当前位置：文档库 › 二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广及应用

曲靖市麒麟高级中学车保勇

[摘要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围．

[关键词] 二项式定理推广方幂应用

1 引言

二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：()

0,(,,0)n

r n r r

n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．

2 问题的提出

虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围．

3 二项式定理的推广

二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为：

011r n r r

n n ()n

n n n

a b C a C a b C a b C b --+=++

,(,,0)n

r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑

其中r n r r

r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!!

r n n C r n r =-叫做二项式系数．

若令 -n r q =，则

r n n C r q =

，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一

在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广．

先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式:

()[()]n n

a b c a b c ++=++

()n r r

r n C a b c -=+++

(

q n r q q

n n r C C a

b c

---=

++++

r q

n r q q r n n r C C a b c ---=

若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：

(,,p q r n)r q

p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=，其中()()!(r)!!

!!q!q !!q!p!

r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2]

类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为

(,,,)!!!s!

p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ，其中

!!!s!

n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为：定理１12()n m a a a +++12

121212!!!

!m m i i i m

i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．

在证明之前，先分析一下上述定理的结构．如果像二项、三项那样展开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证明．

证明设1

121212

()(,,,)m

r r r

n m m m

a a a f r r r a a a +++=∑，它的一般项可以这样得到，从n 个式子12()m a a a +++，，12()m a a a +++中由1r 个式子里取1a 有

r n

C 种方法，再由剩下的1n r -个式子中选2r 个式子取2a 有21r n r C -种方法，依次类推，从最后的121m m n r r r r -----=个式子中选m a 有1

m m r n r r r C ----

-种方法．于是选

取这m 个元素总共有1

121

m r r r n n r

n r r r C C C -----

-种方法，将所得元素相乘即为

12m

r r r m

a a a ，因此一般项系数为 1

121

12(,,

,)m m r r r m n n r n r r r f r r r C C C -----

()()()()112111212!!

!!!!

m m n r n r r r n r n r r n r r r -----

-=---

12!

!!!

m n r r r =

．于是定理得到证明．

这个结论结构优美，记忆简便，体现出数学美．[3]

3.2 推广二

由数式二项式定理可得0(1),(,,0)n

n r r n r x C x n r N r n =+=∈≤≤∑．这里的n 是正数，

当指数为负整数时，又是什么情形呢？

定理2

当11x -≤≤,n 为正整数时{}{}212(1)1n n n x x x --+++={}3

3n x +

{}n

{}0

n r

r x ∞

==∑．其中{}(1)(2)

(1)

n r n n n n r r +++-=．

证明 (1)当1n =时，左边111(1)x

x --=-=，

右边2311

111lim n

n x

x x x x →∞

---=++++==

，

左边＝右边，即上式成立． (2) 假设当n k =时，有

{}{}{}{}2

1lim()k k k k r

r x x x

x →∞

+++++

{}0

lim k r

r r x

∞

→∞

==∑成立，

则当1n k =+时，考虑

{}{}{}{}1

121311231(1)()k k k k r

x x x x x ++++++++

{}{}{}{}{}{}11

121111

1211

1(((1)))k k k k k r

k r r

r r

x x x x +++++++-++++=----

{}{}{}{}211

121k k k r

k r r

x x x x +++++

=-，

其中 {}11

1(1)(2)()

k r r r k k k r r x

x ++++++=1()!!!

r k r k r x ++=

1()(1)

(1)

r k r k r r k x +++-+=

1(1)k r x r +≤+，

因为 1lim(1)0k r r x r +→∞

+=，所以 {}11

lim 0k r r r x ++→∞=，所以 {}{}{}{}11213

1231lim(1)[()](1)

k k k k r

r x x x x x x ++++-→∞

+++++

-=-，

两边同时除以1x -得

{}{}{}{}112131

(1)

1231lim()(1)

k k k k r

k r

r x x x x x ++++-+→∞

+++++

=-，

即当1n k =+也成立．综上所述，定理成立． 3.3 推广三

设1m ≥，对于多项式20(1)nm

m n

j j j x x x a x =+++

+=∑，约定展开式中含j

项的系

数(,)j j m a f n j x =，易得

11(,)j j n a f n j x C ==．

定理3 设2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++，则 (1)

n j

j a

==∑；

(2) 13521242n n a a a a a a a -++++=++

+；

(3) 10361472583n a a a a a a a a a -+++

=+++

=+++=；

(4) 当n 为奇数时，0482610a a a a a a +++=+++； (5) 当n 为偶数时，1593711a a a a a a +++=+++

．

证明若令1x =±，则可得结论(1)和(2)成立． (3)令31()x ωω==则有

2201220n n a a a a ωωω++++=，

即 2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω+++++++++++=，由复数相等的定义可知结论(3)成立．

下面证明结论(4)和(5): 令x i =则有

220122n n n i a a i a i a i =+++

+，

整理可得

0482610[()()]a a a a a a +++-+++1593711[()()]n a a a a a a i i ++++-+++=．

当n 为奇数时，上式右边为纯虚数，所以左边实数部分为0，即结论(4)成立；当n 为偶数时，上式右边为实数，所以左边虚数部分为0，即结论(5)成立． 4 二项式定理的应用

二项式定理是代数中的一个重要定理，恰当应用二项式定理和其推广定理可使一些复杂问题简洁化，困难问题简单化． 4.1 在求值问题中的应用

巧妙运用二项式定理可使一些看似十分困难的求值问题简单化．

例1 用{}

x 表示实数x 的小数部分，若9918)a =，则{}a a 的值为多少？

分析：此题表面看较为困难，但若能发现

0181<<，且

18)1=，便能迎刃而解．

解令

9918)b =，因为18)(0,1)∈，所以(0,1)b ∈，由二项式定理有

990991

98999918)18a C C ==+?+

999989999

9999

99(3)1813)1818

r r r C C C -+?+

+?+，

990991

98999918)18b C C ==-?+

9998989999999999(1)181818r r r r C C C -+-?++?-，

因为19899

9999992[1818]a b C C -=?++是正整数，

所以 {}a b =，

所以 {}99999918)18)18)]1a a ===．

在挖掘出倒数关系

18)1=的基础上，巧妙构造

9918)b =来替代{}a 是顺利解题的关键．[5]

例2 若21000(1)x x ++的展开式为220000122000a a x a x a x ++++，求

0361998a a a a +++

+的值．(2001年全国高中数学联赛题)

解令1x =，可得，

100001220003a a a a =+++

+； (1)

令x ω=，可得，

2200001220000a a a a ωωω=++++，（其中i 2

21+-=ω，则31ω=，且210ωω++=）； (2)

令2x ω=，可得

24400001220000a a a a ωωω=+++

+； (3)

以上三式相加可得

1000036199833()a a a a =++++，

所以 99903619983a a a a ++++=．

对求有关二项式系数和的问题，常用赋值法．一般地，多项式()f x 的各项系数和为(1)f ，奇次项系数的和为1[(1)(1)]2

f f --；偶次项系数和为

[(1)(1)]2

f f +-．[6] 4.2 在近似计算问题中的应用

求近似值问题常把二项式定理展开，根据精确度决定所取项数可使计算简捷．[7]

例3 求5(0.997)的近似值(精确到0.001)．

分析: 55(0.997)(10.003)=-，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果．

解 55(0.997)(10.003)=-

1225

555510.003(0.003)(0.003)C C C =-+--

150.0030.985≈-?=． 4.3 在整除与余数问题中的应用

二项式定理是解决整除和余数问题最有效的策略之一．

例4 试证大于

2(1n (n N ∈)的最小整数能被12n +整除．(第六届普特

南数学竞赛题)

分析: 由

2(1n 联想到其对偶式2(1(0,1)n ∈，考虑二者之和即可．证明因为

011<<，所以

2(1(0,1)n ∈．由二项式定理可得

22212(1(12(33)n n n n n C -+=++ 是偶数，记为

2()k k N ∈，则大于2(1n 的最小整数为2k ．又因为

22222(1(1[(1][(1]n n n n k =+=

2[(2(2]n n n =+，由二项式定理知

(2(2n n +是偶数，记为112()k k N ∈，

所以 1122n k k +=．即命题得证．

例5 今天是星期日，再过10010天后是星期几？分析：此题实质是求10010除以7后的余数问题．

解 100505010100(98)==＋2

050

149

505

989829822

C C

=+?

++?+，因为前50项都能被7整除，只需考查502除以7所得余数.

50481616242484(71)=?=?=?+

4[777]C C

C C =+++

．于是得余数为4，故10010天后是星期四． 4.4 在不等式问题中的应用

利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用．一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式．特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用．

例6 求证：1

2(1)3,()2n n n N n -≤+≤-

∈．

证明由二项式定理得

01221111(1)n n n n n n n C C C C n n n n +=++++ 221

11n C n

=+++

2≥．

又 01221111

(1)n n n n n n n C C C C n n n n

+=++++

1111211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)

2!3!!n n n n n n n n

-=+-+--++--??-

11122!3!!n ≤+

+++ 231111122222n -≤+++++

n -=-．

根据实际需要进行实际取舍相关项是这类题的关键．

例7 设,a b R +

∈，n N *

∈，求证:[]22n n n

a b a b ++≥．分析: 设a s d =+，b s d =-，(,s d R +

∈且)s d >，则2a b s +=，再用二项

式定理解题．

证明设a s d =+，b s d =-，(,s d R +∈且)s d >，于是有

()()n n n n a b s d s d +=++-

0222

2[]n n n n C s C s d -=++

2n s ≥；又因为 2a b s +=，

所以 2[]222

n n n n n a b s a b s ++≥==．即题目得证．

a b

+≥

．在高中数学教材不再介绍数学归纳法的情况之下，二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的途径．[8-13]

例8 设,a b R +∈，且1

11a b

+=．求证：对每个自然数n N ∈都有

21()22n n n n n a b a b ++--≥-．(1998年全国高中数学竞赛题)

分析: 因为

,a b R +∈，且1

11a b

+=2； ()n n n a b a b +--

11122

222

111[(

)()(

)]2

n n n n n n n n n

n a b a b C a b a b C

a b a b C

-----

-=++++++

再利用均值不等式求证．

证明由 1

a b =+≥?，及二项式定理得

()n n n a b a b +--

01111n n n n n n

n n n n n n C a C a b C ab C b a b ---=++++-- 1122222211n n n n n n n n n n C a b C a b C a b C ab ------=++++ 11122222

111

1[()()()]n n n n n n n n n n a b ab C a b a b C ab a b C -------=++++++

)n n

n n C C C -≥+++

212(22)22n n n n +≥-=-．

本题一般用数学归纳法证明，但用二项式定理结合基本不等式证明更简捷明快．

4.5 在多项式问题中的应用

在实际应用中，除遇到二项式问题外还常常遇到多项式问题，利用推广定理可使解题方便快捷．

例10 求7(32)x y z +-的展开式中含325x y z 的项．

解直接应用推广定理1有7(32)x y z +-的展开式中325x y z 项为

3253257!

(3)(2)()3783!2!5!

x y z x y z -=-．例11 求38(21)x x --中4x 的系数．

分析: 直接展开项数太多，显得冗长复杂，利用定理1可快速解决．解 38(21)x x --的通项为8!(2)()(1)!!!p q r x x p q r --28!2(1)!!!

p q r p q x p q r ++=-．于是有方程组

24,

8;p q p q r +=??++=?

其非负整数解为

044p q r =??

=??=?， 125p q r =??

=??=?， 206p q r =??

=??=?

．故38(21)x x --中4x 的系数为 087268!8!8!

2(1)2(1)2(1)1540!4!4!1!2!5!2!0!6!

-+-+-=-． 5 结论

本文首先将二项式定理进行推广，然后系统整理了二项式定理已有的用途，同时提出不同于前人成果的用途，即求解一些特殊极限问题．再以典型实例说明了二项式定理有着十分广泛的应用．

二项式定理在中学教材中占有的篇幅并不大，但其有着十分广泛的应用，可以从初等数学跨到高等数学中，可使一些困难问题简洁化．深入挖掘二项式定理及推广定理的应用，不但为教师教学提供参考，提供一种新的解题途径，且拓宽了二项式定理的应用范围．

本文存在着两方面的局限：一是推广没有从本质上突破前人的成果，只是将其进一步完善；二是在高等数学中的应用范围有待拓宽．

参考文献:

[1] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003：156． [2] 耿玉霞．二项式定理的推广及应用[J]．辽宁教育学院学报，2002，19(4)：50—51． [3] 孙幸荣，曹学锋．二项式定理的推广及其应用[J]．广西教育学院学报，2004，15(5)：

53—54．

[4] 张盛．可换矩阵二项式定理的应用[J]．锦州师范学院学报(自然科学版)，2003，24(3)：

62—65．

[5] 王荣峰．二项式定理的应用[J]．高中数学教与学，2006，(10)：24—25． [6] 唐先成．二项式定理及其应用[J]．数学通讯，2002，(5)：82—83．

[7] 张文娣．二项式定理及其应用[J]．甘肃联合大学学报(自然科学版)，2004，18(4)：

90—91．

二项式定理(通项公式)

六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题：例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②

二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)( 1 x2-1)5的展开式的常数项是（） (A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D 【解析】第一个因式取x2，第二个因式取 1 x2得：1?C1(-1)4=5 5 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2?(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3. 2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2- 1 x )5的二项展开式中，x的系数为（）（A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是解：ΘT r+1 =C r x11-r(-1)r 11 ∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的 11 系数为C5(-1)5=-462 11 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013(x∈R)，则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 010******** )=_______。(用数字作答) 解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013中，令x=0，则a=1，令x=1，则a+a+a+a+Λ+a 01232004 =(-1)2013=1 故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 0102030 精品资料 2013 )

二项式定理(通项公式).

二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值：当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f

高考数学考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）（A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学车保勇 [摘要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围． [关键词] 二项式定理推广方幂应用 1 引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：() 0,(,,0)n n r n r r n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．

2 问题的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围． 3 二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为： 011r n r r n n ()n n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +0 ,(,,0)n r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑ 其中r n r r r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!! r n n C r n r =-叫做二项式系数．若令 -n r q =，则 ! !! r n n C r q = ，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广．先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式: ()[()]n n a b c a b c ++=++ ()n r r r n C a b c -=+++ ( )r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++ 若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式： (,,p q r n)r q p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=，其中()()!(r)!! !!q!q !!q!p! r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2] 类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为 ! (,,,)!!!s! p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ，其中 ! !!!s! n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为：定理１12()n m a a a +++12 121212!!! !m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．

二项式定理

二项式定理性质：说课稿一、教材分析 1.教材的地位和作用二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：（1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下：重点：二项定理的推导及运用难点：二项式定理及通项公式的运用二、三维教学目标分析知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.

三、教法分析：新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程：（一）创设情境，激发兴趣提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探（1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？

二项式定理二项式定理的应用教案

排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案教学目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等. 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题. 3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力．教学重点与难点数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在．教学过程设计师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题: (1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少? （2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项．（全体学生参加笔试练习) ６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答: （1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x）（2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６. 其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.

师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用. 下面我们看二项式定理的一些应用．师:请同学们想一想，例１怎样解？生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明. 师:请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演) 证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得: 师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题. 练习生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺

二项式定理中的特殊项问题

《二项式定理中的特殊项问题》导学案学习目标： 1．进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2．学会利用“赋值”的方法解决有关问题。学习重点：二项式系数性质的应用；学习难点：二项式系数性质的应用。学习过程：学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：（1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2．求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3．求11 的展开式中的有理项。 4．已知22)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含32 x 的项；（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 5．若82 80128()x a a a x a x a x -=++++g g g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。当堂检测：

1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题附加题：若4 1()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项．补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求（1）1237a a a a ++++g g g ；（2）7531a +a +a +a ；（3）01237||||||||||a a a a a +++++L 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n i x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中系数为实数且最大的项为（） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5项或第6项 4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

二项式定理(通项公式)

1 1 1 1 例 5 化简：(x" y 2) (x 4 yj 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理（a b ）n C 0a n C ：a n B L C ：a n k b k L C ；b n , k 以上展开式共n+1项，其中C n 叫做二项式系数, （请同学完成下列二项展开式） (a b)n C 0a n C ：a n 1b 1 L ( 1)k C ：a n k b k L (1)n C ：b n , T k 1 k k n k k (1) C n a b (1 x)n C 0 C ：x L C'x k L C ；x n ① (2x 1)n C 0 (2x)n C n (2x)n1 L k n k C n (2x) L C ； 1(2x) 1 n n 1 i a n x a n 1x L a n n k k x L a 1x a 。 ② 一、指数函数运算知识点：1整数指数幕的概念. a n a a a a(n N*) 六、二项式定理 a 0 1(a 0) 1 a n -(a 0,n N*) * a n 2 ?运算性质： a m a n a m n (m,n Z) , (a m )n a mn (m,n Z) , (ab) 3.注意 ① m a a n 可看作a m a n m ??? a n m a =a a n m n =a + ② (a )n 可看作a n b n .,a 、n J …(_) =a n n a b = n ? b b b m 4、a 下 Va m ( a >0, m n € N,且 n > 1) * n 个a n a n b n (n Z) 例题: 例1求值： 2 1 3 SoQ 3 碍八例2用分数指数幕的形式表示下列各式: 1) a 2

二项式定理及其应用

二项式定理及其应用一、求某项的系数：【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（5 6x）二、证明组合数等式：练习（12345）例2 计算：1.9975（精确到0.001）．师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．

例3：（1996年全国高考有这样一道应用题）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77 由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除．师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．师：仍然由同学先谈谈自己的想法．生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)

1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,. r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=- 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0 n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理及应用

莱西市数学公开课教案课题：二项式定理及应用课型：复习课教学目标： 1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。（2）使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。 2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。 3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。教学重点：能利用二项式定理解决相关问题教学难点：二项展开式系数的性质及应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、课前练习 1、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110 -++-++--- 等于…………（ D ）（A ）（B ）0 （C ）－1 （D ）1 2、(2007江西)n x x )3( 3 +展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（C ）（A ）4 （B ）5 ( C)6 (D)7 3、(2007重庆) n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为…………………（B ）（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）120 4、（2007安徽）已知=- 5)1(x a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则(a 0+a 2+a 4)(a 1+a 3+a 5)= -256 小结：1、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式设计目的：复习基础知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。二、复习提问： 1.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( 教师强调展开式的特点：（1）项数 n+1项（2）二项式系数依次为0 n C ,C 1 n ,C 2 n ,…C n n (3)指数的特点 1)a 的指数由n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂）,b 的指数与该项组合数的上标相等。 3）a 和b 的指数和为n 。抓住特点会逆用。说明：（1）、a n-k b k 相当于从n 个(a+b)中取出k 个b ，其余n-k 个(a+b)中都取a ，共k n C 种取法,故a n-k b k

二项式定理及应用

定理定义编辑二项式定理可以用以下公式表示：其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[1] 2验证推导编辑考虑用数学归纳法。当，假设二项展开式在时成立。设，则：，将a、b<乘入：，取出的项：，设：，取出项：，两者相加：，套用帕斯卡法则： 3定理推广编辑牛顿广义二项式定理二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。其中。牛顿二项式扩充定理设函数：根据二项式定理得F(x)的任意一项为：同理上式（）中的任意一项为如此类推我们预知最后一项存在; 那么我们得到其中的任意一个系数为以上各式系数之积即为；设M=0+j+....+q+p+m而且项的系数为AM 4应用例子

编辑牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。证明组合恒等式二项式定理给出的系数可以视为组合数的另一种定义。因此二项式展开与组合数的关系十分密切。它常常用来证明一些组合恒等式。比如证明，可以考虑恒等式。展开等式左边得到：。注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。同时如果展开等式右边可以得到。比较两边幂次位的项的系数可以得到：。令，并注意到即可得到所要证明的结论。证明自然数幂求和公式公式具体内容: 它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N =N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数 =(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N =2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)] =2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。[2]

二项式定理及应用

莱西市数学公开课教案课题:二项式定理及应用课型:复习课教学目标： 1、知识目标：（１）理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。（２)使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。２、能力目标:（1)教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。（2)进行化归思想、整体思想的渗透,培养学生的发散思维和逆向思维能力。 3、情感目标：通过对二项式定理的复习,使学生感觉到能掌握数学的部分内容,有意识地让学生演练一些历年高考试题,使学生体验到成功，树立学好数学的信心。教学重点:能利用二项式定理解决相关问题教学难点:二项展开式系数的性质及应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、课前练习１、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110 -++-++--- 等于…………( D ) (A ）（B ）0(C )-１（D )1 ２、（200７江西）n x x )3( 3 +展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于（C ） (A ）４ (Ｂ）5 ( C)6 （D)7 3、(2007重庆)n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为…………………(Ｂ ) (A ）１０ (B ）20 （C)30 (D)1２０ 4、(2０0７安徽）已知=- 5)1(x a ０+ａ1x+a ２x ２+a ３x 3+a 4x 4＋a 5ｘ5,则(a ０+a 2+a 4）（ａ1＋ａ3＋a 5)= －256 小结:１、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式设计目的：复习基础知识,体验二项式定理习题的一般解题方法,锻炼逆向思维能力,让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。二、复习提问： 1.二项式定理:n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( 教师强调展开式的特点:(１）项数 n ＋1项（2）二项式系数依次为0 n C ,C 1 n ,C 2 n ，…C n n (３)指数的特点１)ａ的指数由n ０( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂),ｂ的指数与该项组合数的上标相等。３)a 和b 的指数和为ｎ。抓住特点会逆用。说明：(1）、ａn-ｋb ｋ相当于从n 个(a+b)中取出k 个ｂ,其余n －k 个（a+b ）中都取ａ,共k n C 种取法,故a n-k b k

二项式定理的推广与应用

二项式定理(通项公式)

二项式定理的十大应用

二项式定理(通项公式).

高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

最新二项式定理应用常见题型大全(含答案)

二项式定理的推广与应用

二项式定理

二项式定理二项式定理的应用教案

二项式定理中的特殊项问题

(完整版)二项式定理典型例题

二项式定理(通项公式)

二项式定理及其应用

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)

二项式定理及应用

二项式定理及应用

二项式定理及应用

高考数学考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、