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最新北师大版九年级上相似三角形

②、对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．

③、传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?

(2) 、三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长

线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ?∽ABC ?．知识点7 、三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用．

(2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

知识点8 、相似三角形常见的图形

(1)

E A

(3)

E (2)

识是基础和关键．

知识点13 、位似图形有关的概念与性质及作法

1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个

图形叫做位似图形.

2、这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注意：

（1）、位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）、位似图形的对应边互相平行或共线.

3、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注：位似图形具有相似图形的所有性质.

4、画位似图形的一般步骤：

（1）、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）、顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注意：①、位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②、外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”

（即同向位似图形）

③、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）

（5）、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向

位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

相似三角形经典例题透析

类型一、相似三角形的概念

1、判断对错：

(1)、两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)、两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)、两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)、两个全等三角形一定相似吗？为什么？

思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.

解：(1)、不一定相似.反例

直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不

一定相似.

(2)、不一定相似.反例

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，

两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)、一定相似.

在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中

(4)、一定相似.

因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边

成比例，因此两个等边三角形一定相似.

(5)、一定相似.

全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且

相似比为1.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )

A、所有的直角三角形

B、所有的等腰三角形

C、所有的等腰直角三角形

D、所有的一边和这边上的高相等的三角形

类型二、相似三角形的判定

1、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图

中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则

△ABC和△EDF相似吗？为什么？

举一反三

【变式1】、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．

求证：△ADQ∽△QCP．

【变式3】、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．

求证：△DFE∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能

求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

2、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形

相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

举一反三

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

类型四、相似三角形的应用

举一反三

【变式1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

【变式2】、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一

边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

类型五、相似三角形的周长与面积

1、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交

AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【变式2】、如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)、当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)、当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形讲解学习

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形

①、反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． ②、对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． ③、传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 、三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ?∽ABC ?．知识点7 、三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用． (2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．知识点8 、相似三角形常见的图形 (1) E A B C D (3) D B C A E (2) C D E A B

浙教版数学九年级上册相似三角形加强练习.docx

相似三角形加强练习一填空: 1.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=_____. 2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对. 3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,则BM=______. 4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________. 5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____. 6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为 __. 7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________. 9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______. 10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF= . 11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则S ΔADE ∶S ΔABE =___________. 12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________. 13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG =_________. 14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,S ΔADE =1,则S 四边形BCDE =________.

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

初三数学《相似三角形》专题复习

B C 初三数学期末复习相似三角形及应用一、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．（1）比例的基本性质：b a =d c ?ad=bc （b d ≠0） 1、甲、乙两地的实际距离20千米，则在比例尺为 1∶1000000 的地图上两地间的距离应为厘米． 2、若3a ＝5b ，则a b ＝ . 3、若线段a 、b 、c 、d 成比例且a ＝3cm ，b ＝6cm ，c ＝5cm ，则d ＝ cm ．二、两个三角形相似的条件．常用基本图形——A 形、X 形…… 例1、已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB 、CD 交于O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 2、如图, 小正方形的边长均为1, 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 三、相似三角形的概念、性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．例题1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15．求△ A′B′C′最短边的长．变化:△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为15．求△ A′B′C′的周长． 4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AO CO 的值为 (1) A B C D O 4 3 6 8 (2)

5、如图，□ ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于O ，若DO ＝4cm ，BO ＝ cm ． 6、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 7、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作 DE ⊥AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若AD ：AB ＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积比为． 9、如图，DE 是△ABC 的中位线，S △ADE =2，则S △ABC =_______． 10、如图所示，已知点E F 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ， 2FG =，则CF =_______． 11、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（） A . 2：5 B .14:25 C .16:25 D . 4:21 12、如图，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M. （1）、求证：;AM HG AD BC = （2）、求这个矩形EFGH 的周长. A D E C B O A F E C B

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案学生学校年级九年级教师授课日期授课时段课题相似三角形重点难点重点：掌握相似多边形和相似三角形的性质，运用相似三角形的判定解决问题。难点：运用相似三角形的判定解决问题。教学步骤及教学内容一、课前检测： 1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 是CD 的中点， EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。求证：AG = DG 。 2．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC 交AC 于E ，EF//AB 交BC 于F 。（1）求证：BF=CF ；（2）图中与DE 相等的线段有；（3）图中与EF 相等的线段有；（4）连结DF ，则DF 与AC 的位置关系是，数量关系是。 3.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A A B C D F E A B C D G F E

三、主要练习：【知识点】：相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。相似多边形对应边的比叫做相似比。【例题】： 1．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______． 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ． 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB=4，BC=2，EF=2，FG=1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图，在□ABCD 中，AB//EF ，若AB = 1，AD = 2，AE= 2 1 AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由．【课堂练习】： 1．下面图形是相似形的为 ( ) A ．所有矩形 B ．所有正方形 C ．所有菱形 D ．所有平行四边形 2．下列说法正确的是 ( ) A ．对应边成比例的多边形都相似 B ．四个角对应相等的梯形都相似 C ．有一个角相等的两个菱形相似 D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG=1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm ， AD=5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′， B′C′的长． F E D C B A

北师大版初三上数学相似三角形(一)

相似三角形【知识要点】 1 ．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。【典型例题】例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OM

B G D 例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ， AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ?=2 A B C D E G H

例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。（1）求证：△ADE ∽△EFC 。（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。（1）求证：△ADB ∽△EAC ；（2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 求证：△AEF ∽△ACB A D B C E

九年级上册数学相似三角形练习题

九年级上册数学相似三角形练习题内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

九年级上册数学相似三角形练习题姓名：日期：一、选择题。 1．DE是ABC的中位线，则ADE与ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 BC=（） 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4

7．如图4，D 是△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E 。已知AD ：DB=2：3．则S △ADE ：S BCED ＝（） A 、2：3 B 、4：9 C 、4：5 D 、4：21 8．如图5，已知：AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高线，DE 是RtCADC 斜边AC 上的高线，如果DC ：AD=1：2，a S CDE =?，那么ABC S ? 等于（） A 、 4a B 、9a C 、16a D 、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形，它们的面积比为。 3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 图3 图2 图图

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例中项。

华东师大版数学九年级上册8.考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合

考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合 ◆类型一相似与四边形 1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME ＝3，则AN＝（） A．3 B．4 C．5 D．6 第1题图第2题图 2．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F.S△DEF∶S△ABF ＝4∶25.则DE∶EC＝. 3．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE 与△DEF相似吗？为什么？ 4．(上海中考)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE. (1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.

◆类型二相似与函数 5．(滨州中考)如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y＝－ 1 x、y＝ 2 x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大 C．时大时小D．保持不变第5题图第6题图 6．(重庆模拟)如图，点A在双曲线y＝ 3 x上，点B在双曲线y＝ k x(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，O为矩形的对称中心，OE⊥OF，若设OE＝x，OF＝y，则x与y之间的函数关系为．考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合 1．B 2.2∶3

3．解：△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝ 2a，DF＝a，∴ AB DE＝ 4a 2a＝2， AE DF＝ 2a a＝2，∴ AB DE＝ AE DF，而∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF. 4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD.∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE ＝∠OEB，∠OED＝∠ODE.∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BEO＋∠DEO ＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE； (2)∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE.∵OB＝ OE，∴∠DBE＝∠CEO，∴∠DBE＝∠CDE.∵∠BED＝∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴ BD CD ＝ DE CE，∴BD·CE＝CD·DE. 5．D 6．B解析：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F.∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF＝OD，BF＝OE，∴AB＝DE，∵点A在双曲线y＝ 3 x上，∴S矩形AFOD＝3，同理S矩形OEBF＝k，∵AB∥OD，∴ OD AB＝ CD AC＝ 1 2，∴AB＝2OD，∴DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，∴k＝9.故选B. 7．y＝ 3 4x 8．解：如图，过点P作PM⊥AB，则∠PMB＝90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y＝ 3 4x－3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，－3)．在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝32＋42＝5.∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠ABO ＝∠PBM，PB＝OP＋OB＝7，∴△PBM∽△ABO，∴ PB AB＝ PM AO，即 7 5＝ PM 4，∴可得PM＝ 28 5. 8．(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝ 3 4x－3与x 轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，求PM长的最小值．

九年级上册数学相似三角形练习题

九年级上册数学相似三角形练习题姓名：日期：一、选择题。 1． DE是?ABC的中位线，则?ADE与?ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE BC=（） A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4 7．如图4，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E。已知AD：DB=2：3．则S△ADE：S BCED ＝（） A、2：3 B、4：9 C、4：5 D、4：21 8．如图5，已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是RtCADC斜边AC上的高线，如果DC：AD=1：2，a S CDE = ? ，那么 ABC S ? 等于（） A、4a B、9a C、16a D、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形，它们的面积比为。图3 图2 图1 图5 图4

3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知 5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为2.5m 2 ，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。 7．如图4，已知△ABC 的周长为30cm ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的周长等于 cm 。 8．如图10.△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ：DB=3：4，E 是BC 上一点。如果DB=DC ，∠1=∠2，那么S △ADC ：S △DEB = 。三、解答题： 1、如图，⊿AOC ∽⊿BOD 。（1）证明：AC ∥BD ；（2）已知,3,5,4===OB OC OA 求OD 的长。 2．如图,∠ADC=∠ACB=900 ,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 O D B A

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案

2017浙教版数学九年级上册4.2相似三角形

1 4.2相似三角形教学目标： 1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似. 2．能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似. 3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质. 重点和难点： 1．本节教学的重点是相似三角形的概念 2．在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点. 知识要点： 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）重要方法： 1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角. 3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上. 教学过程一．创设情境，导入新课 1．课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片.以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？ 2．经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形.那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形二．合作学习，探索新知 1．合作学习如图1,在方格纸内先任意画一个△ABC,然后画出△ABC 经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像△A ′B ′C ′（点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C ）. A B C A ′ B ′C ′

2 问题讨论1：△A ′B ′C ′与△ABC 对应角之间有什么关系？问题讨论2：△A ′B ′C ′与△ABC 对应边之间有什么关系？学生相互比较得到结论：对应角相等，对应边成比例. 2．由合作学习定义相似三角形的概念（1）相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（2）表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于” 如△A ′B ′C ′与△ABC 相似，记做“△A ′B ′C ′∽△ABC ” . 注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上（3）定义的几何语言表述： ∵∠A ′＝∠A ，∠B ′＝∠B,∠C ′＝∠C ，A ′B ′AB ＝A ′C ′AC ＝C ′B ′CB ∴△A ′B ′C ′∽△ABC 3．结合定义探求性质（1）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例（由学生根据定义得出，理解定义的双重性，既可以用来判定两个三角形相似，同时，其本身又是三角形相似的一个性质）（2）相似比（相似系数）：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序. 如图，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为12 （k ）,△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为2（1k ） 4．问题探究：问题一：两个直角三角形一定相似吗？为什么？问题二：两个等腰三角形一定相似吗？为什么？问题三：两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？问题四：两个等边三角形一定相似吗？为什么？问题五：两个全等三角形一定相似吗？为什么？变形：相似比为1的两个三角形全等吗？问题六：如果两个全等三角形中的一个与第三个三角形相似，那么这两个全等三角形的另一个也与第三个三角形相似吗？为什么？

冀教版-数学-九年级上册-相似三角形典型例题

相似三角形例题1 下列说法中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例题2 已知：ABC ?的三边长分别是3，4，5，与其相似的C B A '''?的最大边长是15，求C B A '''?面积C B A S '''? 例题3 若ABC ?与DEF ?都是等边三角形．则ABC ?与DEF ?是否相似？为什么？例题4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．

参考答案例题1 分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中?='∠=∠90C C ，则A A '∠∠＝?='∠=∠?=45,45B B ，设ABC ?的三边为A.B.c ，C B A '''?的边为 c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a a c c b b a a '=''=',，∴ABC ?∽ C B A '''?．（4）也正确，如ABC ?与C B A '''?都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ?∽C B A '''?．解答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例题2 解答 2 22543=+， ∴ABC ?为直角三角形不妨设?=∠90C ，3=AC ，4=BC ，5=AB ABC ?∽C B A '''?， ∴∠=∠='∠Rt C C ，C B BC C A AC B A AB ''=''='' 3=AC ，4=BC ，5=AB ，15=''B A ， ∴9=''C A ，12=''C B ∴541292121=??=''?''='''?C B C A S C B A 说明本题考查相似三角形的定义，解题关键是求出C A ''，C B ''的长例题3 分析要判断两个三角形是否相似，现在只能用相似三角形的定义．解答因为ABC ?与DEF ?都是等边三角形，所以 FD EF DE CA BC AB F E D C B A ====?=∠=∠=∠=∠=∠=∠,,60. 于是 FD CA EF BC DE AB ==.从而ABC ?∽DEF ?.

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