下函数值表建立次数不超过3次的Lagrange 多项式及Newton 插值多项式。 解：（1）插值基函数14 7 8781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230+-+-=------= x x x x x x x l x x x x x x x l 38 231)41)(21)(01()4)(2)(0()(231+--=------= x x x x x x x l -+-=------= 23245 41)42)(12)(02()4)(1)(0()(x x x x x x x l 12 1 81241)24)(14)(04()2)(1)(0()(233+-=------= 12 1 445411)()(233 3+-+- ==∑=x x x x l y x L i i i （3） Newton 插值多项式和Lagrange 插值多项式相同，通过建 立差商标，得到12 1 445 411)(233+-+- =x x x x N 例27 已知多项式1)(234+-+-=x x x x x p 通过下列点 试构造一多项式)(x q 通过下列各点 解：由已知条件，多项式)()()(x q x p x r -=满足以下条件 由 Lagrange 多项式可知 x x x x r 22 52)(3 5+-=，所以 132 3 21)()()(2345+-+++- -=x x x x x x r x p x q 。 例28 试依据如下数值表，构造次数不超过3的多项式，并写出插值余项。 解：记 0=x ， 1 1=x ，由题设知 1)(,0)(,0)(,1)(1010-='='==x f x f x f x f ，利用两点的Hermite 插值公式 有)()()()()()()(101 1 3x x x x f x x f x H i i i i i i βαβα-='+=∑∑==，式中) (),(10x x βα式Hermite 插值基函数，)()]()(21[)(2 000x l x l x x x '--=α =132)101( 10121232+-=--??? ? ? --x x x x ，232111)()()(x x x l x x x -=-=β，因此得到12)(2 3 3+-=x x x H ，插值余项） ，（10,)1(! 4)()(22 )4(3∈-=ξξx x f x R 。 例29 证明关于互异节点{}n i i x 0=的Lagrange 插值基函数{}n i i x l 0)(=满足恒等 式∑=≡n i i x l 0 1)(。 证明：假设1)(=x f ，则),,0(1)(n i x f i ==，)(x f 的Lagrange 插值多 项式 为 ∑∑====n i i n i i i n x l x l x f x L 0 ) ()()()(， )()!1() ()()(1)()(1)1(0 x w n f x R x l x L x f n n n n i i n ++=+==-=-∑ξ，而0)()1(≡+ξn f ，所 以∑=≡-n i i x l 0 01)(，从而∑=≡n i i x l 0 1)(。 例30 给定矩阵???? ?? ? ??------=1111111111 111111 A ，计算F A A A A ||||,||||,||||,||||21∞。 解 ： 4 ||max ||||1 11==∑=≤≤n i ij n j a A ， 4 ||max ||||1 1==∑=≤≤∞n j ij n i a A ， 4||||11 2== ∑∑==n i n i ij F a A 。 I A A T 4=，故2)(||||max 2==A A A T λ。 例 31 假设n n n R A R x ?∈∈,，证明 （1）∞∞≤≤||||||||||||1x n x x （2）∞∞≤≤||||||||||||2x n x x 证明：（1）∞≤≤=≤≤∞=≤=≤=∑||||||max |||||||}{|max ||||111 1x n x n x x x x i n i n i i i n i （2）∞≤≤=≤≤∞=≤=≤ =∑||||||max |||||}{|max ||||121 2 1x n x n x x x x i n i n i i i n i 例32 求矩阵???? ??=-1010001 A 的条件数)(1A cond 解：,10 01010,1||||10 10 1 1??? ? ? ?==--A A 从而1||||||||)(1111==-A A A cond 。 例33 假设求解线性方程组的迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k g Bx x k k ，其 中????? ??--=?????? ? ? ? -=5.015.0,05.0215.005 .0215.00g B ，试证明对任何初值)0(x 迭代格式都 收敛，并取T x )0,0,0()0(=，计算)4(x 。 解: 假设λ是B 的特征值，则0||=-B I λ，即05 .02 15.05 .02 1 5 .0=-- ---λ λ λ ，即 03=λ，所以10)(<=B ρ，所以迭代法式收敛的。 当T x )0,0,0()0(=时依次可得 T x )5.0,1,5.0()1(--= T x )2 5.0,5.0,2 5.0( )2(- =，T x )0,1,0()3(=，T x )0,1,0()4(=。 例34 给定线性方程组b Ax =，其中??? ? ? ??=15.05.05.015.05.05.01A ，证明用Jacobi 方法求解发散，而用G-S 方法求解收敛。 解：Jacobi 迭代法的迭代矩阵,05.05.05.005 .05.05.00 )(1??? ? ? ??------=+=-U L D B J 其特征值为1)(,1,5.0321=-===J B ρλλλ所以，从而Jacobi 方法发散。 下证G-S 迭代法收敛。显然A 对称，并且其顺序主子式 05.0)d e t (,075.01 5 .05.01, 011>=>=>A a ，所以G-S 迭代法收敛。 例35 证明用Jacobi 方法求解方程组??? ? ? ??=????? ??????? ??-321321122111221b b b x x x 收敛，而用 G-S 迭代法求解发散。 证明：Jacobi 迭代矩阵为??? ? ? ??-----=022101220J B ，其特征值为 10)(,0321<====J B ρλλλ所以，所以Jacobi 迭代收敛。 G-S 迭代法的迭代矩阵为??? ? ? ??--=200320220S B ，12)(>=S B ρ，所以G-S 迭代法发散。 例36：设线性方程组??? ? ? ??=????? ??????? ??--321321122120203b b b x x x ，讨论用Jacobi 法和G-S 法的收敛性，若都收敛，比较哪种方法收敛的较快。 解：????? ?? ? ? ? --=021121 03200J B ，其11211)(<= J B ρ，所以Jacobi 迭代法收敛。 ? ????? ?? ? ? -=12110021 003200S B ，11211)(<=S B ρ，故G-S 方法收敛。 由于1)()(<=J S B B ρρ，故G-S 方法比Jacobi 迭代法收敛速度快。 例37 试证明梯形公式求解处置问题初值问题 {a y y y =>-=')0(0 ,λλ是无条件稳 定的，即对任意步长0>h ，梯形公式都是绝对稳定的。 证明：梯形公式为)],(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ，将y y x f λ-=),(代入上式得01 1 2222y h h y h h y n n n ++?? ? ??+-=??? ??+-=λλλλ，假设初值0y 有效扰动0δ， 则)(22001 1 1δλλδ+?? ? ??+-=++++y h h y n n n ，与上式相减得到 01 1 22δλλδ++?? ? ??+-=n n h h ，显然对任意的步长，有 122≤+-h h λλ，从而 ,2,1,0||||01=≤+n n δδ。 即梯形公式是无条件稳定的。 例38 证明求a 的Newton 迭代法0)(2101>+=+x x a x x k k k 对任意的均收敛。 证明：因 ,0),,2,1(0,0,00≥?=>>>k k x x a k 对故 a a x a x x a x x k k k k k ≥+-=+= +21][21)(21，因此对一切k ，有a x k ≥，从而有 122122121=+≤+=+a a x a x x k k k ，故k k x x ≤+1，即{}k x 单调递减有下界，所以收敛，容易证明极限时a 。 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 习题一 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 )1.0ln(,121,101 1,1014321== = = x x x x 1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位 数。 3 * 5* 4* 3* 2* 1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x 1.3 为了使 3 1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ? ++1 2 1N N x dx ,其中N 是充分大的正数 (3) x x sin cos 1-,其中x 充分小 (4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e (6) )11010ln(84-- 1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。 习题二 2.1 证明方程043 =-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对 分多少次？(不必求根) 2.2 用二分法求方程0134 =+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2 10 2 1-?= ε。 2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求2 10 -=ε。 (1) 02 =--x x ； (2) 06cos 2 =-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。 2.4 考虑方程032 =-x e x ，将其改写为3 x e x ± =，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附 近的两个根(取精度要求3 10-=ε)。 数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________； 二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值： （3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2? 2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m, 1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限. 3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界. 5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算 p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？ 6. 已知33348 7.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差. 7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 8. 已知 1 6243sin ,sin π ππ== =请用抛物插值求sin50的值,并估计误差 9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x 10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式 . 11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ， 试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差 12. 设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及 )()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式. 13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944?? ???? ，上的三次埃尔米特 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为 ( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 0d )(x x f ≈(?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 一、填空题 1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。 2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。 3.对f(x)=x 3 +x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。 4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。 5.设方程x=?(x)有根x * ,且设?(x)在含x * 的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为 。 6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。 7.??? ? ??=01100 1001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。 8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。 9.中矩形公式：)()2( )(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为 。 10.求积公式：)1(2 1)0()(10 f f dx x f '+ ≈?的代数精度为 。 11.在区间[1，2]上满足插值条件? ??==3)2(1 )1(P P 的一次多项式P(x)= 。 12.设∑ == n k k k n x f A f I 0 )()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A = 。 13．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。 二、计算题 1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组??? ??=++=++=++20 53182521432321 321321x x x x x x x x x 2.设有函数值表 试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。 数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后 三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.01 42332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2) 3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3)2(2) 2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－ 赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝??????????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 第四章 习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010； （2）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 221010； （3）()()()()[]3/3211 121?-++-≈x f x f f dx x f ； （4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h '0'2/020 +++≈? 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得 ()()??? ???? =+=+-=++---3 1121 110132 02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34 31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于 ()() ()() 4 4 4 3 33 3 3 33h h h h dx x h h h h dx x h h h h ? ?--+ -≠ +-≈ 故()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010具有三次代数精度。 （2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2 1x x x f ，，=准确成立，得()()??? ???? =+=+-=++---3 1121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34 316424381011-=- =-===-， 故()()()[]()03 43 822hf h f h f h dx x f h h - +-≈ ? - 因()?-=h h dx x f 220 而 ()() []03 83 3 =+-h h h 又[ ]4 45 5 6224 3 83 165 2h h h h h dx x h h += ≠= ? 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